ミクロ経済学 基本講義
第 2 回 企業行動 Ⅱ
Ⅰ．利潤
りじゅん最大化
さ い だ い か生産量の決定
※ 企業の利潤（π）を式にすると以下のようになる。 (1) 収 入しゅうにゅう関数かんすう・費用ひ よ う関数かんすうからのアプローチ 利潤（π） ＝ 収入（Ｒ） － 費用（ＴＣ） 費用関数は、生産量と最小費用との関係を表すものですから、これを 前提に費用を考えるなら、費用最小化は実現されているといえます。 では、利潤（π）はもはや最大化されているのでは？ Ｒ ｘ Ｏ Ｒ ＝ Ｐ・ｘ Ｐ ＴＣ ｘ Ｏ ＴＣ＝ＶＣ＋ＦＣ 同じ平面上で重ね合わせる 収入関数 短期費用関数◆ 生産量ｘ０を選択した場合（原点Ｏからｘ１までの範囲） ◆ 利潤が最大となる生産量の下では、以下の条件が成立する。 ⇒ 収入よりも費用の方が大きくなり、損失（赤字、マイナスの利潤）が発生してしまう。 ⇒ 費用最小化が実現されたとしても、利潤最大化を実現するとは限らない。 収入が費用を上回り、プラスの利潤を確保できる領域はｘ１からｘ４までの範囲 （ｘ１とｘ４では「収入＝費用」となり、利潤はゼロ） 【 利潤最大化生産量の決定条件 ① 】（１階条件） 収入関数（直線）の“傾き● ●” ＝ 費用関数の“（接線の）傾き● ●” なぜ価格（Ｐ）と限界費用（ＭＣ）が一致するところで生産を行うべきなのか？ ・ Ｐ ＞ ＭＣのとき（生産量ｘ２） 生産量を増やすと利潤が増える（＝ 改善の余地あり）。 ・ Ｐ ＜ ＭＣのとき（生産量ｘ３） 生産量を減らすと利潤が増える（＝ 改善の余地あり）。 ・ Ｐ ＝ ＭＣのとき（生産量ｘ＊） 生産量を変更しても、利潤は増加しない。 ∴ もはや利潤について改善の余地のない状態 利潤最大 Ｒ、ＴＣ ｘ（生産量） Ｏ ● ｘ０ ＦＣ Ｒ ＝ Ｐ・ｘ ＴＣ＝ＶＣ＋ＦＣ ● ● ● ● ● ● ● ● ｘ１ ｘ２ ｘ＊ ｘ３ ｘ４ ＭＣ Ｐ（一定） ● π＝0 π＝0 Ｐ ＝ ＭＣ 〔Ｐ：価格（一定）、ＭＣ：限界費用〕
※ ところが、Ｐ＝ＭＣという条件だけでは、「損失」が最大となる生産量も含まれてしまう。 Ｒ、ＴＣ ＭＣ Ｐ Ｒ ｘ Ｏ ｘ ＴＣ ＭＣ Ｏ ｘ０ ｘ０ ｘ＊ ｘ＊ Ｐ Ｐ ＭＣ Ｅ Ｆ ● ● ● ● ● ● ＭＣ逓増 （右上がり） ＭＣ逓減 （右下がり） 損失最大 【 利潤最大化生産量の決定条件 ② 】（２階条件） 以下の条件を加えれば、損失が最大となる生産量を排除できる。 （ＭＣ曲線右上り● ● ●） ｘ＊の決定 限界費用が逓増● ●する
(２) 利潤りじゅん関数かんすうからのアプローチ ※ 収入（Ｒ）と費用（ＴＣ）の“差額”（＝ 利潤π）をグラフにしてみる。 関数πを ｘで微分 ⊿π ⊿ｘ ＝ 1・Ｐ・ｘ １－１ － ＝ ０ ⊿ＴＣ ⊿ｘ ⇔ Ｐ－ＭＣ ＝ ０ ∴ Ｐ＝ＭＣ Ｒ、ＴＣ π Ｒ ｘ Ｏ ｘ ＴＣ ＭＣ Ｏ ｘ０ ｘ０ ｘ＊ ｘ＊ 最大利潤 Ｐ 利潤 りじゅん 関数 かんすう （π＝Ｒ－ＴＣ） Ｅ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ｘ１ ｘ４ ● ｘ１ ｘ４ ⊿π ⊿ｘ
