物理工科のための数学入門 : 数学の深い理解をめざ して

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Kyushu University Institutional Repository

物理工科のための数学入門 : 数学の深い理解をめざ して

御手洗, 修

九州大学応用力学研究所QUEST : 推進委員

藤本, 邦昭

東海大学基盤工学部電気電子情報工学科 : 教授

http://hdl.handle.net/2324/1500390

出版情報：

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権利関係：

第 1 章．数の構造と計算の原理 

1.1. 科学と記号

  記号は科学を語る言語であり，普通の文章では表すと長くなってしまうものが，記号を使うことによって 非常にシンプルに表すことができる．英語のアルファベット，ギリシャ文字，いろいろな数学記号が使われ る．これらの頻繁に使われる記号になれていないことが数学嫌い，科学嫌いの一つの原因になっているので はないであろうか？ 

  現在，中学校では筆記体を教えていないそうなので，読めない人が多いと思う．でもそれは由々しきこと である．数学や物理では,a,b,c と英語の活字体がよく用いられるが，筆記体の記号が出てくることもあり，

それを読めなかったら，全く理解できない．さらにギリシャ文字は理工学部ではしょっちゅう出てくるし，

また，新聞でも，漫画にでも，週刊誌にでもよく出てくる．ギリシャ文字は筆記体に非常に似ている所もあ るが，微妙に違ったりもしている．その微妙な差の区別がつかないと正しい理解ができない．そこが科学を ものにできるかどうかにつながっている．科学は記号で表現されているので深く理解するには筆記体とギリ シャ文字の習熟が必要である．つまり筆記体の習熟は科学を学ぶ第一歩であり，筆記体の教育は国の将来を 左右するのである．[付録参照] 

［例 1 ］筆記体を知らないと困る例： 

  筆記体を知らないために記憶ができない次のような重要な例がある．年配の人は sin,  cos，tan を覚え るのに筆記体を用いて覚えてきたのである． 

［１］sinθ       ［２］cosθ       ［3］tanθ

図１− １ 

［例 2 ］筆記体を知らないと困る例： 

電荷“ｑ”をブロック体で書いた

F = qE

と数字の“９”を用いた

F

²

= 9 E

は黒板に書くと区別がつかな い．従って

F

²

= qE

のｑは通常筆記体で書く．（注：英語でも日本語でもどっちも kyu というところがおも しろい．）このように黒板に書くさいには記号を筆記体で書く場合があるので，筆記体の習得は学生にとっ て重要である． 

[ 例 3] 筆記体で間違いやすい例 

［１］大文字アイ I と小文字のエルｌ  ［２］小文字のｒとｎ     ［３］ｚとｙ   

［４］a と o        ［５］ｂとｆ   ［６］u とｖ    ［７］e とｌ     

[ 例 4 ］ギリシャ文字とアルファベットのよく似た 記号 

    ギリシャ文字とアルファベットにはよく似た記号がある．以下は書き方がわずかに異なるだけで違う記 号になる例である． 

[1]  αと a, d  ，[2] γ  と  ｒ  ，［3］κ  と  k， ［4］τ とｔ，

[5］

!

とｖ（注：特にワープロの Word のなかにある数式ソフト V の小文字”ｖ”はギリシャ文字の”

!

^”

に非常に似ているので注意が必要である．例：Word の

vwxyz

^） 

物理工科のための数学入門     御手洗  修 

[6]ι  と  i  ,［７］η  と  ｎ  ,［８］ω  と  ｗ ,［９］χ と 

x

 ^［１０］σと６

1.2.数の数え方（進法の不 思議）

  １＋１＝２になることは誰でも素直に理解できるが，５＋６の場合，何故１０の位にあがり，11 となるの か？と小さいときに疑問に思ったことはないであろうか？我々はその満足できる説明を聞いたであろう か？  我々は何の説明もなしに，頭ごなしに 10 進法という計算法を強制されているので，これが計 算につまずく第一歩になっているのではないだろうか？ 

  また，10 は“じゅう”であって，“いち”“ぜろ”ではない．このように“０”は何もないのではなく，“位 取り”に使われる重要な記号である．即ち，０には意味が 2 つある．“位取りの"０”と，“＋１”と“ー１”

の間にある”何もないことを表す０”である．また，1 0 の場合の１の位の”０”は”１の 位には何もな く， ゼロ であ る” こと も表 して いる ．このように”０”は非常に都合良く大きな数字を表すことができ る．これを”インド式記数法”という．１００＋２３は，1 の位にも１０の位にも何もないので，すぐに足 し算ができて１２３となる．一石二鳥のこの表示法はよく考えてみると大変にすばらしいことが理解できる．

［1.1］ 

  ５と６を足すと，これは 10 と１になり 11 になるが，10 を１まとめにすることでわかりやすくなる．この １まとめにする数を何にするかによって進法が決まるのである． 

図 1− 2 

さらに，10 を 10 個束ねて 100，100 を 10 個束ねて 1000，1000 を 10 個束ねて 10,000 という様に 10，100，

1000，10000 で一まとめにして数えるというのが1 0 進法である．通常このような約束のもとに計算が行わ れていることを理解することがまずは重要であろう．10 進法が 使わ れる 理 由は 人間 の両 手 の指 の数が 10 本だからだといわれている． 

 ちなみに，123 を 10 進法で書くと， 

  

123 = 100 + 20 + 3 = 1 ! 10

²

+ 2 ! 10

¹

+ 3 ! 10

⁰

図に描くと，四角がひとまとまりである． 

図 1− 3 

  さらに 10 進法の 1234 は 

 

1234 1000 200 30 4 1 10 = + + + = !

³

+ 2 10 !

²

+ 3 10 !

