2 非自励なロジスティック方程式とその解

非自励なロジスティック方程式が 単調増加解をもつための必要十分条件

Necessary and Sufficient Conditions for Increasing Solutions of Non-autonomous Logistic Equations

非線形解析研究室 V09033 染谷 裕太 指導教員 竹内 慎吾 准教授

1 初めに

ロジスティック方程式は様々な分野で応用されている 有名な微分方程式であり，初期値が小さい場合は解が単 調増加関数になる性質を持っている．この方程式を一 般化すると，解が単調増加関数になる場合とならない場 合がでてきた．そこで，解が単調増加関数になるための 条件を見つけ，方程式を解かなくても判定できるように した．

2 非自励なロジスティック方程式とその解

通常のロジスティック方程式は次の形で表せる．

y^′(t) =ky(t) (

1−y(t) a

)

．

ここで，aは環境収容力とよばれる正定数，kは成長率 とよばれる定数である．以下では簡単のため，k= 1と する．この解は求積法で得られ，

y(t) = e^t

1

a(e^t−1) + _y¹

0

，(y₀=y(0))

となる．0< y0< aのとき，この解はy(t)< aかつ単 調に増加し，t→ ∞^のときaに収束する．

本研究では環境収容力aを正値関数a(t)に一般化し た非自励なロジスティック方程式

y^′(t) =y(t) (

1−y(t) a(t) )

(1)

を考える．

Mapleを用いて(1)の解のグラフを描いてみる．図

１はa(t) =t³−2.5t²+ 6とし，初期値をy0= 1，2，3， 4，5と設定したときの(1)の解のグラフである．

図1からわかるように，初期値y0の値によって，解 y(t)がa(t)と交わらない場合(y0 = 1，2)と交わる場 合(y0= 3，4，5)がある．後者は通常のロジスティック 方程式では見られない現象である．

図1 a(t) =t³−2.5t²+ 6 (^青)^と解y(t) (^太線)

そこで以下では，(1)の解が単調増加関数であるため のa(t)とy0に関する条件を考える．

3 十分条件

まず，y(t)が単調増加関数になるためのa(t)とy0の 十分条件を考えてみよう．以下，0< y0< a(0)とする．

z(t) =a(t)−y(t)とおくと，(1)は z^′(t) +z(t) =a^′(t) +z(t)²

a(t) となる．したがってa^′(t)>0を仮定すると，

z^′(t) +z(t)>0．

両辺にe^tをかけ，0からtまで積分すると，

z(t)> z(0)e^−t．

ゆえに，z(t) = a(t)−y(t)>0．また(1)の解y(t)は 正なので，

y^′(t) =y(t) (

1−y(t) a(t)

)

>0．

以上より「0 < y0 < a(0)かつa^′(t) >0」ならば，解 y(t)は単調増加関数になることがわかった．

4 ^{必要十分条件}

y(t)が単調増加関数であるためのa(t)とy0の十分条 件として「0 < y0 < a(0)かつa^′(t)>0」が得られた．

実は次の必要十分条件が得られる．

定理

a(t)はt≥0においてC¹級の正値関数とする．微 分方程式の初期値問題

y^′(t) =y(t) (

1−y(t) a(t) )

，

y(0) =y0>0

の解y(t)について，次が成り立つ．

任意のt >0に対して，次の３つは同値．

(i)y^′(t)>0 (ii) 0< y(t)< a(t) (iii) 1

y0

> 1 a(0) −

∫ t 0

a^′(s)e^s a(s)² ds

系１．解y(t)について，次が成り立つ．

任意のt >0に対して，次の３つは同値．

(i)y^′(t) = 0 (ii)y(t) =a(t) (iii) 1

y0

= 1

a(0)−

∫ t 0

a^′(s)e^s a(s)² ds

系２．解y(t)について，次が成り立つ．

任意のt >0に対して，次の３つは同値．

(i)y^′(t)<0 (ii)y(t)> a(t) (iii) 1

y0

< 1 a(0)−

∫ t 0

a^′(s)e^s a(s)² ds

5 定理の適用例

定理の(iii)の右辺の関数を補助関数とよび，

A(t) = 1 a(0)−

∫ t 0

a^′(s)e^s a(s)² ds

と表すことにする．

a(t) =t³−4t²+ 10，y₀= 5として，定理を適用する．

図2が ¹

y0 = ¹₅ = 0.2とA(t)のグラフである．¹

y0 と A(t)が交わっており，その交点をt₁，t₂(0 < t₁ < t₂) とする．0< t < t1またはt2< tのときは_y¹

0 > A(t)な ので定理の(iii)が成り立つ．よって定理によればこれ らの区間においてy(t)は(i)より増加し，(ii)からa(t) より小である．

図３はa(t)とy(t)のグラフであるが，これらの区間 では確かにそうなっていることが見て取れる．

同様に図２からt₁ < t < t₂では _y¹

0 < A(t)なので系

２の(iii)が成り立つ．よって系２によれば，この区間

においてy(t)は(i)より減少し，(ii)からa(t)より大で ある．

図３を見ると確かにそうなっている．

図2 _y¹

0 とA(t) (^緑の破線)

図3 a(t)^とy(t) (^太線)

6 成長率 k(t)

以上では簡単のためにk= 1として扱ってきたが，k も成長率という役割がある．しかし，心配はいらない．

kを関数として一般化した方程式

y^′(t) =k(t)y(t) (

1−y(t) a(t)

)

，k(t)>0

に対しても，(1)のときと同様にして，本定理に対応す る結果が得られる．

7 結論

非自励なロジスティック方程式の解は複雑になること もあるだろう．しかし，その方程式を解かなくても定理 によって，初期値y0と補助関数A(t)の大小関係，交点 を調べることで，解y(t)とa(t)の大小関係と交点，ま た解y(t)の増減を決定することができるようになった．

参考文献

[1] 佐藤 總夫, 自然数理と社会の数理Ｉ, 日本評論社, 1984.

[2] デヴィッド・バージェス/モラグ・ボリー著, 垣田 高夫/大町 比佐栄 訳,

微分方程式で数学モデルを作ろう,日本評論社, 1971