＝０
π ＝ Ｒ － ＴＣ ＝Ｐ・ｘ － ＴＣ これを生産量（ｘ）で微分してゼロとおくと、 ♬ 利潤関数の“頂上”では、「接線の傾きの大きさ」はゼロ● ●になっている。 ∴ 利潤最大化生産量ｘ＊を求めるには、“利潤関数を微分してゼロ”とおけばよい。～★ 計算練習 ★～ （Ｖ問題集 №006） Ｐ＝130 であるから、利潤最大化条件Ｐ＝ＭＣより、 130 ＝ ｑ２－7ｑ＋10 ⇔ ｑ２－7ｑ－120 ＝ 0 ⇔ （ｑ－15）（ｑ＋8）＝ 0 ∴ ｑ＝15 （ｑ＝－8 はあり得ない） π ＝ Ｒ － ＴＣ 生産量ｑで微分してゼロとおくと、 完全競争市場において、ある企業の総費用関数ＴＣは、財の生産量をｑとすると次の式で与え られる。財の市場価格を 130 としたとき、この企業の利潤を最大にする生産量として、正しい のはどれか。 1． 5 2． 8 3． 10 4． 15 5． 17 ＭＣ ＝ ＝ 3・ ｑ⊿ＴＣ ３－１－2・ ｑ２－１＋1・10ｑ１－１＋0 ⊿ｑ ＴＣ ＝ ｑ1 ３－ ｑ２＋10ｑ＋25 3 7 2 1 3 7 2 ⇔ ＭＣ ＝ ｑ２－7ｑ＋10 ＝ 130ｑ －（ ｑ1 ３－ ｑ２＋10ｑ＋25） 3 7 2 ⊿π ⊿ｑ ⇔ 130－ｑ２＋7ｑ－10 ＝ 0 ⇔ ｑ２－7ｑ－120 ＝ 0 ＝ 1・130ｑ１－１－ 3・ ｑ３－１＋2・ ｑ7 ２－１－1・10ｑ１－１－0 ＝ 0 2 1 3 「掛けて－120、足して－7」 になる数の組み合わせを考える。 解法 1 ： Ｐ＝ＭＣを使って解く 解法 2 ：利潤関数をたてて、微分してゼロとおく ⇔ （ｑ－15）（ｑ＋8）＝ 0 ∴ ｑ＝15 （ｑ＝－8 はあり得ない）
Ⅱ．短期
た ん ききょうきゅう供 給
きょくせん曲 線
の導出
利潤最大化条件（Ｐ＝ＭＣ）には固定費用（ＦＣ）が反映されない。 与えられた財価格（Ｐ）と平均費用（ＡＣ）との比較が必要となる。 そこで いかなる財価格の下でも、企業はＰ＝ＭＣに従って財の供給を行って良いだろうか？ ∵ 平均費用（ＡＣ）は、生産量 1 単位あたりの生産コスト であるから、固定費用も含まれている。財価格が平均費用 を上回らなければ、プラスの利潤を得ることはできない。 損失（赤字）が発生する場合には、供給を止めてしまえば問題はないのか？ 短期において、ｘ＝0（生産停止）とする場合、 可変費用（ＶＣ）はゼロにできるが、固定費用 （ＦＣ）はゼロにはできない。 ＴＣ ｘ Ｏ ＴＣ＝ＶＣ＋ＦＣ ● ♬ 生産を停止するとき（ｘ＝0）、利潤（π）は、 π ＝ Ｒ－（ＶＣ＋ＦＣ） ＝ 0－0－ＦＣ ∴ π＝－ＦＣ となり、固定費用と同額だけの損失（＝ 赤字）が発生することになる。♪ 以下で、与えられる価格について「場合分け」して考えていくことにする。 (1) Ｐ＞ＡＣのケース （財価格が平均費用の最低点を上回る場合） ◆ この図から、企業の「収入」と「費用」を“面積”で捉える。 収 入 ： ＡＥｘ＊Ｏ （Ｒ＝Ｐ・ｘ＊） 費 用 ： ＣＢｘ＊Ｏ （ＴＣ＝ＡＣ・ｘ＊） 利 潤 ： ＡＥＢＣ （π＝Ｒ－ＴＣ） ⅰ）．Ｐ＝ＭＣを満たす、改善の余地のない生産量を選択している。 ⅱ）．Ｐ＞ＡＣとなっており、プラスの利潤を確保している ｘ＊だけの財の供給を行う。 ＡＣ、ＡＶＣ ＭＣ、Ｐ ｘ（生産量） Ｏ ● Ｅ ＭＣ ● ● ● ｘ＊ ＡＣ ＡＶＣ Ａ Ｐ Ｂ Ｃ ● ●
(2) Ｐ＜ＡＶＣのケース （財価格が平均可変費用の最低点を下回る場合） ◆ この図から、企業の「収入」と「費用」を“面積”で捉える。 生産を止めてしまった方がマシなので、 企業は財の生産を停止する。 Ｃ Ｂ Ｅ Ａ ｘ＊の生産を 行った場合の損失 Ｃ Ｂ Ｆ Ｇ
＞
生産を停止（ｘ＝0） した場合の損失 損 失 ： ＣＢＥＡ （π＝Ｒ－ＴＣ） 収 入 ： ＡＥｘ＊Ｏ （Ｒ＝Ｐ・ｘ＊） 費 用 ： ＣＢｘ＊Ｏ （ＴＣ＝ＡＣ・ｘ＊） ＶＣ ： ＧＦｘ＊Ｏ （ＶＣ＝ＡＶＣ・ｘ＊） ＦＣ ： ＣＢＦＧ （ＦＣ＝ＴＣ－ＶＣ） ＡＣ、ＡＶＣ ＭＣ、Ｐ ｘ（生産量） Ｏ Ｅ ＭＣ ● ● ● ● ｘ＊ ＡＣ ＡＶＣ Ａ Ｐ Ｂ Ｃ ● ● Ｆ Ｇ ● ●(3) ＡＶＣ＜Ｐ＜ＡＣのケース （財価格が“２つの最低点”の間にある場合） ◆ この図から、企業の「収入」と「費用」を“面積”で捉える。 収 入 ： ＡＥｘ＊Ｏ （Ｒ＝Ｐ・ｘ＊） 費 用 ： ＣＢｘ＊Ｏ （ＴＣ＝ＡＣ・ｘ＊） 損 失 ： ＣＢＥＡ （π＝Ｒ－ＴＣ） ＶＣ ： ＧＦｘ＊Ｏ （ＶＣ＝ＡＶＣ・ｘ＊） ＦＣ ： ＣＢＦＧ （ＦＣ＝ＴＣ－ＶＣ） Ｃ Ｂ Ｅ Ａ ｘ＊の生産を 行った場合の損失 Ｃ Ｂ Ｆ Ｇ
＜
生産を停止（ｘ＝0） した場合の損失 ◆ 損失ではあっても、生産を行った方がマシ（＝ 損失が少ない）なので、 固定費用（ＦＣ）が削減できない短期においては、企業は財の生産を継続する。 ● Ｇ Ｐ ＡＣ、ＡＶＣ ＭＣ、Ｐ ｘ（生産量） Ｏ Ｅ ＭＣ ● ● ● ● ｘ＊ ＡＣ ＡＶＣ Ａ Ｂ Ｃ ● ● Ｆ ●(4) 個別こ べ つ企業きぎょうの短期た ん ききょうきゅう供 給きょくせん曲 線 ～★ 練習問題 ★～ （Ｖ問題集 №024） ◆ 企業はＰ＝ＭＣに従って財の供給を行う（1 階条件） ◆ 限界げんかい費用ひ よ うきょくせん曲 線は“右上がり”でなければならない（2 階条件） ◆ 財価格が「 操 業そうぎょう停止点て い し て ん」を上回れば、短期的には財の供給を行う ≒ 「操業停止点」を上回る、右上がりの限界● ●費用● ●曲線（ＭＣ） Ｐ ｘ Ｏ （ＡＣ） （ＡＶＣ） Ｈ Ｉ 短期供給曲線（≒ ＭＣ曲線） 損益 そんえき 分岐点 ぶ ん き て ん （ＡＣ＝ＭＣ） 操 業 そうぎょう 停止点 て い し て ん （ＡＶＣ＝ＭＣ） ● ● 黒字（π＞0） ・供給する 赤字● ●（π＜0） ・供給する 赤字● ●（π＜0） ・供給しない ● 短期た ん ききょうきゅう供 給きょくせん曲 線 完全競争市場における、ある企業の総費用関数ＴＣ（ｘ）が次のように与えられている。 