基礎数学 II – 練習問題

基礎数学 II – ^練習問題

2008

年後期

,

西岡

^*1

•

この練習問題および講義に関して疑問が有る場合は

,

そのままにせず

,

質問をすること

^*2 .

1

^指数関数

,

^対数関数

1.1

^問題

練習問題

1.1.

次の式を簡単にせよ

.

(i) log ₂ 6 − log ₂ 3, (ii) log ₃ 54

5 − log ₃ 10 + log ₃ 25 3 , (iii) − 7 log ₂ 15

16 − 5 log ₂ 24

25 + 3 log ₂ 81

80 , (iv) log ₃ 10 log ₁₀₀ 3.

練習問題

1.2. log ₅ 3

は無理数であることを証明せよ

.

1.2

解答

[

練習問題

1.1

解答

] (i) log ₂ 6 − log ₂ 3 = log ₂ 2 = 1.

(ii) log ₃ ⁵⁴ ₅ − log ₃ 10 + log ₃ ²⁵ ₃ = log ₃ 54 5 · 1

10 · 25

3 = log ₃ 9 = 2.

(iii) 15 = 3 · 5, 16 = 2 ⁴ , 24 = 3 · 2 ³ , 25 = 5 ² , 81 = 3 ⁴ , 80 = 2 ⁴ · 5

を使う

:

− 7 log ₂ 15

16 − 5 log ₂ 24

25 + 3 log ₂ 81

80 = log ₂ ¡ 2 ^{4 · 7}

3 ⁷ · 5 ⁷ · 5 ^{2 · 5}

3 ⁵ · 2 ^{3 · 5} · 3 ^{4 · 3} 2 ^{4 · 3} · 5 ³

¢ = log ₂ 2 = 1.

(iv) log ₃ 10 log ₁₀₀ 3 = log 10

log 3 · log 3

log 100 = log 10

log 3 · log 3 2 log 10 = 1

2 , [

練習問題

1.2

解答

]

背理法で証明する

.

log ₅ 3

が有理数だとすると

,

ある既約な整数

j, k (j/k > 0)

があり

log ₅ 3 = j

k → log 3 log 5 = j

k → k log 3 = j log 5 → 3 ^k = 5 ^j .

ここで 左辺は

3

で割り切れるから

,

右辺

5 ^j

も

3

で割り切れなければならない

.

これは不可能なので

, log ₅ 3

は無理数

.

2

不定積分

,

定積分

2.1

問題

練習問題

2.1.

次の不定積分を計算せよ

. (i) Z

(x + 3) ³ dx, (ii) R

(4x + 2) ⁴ dx, (iii)

Z

(4x ³ + 3x ² ) (x ⁴ + x ³ + 4) ⁵ dx, (iv)

Z x ⁵ 1 + x ⁶ dx.

*1

2

号館

11

階

38

号室,

nishoka@tamacc.chuo-u.ac.jp, http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/

*2オフィス・アワーは「通常:水曜

4

限」+「01/23(金), 4限」

1

練習問題

2.2.

次の不定積分を計算せよ

. (i)

Z x √

x + 3 dx, (ii)

Z e ^x

e ^x + 2 dx (iii) Z

x e ^x dx

(iv) Z

x ² e ^x dx, (v) Z ¡ log x ¢ 2

dx, (vi)

Z log x x dx.

練習問題

2.3.

次の不定積分を計算せよ

. (i)

Z 1

x(x + 1) dx, (ii)

Z 1

1 + e ^x dx, [

ヒント

: e ^x = t

とおく

].

練習問題

2.4.

次の定積分を計算せよ

. (i)

Z 1 0

(3x + 1) ^3/2 dx, (ii) Z 2

0

x

1 + x ² dx, (iii) Z 3

0

x √

1 + x dx, (iv)

Z e 1

log x

(1 + x) ² dx, [

ヒント

: − ( 1

1 + x ) ^′ = 1 (1 + x) ² ].

2.2

解答

[

練習問題

2.1

解答

] (i) t ≡ x + 3

とおいて変数変換

, Z

(x + 3) ³ dx = Z

t ³ dx dt dt =

Z

t ³ dt = t ⁴

4 + C = (x + 3) ⁴ 4 + C.

(ii) t ≡ 4x + 2

とおいて変数変換

, Z

(4x + 2) ⁴ dx = Z

t ⁴ dx dt dt =

Z

t ⁴ 1 (dt/dx) dt

= Z

t ⁴ 1

4 dt = t ⁵

20 + C = (4x + 2) ⁵ 20 + C.

(iii) t ≡ x ⁴ + x ³ + 4

とおいて変数変換

, Z

(4x ³ + 3x ² ) (x ⁴ + x ³ + 4) ⁵ dx = Z

t ⁵ (4x ³ + 3x ² ) dx dt dt

= Z

t ⁵ (4x ³ + 3x ² ) 1

(dt/dx) dt = Z

t ⁵ (4x ³ + 3x ² ) 1

(4x ³ + 3x ² ) dt

= Z

t ⁵ dt = t ⁶

6 + C = (x ⁴ + x ³ + 4) ⁶

6 + C.

(iv) t ≡ x ⁶ + 1

とおいて変数変換

, Z x ⁵

1 + x ⁶ dx = Z x ⁵

t dx

dt dt = Z x ⁵

t 1 (dt/dx) dt

= Z x ⁵

t 1

6x ⁵ dt = 1 6

Z 1

t dt = log | t |

6 + C = log(x ⁶ + 1)

6 + C.

[

練習問題

2.2

解答

] (i) t ≡ √

x + 3

とおいて変数変換

.

まず

t ² = x + 3 → x = t ² − 3.

