数学特別講義 B (1) 参考資料 8 ( 演習問題解答 ) 2021年度第
1ターム 学芸学部数学科
3年
(月曜
1限
/ハイブリッド講義 南校舎
S107教室
)
担当
:原 隆
(学芸学部数学科・准教授
)■演習問題解答 問題
8-1.(1) A1=
"
1 −1 9 −5
#
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA1(T) = det
1−T −1 9 −5−T
= (1−T)(−5−T)−(−1)·9
=T2+ 4T + 4 = (T+ 2)2
であるから、固有値は
−2 (重根
)である。また、広義固有空間は以下のようになる
; Wf1(−2 ;A1) = Ker (A1+ 2I2) = Ker3 −1 9 −3
簡約化
= Ker
3 −1
0 0
=
s 1
3 s∈R
, Wf2(−2 ;A2) = Ker (A1+ 2I2)2= KerO2=R2.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
fW1(−2 ;A1)
=W(−2 ;A1) fW2(−2 ;A1) =R2
•
• q=
"
1 0
#
(A1+ 2I2)q=
"
3 9
# dimWf2(−2 ;A1)−dimfW1(−2 ;A1) = 1>0
が成り立つことか
ら、
Wf2(−2 ;A1)\Wf1(−2 ;A1)の元が存在するので、
1つ選ぼう
;例えば
q="
1 0
#
∈Wf2(−2 ;A1)\fW1(−2 ;A1)
だから、
qの生成
するジョルダン鎖
q ="
1 0
#
, (A1+ 2I2)q=
"
3 9
#
は
(A+ 2I2)に 関する
Wf(−2 ;A) =R2のジョルダン基底をなす。
したがって
P1 = h(A+ 2I2)q q i
=
"
3 1 9 0
#
とおくと
(並べ 方に注意
!!)、
A1P1=A1
(A1+ 2I2)q q
=
A1(A1+ 2I2)q A1q
=
(A1+ 2I2)2q
| {z }
=0
−2(A1+ 2I2)q (A1+ 2I2)q−2q
=
(A1+ 2I2)q q
| {z }
=P1
−2 1 0 −2
=P1
−2 1 0 −2
となるので、左から
P1−1を掛けて
A1のジョルダン標準形
P1−1A1P1="
−2 1 0 −2
#
を
得る。
(2) A2=
0 −1 1
−2 −1 0
−3 1 −2
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA2(T) = det
y
+
0−T −1 1
−2 −1−T 0
−3 1 −2−T
= det
−T 0 1
−2 −(T + 1) 0
−3 −(T + 1) −(T+ 2)
=−(T + 1) det
−T 0 1
−2 1 0
−3 1 −(T + 2)
←−
×(−1)
+
(−(T+ 1)
を括り出した
)=−(T + 1) det
−T 0 1
−2 1 0
−1 0 −(T + 2)
=−(T + 1) det−T 1
−1 −(T+ 2) (
第
2列で余因子展開
)=−(T + 1){T(T+ 2)−(−1)·1}=−(T + 1)(T2+ 2T + 1) =−(T + 1)3
であるから、固有値は
−1 (3重根
)である。また、広義固有空間は以下のようになる
;fW1(−1 ;A2) = Ker (A2+I3) = Ker
1 −1 1
−2 0 0
−3 1 −1
簡約化=
1 0 0 0 1 −1
0 0 0
=
s
0 1 1
s∈R
,
fW2(−1 ;A2) = Ker (A2+I3)2= Ker
0 0 0
−2 2 −2
−2 2 −2
簡約化=
1 −1 1
0 0 0
0 0 0
=
s
1 1 0
+t
−1 0 1
s, t∈R
, fW3(−1 ;A2) = Ker (A2+I3)3= KerO3=R3.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
Wf1(−1 ;A2)
=W(−1 ;A2) fW2(−1 ;A2) Wf3(−1 ;A2) =R3
