被覆弾性層一弾性基質体の軸対称接触問題の解析解とその応用

被 覆 弾 性 層 一 弾 性 基 質 体 の 軸 対 称 接 触 問 題 の 解 析 解 と そ の 応 用

三浦 鴻太郎*1,坂 本

信*2,田 邊 裕治*3

An Analytical Solution of Axisymmetric Contact Problem of Elastic Layer-substrate Body

Kotaro MIURA * 1, Makoto SAKAMOTO * 2, Yuji TANABE * 3

ABSTRACT : We consider an elastic contact problem for indentation

test of layer-substrate

body. An elastic

layer assumed to be perfectly bonded to an elastic semi-infinite

substrate. This problem called Boussinesq's

problem which is axisymmetric mixed boundary value problem in elasticity theory. The elastic layer is

smoothly indented by a flat-ended cylindrical and spherical indenter. This paper presents not only

distribution of the dimensionless

normal contact stress under cylindrical and spherical indenters but also

distribution of the dimensionless

normal displacement at the upper surface of the elastic layer. Numerical

results are given for several combinations

of the ratio of shear modulus, Poisson's ratio of elastic layer and

substrate and the thickness of elastic layer. These results may establish the foundation for indentation test

of layer-substrate

composite

and provide guideline for design of mechanical property of layered materials.

Keywords : elastic contact problem, indentation test, Boussinesq's problem, analytical solution,

layer-substrate body

(Received October 29, 2019) 1.は じ め に イ ンデ ンテ ー シ ョン(押 込 み)試 験 は 力 学 的 特 性 を評 価 す る簡 便 な 手 法 と して 広 く利 用 され て い る1).被 覆 層 を 有 す る材 料 に 対 して は 基 質 物 体 か ら取 り除 く こ とな く 試 験 が 行 え る こ とか ら,コ ー テ ィ ン グ材 料 の コー テ ィ ン グ 層 や バ イ オ エ ンジ ニ ア リン グの 分 野 で は 軟 骨 下 骨 上 の 関節 軟 骨2),皮 膚 組 織 等3)の 力 学 的 特 性 評 価 に用 い られ て い る.こ の よ うな 被 覆 層 を有 す る物 体 の イ ンデ ンテ ー シ ョン試 験 に よ る力 学 的 特 性 評 価 の 問 題 点 は 実 験 結 果 に 被覆 層 と茎 質 物 体 の影 響 が 混 在 して い る こ とで あ る.純 粋 に被 覆 層 単 一 の材 料 特 性 を知 るた め には,基 質 物 体 が 被 覆 層 へ 及 ぼ す 影 響 を調 べ る必 要 が あ り,そ の 影 響 に関 して研 究 が行 わ れ て き た4)・5).し か し,そ れ らの ほ とん どは 有 限 要 素解 析 や 近 似 理 論 に よ る もの で あ って,厳 密 に 弾性 論 に 基 づ い て 理 論 解 析 して い る研 究 は 少 な い.被 *1:理 工 学部 シ ステ ムデ ザ イ ン学 科 助教(ヒmiura@st _{.seikei.acjp)} *2:新 潟 大 学 医 学 部 保 健 学 科 教 授 *3:新 潟 人 学 白然 科 学研 究 科 材 料 生 産 シ ス テ ム 由1攻教 授 覆 層 を有 す る物 体 に対 す る理論 解 析 は,数 学 的解 析 手 法 の難 解 さお よび煩 雑 さか ら,多 くは行 わ れ て い な い.し か し,理 論 解 析 を行 うこ とに よっ て 各 パ ラ メー タが 数 値 結 果 に及 ぼす 影 響 を数 式 か ら明 らか に す る こ とは 人 い に 意 義 の あ る こ とで あ る. 半無 限 弾性 体 で表 わ され た 弾性 基 質 上 に密 着 した 弾 性 層 を 剛体 圧 子 で押 込 む接 触 問題 は,以 前 にDhaliwal6)やYU ら7)に よっ て 理 論解 析 され て い る.彼 らは 問題 解 析 にお い て 生 じ る双 積 分 方 程 式 を第 二種Fredholm型 積 分 方 程 式 に変 換 す る こ とに よ り解 析 して い る.し か しな が ら,こ れ らの研 究 で は,剛 体圧 子 の 押 込 み 力 に 関 す る数値 結 果 は示 され て い るが,弾 性 層 の 変位 や応 力 に関 す る数 値 結 果 に は示 され て い な い.ま た,い ず れ の研 究 に よ る数 値 結 果 は,数 値 計算 法 に 長 短 が あ り,数 値 計 算 で 与 え るパ ラ メ ー タ の値 に よっ て は 計 算 精度 が 低 下 す る こ とが 予想 され る. 上記 の こ とか ら本 研 究 で は,弾 性 基 質(半 無 限 弾性 体) kに 密 着 した 弾性 層 を 円柱 状 お よび 球 状圧 子 で 押 込 む 軸 対 称 弾性 接 触 問題 を 三 次 元 弾性 論 に 基 づ き厳 密 に理 論 解 析 した.本 研 究 に お け る押 込 み カ の数 値 結 果 をい くつ か