ＴＣ（ｘ）＝ｘ３－2ｘ２＋5ｘ＋8 ここでｘ（＞0）は生産量を表す。このとき、損益分岐点と操業停止点における価格の組み合 わせとして正しいのはどれか。 損益分岐点の価格 操業停止点の価格 1． 5 2． 5 3． 9 4． 9 5． 12 1 2 3 4 4
「価格」（＝ 縦軸の値）が問われていますが、まずは各点の「生産量」を計算します（各費用を表 す式が生産量で表されているからです）。次いで、この結果を各式に代入して「価格」をとります。 (1) 操業停止点の計算 操業停止点は平均可変費用曲線（ＡＶＣ）の最低点に対応します。与えられた総費用関数から 平均可変費用（ＡＶＣ）を計算すると、 となります。「最低点」では、平均可変費用曲線 （ＡＶＣ）上にとった接線の傾きはゼロになる ので、①式を微分してゼロとおきます。 この結果を①式に代入すると、縦軸の「価格」となります。 １２－2・１＋５＝4 ∴ Ｐ（＝ＡＶＣ）＝4 (2) 損益分岐点の計算 損益分岐点は平均費用曲線（ＡＣ）の最低点に対応します。与えられた総費用関数から平均費 用（ＡＣ）を計算すると、 となります。「最低点」では、平均費用曲線（ＡＣ）上にとった 接線の傾きはゼロになるので、★式を微分してゼロとおきます。 ＡＣ＝ ＝ ｘＴＣ ２－2ｘ＋5＋ … ② ｘ ＡＶＣ＝ ＝ ｘＶＣ ２－2ｘ＋5 … ① ｘ 8 ｘ ｘ ＡＶＣ Ｏ ● ＡＶＣ 1 4 ⊿ＡＶＣ ⊿ｘ ＝2ｘ ２－１－1・2ｘ１－１＋0 ＝ ０ ⇔ 2ｘ－2＝0 ∴ ｘ＝１ ⊿ＡＣ ⊿ｘ ＝2ｘ ２－１－1・2ｘ１－１＋ 0 －1・8ｘ－１－１＝ ０ ⇔ 2ｘ－2－8ｘ－２＝ 0 ⇔ 2ｘ－2－ ＝ 0 ＝ ｘ２－2ｘ＋5＋8ｘ－１ … ★ 公 式 ◆ ＝ ｘ1 －１ ｘ ◆ ＝ ｘ1 －２ ｘ２ 8 ｘ２ 解法 1 ：最低点をとる方法（『解説』の方法） ⇔ ｘ３－ｘ２－4＝ 0
∴ ｘ＝２ この結果を②式に代入すると、縦軸の「価格」となります。 2２－2・2＋５＋4＝9 ∴ Ｐ（＝ＡＣ）＝9（肢 4 が正解） (1) 操業停止点の計算 操業停止点は、平均可変費用曲線（ＡＶＣ）と限界費用曲線（ＭＣ）との交点に対応します。 限界費用は以下のように計算できます。 (2) 損益分岐点の計算 損益分岐点は、平均費用曲線（ＡＣ）と限界費用曲線（ＭＣ）との交点に対応します。よって、 ②式と③式からＡＣ＝ＭＣを計算すると、 これを②式に代入すると（③式でも可）、 2２－2・2＋５＋4＝9 ∴ Ｐ（＝ＡＣ）＝9（肢 4 が正解） ＭＣ＝ ＝ 3・ｘ⊿ＴＣ ３－１－2・2ｘ２－１＋1・5ｘ１－１＋0＝3ｘ２－4ｘ＋5 …… ③ ⊿ｘ ｘ ＡＣ Ｏ ● ＡＣ 2 9 ⇔ ｘ２（ｘ－1）＝ 4 … ☆ ♪ 左辺がｘ２と（ｘ－１）の掛け算になっていて、右辺が 4 になっています。