•
•
• q=
1 0 0
(A2+I3)q=
1
−2
−3
(A+I3)2q=
0
−2
−2
dimWf3(−1 ;A2)−dimWf2(−1 ;A2) = 1
が成り立つことか
ら
fW3(−1 ;A2)\Wf2(−1 ;A2)の元が存在するので、
1つ選 ぼう
;例えば
q=
1 0 0
∈Wf3(−1 ;A2)\fW2(−1 ;A2)
だから、
q
の生成するジョルダン鎖
q =
1 0 0
, (A2+I3)q =
1
−2
−3
,
(A2+I3)2q=
0
−2
−2
は
(A2+I3)に関する
fW(−1 ;A2) =R3のジョルダン基底をなす。
したがって
P2=
(A2+I3)2q (A2+I3)q q
=
0 1 1
−2 −2 0
−3 −2 0
とおくと
(並べ方に注意
!!)、
A2P2=A2(A2+I3)2q (A2+I3)q q
=
A2(A2+I3)2q A2(A2+I3)q A2q
=
(A2+I3)3q
| {z }
=0
−(A2+I3)2q (A2+I3)2q−(A2+I3)q (A2+I3)q−q
=
(A2+I3)2q (A2+I3)q q
| {z }
=P2
−1 1 0 0 −1 1
0 0 −1
=P2
−1 1 0 0 −1 1
0 0 −1
より、左から
P2−1を掛けて
A2のジョルダン標準形
P2−1A2P2=
−1 1 0 0 −1 1
0 0 −1
を
得る。
(3) A3=
2 1 −2 12 8 −16
6 3 −6
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA3(T) = det
×2 y+
2−T 1 −2
12 8−T −16
6 3 −6−T
=
−(T−2) 1 0 12 −(T−8) −2T
6 3 −T
=Tdet
−(T−2) 1 0 12 −(T−8) −2
6 3 −1
←−
×(−2)
+ (
第
3列から
Tを括り出す
)=Tdet
−(T−2) 1 0 0 −(T−2) 0
6 3 −1
=−Tdet
"
−(T −2) 1 0 −(T −2)
#
(
第
3列で余因子展開
)=−T(T−2)2
であるから固有値は
0と
2 (2重根
)である。また、各
[広義
]固有空間は以下のように なる
;W(0 ;A3) = KerA3= Ker
2 1 −2 12 8 −16
6 3 −6
簡約化= Ker
1 0 0 0 1 −2
0 0 0
=
s
0 2 1
s∈R
,
fW1(2 ;A3) = Ker (A3−2I3) = Ker
0 1 −2 12 6 −16
6 3 −8
簡約化= Ker
1 0 −13 0 1 −2
0 0 0
=
t
1 6 3
t∈R
,
fW2(2 ;A3) = Ker (A3−2I3)2= Ker
0 0 0
−24 0 8
−12 0 4
簡約化= Ker
1 0 −13
0 0 0
0 0 0
=
t
0 1 0
+u
1 0 3
t, u∈R
.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
先ず、
Wf(0 ;A3) =W(0 ;A3)の基底として
p=
0 2 1
を選んでおこう
(これが
Wf(0 ;A3)のジョルダン基底となる
)。
fW1(2 ;A3)
=W(2 ;A3) Wf2(2 ;A3)
•
• q=
0 1 0
(A3−2I3)q=
1 6 3
次に
Wf(2 ;A3)のジョルダン基底を求めよう。
dimWf2(2 ;A3)−dimWf1(2 ;A3) = 1>0
が成り立つことから、
Wf2(2 ;A3)\Wf1(2 ;A3)の元が存在するの で、
1つ選ぼう
;例えば
q =
0 1 0
∈Wf2(2 ;A3)\Wf1(2 ;A3)
だ
から、
qの生成するジョルダン鎖
q=
0 1 0
, (A3−2I3)q=
1 6 3
は
(A3−2I3)に関する
Wf(2 ;A3)のジョルダン基底をなす。
したがって
P3= hp (A3−2I3)q q i
=
0 1 0 2 6 1 1 3 0
とおく と