の過 去 の研 究 の 数 値 結 果 と比 較 して,そ の 数 値 結 果 の 妥 当性 に つ い て 検 証 した.さ らに は,弾 性 層 上 面 の 圧 子 の 接 触応 力 分布 お よび 垂 直 変位 の 数 値 結 果 を示 す と とも に, これ らに 及 ぼ す 弾 性 層 の 厚 さや 弾 性 層 と半 無 限 弾 性 体 の 機 械 的 特性 の影 響 に つ い て 明 らか に した. 2.三 次 元 弾 性 論 に よ る理 論 解 析 図1に 示 す よ うに 円 柱座 標(r,θ,z)にお い て,弾 性 基 質 上 に密 着 した 厚 さ乃の 弾 性 層 上 而 を 円柱 状 お よ び 球 状 圧 子 で 微 小 変 位 量 εoだ け押 込 む 軸 対称 接 触 問 題 を考 え る. ＼・θRigid。yli。d,ical indenter 「「P

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z (b) r 図1弾 性 基 質 上 の 弾 性 層 を剛 体 圧 子 で 押 込 む 軸 対 称 弾 性 接触 問 題 (a:円 柱 状 圧 子,b:球 状 圧 子) 弾 性 体 の 変 位 成 分 を(〃 。,vθ,Wz),応 力 成 分 を(σ 。,σe,σ 。, τ,。,τ鴫 τθ。)とす る と,弾 性 層 と 弾 性 基 質 の 変 位 と 応 力 は 以 下 の よ う に 表 わ さ れ る. 2σ ロ。 ・・)一 ∂OP・1')+。 ∂q)・(') ∂r∂r v(1)=0θ 2q昭 一 ∂f/'・z∂ 讐 _{一(3-4・,)OP, .・・)} σ(1).∂29D・「 ω+。 ∂2㊧ ω.2v∂ ψ・の ∂r2∂r2'∂z 翻 一響 ・・響 一η ∂ガ ・.・・)一∂淫娯+・ ∂詫雲 一2(1一り ∂ff' T..・・)一需+・ 需 一(1-2・,)∂窪 τ。θω=τ 、。(')=o (i=1,2) こ こ で,上 添 字' わ し て い る. (1) 1,2は そ れ ぞ れ 弾性 層,弾 性 茎 質 を表 本 研 究 で は,調 和 応 力 関 数 ψ(')o,ψ(')3(i-1,2)を 次 の よ う に 選 ぶ. %(1)一 ∫ぷ{D(')の …h・z+A(1)(小i・hZ・]・ ノ。(〃)dZ (2) OP3(1)一 ∫、1{B(')(iZ)・i・hZz+C(1)(・ ・L)… 圃 」 。(Zr)dZ ・,92'一∫S"A(2W。(〃)e-AZdZ 礁 ∫♂{Bl2/(Z)ノ 、μ ・)e-?LZdZ (3) こ こ で,A(1)(λ),B(1)(λ),C(1)(λ),D(1)(λ),A(2)(λ)お よ びB(2) (λ)は境 界 条 件 お よ び 弾 性 層 と 弾 性 基 質 の 界 面 に お け る 変 位 と応 力 の 連 続 条 件 か ら決 定 さ れ る未 知 関 数 で あ り, ゐ(Zr)はn次 の 第 一 種 ベ ッセ ル 関 数 で あ る. 弾性 層 が 剛 体圧 子 で押 込 ま れ る とき,弾 性 層 と圧 子 の 問 で摩 擦 は な い と仮 定す れ ば,弾 性 層 表 面 にお け る境 界 条 件 は次 式 で 与 え られ る. (り ∼?。=ε。一〆(り,(0≦ ア≦a) (σ 。)1聖。-o,(a<r<・ ・) (τ,,z)2。=0,(0≦r<。 ・) こ こ で,!の は 圧 子 形 状 を 表 わ し て い る. (4) (5) (6) 次 に,zhの 弾性 層 と弾性 基礎 の 境 界 面 は 完 全密 着 し て い る こ とか ら,以 ドの よ うな 変位 と応 力 の 連続 条 件 を 満 たす 必 要 が あ る. [{s(1)}一{s(2)}]。.h (7)