¹

+ 4

 

 

と表せることがまた重要である．このように，位取りはきわめて人為的であり，我々は通常 10 進法を用い ていることをきちんと認識していれば算数が苦手になることはないと思われる． 

疑問：１＋１はいつも２か？ 

答え： 10 進法では１＋１＝２であるが，2 進法では１＋１＝１０である．我々の計算は暗黙の内に 10 進法 が用いられている．時間や角度には 12 進法や 60 進法が使われている． 

 

 

  この よう にい ろい ろな数 の数 え方 （進 法） があ ること がわ かる ．従って，同じ数でも進法によって 数字の表現の仕方が変わる．すなわち，数そのものは変化せず，進法によって表現に用いる数字が異なるの である．それらの進法の間では変換ができるので，ある進法で計算を行っておけば，あとはそれを変換すれ ばよい． 

 

７進法の場合 

  例えば，7 進法で 4321 と表される数は，７個を 1 塊として表すので， 

   

4321

⁷

= 4 ! 7

³

+ 3 ! 7

²

+ 2 ! 7

¹

+ 1

 

と表せる．通常，数字の右下に進法の数字を 書いて おき区別する．この数字は 10 進法では     

4 ! 7

³

+ 3! 7

²

+ 2 ! 7

¹

+ 1 = 1372+147+14+1=1534

₁₀ 

  逆に，10 進法で 1234 の数字は 7 進法ではどう表されるだろうか？7 進法は７を 1 塊として扱うので，1234 を７で割り算していき，７で割れるまでそれを繰り返して，７の何乗の和で表すと自然に現れる． 

   

1234

₁₀

= 7 ! 176 + 2 = 7 ! ( 7 ! 25 + 1 ) ^{+ 2}

= 7 ! ( 7 ! ( 7 ! 3 + 4 ) ^{+ 1} ) ^{+ 2 = 3 ! 7}

³

^{+ 4 ! 7}

²

^{+ 1! 7}

¹

^{+ 2 = 3412}

⁷ 

 

［問題１− １］１０進法で 1234 の数字は５進法ではどう表されるだろうか？また，3 進法ではどうか？ 

 

2 進法の場合 

  2 進法はコンピュータで用いられていて，０，１の 2 つの数字で表される．では 2 進法で”110”という数 字は 10 進法ではいくらの数字になるか？  2 進法は 2 で一まとめにして数えるので，２で割っていき   

110

²

= 1 ! 2

²

+ 1 ! 2

¹

+ 0 ! 2

⁰

= 4 + 2 = 6

₁₀ 

10 進法では 6 という数字になる． 

  逆に 10 進法で 6 の数字は，すでにやったように 2 で割り算を行っていき， 

  

6

₁₀

= 3 ! 2 = ( 1 ! 2 + 1 ) ^{! 2 = 1 ! 2}

²

^{+ 1 ! 2 + 0 ! 2}

⁰

^{= 110}

² 

110 となる． 

  以上を理解すると，2 進法の足し算は１を超えると繰り上がって０になるので，次の足し算ができるよう になる． 

 

 

通常の計算は 10 進法に基づく．10，100，1000 の位で繰り上がる． 

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

4 

  0+0=0，0+１=1，1+1=10, 1+1+1=10+1＝11，1+1+1+1=10+10＝100, 1+1+1+1+1=10＋10+1＝101  1+1+1+1+1+1=101+1＝110，1+1+1+1+1+1+1=110+1=111, 1+1+1+1+1+1+1+1=111+1=1000 

1+1+1+1+1+1+1+1+1=1000+1=1001, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1001+1=1010 

  ここで，まとめてみると，10 進法の 0，1，２，３，４，５，６，７，８，９，１０は 2 進法では次の様 になる． 

10 進法  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10    2 進法  0  1  10  11  100  101  110  111  1000  1001  1010   

  この教科書では後はすべて 10 進法を用いる．足し算，引き算，かけ算，割り算など 10 進法を用いて小学 校から行っていて，別に面白いことはないと思われるでしょう．しかし，以下に示すようにこれらの計算に も”えーつ”と目を開かされる”数の不 思議”といったものがあるのでここで眺めてみよう．［1.2，1.3，

1.4］ 

 

1.3. 足し算における驚異 

 

  足し算で面白いのが回文数である．“タケヤブヤケタ”，“シンブンシ”，“ダムは無駄”すべて逆さに呼ん でも同じである．これと同様に数字でも，１１２１１や１２３４３２１とか前から読んでも後ろから読ん でも同じになる数を“回文数”という． 

  例えば，2 桁の数字５６にそれを逆さまにした数６５を足すと，56+65=121 となって，足したものは逆さ に読んでも同じ数である．この足し算を逆さに読んでも同じ数になるまで繰り返す． 

[ 例 1-1 ]    18+81=99， 

[ 例 1-2 ]   24+42=66,  

[ 例 1-3 ]   75+57=136, 136+631=767  終わり  [ 例 1-4 ]   85+58=143, 143+341=474  終わり 

[ 例 1-5 ]    59+95=154, 154+451=605, 605+506=1111  終わり    このように計算すると回文数になることがわかる． 

 

［問題１-2 ］次の 2 桁の数字を用いて回文数を計算せよ． 

（１）28      （２）39      （３）49        （４）69    （５）79       

  ３桁の数字でも何回か繰り返して足していくと，回文数になる． 

[ 例 2-1 ]    183+381=564，564+465=1029, 1029+9201=10230, 10230+03201=13531  終わり  [ 例 2-2 ]   124+421=545,   

[ 例 2-3 ]   675+576=1251, 1251+1521=2782, 2782+2872=5654, 5654+4565=10209, 10209+90201=100410,  100410+014001=11411  終わり 

 

  どんな数字でもなるのかというとそうではないらしい．１９６の場合回文数にはならないらしい．現在ま だ未解決の問題のようである．  

 

［問題 1-3 ］次の３桁の数字を用いて回文数を計算せよ． 

（１）１９５      （２）２８４         

１.４.引き算における驚異 

  例えば，3 桁の数字 213 がある場合，それを並び替えた最大の数 321 からその順番を逆にした最小の数 123 を引き，それをまた繰り返し行うと，最後には 495 にたどり着く．（ただし，111,222 の様な同じ数が並ぶ数

字は除外する．この繰り返しを，インドの数学者カプレカーが発見したのでカプレ カー操 作という．これ は引き算の練習にもってこいである． 

 

［例 3 ］321 ： 

  321-123=198, 981-189=792, 972-279=693, 963-369=594, 954-459=495, 954-459=495  終わり   