(並べ方に注意
!!)、
A3P3=A3
p (A3−2I3)q q
=
A3p A3(A3−2I3)q A3q
=
0p (A3−2I3)2q
| {z }
=0
+2(A3−2I3)q (A3−2I3)q+ 2q
=
p (A3−2I3)q q
| {z }
=P3
0 0 0 0 2 1 0 0 2
=P3
0 0 0 0 2 1 0 0 2
より、左から
P3−1を掛けて
A3のジョルダン標準形
P3−1A3P3=
0 0 0 0 2 1 0 0 2
を得る。
(4) A4=
1 1 0
−4 5 0 4 −2 3
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA4(T) = det
1−T 1 0
−4 5−T 0 4 −2 3−T
=−(T−3) det
"
−(T −1) 1
−4 −(T−5)
#
(
第
3列で余因子展開
)=−(T−3){(T−1)(T −5)−1·(−4)}=−(T−3)(T2−6T+ 9) =−(T−3)3
であるから、固有値は
3 (3重根
)である。また、広義固有空間は以下のようになる
;Wf1(3 ;A4) = Ker (A4−3I3) = Ker
−2 1 0
−4 2 0 4 −2 0
簡約化= Ker
1 −12 0
0 0 0
0 0 0
=
s
1 2 0
+t
0 0 1
s, t∈R
, Wf2(3 ;A4) = Ker (A4−3I3)2= KerO3=R3.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
fW1(0 ;N3)
=W(3 ;A4) Wf2(3 ;A4) =R3
•
• •
p=
1 0 0
(A4−3I3)p=
−2
−4 4
q=
0 0 1
dimWf2(3 ;A4)−dimWf1(3 ;A4) = 1
が成り立つこと
から
Wf2(3 ;A4)\Wf1(3 ;A4)の元が存在する
;例えば
q =
1 0 0
∈ Wf3(−1 ;A2)\Wf2(−1 ;A2)
だから、
qの
生成するジョルダン鎖
q=
1 0 0
, (A4
ー
3I3)q=
−2
−2 4
は
(A3−3I3)に関する
Wf(3 ;A4) =R3のジョルダン 基底の一部をなす。
次に
dimWf1(3 ;A4) = 2であるから
fW1(3 ;A4)の元であって
(A4−3I3)p=
−2
−4 4
と線形独立なものが存在するので、
1つ選ぼう
;例えば
q=
0 0 1
∈Wf1(3 ;A4)
とすると
dim⟨(A4−3I3)p,q⟩R = 2となるので、所望の性質を満たしている。したがって、
qを加 えた
p=
1 0 0
, (A4−3I3)p=
−2
−4 4
,q=
0 0 1
は
(A4−3I3)に関する
Wf2(3 ;A4) =R3のジョルダン基底をなす。
したがって
P4=
(A4−3I3)p p q
=
−2 1 0
−4 0 0
4 0 1
とおくと
(並べ方に注意
!!)、
A4P4=A4(A4−3I3)p p q
=
A4(A4−3I3)p A4p A4q
=
(A4−3I3)2q
| {z }
=0
+3(A4−3I3)p (A2−3I3)p+ 3p 3q
=
(Ar−3I3)p p q
| {z }
=P4
3 1 0 0 3 0 0 0 3
=P4
3 1 0 0 3 0 0 0 3
より、左から
P4−1を掛けて
A4のジョルダン標準形
P4−1A4P4=
3 1 0 0 3 0 0 0 3
を得る。
(5) A5=
5 −6 2 −5 3 −4 3 −7
0 0 8 −18
0 0 3 −7
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA5(T) = det
5−T −6 2 −5
3 −4−T 3 −7
0 0 8−T −18
0 0 3 −7−T
= det
5−T −6 3 −4−T
·det
8−T −18 3 −7−T
={(5−T)(−4−T)−(−6)·3}{(8−T)(−7−T)−(−18)·3}