こ こ で, {s(i)}一[Ur(1)罵(りOz(')Trz(1)](8) 式(2),(3)を 変 位 と 応 力 の 基 礎 式(1)に 代 入 し て,境 界 条 件 式(4),(5),(6)を 適 用 す る と,次 の 係 数 問 の 関 係 式 が 得 ら れ る. ノし4(1)(7Z)=(1-21/1)C(1)(,JL) (9) 一 方 ,弾 性 層 と弾 性 基礎 の 境 界 面 にお け る連 続 条 件 式 (7)を基 礎 式(1)に 適 用 す る と,以 下 の 未 知 関 数 に関 す る連 立 方 程 式 が 得 られ る. B(1)(λ) c(1)(λ) MD(1)(,1.) A(2)(,/) B(2)(,/) 0 0 0 0 (10) こ こ で,β 一Zh,1一 一Gi/G2と し て,マ ト リ ッ ク スMま 以 下 の 形 で 表 わ さ れ る. βsinhβ βcoshβ 一(3-4レ1)sinhβM = βcoshβ 一(1-2γ1)sinhβ βsinhβ 一2(1-v1)coshβ Zcoshβ 一Fe一 βノし ノしsinhβFθ 一6Z ノしsinhβ θ一6Z ノしcoshβ 一θ一βノし βcoshβ+(1-2vl)sinhβ βsinhβ 一2(1一 レ1)coshβ βsinhβ βcoshβ 一sinhβ 一Fe一ββ F(ヲー6{β+(3-4v2)} e一β{β+(1-2v2)} 一θ一β{/ヲ+2(1一 γ 2)} (ll) 未 知 関 数 に 関 す る 連 立 方 程 式(10)を 解 く こ と に よ り, 未 知 関 数 を 一 つ に ま と め る こ と が で き る.し か し,こ の 連 立 方 程 式 を 解 く た め に は 非 常 に 煩 雑 な 代 数 計 算 が 必 要 と な る た め,数 式 処 理 ソ フ ト ウ ェ ア で あ るwxMaxima (ver.13.04.2,MIT)を 利 川 して 解 い た. 弾 性 層 表 面 の 垂 直 変 位(w。)(1)。。 と圧 子 と弾 性 層 間 に お け る接 触 面 に お け る 垂 直 応 力(σ。)(1)。.oは,式(10)を解 く こ と に よ り,一 っ に ま と め ら れ た 未 知 関 数c(1)(,1.)を用 い て 表 現 で き,境 界 条 件 式(4),(5)を 適 川 す る こ と で,以 下 の よ うに 与 え ら れ る. 鴎 一一1訓Cの(・)」 ・(・r)嶋 一旭(…<の (12) こ こ で, ・。(・1,)一α(・/)F2+b(・/)F+・(・1,) ・,(・1.)-d(・1,)F2+e(・1.)F+f(・/) α(,1,)=(4v2-3)ε4β+(16v2-12)fie26-4v2+3 b(λ)={(12-16i/1)1/2+12レ1-10}θ4β+(8-16レ2)!ヲ θ2β +4v2+4Vl-6 c(7Z)=(4レ1-3)e4β+46e26-41/1+3 d(,1,)=(4v2-3)ε4β+{(12-16v2)ノ92-8v2+6}θ2β +4v2-3 e(,1.)={(12-16v,)v2+12v,-10}θ4β +{(16v2-8)β2+(16v,-8)γ2-8γ1+4}e2β 一4γ2-4レ1+6 !(iZ)=(4vl-3)θ4β+(-4/B2-16v12+24v,-10)θ2β+4γ1-3 (14) で あ る. 連 立 積 分 方 程 式(12),(13)は 従 来 の 解 析 方 法 で は,第 二 種Fredholm積 分 方 程 式 に 帰 着 さ せ て 数 値 的 に 解 く 手 法 が 一般 的 で あ る 鋤 .こ れ に 対 し て,本 解 析 で は 接 触 面 に お け る 垂 直 応 力 をTchebycheffの 直 交 多 項 式Tn(x)に よ っ て 級 数 展 開 す る こ と に よ り,最 終 的 に 無 限 連 立 一次 方 程 式 の 解 法 問 題 に 帰 着 さ せ る 解 析 手 法 を 適 用 す る. 接 触 面 に お け る 垂 直 応 力(σ。)(1)。.oをTchebychefrの 直 交 多 項 式 を 用 い る こ と に よ り,以 ドの よ う に 級 数 展 開 す る. (の 鯉・一 π≠ ・)1・か ・+1(・/の・(・ ・r〈a)(15) κ。(n-0,1,2,...)は 未 知 係 数 で あ る.ま た,Tchebycheffの 直 交 多 項 式 に 関 し て 以 下 の 積 分 公 式 が 成 立 す る.