［例 4 ］432 1 

  これは４桁の数字でも成り立つ．例えば，2134 がある場合，それを並び替えた最大の数 4321 から順番を 逆にした最小の数 1234 を引き，それをずっと繰り返し行うと，最後には 6174 にたどり着く．何故そうなる かを説明するのは結構難しいので，ここでは省略する． 

  興味ある人は，西山 豊，「数学を楽しむ」現代数学社を読まれたし．  

 

4321-1234=3087 , 8730-0378=8348, 8843-3488=5355, 5553-3555=1998,  9981-1899=8082, 8820-0288=8352  8532-2358=6174,  7641-1467=6174  終わり 

 

［問題１− 4 ］カプレカー操作による引き算を行え． 

（１）789      （２）6789      

１.5.かけ算の驚異 

1 .5.1 . インド式秒算術におけるかけ算 

  我々が余り知らない，大変便利なかけ算の計算方法がインド式秒算術と呼ばれる方法の中にある［1.5 ］．

それは｢１の位の数が足して１０になる場合で，１ ０の位の数が等しいときのかけ算｣という非常に限 定された場合にのみ適用できる方法であるが，実際に大変役に立つので，その厳密な証明法についても述べ る． 

［例 5 ］ 

(6 1) 6 5 5

65 65 42 25

+ ! !

!

!" !"

       

（１）５ｘ５＝２５を右にかく． 

（２）６に１足して７とし，それに６をかけて４２とし左にかく． 

［例 6 ］ 

         

12

! 18 2

(1+1)!1

!" 16

2!8

!"

 

 

このかけ算が正しいことは文字式を使うことによって証明できる．１０の位の数を a とおき，１の位の数を ｂとおくと， 

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

6 

10a + b

( )

! ( 10a + ( 10 " b ) )

100a

²

+ 10ab + 100a " 10ab + b ( 10 " b )

= 100 ( ) a + 1 ^{a + b} ( ^{10 " b} )

 

これからわかるように，上のやり方は完全に正しいことがわかる．この条件に当てはまるときに素早く計算 できる．  なお，次の計算は間違いである．2 桁目の数字が等しくないからこの方法で計算してはいけない． 

! 18

22 4 16

!

"#

      正しくは３９６である． 

［問題１− 5 ］次を計算せよ． 

（１）

26

! 24

        （２）

82

! 88

        （３）

115

! 115

    ^（４）

38

! 22

 

 

  インドは昔から数学が盛んであるが，最近インドは経済的に大きく発展してきている．数学が盛んな国は 結局は栄えるというのをまさに示しているようである． 

 

1 .5.2 . 面積と体積のためのかけ算 

  かけ算を用いると，面積や体積を計算することができる．面積＝縦ｘ横と記憶しているだろう．しかし何 故，縦ｘ横なのだろうか？ 

  長さを測るときは長さの単位である１cm と比較して，その何倍かということで長さを知ることができ る． 

        図１− ４ 

 

それと同様に，面積は面積の単位である１cmｘ１cm=1 cm²の正方形と比較して面積を出すのである．従っ て２cmｘ４cm の面積は 1 cm²の正方形が 2 個 x4 個あるので，8 cm²になるのである．縦がａ cm で横が b cm ならば，１cm²の正方形が ab 個あるので ab cm²となるのである．単に縦ｘ横ではないことに思いをはせて ほしい． 

       

      図１− ５ 

 

 体積の場合は同様にして1cm³の立方体を基準にしてそれが何個入るかで計算する．体積＝縦ｘ横ｘ高さ から単位立方体が何個入るかを計算し，それに 1cm³を掛けて求めるのである． 

       

      図１− ６ 

 

1.6.割り算（分数から小数 へ） 

   物理や工学では最終的な計算値は分数ではなく 小数で表さなければならない．２／５ｋｍといわれ てもピンとこないが，0.4ｋｍといわれたらよくわかる．400ｍと同じであることもすぐに分かる．従って，

分数を小数に直すことが大事になる．分数は紀元前から用いられていたようだが，小数は位取り 10 進法を 用いるので 15 世紀頃からしか用いられていない．小数はそういう意味では新しいのである．分数を小数に 直すには割り算を行えばよい．通常の割り算のやり方はガウス式割り算と呼ばれる． 

  

1.6.1. ガウス式割り算   5/6 を電卓で計算すると        

5

6 = 0.83333333!!

 

この結果は，次の様に商と余りを計算し，その余りについて商と余りをまた計算し････，という風に余りを 次々に割っていくことで得られている． 

     

5 = 6 ! 0.8 + 0.2 !!= 6 ! 0.8 + 6 ! 0.03 + 0.02

= 6 ! 0.8 + 6 ! 0.03 + 6 ! 0.003 + 6 ! 0.0003 + 0.0002

!!!= 6 ! ( 0.8 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + """ ) ^{!!= 6 !} 0.8333"""

 

これを次のように書くと計算しやすいのは知っての通りである． 

物理工科のための数学入門   御手洗  修 

6 5. 0 0 0 0 0 0. 8 3 3 3 3

4 8 2 0 1 8

2 0 1 8

2 0 1 8

2 0 1 8

1.6.2. 割り切れる分数と割り切れな い分数［1.6］ 

分数を小数に直すと割り切れる場合と割り切れない場合がある． 

（１）有限小数：終わりのある小数 

  次の例 1 で分かるように，分母が 2 や 5 から成り立っている場合，即ち 2 や 5 を因数として含む場 合，分数は割り切れる． 

［例 7 ］ 

13

20 = 13

2 ! 2 ! 5 = 0.65

 ^,  

78 8 = 78

2

³

= 9.75

 ^, 

78

5 = 15.6 78

125 = 78

5 ! 5 ! 5 =0.625

（２）循環小数：終わりなく循環する小数 

  分母が 2 や 5 以外の３，７，１１，１３などの素数から成り立っている場合，分数は割り切れない．も ちろん，分子と分母が同じ場合は割り切れる．後の級数のところで学ぶが，この循環する少数がどのような 分数で表されるかを計算することもできる． 

［例 8 ］ 1 を２，３，４，５．．．と割っていくと，これらの様子を理解することができる． 

1

2 = 0.5

^, 

1

3 = 0.33333333333 !!!

