高等学校
平 成8年 度
教 育 研 究 員 研 究 報 告 書
‑
東 京 都 教 育 委 員 会
平 成8年 度 教 育 研 究 員(数 学)名 簿
班 研 究 テ ー マ 学 校 名 氏 名
都 立 城 南 高 等 学 校 上 野 裕 道 実験を通 して生徒に興味を もた 都 立 国 際 高 等 学 校 石 川 弘 明
1 せ る確 率 の 指 導 と教 材 の工 夫 一反 都 立 八 王 子 北 高 等 学 校 石 川 達 也 復試 行 の 確 率 の 理 解 を 目指 して 一 都 立 神 代 高 等 学 校 水 野 祐 子 都 立 稲 城 高 等 学 校 北 川 芳 子 都 立 富 士 高 等 学 校 小 澤 時 男 身 近 な事 象 を 題 材 と した 、指 数
都 立 文 京 高 等 学 校 廣 瀬 薫 関 数 ・対 数 関 数 の指 導 一指 数 か ら
皿 都 立 足 立 高 等 学 校 平 川 光 宣
対 数 へ の ス ム ー ズ な移 行 を 目指 し
都 立 篠 崎 高 等 学 校 森 茂
て 一 都 立 松 が 谷 高 等 学 校 高 橋 直 樹
都 立 第 一 商 業 高 等 学 校 大 井 康 道 都 立 砧 工 業 高 等 学 校 萩 原 聡
皿 具体的な作業を通 して積分と面
都 立 墨 田 工 業 高 等 学 校 横 井 雅 一 積の関係を発見させる指導
都 立 砂 川 高 等 学 校 下 寺 弘 都 立 小 平 高 等 学 校 河 野 明 夫
担 当 教育庁指導部高等学校教育指導課指導主事 吉 野 恒 夫
主 題 探 求 的思 考 や発 見 的 考 察 を通 して 生 徒 の数 学 的 イ メ ー ジを膨 ら ませ る 指 導 方 法 の工 夫
目 次
1実 験 を通 して生徒 に興 味を もたせる確率 の指導 と教材 の工夫 一 反 復試行の確率の理解 を目指 して 一
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研 究 の ね ら い
研 究 の な い よ う ・方 法 教 材 と指 導 方 法 の 工 夫
授 業 に 関 す る ア ンケ ー ト調 査 分析 と考察
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II身 近 な 事 象 を 題 材 と した 、 指 数 関 数 ・対 数 関 数 の 指 導 一・指 数 か ら 対 数 へ の ス ム ー ズ な 移 行 を 目 指 して
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は じ め に 研 究 の ね ら い 研 究 内 容 ・方 法 指 導 計 画(4時 間 分) 指導案
ワ ー ク シ ー ト の 例
授 業 に 関 す る ア ン ケ ー ト調 査 ま と あ と 今 後 の 課 題
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皿 具体 的な作業 を通 して積分 と面積の関係 を発見 させる指導
1.研 究 の ね ら い 2.研 究 内 容 ・方 法 3.教 材 ・教 具 の 工 夫
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学 習指導 案 授 業 実 践 分析 と考 察
ま と め と 今 後 の 課 題
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1実 験 を 通 して 、生 徒 に興 味 を も たせ る確 率 の指 導 と教 材 の工 夫
反復試行 の確率の理解 をめざ して
1.研 究 の ね ら い
生 徒 の 数 学 離 れ が 話 題 と な っ て か ら久 し い 。 都 立 高 校 に お け る 科 目選 択 状 況 を み て も 、 数 学 を 選 択 す る 生 徒 は 以 前 と比 べ て 減 少 し て い る 。 こ の た め 、高 等 学 校 数 学 科 で は 、数 学 へ の興 味 ・ 関 心 を 高 め 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 を 育 て る と と も に 、 そ れ ら を 活 用 す る こ と の よ さ を 認 識 さ せ る こ と が で き る よ う 、 授 業 実 践 を 通 した 、 教 材 や 指 導 方 法 の 研 究 ・工 夫 が 求 め られ て い る 。
こ の よ う な 観 点 に 立 ち 、 第1班 で は 、 高 等 学 校 で 全 員 履 修 す る科 目 で あ る 「数 学1」 の 「確 率 」 に っ い て 、 新 た な 視 点 か ら教 材 を 開 発 し、 指 導 方 法 を 研 究 す る こ と に し た 。