= (T2−T −2)(T2−T −2) = (T+ 1)2(T−2)2
であるから固有値は
−1と
2 (ともに
2重根
)。また、各広義固有空間は以下のようになる
;fW1(−1 ;A5) = Ker (A5+I4) = Ker
6 −6 2 −5 3 −3 3 −7 0 0 9 −18
0 0 3 −6
簡約化= Ker
1 −1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
=
s
1 1 0 0
s∈R
,
fW2(−1 ;A5) = Ker (A5+I4)2= Ker
18 −18 −3 6
9 −9 3 −6
0 0 27 −54
0 0 9 −18
簡約化= Ker
1 −1 0 0 0 0 1 −2
0 0 0 0
0 0 0 0
=
s
1 1 0 0
+t
0 0 2 1
s, t∈R
,
Wf1(2 ;A5) = Ker (A5−2I4) = Ker
3 −6 2 −5 3 −6 3 −7 0 0 6 −18
0 0 3 −9
簡約化= Ker
1 −2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
=
u
2 1 0 0
u∈R
,
Wf2(2 ;A5) = Ker (A5−2I4)2= Ker
−9 18 −15 36
−9 18 −15 36 0 0 −18 54
0 0 −9 27
簡約化= Ker
1 −2 0 1 0 0 1 −3
0 0 0 0
0 0 0 0
=
u
2 1 0 0
+v
−1 0 3 1
u, v∈R
.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
fW1(−1 ;A5)
=W(−1 ;A5) fW2(−1 ;A5)
•
• p=
0 0 2 1
(A5+I3)p=
−1
−1 0 0
先ず、
fW(−1 ;A5)のジョルダン基底を求めよう。
dimWf2(−1 ;A5)−Wf1(−1 ;A5) = 1>0
が成り立つことから、
Wf2(−1 ;A5)\Wf1(−1 ;A5)の元が存在する
ので、
1つ選ぼう
;例えば
p=
0 0 2 1
∈Wf2(−1 ;A5)\Wf1(−1 ;A5)
より、
pの生成するジョルダン鎖
p=
0 0 2 1
, (A5+I3)p=
−1
−1 0 0
は
(A5+I4)に関する
Wf(−1 ;A5)のジョルダン基底をなす。
Wf1(2 ;A5)
=W(2 ;A5) fW2(2 ;A5)
•
• q=
−1 0 3 1
(A5−2I4)q=
−2
−1 0 0
次に
Wf(2 ;A5)のジョルダン基底を求めよう。
dimWf2(2 ;A5)−dimWf1(2 ;A5) = 1>0
が成り立つことから、
Wf2(2 ;A5)\Wf1(2 ;A5)の元が存在するの
で、
1つ選ぼう
;例えば
q=
−1 0 3 1
∈Wf2(2 ;A5)\fW1(2 ;A5)
よ
り、
qの生成するジョルダン鎖
q=
−1 0 3 1
, (A5−2I4)q=
−2
−1 0 0
は
(A5−2I4)に関する
Wf(2 ;A5)のジョルダン基底をなす。
したがって
P5 = h(A5+I4)p p (A5−2I4)q q i
=
−1 0 −2 −1
−1 0 −1 0
0 2 0 3
0 1 0 1
とお
くと
(並べ方に注意
!!)、
A5P5=A5(A5+I4)p p (A5−2I4)q q
=
A5(A5+I4)p A5p A5(A5−2I4)q A5q
=
(A5+I4)2p
| {z }
=0
−(A5+I4)p (A5+I4)p−p
(A5−2I4)2q
| {z }
=0
+2(A5−2I4)q (A5−2I4)q+ 2q
=
(A5+I4)p p (A5−2I4)q q
| {z }
=P5
−1 1 0 0 0 −1 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
=P5
−1 1 0 0 0 −1 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
より、左から
