弧と 弦
右図のような，２点A，B を両端とする円周の一部を弧こ AB AB
といい， と表す。
また，弧ABの両端 A，B を結んだ線分 を弦げんABという。
中 心 ちゅうしん 角 かく 弧ABの両端の点 A，B と，円の中心 O を結んでできた ∠AOB のことを，弧 AB に対する中 心ちゅうしん角かくという。 おうぎ形がた ２つの半径とその間にある弧によって囲まれた図形をおうぎ形がたという。 おうぎ形の２つの半径がつくる角を中心角という。 ※ おうぎ形の中心角は 180°以上のときもある。 ※ 円は，中心角が 360°のおうぎ形とみることができる。 A O 弦AB おうぎ形 中心角 中心角 B 弧AB(AB) 【１】点P を通る円 O の接線を作図しなさい。 点Pを通る,円の半径OPを延長した直線の 垂線を作図する。 円の接線と接点 円と直線がただ１点だけで交わることを，直線が円に接するという。 このような直線を接線，接している点を接点という。 円の接線は，接点を通る円の半径に垂直である。 接点 接線 O P
【１】点P を通る円 O の接線を作図しなさい。 点P を通る，円の半径 OP を延長した直線の 垂線を作図する。 【２】直線ℓに接する円O を作図しなさい。 点O から，直線ℓへ垂線を下ろす。 垂線と直線ℓの交点P が，円Oと直線ℓの接点になる。 (円の半径と接線は垂直に交わる) 半径OP の円を作図する。 【３】点P で直線ℓに接し，点 A を通る円 O を作図しなさい。 点P を通る直線ℓの垂線を作図する。 円の半径は接線に垂直なので，円O の中心は， この垂線上にある。 円O の中心は，点 A と点 P の両方から等しい距離 にあるので，線分AP の垂直二等分線を作図する。 作図した二本の直線の交点を円O の中心として， 半径OP の円を作図すればよい。 O O P P
ℓ
P A Oℓ
※これより後の問題では，円周率をπとして計算すること。 【１】半径が6cm の円周の長さと面積を，それぞれ求めなさい。 (周の長さ) 2𝜋 6 = 12π (面積) 𝜋 62 = 36𝜋 12π cm 36π cm2 【２】半径3cm，中心角 120°のおうぎ形の，弧の長さと面積を，それぞれ求めなさい。 (弧の長さ) 2𝜋 3 × × × × 120 × 360 = 2π (面積) 𝜋 32× 120 360= 3𝜋 2π cm 3π cm2 円周率 パイ （ 𝝅） 円周の直径に対する割合を円周率といい，ギリシャ文字𝝅 計算をするとき，円周率のおよその値3.14 のかわりに， 𝝅 を使って計算することができる。 円周の長さと面積 半径 𝑟 の円の周の長さをℓ，面積をS とすると，円周の長さと面積は次の式で表せる。 円周の長さ・・・ ℓ = 2𝜋 𝑟 𝜋 𝑟 円の面積・・・ 𝑆 = 2 おうぎ形の弧の長さと面積 おうぎ形の弧の長さℓと，おうぎ形の面積S は，半径をr，中心角をa°とすると， 次の式で表すことができる。 おうぎ形の弧の長さ・・・ ℓ = 2 𝜋 𝑟 𝜋 𝑟 𝑎 おうぎ形の面積・・・ 𝑆 = 2 × × 𝑎 ※おうぎ形の弧の長さや面積は，中心角の大きさに比例する。 で表すことができる。 360 360 答え 周の長さ 面積 答え 弧の長さ 面積
【１】半径が8cm の円周の長さと面積をそれぞれ求めなさい。 (周の長さ) 2𝜋 8 = 16π (面積) 𝜋 82 = 64𝜋 16π cm 64π cm2 × × 【２】次のおうぎ形の弧の長さと面積を，それぞれ求めなさい。 (1) 半径 6cm，中心角 60°のおうぎ形 (弧の長さ) 2𝜋 6 × 60 360 = 12𝜋 16 = 2π × × (面積) 𝜋 6× 2× 60 × 360 = 36𝜋 16 = 6𝜋 2π cm 6π cm2 (2) (弧の長さ) 2𝜋 8 ×× 135 × 360 = 16𝜋 38 = 6π (面積) 𝜋 8× 2×135 × 360 = 64𝜋 38 = 24𝜋 6π cm 24π cm2 【３】半径が6cm，面積が 12π cm2のおうぎ形がある。 (1) 中心角の大きさを求めなさい。 360 中心角を𝑎とおくと，𝜋 6× 2× 𝑎 = 12π これを𝑎について解くと，𝑎 =120 (2) このおうぎ形の弧の長さを求めなさい。 2𝜋 6 ×× 120360 = 12𝜋× 13 = 4𝜋 120° 4π cm 答え 周の長さ 面積 答え 弧の長さ 面積 答え 弧の長さ 面積 答え (1) (2) 8cm 135°
【１】直径が10cm の円周の長さと面積をそれぞれ求めなさい。 ※直径が10cm なので，半径は 5cm。10cm をそのまま使わないように注意すること。 (周の長さ) 2𝜋 5 = 10π (面積) 𝜋 52 = 25𝜋 10π cm 25π cm2 × × 【２】次のおうぎ形の弧の長さと面積を，それぞれ求めなさい。 (1) 半径 5cm，中心角 144°のおうぎ形 (弧の長さ) 2𝜋 5 ×× 144 × 360 = 10𝜋 25 = 4π (面積) 𝜋 5× 2× 144360 = 25𝜋× 25 = 10𝜋 4π cm 10π cm2 (2) (弧の長さ) 2𝜋 12×× 240 × 360 = 24𝜋 23 = 16π (面積)𝜋 12× 2×240 × 360 = 144𝜋 23 = 96𝜋 16π cm 96π cm2 【３】半径が9cm，弧の長さが 10π cm のおうぎ形がある。 (1) 中心角の大きさを求めなさい。 (2) このおうぎ形の面積を求めなさい。 中心角をa とおくと，2𝜋 9 ×× 𝑎 = 10π これを解くと，a = 200 360 𝜋 9× 2×200 × 360 = 81𝜋 59 = 45𝜋 200° 45π cm2 答え 周の長さ 面積 答え 弧の長さ 面積 答え 弧の長さ 面積 答え (1) (2) 12cm 240°