確 率 は 、 気 象 情 報 の 「降 水 確 率 」 な ど の よ う に 日 常 生 活 と 関 連 が 深 く、 学 習 す る こ と の 意 義 が 分 か り や す い 単 元 で あ る。 実 際 、 数 学 を 苦 手 と して い る生 徒 で も、 確 率 の 授 業 に な る と 興 味 を も っ て 取 り組 む 者 が 多 数 い る 。
本 研 究 で は 、 こ の よ う な 生 徒 の 現 状 を 踏 ま え 、 実 験 を 効 果 的 に 取 り入 れ て 、 確 率 へ の 興 味 ・ 関 心 を 高 め る と と も に 、 確 率 の 意 味 を 正 し く理 解 す る こ と が で き る よ う 、 教 材 及 び 指 導 方 法 を 工 夫 し た 。
2.研 究 の 内 容 ・方 法
高 等 学 校 で 初 め て 学 ぶ 反 復 試 行 の 確 率 が 計 算 で 求 め ら れ る こ と を 目 標 に 、 確 率 の 導 入 、 独 立 及 び 反 復 試 行 の 確 率 の 指 導 等 に つ い て 、 次 の よ う な 方 法 に よ り研 究 を 進 め た 。
(1)教 科 書 や 文 献 等 を 参 考 と し、 生 徒 が 興 味 ・関 心 を 示 す よ う な 実 験 教 材 を 工 夫 す る 。 (2)授 業 中 に 実 験 が 効 率 よ くで き る よ う に 、 ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る 。
(3)ワ ー ク シ ー トを 用 い て 、 研 究 授 業 を 行 う。
(4)確 率 の 授 業 に っ い て の ア ン ケ ー ト調 査 を 行 い 、 分 析 ・考 察 を 行 う。
3.教 材 と 指 導 方 法 の 工 夫
研 究 の ね ら い に基 づ き 、 次 の よ う な2つ の 実 験 教 材 を 工 夫 した 。 (1)王 冠 投 げ の 実 験(確 率 の 導 入)
中 学 校 数 学 と の っ な が り に 配 慮 して 、 確 率 の 導 入 は 相 対 度 数 の 安 定 性 を 確 か あ る こ と か ら 始 め る こ と と し、 そ の た め の 手 段 と して 王 冠 投 げ の 実 験 を 取 り上 げ た 。 王 冠 投 げ の 実 験 は 、 硬 貨 投 げ 、 サ イ コ ロ投 げ の よ う に 試 行 の 結 果 が 予 測 で き る実 験 と は異 な り 、 結 果 の 予 測 が で き ず 、 生 徒 に 期 待 を 抱 か せ る こ と が で き る 。
実 験 は 、1時 間 の 授 業 内 で 行 え る も の と す る た め 、 投 げ る 回 数 を 多 く し た と き に 、 実 験 者 に よ る相 対 度 数 の 差 が 小 さ く な り一 定 の 値 に 近
づ い て い く こ と(大 数 の 弱 法 則)を 確 か め る 方 法 で 行 っ た 。
実 験 は 各 班2人 で 行 い 、1人 が 王 冠 を投 げ 、 他 の1人 が ワ ー ク シ ー トに 記 入 し た 。
表 裏
薦
王 冠 は 飲 食 店 か ら譲 っ て も ら っ た も の の 中 か ら 、 で き る だ け 曲 が っ て い な い も の を 選 ん で 使 用 し た 。 ま た 、 実 験 が 手 際 よ く 行 え る よ う 、 各 班 に ワ ー ク シ ー ト2枚 と 電 卓1台 を 用 意 し た 。 ワ ー ク シ ー ト(Na1)に は 、 表 の 出 た 数 の 累 計 欄 と 相 対 度 数 の 欄 を 設 け 、 書 き 込 み な が ら 計 算 で き る よ う 工 夫 し た 。
「硬 貨 を 投 げ た と き 、 表 が 出 る 確 率 は1/2で あ る 。 で は 、 王 冠 を 投 げ た と き 、 表 が 出 る 確 率 は い く ら か 」 と い う 問 い か け か ら 授 業 を 導 入 し た 。 王 冠 の 表 裏 を 確 認 し 、 表 が 出 る 場 合 の 相 対 度 数 の 求 め 方 を 説 明 し た 後 、 何 も 置 い て い な い 机 の 上 で 王 冠 を 投 げ る 実 験 を 行 っ た 。
王 冠 投 げ は 各 班500回 ず っ 行 っ た 。 ワ ー ク シ ー ト(Na1)に 従 っ て 、 各 班 ご と に 、 王 冠 を10 回 、40回 、100回 、200回 、 及 び500回 投 げ 終 わ っ た と き の 表 が 出 た 回 数 を 確 認 し 、 相 対 度 数 を 計 算 し た 。 ま た 、 他 の 班 の 状 況 も 把 握 で き る よ う に 黒 板 の 一 覧 表 に 結 果 を 書 き 込 み 、 そ れ に 基 づ い て ワ ー ク シ ー ト(Na2)に20班 す べ て の 実 験 結 果 を 折 れ 線 グ ラ フ で 示 し た 。