P5−1を掛けて
A5のジョルダン標準形
P5−1A5P5 =
−1 1 0 0 0 −1 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
を得る。
(6) A6=
7 −1 −7 2
4 0 −2 0
10 −1 −10 2
8 0 −7 0
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA6(T) = det
×2 y+
7−T −1 −7 2
4 0−T −2 0
10 −1 −10−T 2
8 0 −7 0−T
= det
7−T −1 −7 0
4 −T −2 −2T
10 −1 −10−T 0
8 0 −7 −T
=−Tdet
7−T −1 −7 0
4 −T −2 2
10 −1 −10−T 0
8 0 −7 1
←−
×(−2)
+
(
第
4列から
−Tを括り出す
)=−Tdet
7−T −1 −7 0
−12 −T 12 0 10 −1 −10−T 0
8 0 −7 1
=−Tdet
−(T −7) −1 −7
−12 −T −12 10 −1 −(T + 10)
←−
×(−1)
+
(
第
4列で余因子展開
)=−Tdet
−(T −7) −1 −7
−12 −T 12 T + 3 0 −(T + 3)
=−T(T+ 3) det
y
+
−(T −7) −1 −7
−12 −T 12
1 0 −1
(
第
3行から
(T + 3)を括り出す
)=−T(T+ 3) det
−(T −7) −1 −T
−12 −T 0
1 0 0
=−T(T + 3) det
"
−1 −T
−T 0
#
(
第
3行で余因子展開
)=−T(T+ 3)·(−T)2=−(T + 3)T3 (
下三角行列の行列式
)であるから、固有値は
−3と
0 (3重根
)である。また、各
(広義
)固有空間は以下のよう
になる
;W(−3 ;A6) = Ker (A6+ 3I4) = Ker
10 −1 −7 2
4 3 −2 0
10 −1 −7 2
8 0 −7 3
簡約化= Ker
1 0 0 −12
0 1 0 0
0 0 1 −1
0 0 0 0
=
s
1 0 2 2
s∈R
,
fW1(0 ;A6) = KerA6= Ker
7 −1 −7 2
4 0 −2 0
10 −1 −10 2
8 0 −7 0
簡約化= Ker
1 0 0 0
0 1 0 −2
0 0 1 0
0 0 0 0
=
t
0 2 0 1
t∈R
,
fW2(0 ;A6) = KerA26= Ker
−9 0 9 0
8 −2 −8 4
−18 0 18 0
−14 −1 14 2
簡約化= Ker
1 0 −1 0
0 1 0 −2
0 0 0 0
0 0 0 0
=
t
1 0 1 0
+u
0 2 0 1
t, u∈R
,
fW3(0 ;A6) = KerA36= Ker
27 0 −27 0
0 0 0 0
54 0 −54 0 54 0 −54 0
簡約化= Ker
1 0 −1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
=
t
1 0 1 0
+u
0 1 0 0
+v
0 0 0 1
t, u, v∈R
.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
先ず、
Wf(−3 ;A6) = W(−3 ;A6)の基底として
p =
1 0 2 2
を選んでおこう
(これが
Wf(−3 ;A6)のジョルダン基底となる
)。
Wf1(−1 ;A2)
=W(0 ;A6) fW2(0 ;A6) fW3(0 ;A6)
•
•
• q=
0 1 0 0
(A2+I3)q=
−1 0
−1 0
(A+I3)2q=
0
−2 0
−1
W(0 ;A6)
dimWf3(0 ;A6)−dimWf2(0 ;A6) = 1>0
が成り立つことから、
Wf3(0 ;A6)\Wf2(0 ;A6)の元が存在する
ので、
1つ選ぼう
;例えば
q=
0 1 0 0
∈Wf3(0 ;A6)\Wf2(0 ;A6)
だから、