 ^, 

1 4 = 1

2 ! 2 = 0.25

^, 

1

5 = 0.2

^,  

1

6 = 1

2 ! 3 = 0.1666666666 """

 ^, 

1

7 = 0.142857 142857 142857 !!!

^, 

1

8 = 1

2 ! 4 = 0.125

^, 

1

9 = 0.11111111111 !!!

^, 

1 10 = 1

2 ! 5 = 0.1

 

1

11 = 0.09090909090 !!!

^, 

1

12 = 1

2 ! 2 ! 3 = 0.08333333333 """

^, 

1

13 = 0.0769230!!769230 769230 !!!

^， 

1 14 = 1

2 ! 7 = 0.0714285 714285 714285 """

^， 

1

15 = 1

3 ! 5 = 0.0666666666 """

^， 

1 16 = 1

2

⁴

= 0.0625

  これに対して，循環することなく，終わりのない小数がある．これを非循環小数という．それは分数では 表せない無理数や超越数である．   

（３）非循環小数：    循環することがない，終わりのない小数 

        無理数： 

2

   分数で表すのが無理なので無理数という．根号数ともいう． 

        超越数： π, e 

  この 2 つの違いは”連分数”に直すことでわかる． 

 

補足：有効数字 

  このように数学においては無限に小数が出てきて，それ自体に意味があり，それを楽しむことができる．

しかしながら物理や工学の実験や，実際の社会では小数を無限に使って表しても意味を持たない．つまり小 数点何桁までしか必要ないのである．何故なら長さは物差しで測るが，物差しの精度以上には正確には計れ ないからである．真の値があったとすると実際の値はある幅〔誤差〕を持つということになる．3 桁の数字 等が計れたとすると， 

      7.25      有効数字 3 桁      現実には 7.245~7.254 にある． 

      1.593     有効数字 4 桁      現実には 1.5925~1.5934 にある． 

      6.7x10⁵   有効数字 2 桁      現実には 6.65x10⁵~6.74x10⁵にある． 

従ってこれらの値を用いた加減乗除において，誤差となる小数点を詳しく計算しても意味がないということ になる．これが数学と物理，工学における小数点の取り扱いの大きな違いである． 

［例］ 

7.25 + 1.593

8.843 ! 8.84

      ［例］   

1.593

! 7.25

11.54925 " 11.5

 

 

1 .6.3 . 割り算の余り： 

  ５を３で割ると余りは２である．小学校で習うので簡単なようであるが，実は割り算の余りの使い道はき わめて高級である．即ち，暗号を作ったり，解読する技術に用いられていて，最近のコンピュータ情報通信 の公開鍵暗号などに用いられている． 

 

1.7.べき乗（指数）とは何 か？ 

1 .7.1 .   2^３とはどういう意味であろうか？３を 指数という． 

  ２の 3 乗は２を 3 回掛け合わせることである． 

3

3

2 = 2 2 2 8 ! "#" ! ! $ =

 

このとき３は２の指数という．また，かけ算は足し算でもあるので， 

( ) ( ) ( )

3

3

2 = 2 2 2 ! "#" ! ! $ = 2 2 + ! 2 = 2 2 + + + 2 2 = 8

 

と書ける． 

［例 9 ］べき乗の計算の例を示す．これによってどのように計算すればよいかがわかるだろう． 

●  ³

3

a a a a ! ! =

! "#" $

      ^●  

a ! a ! a

! " # $

3

# ! a ! a ! a ! a ! a

! ## "

5

## $ = a

³

! a

⁵

= a

³⁺⁵

= a

⁸ 

● 

a ! a ! a """ !a

! ## "

n

## $ ! a ! a ! a """ !a

! ## "

m

## $ = a

ⁿ

! a

^m

= a

^n+m 

●

a

²

! a

²

! a

²

! " #

3

# $ = a

²⁺²⁺²

= a

^2!3

= a

^{6  ，あるいは} 

a

²

! a

²

! a

²

! " #

3

# $ = ( ) a

^{2 3}

^{= a}

⁶   

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

10       

a

ⁿ

! a

ⁿ

! a

ⁿ

! """ ! a

ⁿ

m

! ### # " #### $ = a

^{n+n+ +n}

% &#m#'

= a

^nm

= ( ) a

^{n m} 

●

a

³

! b

³

!"#

3

= a ! a ! a

! " $ #

3

$ ! b ! b ! b

! " $

3

$ # = ( ) a ! b ^! ( ) ^{a ! b !} ( ) ^{a ! b =} ( ) ^ab

³ 

     

 [ 問題 1 − 6]次の計算を行え． 

（１）

3

³

! 2

³

=

      ^（2）

2

³

! 2

⁵

=

       ^（3）

3

³

! 1 3

"

#$

%

&'

3

=

      ^（4）

3

³

! 1 2

"

#$

%

&'

3

=

        

1 .7.2 .   2⁰はいくらか？ 

  2 が一個もないのにどうして計算できるのか？何か変だが，これは

2

⁰

! 2

¹

= 2

⁰⁺¹

= 2

¹より       

1 0

1

2 2 1

= 2 =

 

とすれば理解できる．また， 

   

3 4

3 3 4 4 0

3 4

1

m n

m m n n

m n

a a a a

a a a a a

a a a a

! ! ! !

= = = = = = = = =

 

指数の割り算は引き算で表すことができるので，そうなるのである． 

 

 

   

 [ 問題 1 − 7]次の計算を行え． 

（１）

100

⁰

=

      ^（2）

B

⁰

=

        (3) 

1

2

⁰

! y

⁰

=

      ⁽⁴⁾ 

1 8

!

"#

$

%&

0

=

 

1 .7.3 .   3^{− ２}とは？ 

 

3

²

" 3

^!2

= 3

^{2 2!}

= 3

⁰

= 1

^より 

2 2

2

1 1 1

3 3 3 9

!

= = " # $ % & ' =

 

例えば， ₃ ³

3

1 1 1 1 a a a a a

" " = =

!

!"#" $

        

1 a ! 1

a ! 1

a """ ! 1 a

! ### "

n

### $ = 1 a

#

$%

&

'(

n

= 1

a

ⁿ

= a

⁾ⁿ 

 

1

a

!