実 験 結 果 は 次 ペ ー ジ の と お り で 、 実 験 回 数 が 増 え る に っ れ て 各 班 の 相 対 度 数 が0 .4に 近 づ く 様 子 が は っ き り と 読 み と れ た(4ペ ー ジ 参 照)。 こ の 結 果 か ら 、 王 冠 を 投 げ た と き に 表 が 出 る 確 率 は 概 ね0.4と 推 定 さ れ る と し て 、 こ の 時 間 の 授 業 を し め く く っ た 。
数 学 ■ ・ 革 冠 投 げ の 実 験 プ リ ン トNO.1
月 日()
実験者 年 組 番
年 組 番
氏 名 氏 名
※1.表 が 出 た ら ○ を 、 裏 が 出 た ら × を 書 き 入 れ な さ い 。 2.10回 毎 の 表 の 数 を ア の 欄 に 記 入 す る 。
3.10回 毎 の 表 の 数 を 、 次 々 に た して 、 イ の 欄 に 記 入 す る 。
4.10回 、40回 、100回 、200回 、500回 、 投 げ た と の 表 の 数 の 相 対 度 数 を 計 算 す る 。
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イ ÷40
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② ア ラ ビ ア 語 の 三 択 テ ス ト(反 復 試 行 の 確 率) 高 等 学 校 で 初 め て 学 ぶ 反 復 試 行 の 確 率 は 、 既 習 事 項 の 、 組 合 せ や 独 立 試 行 の 考 え 方 を 用 い る こ と か ら 内 容 が 高 度 に な り 、 生 徒 が 理 解 し に く い と こ ろ で あ る 。 そ こ で 、 目新 し い実 験 と して 、 右 の よ う な ア ラ ビ ア語 の 三 択 テ ス トを 実 施 す る こ と に し た 。 選 択 肢 の 中 か ら答 を 選 ぶ こ と は 、 ク イ ズ 番 組 な ど で お な じみ で あ る 。 テ ス トの 題 材 と して は 、 生 徒 が 無 作 為 に 答 を 選 ぶ よ う 、 ア
ラ ビ ア 語 を 用 い る こ と に し た 。 ま た 、 後 の 計 算 が 簡 単 で 一 般 化 が 容 易 な も の とす る た め に 、 選 択 肢 の 数 は3、 問 題 数 は5と し た 。 こ の こ と か ら 、1問 正 解 す る 確 率 は1/3、 間 違 え る 確 率 は 2/3と な る 。 さ ら に 、 そ れ ぞ れ の 問 題 に 答 え る
こ と は 独 立 な 試 行 で あ る 。
こ の テ ス ト は 、 反 復 試 行 に 入 る 直 前 の 授 業 (指 導 案 ①)の 終 了 間 際 に 、 短 時 間 で 実 施 した 。
こ れ か ら何 を す る の だ ろ う と い う期 待 感 を も っ て 、 反 復 試 行 の 学 習 に 入 っ て い け る よ う に す る た め で あ る 。
反 復 試 行 の 確 率 の 授 業 の1時 間 目 は 、5問 の 三 択 テ ス トで2問 正 解 す る確 率 を 求 め る こ と を
目標 に 展 開 し た 。(指 導 案 ②)。
反 復 試 行 の 確 率 の 授 業 の2時 間 目 は 、1学 年 全 体 の 採 点 結 果 を 基 に 作 成 し た 正 答 数 と正 答 率 の 表 を 配 布 し、 各 自 が 計 算 で 求 め た 確 率 と対 比 さ せ た 。 結 果 は 、 実 験 値 が 理 論 値 と ほ ぼ 一 致 し た 。(右 表)
次 に 、 ア ラ ビ ア語 の 三 択 テ ス トに お い て 、5 間 中1問 だ け 正 解 す る場 合 と10間 中2問 だ け 正 解 す る 場 合 と で は 、 ど ち ら が 起 こ り や す い か に っ い て 質 問 し た 。 ほ と ん ど の 生 徒 が 、 ど ち ら の 場 合 も 同 じ程 度 に 起 こ り や す い と予 想 し た が 、 そ れ ぞ れ の 確 率 を 実 際 に 計 算 し て み て 、 結 果 が 異 な る こ と に 驚 い て い た 。 そ の 後 、 練 習 問 題 を 解 か せ 、 こ れ ら を 一 般 化 し て 公 式 を 導 い た 。 (指 導 案 ③).
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ア ラ ビ ア 語 単 諮 テ ス ト を し て 一 正11F13ハイイロハ
★下 の表は先 日お こな ったア ラ ビア諮3択 単韻テ ス ト 〔全5問)の 綾 果で ある。
空 欄 を埋 め グラフ を完成 し、計算 で求 めた躍 箪 と比べて みよ う。
人 数 比 事 小 数 で衰 す と 雇鹸債(小 数 〕
正解 な し 62 b2/303 o.i7z α ノ32.