この場合、掛け算で 4 になる数字（整 数）の組み合わせを考えます。1×4、2×2、4×1 の 3 つです。このうち（ｘ－１）＝1 であるとするとｘ＝2。 このときｘ２＝4 となり、☆式のつじつまが合います。し たがって、☆式を満たすｘはｘ＝2 と判断できます。 ｘ２－2ｘ＋5＋ ＝ 3ｘ２－4ｘ＋5 ⇔ 2ｘ２－2ｘ－ ＝ 0 8 ｘ 8 ｘ ⇔ ｘ３－ｘ２－4＝ 0 ⇔ ｘ２（ｘ－1）＝ 4 ∴ ｘ＝2 解法 2 ： ＡＶＣ＝ＭＣ、ＡＣ＝ＭＣと式を立てて解く方法 ここで、①式と③式からＡＶＣ＝ＭＣを計算すると、 ｘ２－2ｘ＋5＝3ｘ２－4ｘ＋5 ⇔ ｘ（ｘ－１）＝０ ∴ ｘ＝1 これを①式に代入すると（③式でも可）、 １２－2・１＋５＝4 ∴ Ｐ（＝ＡＶＣ）＝4
(5) 供 給きょうきゅうの価格か か くだんりょくせい弾 力 性 【 参 考 】 ① 変化率について ② 供給の価格弾力性（εＳ） ※ 式の変形について 供給の価格弾力性 ： 価格が 1％変化した時に、供給量が何％変化するかを示す。 εＳ ＝ ＝ ＝ × 供給量の変化率 価格の変化率 ⊿ｘ ｘ ⊿Ｐ Ｐ ⊿ｘ ⊿Ｐ Ｐ ｘ 弾力性 …… “反応”の大きさを示す概念 “変化率● ● ●”の大きさで表現する 変化前 Ｐ０＝200 円 価格の変化分 ● ● ● （⊿Ｐ＝－60） 60 円の下落 変化後 Ｐ１＝140 円 価格の変化率 ＝ ＝ ＝ 価格の変化分 元の価格 －60 円 200 円 ⊿Ｐ Ｐ ・反応が大きい ⇒ 弾力的 ・反応が小さい ⇒ 非弾力的 ＝ ＝ ＝ ＝ ⊿ｘ ｘ ⊿Ｐ Ｐ ⊿Ｐ・ｘ Ｐ ⊿ｘ・ｘ ｘ ⊿Ｐ・ｘ Ｐ ⊿ｘ ⊿Ｐ・ｘ・Ｐ Ｐ ⊿ｘ・Ｐ ⊿Ｐ・ｘ ⊿ｘ・Ｐ 分子と分母にｘを 掛けて約分する。 分子と分母にＰを 掛けて約分する。
【 供給曲線の傾きと供給の価格弾力性の関係 】 ※ 図形的に整理すると以下のようになる（Ｅ点を前提として計算する場合）。 ⅰ）．供給曲線がプラスの縦軸切片を持つ直線であるケース ⇒ ＳＢに比べて非弾力的 ⇒ ＳＡに比べて弾力的 Ｐ ｘ Ｏ Ａ ● ● ● ＳＡ ＳＢ Ｐ１ Ｐ０ ｘ０ ｘＡ１ ｘＢ１ ◆ εＳ ＝ × ＝ × ＝ ⊿ｘ ⊿Ｐ Ｐ ｘ （Ｂ） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｃ） （Ａ） εＳ ＞1 同じ供給曲線上であれば、どの点で 計算しても供給の価格弾力性は必 ず 1 より大となる。 Ｐ ｘ （Ａ） Ｓ ● ● ● （Ｂ） （Ｃ） Ｅ ● Ｏ
ⅱ）．供給曲線が原点を通る直線であるケース ⅲ）．供給曲線がマイナスの縦軸切片を持つ直線であるケース εＳ ＝1 同じ供給曲線上であれば、どの点で 計算しても供給の価格弾力性は必 ず 1 となる。 εＳ ＜1 同じ供給曲線上であれば、どの点で 計算しても供給の価格弾力性は必 ず 1 より小となる。 Ｐ ｘ Ｏ （Ａ） Ｓ ● （Ｂ） （Ｃ） Ｅ ● Ｐ ｘ Ｏ （Ａ） Ｓ （Ｂ） （Ｃ） Ｅ ● ● ● ●