qの生成するジョルダン鎖
q=
0 1 0 0
,A6q=
−1 0
−1 0
, A26q=
0
−2 0
−1
は
A6に関する
Wf(0 ;A6)のジョルダン基底をなす。
したがって
P5 = hp A26q A6q q i
=
1 0 −1 0 0 −2 0 1
2 0 −1 0
2 −1 0 0
とおくと
(並べ方に注
意
!!)、
A6P6=A6
p A26q A6q q
=
A6p
|{z}
=−3p
A36q
|{z}
=0
A26q A6q
=
p A26q A6q q
| {z }
=P6
−3 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
=P6
−3 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
より、左から
P6−1を掛けて
A6のジョルダン標準形
P6−1A6P6=
−3 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
を
得る。
(7) A7=
4 −4 4 4 −8
0 1 −1 −1 0
−1 1 −1 −1 1
1 0 0 0 −1
4 −4 4 4 −8
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA7(T) = det
y+
y
+
4−T −4 4 4 −8
0 1−T −1 −1 0
−1 1 −1−T −1 1
1 0 0 0−T −1
4 −4 4 4 −8−T
= det
4−T −4 0 0 −8
0 1−T −T −T 0
−1 1 −T 0 1
1 0 0 −T −1
4 −4 0 0 −8−T
=T2det
4−T −4 0 0 −8
0 1−T 1 1 0
−1 1 1 0 1
1 0 0 1 −1
4 −4 0 0 −8−T
←−
×(−1)
+ ←−
×(−1)
+
(
第
3,4列から
(−T)を括り出す
)=T2det
4−T −4 0 0 −8
0 −T 0 0 0
−1 1 1 0 1
1 0 0 1 −1
4 −4 0 0 −8−T
=+T2det
−(T−4) −4 −8
0 −T 0
4 −4 −(T+ 8)
(
第
3,4列で余因子展開
)=−T3det
"
−(T −4) −8 4 −(T + 8)
#
(
第
2行で余因子展開
)=−T3{(T −4)(T+ 8)−(−8)·4}=−T3(T2+ 4T) =−(T+ 4)T4
であるから、固有値は
−4と
0 (4重根
)である。また、各
(広義
)固有空間は以下のよう
W(−4 ;A7) = Ker (A7+ 4I5) = Ker
8 −4 4 4 −8
0 5 −1 −1 0
−1 1 3 −1 1
1 0 0 4 −1
4 −4 4 4 −4
簡約化= Ker
1 0 0 0 −1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
=
s
1 0 0 0 1
s∈R
,
fW1(0 ;A7) = KerA7= Ker
4 −4 4 4 −8
0 1 −1 −1 0
−1 1 −1 −1 1
1 0 0 0 −1
4 −4 4 4 −8
簡約化= Ker
1 0 0 0 0
0 1 −1 −1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
=
t
0 1 1 0 0
+u
0 1 0 1 0
t, u∈R
,
fW2(0 ;A7) = KerA27= Ker
−16 16 −16 −16 32
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−16 16 −16 −16 32
簡約化= Ker
1 −1 1 1 −2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
=
t
1 1 0 0 0
+u
−1 0 1 0 0
+v
−1 0 0 1 0
+w
2 0 0 0 1
t, u, v, w∈R
.
Step 2.