1問 正解 ioz 102/303 0,337 0,329
2問 正解 90 90/303 o.2s7 03z9
3聞 正解 42 42/303 0.重39 a,165
4間 正解 14 14/303 0,046 o,04
5問 正解 3 3/303 0,009 0,co￠
合 計 303 i 1 /
0.8
0.5
P.4
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日.2
B.1
B
ア ラビア籍 蟻語テス ト (5題 〉の結果
一 …聖論値正解 数・集計佃
指 導 案 ① 数 学1単 元:「 確 率 」(独 立 な 試 行 の 確 率) 本 時 の 目 標:独 立 な 試 行 の 確 率 を 理 解 す る。
指導 内容及 び学習活動(教 師Tの 発問 と生徒Sの 活動) 1個 の サ イ コ ロ を2回 投 げ る と き、1回 目 は3以 上 の 目が 出 て 、2回 目 は 、2以 下 の 目が 出 る確 率 を 求 め よ 。 す べ て の 場 合 を 書 き上 げ 、 全 事 象 の要 素 の 数 と、1回 目 は
3以 上 の 目が 出 て2回 目 は2以 下 の 目 が 出 る場 合 の 数 を数 え 上 げ 、 定 義 に よ り確 率 を 求 め よ う とす る。
<4x2>/(6x6)
☆指導 上の留意点 、★評 価
☆ 生徒の 発表を通 して授業 を展開す る。
★ 事 象 を 表 な ど で書 き表 し、 要 素 の 個 数 を 求 め よ う とす る。
(関 心 ・意 欲)(表 現 ・処 理)
★ 定 義 か ら確 率 を 求 め る こ とが で き る。
(知 識 ・理 解)
3以 上 の 目が 出 る確 率 、2以 下 の 目が 出 る確 率 を か けて 、 ★ これ まで に解 い た 問 題 か ら類 推 しよ う 確 率 を 求 め よ う とす る。(4/6)×(2/6)と す る。(数 学 的 な 考 え 方) Tそ れ ぞ れ の結 果 の 起 こ り方 が 互 い に 影 響 を与 え な い2っ の
の 試 行U、Vは 独 立 で あ る と い う。 こ の と き 、試 行Uで 事 象Aが 起 こ り、 試 行Vで 事 象Bが 起 こ る確 率 は、P(A)
・P(B)で あ る 。
〈練 習 問 題 を 通 して 理 解 を深 め る 〉
ア ラ ビア 語 の 三 択 テ ス トを 実 施 。
★独立 な試行の確 率が理解 で きる。
(知識 ・理解)
☆ 興 味 ・関 心 を 引 く教 材 を 用 意 す る。
指 導案② 数学1単 元:「 確率」(反 復試行 の確率、第1時 間 目)
本時の 目標:既 習の 組合せ や独立 な試 行の考 え方 を生か して、反復試行 の確率 を求め る ことがで きる。
指 導内容 及び学 習活動(教 師Tの 発問 と生徒Sの 活動) ☆指 導上の留 意点、 ★評価 導 入 課 題5問 の ア ラ ビア 語 の 三 択 テ ス トで で た らめ に答 を選 ん だ と ★課題 に積極 的に取 り組 もうとす る。
き、 次 の 確 率 を 求 め よ。 (関 心 ・意 欲)
(1)5問 と も正 解 す る(2)5問 と も間 違 え る ☆生徒 の発表 、質疑応 答を通 して課題 を
(3)5間 中2間 正 解 す る 解 決 して い く。
展 開 T1問 の三択 テス トででた らめ に答を選んだ とき正解す る確 ☆課 題が正 しく把握 で きたか留意す る。
率 を 求 め よ 。
S1/3 ★ 独 立 な試 行 で あ る こ と に 注 意 し、(1)の
T5問 と も正 解 す る確 率 を 求 め よ。 確 率 が 求 め られ る。(知 識 ・理 解)
(1/3)s=1/243aO.004
T1問 の 三 択 テ ス トで で た らめ に答 を 選 ん だ と き 間違 え る確 率 を 求 あ よ。
S1‑(1/3)=2/3 ★余 事象の確 率が求 め られ 、独 立試行 で
T5問 と も 間 違 え る 確 率 を 求 め よ 。 あ る こ と に 注 意 して(2}の確 率 が 求 あ ら
S(2/3)5=32/243≒0.132 れ る。 〈知 識 ・理 解)(表 現 ・処 理)
T初 めの2間 続 けて正解 し、残 り3問 は間違え る確率 を求 め
よ 。
S(1/3)z(2/3)a=8/243=0.033
T5間 中2問 正 解 す る の は どの よ うな 場 合 が あ る か 、 す べ て 書 き 出 して み よ う。
SA.:OOxxxAB:xQxOx ★ 内容を明確 に し、簡潔 に表現 しよう と
Az:OxQxxA,xQxxO す る。(数 学 的 な 考 え 方 、 表 現)
A9:0xxQxAe:xxOOx A4:0xxxOAs:xxOxO A5xOOxxAio:xxxOO
Tす べ て 書 き出 さ ず に 何 通 りか 分 か る方 法 は な い か 。 ☆5間 中2問 正 解 す る仕 方 は5C2通 り
SsCx あ る こ と に気 付 か せ る。