∫

鰍

騨 憾

等

∴

訓価)

こ こ で, λ α λαZ 。(λ)=」 。+v2(2)辺 桐 尼(2),(n=0,1,2,...) で あ る. (17) 式(13),(15)に 対 し て,そ れ ぞ れHankel逆 変 換 を 適 川 す る と,以 下 の 式 が 得 られ る.

(ρ(λ)一

瑠

書瘍(脚)

(18) (の1%一 ∫畷 劣cの(z)z・ ・(z・)d・一・・(a・ ・<・・) (13)

式(18)を 式(12)に 代 人 し て,以 ドに 示 され るGegenbauerの 公 式,

 

・J。(〃)一 Σ(2-4,m)Xm(λ)…m￠,(r-a・in(￠/2))(19) m=0 を 用 い る こ と に よ り,式(12)を 以 下 の 形 に 変 形 す る こ と が で き る. ほ この Σ ㍉ ∫診(λ)Z。(λ)Σ(2-5。m)Xm(λ)… 吻dλ n=Om=0 (20) -k -'(-s・ ・〆 の}・(・ ・r・ ・) こ こ で,δo朋 はKroneckerの デ ル タ で あ り,p(λ),Xm(λ)は そ れ ぞ れ 以 下 の 形 で 表 わ さ れ る. ε。(λ) ρ(λ)= e3(λ) Xm(7Z)=ノ 島(ha/2),(〃1=0,1,2,...) (21) (22) 円 柱 状 圧 子 の 場 合,!(り 一 〇 で あ り,式(20)の 両 辺 の cosmilに 関 す る係 数 を 等 置 す れ ば,本 問 題 は 以 下 の 無 限 連 立 一次 方 程 式 の 解 法 問 題 に 帰 着 す る. Σh。Amn=・ ㌦,(m=0,1,2,_) nO こ こ で,砿 出 。は 以 ドの 形 で 表 わ さ れ る. b=1-Vlκ nG iεo" Amn-∫ 趣)&(・/)z.(z)dZ (23) (24) (25) 同様 に 球 状圧 子の 場 合 に つ い て も,最 終 的 に以 ドの よ うな 無 限 連 立 一 次 方 程 式 に 帰 着 す る こ とが で き る.