"#

$

%&

n

' 1

a

!

"#

$

%&

n

' 1

a

!

"#

$

%&

n

((( ' 1 a

!

"#

$

%&

n

! ###### "

m

###### $ = 1

a

!

"#

$

%&

n+n+ +n

% &#m#'

= 1

a

!

"#

$

%&

mn

= 1

a

!

"#

$

%&

!

n

"

# #

$

% &

&

m

= a

^)mn 

a の３乗は a を３回かけること 

a の０乗は１となる．なぜ？ 

     

 [ 問題 1 − 8]指数で表せ 

(1) 

5

⁵

2

⁵

=

      ⁽²⁾ 

5

⁵

5

²

=

     ⁽³⁾ 

5

²

2

^!2

=

       (4) 

5

⁵

5

^!5

=

 

 

1 .7.4 .   2^{1 / 3}とは？ 

 

2

1

3とはそれを３回かけると 2 になる数である． 

2

1 3

! 2

1 3

! 2

1 3

! " #

3

# $ = 2

1 3+1

3+1

3

= 2

¹

= 2

1

"

3

#$

%

&'

3

 

例えば， 

●

1 1 1 1

2 2 2 2

2

a ! a = a

⁺

= a

! "#" $

^{,  ●}

a

1 3

! a

1 3

! a

1 3

! " #

3

# $ = a

1 3+1

3+1

3

= a = a

1

"

3

#$

%

&'

3

, 従って 

 

a

1 n

! a

1 n

! a

1

n

"" "! a

1 n

! ### "

m

### $ = a

1 n+1

n+1 n+""1

n

% &##m##'

= a

m n 

また， 

1 a

!

"#

$

%&

1

3

' 1

a

!

"#

$

%&

1

3

' 1

a

!

"#

$

%&

1 3

3

! ### " ### $

= 1 a

!

"#

$

%&

1 3+1

3+1

3

= 1

a

!

"#

$

%& = a

⁽¹ 

 

1

a

!

"#

$

%&

1 n

' 1

a

!

"#

$

%&

1 n

' 1

a

!

"#

$

%&

1

n

' (( ' 1 a

!

"#

$

%&

1 n

! ###### "

m

###### $

= 1

a

!

"#

$

%&

1 n+1

n+((+1 n

% &#m#'

= 1

a

!

"#

$

%&

m n

= a

⁾

m n  

  指数の計算がわからなくなったときは，簡単な例を自分で作って度理解し直してから計算しよう． 

     

 [ 問題 1 − 9]計算せよ． 

（１）

3 2

2

2 =

      ^（2）

1

3

2

! " =

# $ % &

        (3) 

2 0.5

1 2

! " =

# $

% &

      ⁽⁴⁾ 

1

1

3

8

! " =

# $ % &

 

 

1 .7.5 .   10 のべき乗の計算： 

  普通の世界では 10 進法を用いているので，10 のべき乗の計算は科学計算においてきわめて重要である．

下の例を見て，正しい計算方法を身につけよう．10 のべき乗を電卓で計算すると大変にまちがえやすいので，

そこは暗算で行い，分数部分のみ電卓を用いる．分数の計算は常に分母を１にするように，分母分子に同じ 数をかけて計算する．特に以下の例は物理や工学ではしょっちゅう出てくる． 

  a の１／２乗を２回かけると a になる． 

  

a

^-1

= 1

a

 

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

12 

［１］1 0 のべき乗を持った数への変換： 

       

2300 2.3 1000 2.3 10 10 10 2.3 10 = ! = ! ! ! = !

3

2300

²

= ( 2.3 ! 10

³

)

²

⁼ ( ^{2.3 ! 10}

³

) ^! ( ^{2.3 ! 10}

³

) ^{= 2.3}

²

^{! 10}

^3!2

^{= 5.29 ! 10}

⁶ 

       

0.0023 = 23

10000 = 2.3 1000 = 2.3

10

³

= 2.3 ! 10

^"3 

0.0023

²

= ( 2.3 ! 10

^"3

)

²

⁼ ( ^{2.3 ! 10}

^"3

) ^! ( ^{2.3 ! 10}

^"3

) ^{= 2.3}

²

^{! 10}

^"3!2

^{= 5.29 ! 10}

^"6 

［２］1 0 のべき乗を持った数の分数 

1 1 100 100

2

0.01 0.01 100 1 10

= ! = =

!

   

1

4

10,000 10

0.0001 = =

   

1

₆ ⁶

1,000,000 10

10

^!

= =

 

1

100 = 0.01

100 ! 0.01 = 0.01 = 10

^"2   

1

⁶

0.000001 10 1,000,000

= =

!  

［例 10 ］

2 ! 10

⁷

3 ! 5000 = 2 ! 10

⁷

3 ! 5 ! 10

³

= 2

3 ! 5 ! 10

⁷

10

³

= 0.133 ! 10

⁴

= 1.33! 10

³   

  １０の べき乗 は足 し算と 引き 算で計 算で きるの で暗算 でおこ ない ，その 前の 数値は 別に 計算し，

最後に合体させる． 

 

 [ 問題 1 − 10]次を計算せよ． 

 (1)

20

0.001 =

        （２）

6 2

9 10 3 10

^!

" =

"

        （３）

10

^!6

10

^!8

=

      ^（４）

2

5 ! 10

^"8

=

 

（５）

3 ! 10

⁹

6 ! 10

¹⁹

=

        （６）

(

1.6!10^"19

)

²

5!10^"15

( )

^{28.854!10"12 =} 

       

 

1.8. 分数と割り算： 

  計算ができることとその意味を理解することの両方が数学にとっては大事である．ここでは分数の意味に ついて考えよう．分数はよく考えてみると奥が深い．分数には分割，比，勾配の３つの解釈が可能であり，

場合によって使い分けねばならない．たぶんここをきちんと認識して教えていないところに，分数ができな い学生がいる原因があるのではないかと考えている．また，分数にもいろいろな種類があり，現代科学の基 礎的な一部になっていること，決して易しいわけではないことをも認識することが大事であろう． 

 

1 .8.1 .   分割： 

  10 のべき乗のかけ算は足し算に ，割り算は引き算になる ． 

   

5 5 / 2 2.5

= = 2

  ： ５を２人で分割すると，一人あたり 2.5 になる． 

1 .8.2 .   比： 

   

5

2

——＞5:2 という意味である．たとえば英語の本５冊と日本語の本２冊の比はいくらか？ 

比においては分母と分子に同じ数を掛けても，同じ数で割っても，同じである． 

5 5 3 5 0.5 5 5 /1000

2 2 3 2 0.5 2 2 /1000 A

A

! ! !