ま とあ TA.〜Aioは 同 時 に 起 こ る こ と は な い 。 ★A1〜Agoは 排 反 で あ る こ と 、 そ れ ぞ A1〜A1。 の 確 率 を 求 め る こ と に よ り、5間 中2問 正 解 す れ の 確 率 の 値 は 等 しい こ と を理 解 し、
る確 率 を 求 め よ 。 {3)の確 率 が 求 め られ る。
S5Cz(1/3)z(2/3)9=80/2430.329 (知 識 ・理 解)(表 現 ・処 理)
指導 案③ 数 学1単 元:確 率(反 復な試 行の確率 第2時 間 目)
本時 の 目標:複 数 の具体 例を通 して反復試 行の確率の 公式 を導 き、理解 を深め る。
指 導内容 及び学習 活動(教 師Tの 発問 と生 徒Sの 活動) (前 時 の 続 き)
5問 の 三 択 テ ス トで で た らめ に答 を選 ん だ と き 、次 の 確 率 を 求 め よ 。
(1)正 解 な し(2)
(4)3問 正 解 ㈲
1問 正 解(3)2問 正 解 4問 正 解 ㈲ 全 問正 解 採 点 した ア ラ ビア 語 の 三 択 テ ス トを 返 す 。
1年 全 ク ラ ス分 の 正 答 率 と計 算 の 結 果 とを 比 べ る。
(P.4参 照) 三 択 テ ス トで で た ら あ に 答 え を 選 ん だ と き、5間 中1問 正 解 す る の と10間 中2問 正 解 す る の とで は ど ち らが起 こ り や す い か 。
予 想 を 立 て て か ら計 算 して み よ う。
5C,(1/3)(2/3)'=2160/6561
>>oCz(1/3)z(2/3)e=1280/6561
練 習 問 題
(1)王 冠 を5回 投 げ た と き、2回 表 向 き にな る確 率 を 求 め よ。
(2)サ イ コ ロを4回 投 げ た と き、2回 だ け1の 目 が 出 る確 率 を 求 め よ。
公 式 を 作 ろ う
1回 の 試 行 で 事 象Aの 起 こ る確 率 をpと す る。
この 試 行 をn回 繰 り返 す と き、 事 象Aがr回 起 こる 確 率 は nCrP「(1̲p)n‑「
☆指導 上の留 意点、 ★評価
☆生徒 との質疑応 答を通 して前時 を復習 しなが ら解決 してい く。
★理論 値 と実験値 が ほぼ一致す る ことが 理解 で きる。(知 識 ・理解)
★問題 数を増 や した らど うな るか考え る こ とがで きる。(数 学的 な考え方)
☆ 予 想 を 立 て る こ と と 、 結 果 が ど う な る か と い う こ と に っ い て 考 察 さ せ る。
★ 王 冠 を 投 げ た と き 、 表 向 き に な る確 率 が0.4で あ る こ と を 活 用 し、練 習 問 題 の 確 率 を求 め る こと が で き る。
(知 識 ・理 解)(表 現 ・処 理)
★課 題、練 習問題の類 似 に気付 き、 一般 化 して簡潔 に表現 しよ うとす る。
(数学的 な考え方)
以 下 は 、3校643人 に ア ラ ビ ア 語 の 三 択 テ ス トを 実 施 し た 結 果 で あ る 。
アラ ビア語単語テス ト (5題)の 結果
紫
日.6
0.5
臼.4
ｺ,
0.2
e.1
臼
正解なし 1問 正解2問 正擁 3問 正解 4問 正解 全問正鯖
正 解 数
一 理 論 値 ・…・集 計 値
4.授 業 に 関 す る ア ン ケ ー ト調 査
実 験 を 取 り入 れ た 今 回 の 確 率 の 授 業 に つ い て 、 生 徒 が ど れ だ け 興 味 を も っ て 取 り組 む こ と が で き た か を 、 授 業 実 践 を 行 っ た ク ラ ス で ア ン ケ ー ト調 査 した(94名)。 そ の 結 果 は 以 下 の と お り で あ る 。
(1)王 冠 投 げ の 実 験 に つ い て
は い い い え ど ち らで もな い
興 味 を も って 実 験 に取 り組 ん だ か 45人 20人 29人
実 験 の 記 録 用 紙 は使 い や す か った か 41 13 4a
実験 結 果 の グ ラ フは見 や す か った か 52 14 28
相 対 度 数 が 一 定 の値 に近 づ くこ とを 実 感 で きた か 72 8 Z4
(2)ア ラ ビ ア 語 の 三 択 テ ス ト に っ い て
は い い い え どち らで もな い
興 味 を も って テ ス トに 取 り組 ん だ か 43人 28人 23人
5間 中2問 正 解 す る確 率 の求 め方 を 理 解 で きたか 64 12 1$
反復試行の確率を理解できたか 45 17 32
(3)確 率 の 授 業 に つ い て
は い い い え ど ち らで もな い 実 験 を 取 り入 れ た確 率 の授 業 に興 味 を もて た か 49人 13人 32人
(4)確 率 の 授 業 を 終 え て の 生 徒 の 感 想
○ た く さ ん の 班 で 行 う と 本 当 に 一 定 の 値 に近 づ い て 、 と て も 驚 い た 。
○ 話 を 聞 い た り ノ ー トに書 くだ け で は な く、 授 業 に変 化 が あ っ て よ か っ た 。
○ 王 冠 投 げ は疲 れ た け れ ど 、 実 験 を 取 り入 れ る と理 解 しや す い 。