～★ 練習問題 ★～ （Ｖ問題集 №009） 完全競争市場において、ある財を生産する企業の平均費用曲線が、次式で示され、財の価格が 100 である場合、利潤が最大になる生産量とその時の利潤の組み合わせとして、正しいのはど れか。 ＡＣ＝Ｙ２－9Ｙ＋52 生産量 利潤 1． 4 272 2． 6 396 3． 6 566 4． 8 448 5． 8 756 ＡＣ：平均費用 Ｙ：生産量 最低限解くべき問題 番 号 1 回目 2 回目 コメント № 006 ／ │ ／ │ 基本中の基本！ № 009 ／ │ ／ │ これも大変良く見る出題パターンです。 № 011 ／ │ ／ │ №008 と大差ありません。 № 013 ／ │ ／ │ はじめは飛ばしても構いませんが、練習になる良い問題です。 № 016 ／ │ ／ │ 「利潤＝収入－費用」です。 № 019 ／ │ ／ │ 操業停止点の計算は絶対にできるようにしておきましょう！ № 022 ／ │ ／ │ 必ず“操業停止点”を先に計算する湯にしましょう。 № 023 ／ │ ／ │ これは「価格」ではなく「生産量」ですよ。 № 024 ／ │ ／ │ 必ず“操業停止点”を先に計算です。 № 030 ／ │ ／ │ 講義内容の確認に良いですね。 № 032 ／ │ ／ │ ありがちな結論です。よく出ます。 № 033 ／ │ ／ │ 誤りの選択肢も丁寧に考えてみましょう。 № 036 ／ │ ／ │ 「短期供給曲線」の厳密な示し方の例です。
まず平均費用曲線（ＡＣ）から総費用曲線（ＴＣ）を導きます。 次に、①式を生産量で微分して限界費用（ＭＣ）を求めます。 ここで②式を使って利潤最大化条件（Ｐ＝ＭＣ）を立てます。財価格（Ｐ）は 100 ですから、 100＝3Ｙ２－18Ｙ＋52 ⇔ 3Ｙ２－18Ｙ－48＝0 ⇔ Ｙ２－6Ｙ－16＝0 ⇔ （Ｙ－8）（Ｙ＋2）＝0 ∴ Ｙ＝8、－2（生産量はマイナスにはならない） となります。 最後に利潤（π）を計算します。平均費用（ＡＣ）が問題文にあるので、『解説』にあるような計算 を行っても構いませんが、ここでは基本に立ち返って、利潤（π）を収入と費用（ＴＣ）（①式）の差 をとって計算します。 利潤（π）＝収入（Ｒ）－費用（ＴＣ） ＝100Ｙ－（Ｙ３－9Ｙ２＋52Ｙ）＝―Ｙ３＋9Ｙ２＋48Ｙ …… ③ ③式にＹ＝8 を代入します。 π＝―512＋576＋384 ∴ π＝448（肢 4 が正解） 以 上 利潤最大化条件 Ｐ＝ＭＣ （100） 総費用曲線（ＴＣ） 平均費用曲線（ＡＣ） × 生産量 ＴＣ Ｙ ＡＣ＝ 微 分 ＡＣ＝ ⇔ ＴＣ＝Ｙ・ＡＣ ⇔ ＴＣ＝Ｙ（ＹＴＣ ２－9Ｙ＋52） Ｙ ∴ ＴＣ＝Ｙ３－9Ｙ２＋52Ｙ …… ① ＭＣ＝ ＝ 3・Ｙ⊿ＴＣ ３－１－2・9Ｙ２－１＋1・52Ｙ１－１＝3Ｙ２－18Ｙ＋52 …… ② ⊿Ｙ 「掛けて－16、足して－6」 になる数の組み合わせを考える。