= = = =

! ! !

 

［注意：分母と分子に同じ数を足しても，同じ数を引いても，同じではない．］ 

5 5 3 8 2.5 1.6

2 2 3 5

= ! + = =

+

 

1 .8.3 . 勾配，傾き： 

   

5 100

!

のように，負の分数は考えにくい．しかし，これはたとえば 100ｍ行って５ｍ下がる勾配と見な

せば理解できよう．また

5

100

は，100ｍ行って５ｍ上がる勾配と解釈できる．勾配は一次関数の傾きでもあ る．また，実際に高速道路を走ると標識に５％の下りとか，上りとか書いているのを見かけたことがあると 思う．  

［例 11 ］

1

0.1 = ?

   

これは 1 を 0.1 の大きさで分割すればいくらになるか？ということである． 

        図 1− ７ 

 

また 1 は 0.1 の何倍かという比の問題とも解釈できるし，0.1ｍ行って１ｍ上がる勾配とも考えられる．こ れを計算するには，分母を１になるように分母と分子に 10 を掛ける． 

1 1 10 10 10 0.1 0.1 10 1

= ! = =

!

 

ここで

10

1

は比でも勾配でもなく，分割と見なし，10 を１で分割すると結局１０個になることより，

10 1 10 =

と一つの数字にすることができる． 

  割り算では結果が常に小さくなるとは限らないし，この例のようにむしろ大きくなることもある．即ち，

割り算では１より大きい数で割ると結果は小さくなるが，１より小さい数で割ると大きくなる．    

     

 

1.9.分数のかけ算： 

 面積＝縦ｘ横の考え方を用いるとわかりやすい．例えば， 

  分数は分母と分子に同じ数 をかけ ても，割っても同じ 

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

14    

1 2

3 3 ! =

^は，縦

1 3

^と横

2

3

をかけて得られる面積である．全体で 3x3=９個のますがあるが，そのうちの 3 個は１／３であるが，6 個は 2／3 である．かけ算すると共通部分の２個になる．即ち，

1 2

3 3 ! = 1 2 2 3 3 9

! =

!

^と

なる．   

        図 1− 8 

［例 12 ］  

2 1 2 1 2 1 3 4 3 4 12 6

! = ! = =

!

  ^あるいは 

2 3 ! 1

4 = 2 ! 1 4 3 =

1 2 3 =

1 2 ! 1

3 3 ! 1

3

= 1 6

^.   

        図 1− 9 

と計算することもできる．以上の計算を記号あるいは数式を用いて行うと 

  

b d b d bd a c a c ac

! = ! =

!

^， 

( )( )

( ) ^{( )}

2 2

cx d gx

cx d gx

ex f

ax x b ax x b ex f

+ ! = +

+

+ + + + +

 

 

1.10.分数の割り算 

  分数の割り算をする場合など，その計算の原理をきちんと理解しておく必要がある．分数は分母と分子に 同じ数をかけても同じなので，これを利用して常に分母を１にするように計算する． 

 

1 1

1 2 3 3 3 1

/ 2 2

3 3 3 2

3 3

! " ! " #

$ % $ %

& ' & '

= = =

! " ! " #

$ % $ %

& ' & '

 

記号を用いる場合も，常に分母が１になるように計算する． 

       

b a / d

c = b a

!

"#

$

%&

d c

!

"#

$

%&

= b a

!

"#

$

%& ' c d d c

!

"

# $

% & ' c d

= b a

!

"#

$

%& ' c d 1 = bc

ad

 

［例 13 ］ 分子が分母よりも小さい場合： 

1

4 = 100 ! 0.01

4 = 0.25

   １を４で分割するので 0.25 である． 

［例 14 ］分数によるわり算： 

  分母を１になるように分母，分子に同じ数を掛ける． 

1 3 4

!

"#

$

%&

=

1 ' 4 3

!

"#

$

%&

3 4

!

"

# $

% & ' 4

3

!

"

# $

% &

= 4 3

!

"#

$

%&

1 = 4 3

 

     

  また，数学には分数の分数が永遠に続く不思議な"連分数"と呼ばれるものがある(第 3 章の最後を参照)．

なお，帯分数，仮分数といった言葉は本当に必要だろうか？また，また，わり算の記号“ ”は実態をよく 表さない上に，計算の順番などにおいて間違いをさせるだけの存在なので算数，数学ではあまり用いないよ うにすることを私は提案したい． 

 [ 問題 1 − 11]次を計算せよ． 

（１）

1

0.05 =

      ^（2）

1 2 3

! " =

# $ % &

        (3) 

8 9 1 3

! "

# $ % & =

! "

# $ % &

      (4) 

1 2 5

! "

# $ % & =

      ⁽⁵⁾ 

1 2 0.2

! "

# $ % & =

 

1.11.通分 

 分母を同じにして足すこと．土俵の高さを同じくして足さなければならない． 

1 .11. 1. 土俵の高さ法 

2 1 2 2 1 3 4 3 7 3 2 3 2 2 3 6 6 6

! !

+ = + = + =

! !

 

 

即ち，このように通分とは共通な分母にしておいて足し算，引き算を行うことである． 

  記号を使って計算すると， 

   

b d b c d a bc ad bc ad a c a c c a ac ac ac

! ! +

+ = + = + =

! !