○ 実 験 を す る こ と に よ り、 確 率 の 計 算 結 果 が 実 感 で き て よ か っ た 。
○ 授 業 内 容 は理 解 で き た が 、 実 験 を 行 う の は 時 間 の 無 駄 に 思 え た 。
○ 実 験 で 結 果 が 出 た 後 少 し確 率 が 分 か っ た 気 が し た け れ ど 、 問 題 を 解 こ う と す る と ま た 分 か ら な く な っ た 。
○ 普 段 の 何 気 な い 生 活 の 中 に も 、 確 率 を 応 用 で き る事 柄 が あ る こ と が 分 か っ た 。
○ 確 率 は 日常 生 活 で も使 え る数 学 だ と 思 っ た 。
○ 計 算 が 複 雑 な 訳 で は な い け れ ど 確 率 は難 し い 。
以 上 の ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果 か ら、 実 験 を 取 り入 れ た 授 業 は概 ね 好 評 で あ った と考 え られ る。
一 方 で 、 単 調 な王冠 投 げの 実 験 に飽 きた とか 、実 験 は必 要 な い ので は な いか とい っ た率 直 な 意 見 や 、 実 験 を 介 して も な お 確 率 の 難 し さ は 残 っ た と い う感 想 も あ り 、 確 率 の 指 導 の 在 り方 を 考
え る 上 で の 参 考 と な っ た 。
5.分 析 と 考 察
(1)王 冠 投 げ の 実 験 はA校1ク ラ ス を 含 む3校5ク ラ ス で 実 施 し た(A校 で の 実 験 結 果 を4 ペ ー ジ で 紹 介)。 答 の な い 実 験 で 不 安 は あ っ た が 、実 験 回 数 が増 え る に した が っ て 、 各 班 の 相 対 度 数 の 差 が 小 さ く な っ た 。 ま た 、20の 班 の 相 対 度 数 を 折 れ 線 グ ラ フ で 示 し た こ と に よ り 、 生 徒 一 人 一 人 が 各 班 の 状 態 を 視 覚 的 に と らえ る こ と が で き た 。 こ の 点 は 、 ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果 か ら も伺 わ れ 、 王 冠 を 用 い た 実 験 が 、 相 対 度 数 の 安 定 性 を 確 か め る の に 効 果 的 で あ る こ と が 分 か っ た 。
ワ ー ク シ ー トの 構 成 を 、1時 間 の 授 業 で グ ラ フ の 作 成 ま で 終 え られ る よ う工 夫 した た あ 、 実 験 前 の 口頭 に よ る 注 意 、 説 明 は 最 小 限 の 時 間 で 済 ま す こ と が で き た 。 一 方 、 毎 回 の 試 行 結 果 を シ ー トに 書 き 込 あ ば 手 計 算 で ま と め られ る と こ ろ を 、 そ の 手 順 を 踏 ま ず に500回 続 け て 王 冠 を 投 げ て し ま い 、 累 計 欄 を 使 用 し な い 班 が あ っ た 。 累 計 欄 は 作 業 の 効 率 化 を 図 る と 共 に 集 計 上 の 誤 り を 減 らす 目 的 も あ っ た 。 ま た 、 点 検 す る と き に は 、相 対 度 数 が 標 準 的 な 値 か ら か い 離 して い る 箇 所 に 注 意 す れ ば よ く、 こ こ で も ワ ー ク シ ー トは 有 用 で あ っ た 。 な お 、 実 験 前 に 、 表 が で る 確 率 は1/2で あ る と予 想 した 生 徒 が 、 ど の 学 校 で も3割 程 い た こ と は 興 味 深 い こ と で あ る 。
(2>ア ラ ビ ア 語 の 三 択 テ ス トは 問 題 の プ リ ン トを1枚 用 意 し さ え す れ ば5分 程 で で き るの で 、 他 の ク ラ ス の 数 学 担 当 者 の 協 力 も 得 や す く、 十 分 な 標 本 数 を 容 易 に 確 保 す る こ と が で き る。
反 復 試 行 の 実 験 を 授 業 で 行 う の は初 あ て で あ り、 採 点 を し な が ら予 想 通 り の 結 果 が で る か ど うか 不 安 で あ っ た が 、 実 験 値 と理 論 値 が ほ ぼ 一 致 し、 当 然 の 結 果 と は い え 安 堵 した 。
反 復 試 行 の 確 率 は 、 生 徒 が っ ま ず き が ち な と こ ろ で あ る 。 ア ラ ビ ア 語 の 三 択 テ ス トを 実 施 し た と き 、 「ど う せ 確 率 の 問 題 で し ょ」 と い う声 も あ っ た が 、 生 徒 の 関 心 を 引 き っ け る こ と が で き た と い う手 応 え が あ っ た 。 そ の 後 の 学 習 に 主 体 的 に取 り 組 む き っか け を 与 え る こ と が で き た の で は な い か と思 う。 た だ 、 ア ラ ビ ア 語 の 三 択 テ ス トの 実 験 結 果 に 対 す る 生 徒 の 反 応 は 、 教 師 が 期 待 し た ほ ど で は な か っ た 。 小 数 点 以 下 の数 字 の 違 い が 目 に っ い た こ