ほ

Σ(b。,Cn)Amn-(6・ 。,・S・m/2),(m-0,1,2,_)(26) n=0 3.数 値 結 果 お よび 考 察 本 研 究 で は,接 触 面 に お け る 垂 直 応 力,弾 性 層 表 面 の 垂 直 変 位,剛 体 円 柱 状 圧 子 縁 に お け る 応 力 特 異 性 係 数 お よ び 押 込 み 力 の 数 値 結 果 を 算 出 した.押 込 み 力 の 数 値 結 果 に 関 し て は,Dhaliwa16),Yuら7)お よ びGaoら4)の 近 似 解 とFEMに よ る 数 値 結 果 と の 比 較 を 行 っ た.こ こ で は,押 込 み 力 の 結 果 を 数 値 結 果 の 一 例 と し て 示 す. 図2,3,4は,弾 性 層 と弾 性 基 礎 のPoisson比vl,v2を そ れ ぞ れ レ1-0.333,レ2-0.250,レ1一 γ2-0.3お よ び レ1一 レ2-0.25と し た 際 の 圧 子 押 込 み カ と ア ス ペ ク ト比h/αの 関 係 を 示 し て い る.圧 子 押 込 み 力Pは,弾 性 層 と 力 学 的 特 性 が 同 じ 半 無 限 体 の 押 込 み 力Plに よ り無 次 元 化 し て い る.Poisson比 と横 弾 性 係 数 比 丁 一Gl/G2の 値 は 文 献 を 参 照 し て 決 定 し て お り,そ れ ぞ れ の 図 に お い て 過 去 文 献 の 押 込 み 力 の 結 果 と本 解 析 結 果 を 比 較 し て い る. ま ず,Dhaliwal6)の 結 果 と 比 較 す る と,本 解 析 結 果 と彼 ら の 結 果 は 良 く 一 致 し て い る こ と が わ か る.YUら7)の 結 果 と比 較 す る と,両 結 果 は 概 ね 良 く一 致 し て い る が,傭 が 大 き い 範 囲 で は 両 結 果 の 差 異 が 増 大 す る傾 向 に あ る. し か し,h/a>10の 範 囲 は 円 柱 状 圧 子 径 に 対 し て 弾 性 層 厚 さ が 十 分 に 厚 い 状 態 で あ り,実 際 の コ ー テ ィ ン グ材 料 や 薄 膜 の イ ン デ ン テ ー シ ョ ン試 験 を想 定 す る 際 に は 重 要 で は な い と考 え られ る.Gaoら4)の 結 果 と 比 較 す る と,彼 ら の 近 似 解 と は 差 異 が 見 ら れ る が,彼 ら が 同 様 に 行 っ た FEMの 結 果 と は 良 く 一 致 して い る. 5 4 3 2 ﹁ ユ ＼ ユ ーー ユ 1 L O O 3 2.5 2 β 1 1 r ∩ 一＼ ∩ Tー ユ 0.5 Presentresult 。DhaliwaI ・Fニ6.0 一 r≒α25 FFO.5 。rニ2.O rニ0.75rニ3 .0 -一 一}P二 重rO-一 トー一 一F=4=0-一 一一一

.汐50

鮒 一 一」8-一 一/・ F、 , ! 00 5

h/a

(a)

10 15 Fニ0.0 -'''''"r… 三〇:2 F=0.5 --1=…i1.Q 一一 一 一 1「ニ2.O rニ10.0 (a:円 柱 状 圧 子, 5

h/a

(b)