Z x √

x + 3 dx = Z

(t ² − 3) t dx dt dt =

Z

(t ² − 3) t 2t dt = Z

(2t ⁴ − 6t ² ) dt = 2t ⁵

5 − 2t ³ + C

= 2t ³ ¡ t ² 5 − 1 ¢

+ C = 2

5 (x + 3) ^3/2 (x − 2) + C.

(ii) t ≡ e ^x + 2

とおいて変数変換

. Z e ^x

e ^x + 2 dx = Z e ^x

t dx

dt dt = Z e ^x

t 1

(dt/dx) dt = Z e ^x

t 1 e ^x dt

= Z 1

t dt = log | t | + C = log(e ^x + 2) + C.

2

(iii)

部分積分を使う

: Z

x e ^x dx = Z

x ¡ e ^x ¢ _′

dx = x e ^x − Z

(x) ^′ e ^x dx = x e ^x − Z

e ^x dx = x e ^x − e ^x + C.

(iv)

部分積分を使う

: Z

x ² e ^x dx = Z

x ² ¡ e ^x ¢ _′

dx = x ² e ^x − Z

(x ² ) ^′ e ^x dx = x ² e ^x − 2 Z

x e ^x dx

= x ² e ^x − 2

³

x e ^x − e ^x ¢

+ C = e ^x ¡

x ² − 2x + 2 ¢ + C.

ここで

,

最後から

2

番目の等式には

(iii)

を使った

. (v) x = e ^t

とおいて変数変換

.

Z ¡ log x ¢ 2

dx = Z ¡

log e ^t ¢ 2 dx dt dt =

Z

t ² e ^t dt = e ^t ¡

t ² − 2t + 2 ¢ + C

= x ©

(log | x | ) ² − 2 log | x | + 2 ª + C.

ここで 最後から

2

番目の等式には

(iv)

を使った

. (vi) x = e ^t

とおいて変数変換

.

Z log x x dx =

Z log e ^t e ^t

dx dt dt =

Z t

e ^t e ^t dt = Z

t dt = t ²

2 + C = (log | x | ) ² 2 + C.

[

練習問題

2.3

解答

] (i)

次の式変形を使う

: 1

x(x + 1) = 1 x − 1

x + 1 .

これより

Z 1

x(x + 1) dx = Z ¡ 1 x − 1

x + 1

¢ dx = Z 1

x dx −

Z 1

x + 1 dx = log | x | − log | x + 1 | + C

= log ¯¯ x

x + 1 ¯¯ + C.

(ii) e ^x = t

とおいて変数変換

.

Z 1

1 + e ^x dx =

Z 1

1 + t dx

dt dt =

Z 1

1 + t 1 dt/dx dt =

Z 1

1 + t 1 e ^x dt =

Z 1

1 + t · 1 t dt

=

Z 1

t(t + 1) dt = log ¯¯ t

t + 1 ¯¯ + C = log e ^x e ^x + 1 + C.

ここで

,

最後から

2

番目の等式には

(i)

を使った

.

[

練習問題

2.4

解答

] (i) t = 3x + 1

とおき

,

変数変換

: x = 0

のとき

t = 1, x = 1

のとき

t = 4

だから

Z 1

0

(3x + 1) ^3/2 dx = Z 4

1

t ^3/2 dt = h 2

5 t ^5/2 i 4

t=1

= 62 5 . (ii) t = x ² + 1

とおき

,

変数変換

: x = 0

のとき

t = 1, x = 2

のとき

t = 5

だから

Z 2 0

2x 1 + x ² dx =

Z 5 1

x t

1 dt/dx dt =

Z 5 1

2x t

1 2x dt =

Z 5 1

1 t dt

= h

log | t | i 5 t=1

= log 5 − log 1 = log 5.

3

(iii) t ≡ √

1 + x

とおいて変数変換

.

まず

t ² = x + 1 → x = t ² − 1.

また

x = 0

のとき

t = 1, x = 3

のとき

t = √

3 + 1 = 2

だから

Z 3

0

x √

x + 1 dx = Z 2

1

(t ² − 1) t dx dt dt =

Z 2 1

(t ² − 1) t 2t dt = Z 2

1

(2t ⁴ − 2t ² ) dt

= h 2t ⁵

5 − 2t ³ 3

i 2

t=1 = 116 15 . (iv)

部分積分を使う

:

Z e 1

log x

(1 + x) ² dx = − Z e

1

log x ¡ 1 1 + x

¢ _′ dx =

h − log x 1 + x

i e x=1

+ Z e

1

¡ log x ¢ _′ 1 1 + x dx

= − 1 1 + e +

Z e 1

1

x(1 + x) dx = − 1 1 + e +

h

log ¯¯ x 1 + x ¯¯i ^e

x=1

= − 1

1 + e + log e

1 + e − log 1

2 = − 1

1 + e + log e

1 + e + log 2.

ここで 最初から

4

番目の等式には 練習問題

2.3 (i)

をつかった

.

3

^{微分方程式}

練習問題

3.1.

次の微分方程式の解をもとめよ

. (i) dy

dx = 4 y, (ii) dy

dx = (x + 1) y, (iii) dy

dx = x ² + x.

[

練習問題

3.1

解答

] (i)

式変形

1 y

dy dx = 4.

両辺を

x

で積分して

log | y | =

Z 1 y dy =

Z 1 y

dy dx dx =

Z

4 dx = 4x + C → y = e ^4x+C . (ii)

式変形

1 y

dy

dx = x + 1.

両辺を積分して

log | y | =

Z 1 y dy =

Z 1 y

dy dx dx =

Z

(x + 1) dx = x ²

2 + x + C → y = e ^(x

²

^/2)+x+C . (iii)

両辺を積分して

y = Z

dy = Z dy

dx dx = Z

(x ² + x) dx = x ³ 3 + x ²

2 + C.

4