ジョルダン基底と標準形
先ず、
Wf(−4 ;A7) = W(−4 ;A7)の基底として
p =
1 0 0 0 1
を選んでおこう
(これが
Wf(−4 ;A7)
のジョルダン基底となる
)。
fW1(0 ;A7)
=W(0 ;A7) Wf2(0 ;A7)
•
•
•
•
q=
1 1 0 0 0
A7q=
0 1 0 1 0
r=
2 0 0 0 1
A7r=
0
−10
1 0
次に
Wf(0 ;A7)のジョルダン基底を求めよう。
dimWf2(0 ;A7)−dimWf1(0 ;A7) = 2>0
より、
Wf2(0 ;A7)\Wf1(0 ;A7)の元で線形独立なものが
2つ存在するので、そのようなものを
1組選ぼう
;例えば
q=
1 1 0 0 0
,r=
2 0 0 0 1
は
Wf2(0 ;A7)\Wf1(0 ;A7)の元であ
り、
⟨q,r⟩R∩Wf1(0 ;A7)を満たす。したがって
q,rの 生成するジョルダン鎖
q=
1 1 0 0 0
,A7q=
0 1 0 1 0
,r=
2 0 0 0 1
,A7r=
0 0
−1 1 0
は
A7に関する
Wf(0 ;A7)のジョルダン基底をなす。
したがって
P7= hp A7q q A7r r i
=
1 0 1 0 2
0 1 1 0 0
0 0 0 −1 0
0 1 0 1 0
1 0 0 0 1
とおくと
(並べ方
に注意
!!)、
A7P7=A7p A7p q A7r r
=
A7p
|{z}
=−4p
A27q
|{z}
=0
A7q A27r
|{z}
=0
A7r
=
p A7p q A7r r
| {z }
=P7
−4 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
=P7
−4 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
より、左から
P7−1を掛けて
A7のジョルダン標準形
P7−1A7P7=
−4 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
を得る。
(8) A8=
1 −1 0 0 1
2 −4 4 −3 3
−2 0 1 3 2
−4 4 −4 7 0
2 −5 4 −3 4
Step 1.
固有値・広義固有空間の計算
特性多項式は
ΦA8(T) = det
y
+
1−T −1 0 0 1
2 −4−T 4 −3 3
−2 0 1−T 3 2
−4 4 −4 7−T 0
2 −5 4 −3 4−T
= det
y
+
1−T 0 0 0 1
2 −1−T 4 −3 3
−2 2 1−T 3 2
−4 4 −4 7−T 0
2 −1−T 4 −3 4−T
= det
1−T 0 0 0 1
1−T −1−T 4 −3 3
0 2 1−T 3 2
0 4 −4 7−T 0
1−T −1−T 4 −3 4−T
←−
×(−1)
+
←−−−−−−−
×(−1)
+
= det
1−T 0 0 0 1
0 −1−T 4 −3 2
0 2 1−T 3 2
0 4 −4 7−T 0
0 −1−T 4 −3 3−T
=−(T−1) det
−1−T 4 −3 2
2 1−T 3 2
4 −4 7−T 0
−1−T 4 −3 3−T
←−
×(−1)
+
(
第
1列で余因子展開
)=−(T−1) det
−1−T 4 −3 2
2 1−T 3 2
4 −4 7−T 0
0 0 0 1−T
= (T −1)2det
−1−T 4 −3
2 1−T 3
4 −4 7−T
←−+ (
第
4列で余因子展開
)= (T −1)2det
y
+
−1−T 4 −3 1−T 5−T 0
4 −4 7−T
= (T −1)2det
3−T 4 −3
2(3−T) 5−T 0
0 −4 7−T
←−
×(−2)
+
= (T −1)2det
3−T 4 −3
0 −(T+ 3) 6
0 −4 −(T −7)
=−(T−1)(T−3) det
"
−(T+ 3) 6
−4 −(T−7)
#
(
第
1列で余因子展開
)=−(T−1)2(T −3){(T+ 3)(T−7)−6·(−4)}
=−(T−1)2(T −3)(T2−4T + 3) =−(T −1)3(T−3)2
であるから固有値は
1 (3重根
)と
3 (2重根
)である。また、各広義固有空間は以下のよ うになる
;Wf1(1 ;A8) = Ker (A8−I5) = Ker
0 −1 0 0 1
2 −5 4 −3 3
−2 0 0 3 2
−4 4 −4 6 0 2 −5 4 −3 3
簡約化= Ker
1 0 0 −32 −1
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
=
s
3 0 0 2 0
+t
1 1 0 0 1
s, t∈R
,