と が 原 因 で あ っ た よ うで あ る 。 王 冠 投 げ の 実 験 の 時 の よ う に 、 直 接 グ ラ フ に 書 き 込 ま せ た 方 が よ か っ た の か も しれ な い 。
そ れ に 比 べ 、10間 中2問 正 解 す る 場 合 の 方 が5間 中1問 正 解 す る場 合 よ り確 率 が 低 く な る こ と は 、 生 徒 に ど っ て 大 変 印 象 的 で あ っ た よ う で あ る 。 こ の こ と は 、 問 題 数 が 増 え る と ど う な る か と い う こ と に っ い て 、 発 展 的 に 考 え る契 機 に も な っ た の で は な い か と思 わ れ る。
6.ま と め
数 式 が 思 考 の 手 助 け と な る解 析 や 代 数 と異 な り 、 高 等 学 校 で の 順 列 組 合 せ や 確 率 の 学 習 は 、 計 算 に取 り掛 か る 前 に 論 理 的 な 思 考 を 要 求 さ れ る た あ 、 多 く の 生 徒 が 難 し い と感 じ る単 元 で あ る 。 本 研 究 で は 、 確 率 の 授 業 を 進 め る に 当 た り、 生 徒 の 興 味 ・関 心 を 引 き っ け 、 理 解 を助 け る こ と を 意 図 して 実 験 を 取 り入 れ た 。 も と よ り、 数 学 の 一 分 野 で あ る確 率 は 実 験 科 学 で は な く、
実 験 で 検 証 す れ ば よ い と い う も の で は な い 。 ま た 、 実 験 そ の もの は 息 抜 き の よ う で 楽 し い が 、 何 を 目 的 と して 実 験 を 行 っ て い る の か 分 か ら な い よ うで は 、 そ の 意 義 は 無 に 帰 して し ま う 。 こ れ ら の こ と を 踏 ま え た上 で 、 本 研 究 の 目 標 は ほ ぼ 達 せ ら れ た と思 わ れ る 。
II身 近 な事 象 を題 材 と した 、指 数 関数 ・対数 関数 の 指 導
一 指数か ら対数への スムー ズな移行 を 目指 して 一
1.は じめ に
科 学 技 術 の 発 展 や 情 報 化 の 進 展 な ど社 会 状 況 が 大 き く変 化 す る 中 で 、 様 々 な 分 野 に お い て 、 数 学 的 な 思 考 の 重 要 性 が 再 認 識 さ れ て い る 。 こ の た め 、 数 学 教 育 に お い て は 、 論 理 的 な 思 考 力 や 直 感 力 を 育 成 し 、 事 象 を 数 学 的 に 考 察 し処 理 す る能 力 や 態 度 を 育 て る こ と が 求 あ られ て お り 、 各 高 等 学 校 で は 、 生 徒 の 実 態 に 応 じて 、 教 材 や 指 導 内 容 。方 法 の 工 夫 を 図 る こ と が 必 要 と な っ て い る 。
こ の よ う な 観 点 に 立 っ て 、 本 研 究 で は 「数 学 皿」 の 「指 数 関 数 ・対 数 関 数 」 を 学 習 す る に 当 た り 、 自 然 現 象 や 社 会 現 象 に 見 られ る 指 数 的 ・対 数 的 な 事 象 を 題 材 と し て 取 り上 げ 、 指 数 関 数 か ら対 数 関 数 へ の 移 行 が ス ム ー ズ に 行 わ れ る よ う、 教 材 や 指 導 方 法 を 工 夫 した 。
2.研 究 の ね ら い
指 数 に っ い て は様 々 な 具 体 的 事 例 が あ り 、 導 入 に 際 して そ の 概 念 は ほ と ん ど 問 題 な く受 け 入 れ られ て い る が 、 対 数 に つ い て は 、 多 くの 教 科 書 が 指 数 の 逆 演 算 に よ り定 義 し、 導 入 と し て い
る た め 、 具 体 的 な イ メ ー ジ を 想 起 す る こ と が 難 し い 状 況 が あ る 。
学 習 指 導 要 領 に よ る と 、 逆 関 数 は 「数 学 皿 」 に お い て 取 り扱 わ れ る こ と に な っ て お り 、 「数 学II」 の 対 数 関 数 の 学 習 に お い て も指 数 関 数 の 逆 関 数 と して で は な く、 単 な る 式 変 形 と して 、 y=logaxはx=aYで あ る と して い る 。 そ こで 、 本 研 究 に お い て は 、 生 徒 が 対 数 の 学 習 に 意 欲 的 に 取 り組 み 、 自 ら対 数 の 必 要 性 や 法 則 を 発 見 す る よ う な 授 業 を 展 開 す る た あ に 、 具 体 的 で わ か り
や す い 事 例 を 題 材 と して 使 用 す る こ と に し た 。 実 際 の 授 業 で は ワ ー ク シ ー トを 活 用 し 、 生 徒 一 人 一 人 が 自 ら の 発 想 を 生 か す と と も に 、 教 師 と の コ ミzニ ケ ー シ ョ ン を 通 して 、 内 容 に っ い て