10 15 図2押 込 み 力 の 数 値 結 果 b球 状 圧 子,レ1-O.333,v2-0.250)

r ﹂ ＼ ﹂ 1ー ユ 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 ll … … : Presentresult Yuetal. 一 O 一 一 一 F=0.Oi … Fニ0.2i -一一...一.-F≡o、5i isemi-infinite★ Pニ1.Oi solid 一 一 一e-・ ・ i ㊤(((一 0-一 一e・ 一一e-・-0-一 〈〉 "f=2:0 Fニ10.0 .__←._㊥__毬_e 一曼一' ① Ψ OOoO (D .一 0 5

h/a

(a)

10 15 r ﹂ ＼ 庄 11 ﹂ 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 III ! 耳二〇.6 0i … Presentresult 。Gaoetal _. △Gaoetal _.(FEM) ..一 一 一 一一 ・ じ=0・8 i … … 1 … : 、 ・ii ii: 1 饗 .一 一一血 一一谷 … : 卜 O o O -. 1 一 : I I ii 一''''"o" …ii iFニ1・2s卿i-infinite solid P・髄o i「 ニ1・6i・ iFニ2.oii IIi 0 2 4

h/a

(a)

6 8 10 下 ﹂ ＼ ユ ーー ユ 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1 」 Presentresult Yuetal. 一 O O rニ0.0 「=0.2semi-_:★ oFニ α5Pニ2/3 … nfinitesolid 一.... OO 。 。i 6a命 禽aa畠 eeeeeθo 6 ノ Q o{ り86: φQuり ∪ ・ 一 一..一..-0 0 0 。 ・loo8・2,0 iFニ10.0 宇Ooりu i 0 5

h/a

(b)

10 15 U ﹂ ＼ ﹂ 1ー ユ 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

i

i

…

i

I i F=0.oi I ''''''"r=0:2 … F・0.5i _★ iP=2/3 -. semi-infinitesolid

i

一一 一一.一 i i「=2 _.o Fニ10,0 0 5

h/a

(b)

10 15 図3押 込 み カ の 数 値 結 果 (a:円 柱 状 圧 子,b:球 状 圧 子,Vl-v2-0.3) 図4押 込 み 力 の 数 値 結 果 (a.円 柱 状 圧 子,b:球 状 圧 子,レ1一 レ2-0.25)

4.む す び 本研 究 で は 被 覆 弾 性 層 弾 性 基 質 体 の イ ンデ ンテ ー シ ョン試 験 法 に 関 連 した,弾 性 基 質 上 に密 着 した 弾 性 層 を 円 柱 状 お よび 球 状 圧 子 で 押 込 む 軸 対 称 弾 性 接 触 問 題 に対 して 理 論解 析 を 行 い,い ず れ の 問 題 も無 限 連 立 一 次 方 程 式 の解 法 問題 に 帰 着 させ た.そ して,本 研 究 にお け る押 込 み 力 の数 値 結 果 を,い くつ か の 過 去 の 研 究 例 の 数 値 結 果 と比 較 して,そ の 妥 当 性 に つ い て 調 べ た.そ の 結 果, 本研 究 の 数 値 結 果 と過 去 文 献 の 結 果 は 概 ね 一 致 して い る こ とが確 認 で き た. 本研 究 で 用 い た 直 交 多 項 式 に よ り応 力 も しくは 変 位 を 無 限 級数 で 展 開 す る こ とに よっ て,積 分 方 程 式 を無 限 連 立 一次 方 程 式 に 帰 着 す る解 法 は,汎 用 性 の あ る解 析 手 法 で あ る.例 え ば,接 触 問題 に 対応 す るき 裂 問題8),粘 弾 性 接 触 問題9)や 積 層 弾 性 体 の接 触 問題1〔〕)に応 用 す る こ と が で き る.こ れ らの 接 触 問 題 の 解 析 解 を示 す こ とで,新 しい 実 験 手 法 お よび コー テ ィ ン グ材 料 や 生 体 材 料 な どの 材 料 開 発 に 関 して 知 見 を与 え る こ とが で き る と考 えて い る.

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