 

 

1 .11. 2. 羊羹( ようかん) 法   

  これを図で表すと，２／３と１／２のままでは足せないので，すべてを同じ大きさの四角形になるように”

縦に”分割すると，すぐに足せることがわかる．その結果７／６となる． 

     

             図 1− 10 

たかが分数とあなどるなかれ．分数は奥が深い 

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

16   

1 .11. 3. 遠山  啓先生流の通分 ［1 .7］  

  ２／３と１／２のままでは足せないので，同じ大きさの四角形を作るのに相手の分割方向と同じ方向に分 割するのが遠山流である．その結果７／６となる．        

   

図 1− 11   

［間違いやすい例 1］．次の通分 

1 3 + 1

2 = 2 + 3 6 = 5

6

 

を，もし，分母同士，分子同士を足してしまったら 

（間違った計算例）

1 3 + 1

2 = 2 5

 

  間違えると，足し算することによって小さくなってしまう．この 2 つの分数がどのように異なるか，すぐ 後で学ぶ勾配を用いた通分の図（図 1− 16）によって理解できる． 

 

1 .11. 4. 円を用いた通分 

    最近は円を使っての説明もある．その結果７／６となる．これは回転数が整数になり１＋１／６と帯分 数の理解には都合がよい．  

 

!"# $"!

%"& #"&

'

(

)"&

'

        図 1− 12 

 

1 .11. 5. 筆者の通分のイメージ（可変土俵の高 さ法） 

  下図のように考えれば，通分の計算をイメージで理解できる．  

                    図 1− 13 

 

    中間の板の上（分子）の物を足し合わせるには，その土台の高さ（分母）を調整して，板の高さを同じ にして，横滑りさせるとよい．その結果７／６となる．このように通分とは，土台の高さを同じにすること，

あるいは共通の分母にして，足したり引いたりすることである．（注：分母の土台は高さを同じに調整する だけなので，足し合わせてはいけない．）  

     

1 .11. 6. 勾配を用いた通分 

  勾配を用いた通分法が最も理解しやすいかもしれない．勾配は横にいくら行って，上にいくら上がるかで ある．通分するには横に同じだけいって，そこで上がった高さを足したり引いたりすればよい． 

  1/3 と 1/2 を足すには，下図に示すように同じ距離だけ水平に行って，上がった距離を足す必要がある．

即ち，1/3 とは６右に行って 2 上がること，1/2 は６右に行って 3 上がるので，あわせて 5/6 となる． 

          

      図 1− 14 

［問題 1 − 12 ］次を計算せよ． 

(1)  

2 4

3 5 ! =

      ^（2）

1 3

2 8 + =

        (3) 

1 1

27 9 + =

      

 

 

1.12．比例 

  「ｙはｘに比例する．」とは，x 方向に２倍すればｙ方向も２倍になるし，x 方向に３倍すればｙ方向も３ 倍になることである．下の図より，y =kx の関係式で表されることがわかるであろう．この勾配が一定の図 では，それぞれの三角形は“相似”になっている．すなわち相似と比例は同じことである． 

        通分とは共通の分母を用いて計算 するこ とである． 

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

18    図 1− 15 

従って"比例定数"ｋは,勾配（傾き）のことで，下に示すようにすべて等しい． 

k = 0.5

1 = 0.5 ! 2 1 ! 2

"

#$

%

&' = 1.0

2 = 0.5 ! 3 1 ! 3

"

#$

%

&' = 1.5

3 = 0.5 ! 4 1 ! 4

"

#$

%

&' = 2.0

4 = 0.5 ! 4 1 ! 4

"

#$

%

&' = 2.5 5 = 3.0

6

 

分数は“分母と分子に同じ数を掛けても，同じ数で割っても同じ“であるが，それはこのように，分数が勾 配であり傾きが一定のためである．  

  また，1 より小さい分数の分母，分子に同じ数を足すと大きくなるが，常に１以下になる．例えば， 

2

3 < 2 + 1 3 + 1 = 3

4

    

これは下図（図１− 16）の左の比例図を見ればすぐに理解できる．ちなみに次のように分母，分子に 100 を 足すと１に近づくが，必ず１以下である． 

2

3 < 2 + 100 3 + 100 = 102

103

 

                

             図１− 16   

また，1 より大きい分数の分母，分子に同じ数を足すと小さくなるが，常に１以上になる．例えば，(図１−

13 右図)． 

     

3 2

^＞

3 1 4 2 1 + = 3

+

     

このように，分数の計算は勾配で考えるとわかりやすい． 

     

［問題 1 − 13 ］

a c

b = = d k

^の時，

a b c d a b c d

+ = +

! !

が等しいことを示せ. 

 

１.13.式の展開 

  式を簡単にしたり，因数に分解するためにも必要である．また，2 次関数，3 次関数のところでも重要と なる．以下に示すように，式の展開は面積の図で簡単に理解できる． 

（１）

^{c x b} ( ⁺ ) ^{= cx cb +}

 

          図１− 17 

（２）

( ^{x b x b +} )( ⁺ ) ( ^{= x b +} )

²

^{= x}

²

^{+ 2 bx b +}

² 

          図１− 18 

（３）

( ^{x b x b !} )( ^! ) ( ^{= x b !} )

²

^{= x}

²

^{! 2 bx b +}

² 

 

        図１− 19

 

（４）

( ^{x b x b +} )( ^! ) ^{= x}

²

^{! b}

²       

  分数は勾配，比例関係！  比例関係は一次 関数！  

物理工科のための数学入門         御手洗  修 

20            図１− 20

 

 

この関係式は無理数を有理数に変換するために重要な式である．例えば， 

［１］

( ) 2 ! 1 ( ) ^{2 + 1 = 2 ! 1 = 1}

 

［２］

( 5 ! 2 ) ( ^{5 + 2} ) ^{= 5 ! 2 = 3}

 

［３］

1 2 ! 1

( ) ⁼ ( ) ^{2 + 1}

2 ! 1

( ) ( ) ^{2 + 1 = 2 1 + 1 = 2 + 1}

 

（５）

( ^{x a x b +} )( ⁺ ) ^{= x}

²

⁺ ( ^{a b x ab +} ) ⁺

 

   

        図１− 21

 

（６）

(a + b + c )

²

= a

²

+ b

²

+ c

²

+ 2ab + 2bc + 2ac

 

         

        図１− 22

 

（７）

(a + b + c + d)

²

= a

²

+ b

²

+ c

²

+ d

²

+ 2ab + 2bc + 2cd + 2ac + 2bd + 2ad

 

         

        図１− 23

 