の 理 解 を 深 め る こ とが で き る よ う指 導 方 法 を 工 夫 し た 。 研 究 を 進 め る に 当 た って は 、 次 の 点 を ね ら い と し た 。
(1)具 体 的 事 例 を 用 い て 、 指 数 的 な 対 応 に 対 して 対 数 的 な 対 応 を 発 見 さ せ る 。 (2>具 体 的 モ デ ル を 利 用 して 、logxの 導 入 と底 の 必 要 性 を 理 解 さ せ る 。
(3)導 入 で 用 い た モ デ ル を そ の ま ま 利 用 して 、 対 数 の 性 質 も導 け る こ と を 理 解 さ せ る 。
3.研 究 の 内 容 ・方 法
対 数 の 導 入 で は 、 対 数 を 指 数 の 逆 演 算 と して 定 義 し、 具 体 的 事 例 を 用 い て の 説 明 を し な い ま ま 、 式 変 形 や 計 算 の 練 習 に の み 陥 りが ち で あ る 。 そ の た め 、 対 数 的 に 変 化 す る事 例 が 身 近 に 多 く あ る に もか か わ ら ず 、 対 数 本 来 の 意 味 や 必 要 性 を 理 解 で き な い ま ま 通 り過 ご して し ま う場 合 が 多 く見 受 け ら れ る 。
そ こ で 、 対 数 の 意 味 や 必 要 性 を 自 ら発 見 し理 解 す る と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 を 培 う こ と の で き る教 材 を 以 下 に3通 り あ げ る こ と に す る 。
(1)指 数 と対 数 の 関 係 を 説 明 す る た め の 具 体 的 事 例
事 例 内 容 指 数 関 数1 対 数 関 数
巻 き貝 の曲 線 (オ ウ ム貝 等)
巻 き貝 の 曲線 が1回 転 す る こ との 中心 か らの成 長 曲線 の距 離
x回 転 した と きの 中 心 か らの距 離 をyと す る と
y=3=I
l
中 心 か ら の 距 離 がxの と き 回 転 数 をyと す る と 拶一log,x
新 聞 紙 の 厚 さ 厚 さ1㎜ の新 聞紙 を次 々 と折 り曲 げ た と きの紙 の 厚 さ
x回 折 り 曲 げ た と き の 新 聞 紙 の 厚 さ を 〃㎜ と す る と 〃=2=
厚 さxmmの と き に 折 り 曲 げ た 回 数 をyと す る と y=璽092x
細菌の増殖 1時 間 毎 に増 殖 す る細 菌 の量
x時 間 後 の 細 菌 の 量 をg と す る とy‑Qニ
量 がxに な る ま で の 時 間 をyと す る と
y=logex
こ の 他 に も様 々 な 事 例 が 考 え ら れ る が 、 今 回 の 研 究 で は 、 以 下 の 理 由 か ら 「細 菌 の 増 殖 」 を 使 っ て 指 導 を 行 う こ と に し た 。
① 指 数 関 数 と の 関 連 か ら連 続 的 に 変 化 す る もの が 望 ま し く、 指 数 と して 分 数 や 負 の 数 を 利 用 す る こ と が で き る 。
② 増 殖 率 の 定 義 の 仕 方 に よ り、 底 が 自 由 に 変 え られ る た め 、 底 の 必 要 性 を 認 識 さ せ る こ と が で き る 。
② 指 導 法 の 研 究
次 の よ う な ね ら い に 基 づ き ワ ー ク シ ー トを 作 成 した 。
① 対 応 表 を 自 ら作 成 す る こ と に よ り 、 時 間 と量 の 関 係 を イ メ ー ジ さ せ る 。
② 「細 菌 の 増 殖 」 と い う 具 体 的 な 事 例 を 用 い て 、 時 間 か ら量 へ の 指 数 的 な対 応 に 対 して 、 逆 に 、 量 か ら時 間 へ の 対 数 的 な 対 応 を 発 見 さ せ る 。
③ 指 数 的 に 変 化 す る 細 菌 の 増 殖 の 時 間 と量 を 逆 に 考 え る こ と に よ り、 対 数 の 必 要 性 を 実 感 さ せ 、 対 数 記 号10gを 導 入 す る 。
④ 細 菌 の 増 殖 率 が わ か り や す い10倍 モ デ ル や2倍 モ デ ル を 合 わ せ て 利 用 し 、 底 の 必 要 性 を 発 見 さ せ る 。
⑤ 対 数 の 導 入 で 用 い た 対 応 表 か ら対 数 の 性 質 を 発 見 さ せ る 。 ま た 、 指 導 に あ た っ て は以 下 の 点 に 配 慮 した 。
ア 細 菌 の 増 殖 が 時 間 と と も に 連 続 的 に 増 え 続 け る も の で あ る こ と を 実 感 さ せ る 。
イ 対 応 表 を 作 成 す る際 、30分 後 や1時 間 前 を 考 え さ せ る こ と に よ り、 指 数 の 分 数 や 負 の 数 の 存 在 を 実 感 さ せ る 。
ウ 底 を 意 識 せ ず に 対 数 記 号logを 導 入 す る た め に 、 底 を 省 略 し た常 用 対 数 が 利 用 で き る 、 1時 間 に10倍 に 増 殖 す る細 菌 の 例 を 考 え る 。