（８） 

      

x + a

( ) ( ) ^{x + b} ( ) ^{x + c =} { ^x

²

⁺ ( ) ^{a + b x + ab} } ( ) ^{x + c}

= { x

³

+ ( ) a + b ^x

²

^{+ abx} } ⁺ { ^cx

²

⁺ ( ) ^{a + b cx + abc} }

= x

³

+ ( a + b + c ) ^x

²

⁺ ( ^{ab + bc + ca} ) ^{x + abc}

 

図を描けば３次元になり，体積になるので難しくなるので書かない．右辺は，a-> b-> c，ab,bc,ca,さらに abc と循環していることに注意しよう．  

 

［問題１− 14 ］次の式を展開せよ 

（１）

( ^{x + 2} )

²

⁼

        （２）

( ^{x ! 3} )

²

⁼

      （３）

( ^{x + 4} )( ^{x ! 4} ) ⁼

 

（４）

( ^{x + 5} )( ^{x + 6} ) ⁼

         （５）

( ^{x + 1} )( ^{x + 2} )( ^{x + = 3} )

 

 

１.14.因数分解 

  式の展開の逆が因数分解であり，ばらばらに足し算で表していたのを全体を大きなかたまりのかけ算に直 すことである．なぜ因数分解が必要か？それはかけ算に直すことによって，方程式の解をすぐに求めること ができるし，約分もできるし，というように数式を簡単化することができるからである． 

（１）

^{cx c c x b + =} ( ⁺ )

 

（２）

^x

²

^{+ 2 bx b +}

²

⁼ ( ^{x b +} )

² 

（３）

^x

²

^{! 2 bx b +}

²

⁼ ( ^{x b !} )

² 

（４）

^x

²

^{! b}

²

⁼ ( ^{x b x b +} )( ^! )

 

（５）

^x

²

⁺ ( ^{a b x ab +} ) ^{+ =} ( ^{x a x b +} )( ⁺ )

 

（６）

^x

³

+ ( ^{a b c x} + + )

²

+ ( ab bc ca x abc + + ) + = ( x a x b x c + )( + )( + )

 

例えば， 

   

^x

³

+ ( ^{a b c x} + + )

²

+ ( ab bc ca x abc + + ) + = ⁰

 

物理工科のための数学入門   御手洗  修 

の解はすぐにはわからないが， 因数分解して， 

( x a x b x c + )( + )( + ) = ⁰

と直せばすぐに 

  

x a = or x = ! b or x = ! c

となることがわかるから． 

［問題１− 15 ］因数分解せよ 

(1) 

x

²

! 4 x + = 4

⁽²⁾ 

x

²

+ 5 x + = 6

 ^{( 3)}

x

²

! = 5

(4)

x

²

+ = 5

   ⁽⁵⁾ 

x

³

+ 9 x

²

+ 9 x + = 8

参考文献 

1.1.吉田  洋  ｢ゼロの発見｣  岩波新書 

1.2.  Ｄ．ウェルズ著，芦ヶ原伸之，滝沢清訳「数の辞典」東京図書株式会社  1.3.  Ｍ．ラインズ著，片山孝次訳｢数̶ その意外な表情｣  岩波書店 

1.4.  西山 豊「数学を楽しむ」現代数学社 

1.5．プラディーク･クマール著，石垣憲一訳「インド式秒算術」日本実業出版社  1.6．芹沢正三「素数入門」講談社ブルーバックス 

1.7.  遠山 啓「数学入門  上，下」岩波新書 

第２章  １次関数と１次方程 式  2.1. 1 次関数

  １次関数とは何だろうか？何故１次関数を学ばねばいけないのだろうか？それはこの 1 次関数こそが科学 的な物事を考える基礎になっているからである．前章では，分数，比，比例，傾き，勾配，相似ということ を考えた．１２ｍと２ｍの比はいくらか？２ｇの食塩を９８ｇの水に溶かすと濃度はいくらか？このように 今までは同じ量を比較して考えた． 

12 [ ] m

2 [ ] m ^{= 6}

  ^,  

² [ ] ^g

98 [ ] g ^{+ 2} [ ] ^{g = 2%}

 

  しかしながら，同じ量でなくても比例関係は成り立つ．例えば，1 時間に２００ｋｍ進む新幹線は，2 時 間たつと４００ｋｍ進む．１０時間たつと２０００ｋｍも離れる．これは一定の速さで進むと，距離が時間 に比例するからである．このように全く別の量であっても比例関係があることが分かる．新幹線の進む距離 を L，時間をｔで表すと，  

L km [ ]

t h [ ] ^{= 200} [ ] ^km

1 [ ] h ^{= 400} [ ] ^km

2 [ ] h ^{= V km} [ ^{/ h} ]

その比例定数 V は速さ［ｋｍ／ｈ］であり，時間に対する傾き，あるいは勾配になっている．この場合，速 度 V は 1 時間に進む距離であるから，ｔ時間に進む距離は 

L km [ ] ^{= V km} [ ^{/ h} ] ^{t h} [ ]

^{（2− 1）} 

で表され，時間に比例する．このとき距離は時間の 1 次関数であるという．ここでは途中で事故が起こるこ となどは考えず，いつも同じように進むと考えている．このように， 1 次関数とは y=ax +b のように傾き が a の直線で表される関係式のことである． 

  給料が現在１５万円で，毎年１万円上がるとする．そのままの調子で行くと２０年後には１５万円＋２０ 万円で３５万円になると我々は考える．これも１次関数の例である．特に時間に対する量に敏感な我々は”

今はこうだから，将来はああなる”，また，”現在の状態は将来もそのまま続く”と考え，現在の状況 から将来を”直線的”に予測する．  

  この

y = ax + b

の１次関数をグラフとして描く方法を発明したのはフェルマーである．

y = ax + b

^は，あ

るｘに対応したｙ，別のｘに対応したｙと，沢山のｘに対応したｙを与える．これらの沢山の点（ｘ，ｙ）

を 2 本の目盛りを持った垂直軸（水平な横線のｘ軸，それに垂直な縦線のｙ軸）からなる平面に書き込んだ ものが図２− １である．線は点の集まりである． 

ｂ

a Lx

Ly

図 2− １