(C)^∞-空間と超函数の関係について

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(1)Title. (C)^∞-空間と超函数の関係について. Author(s). 藤戸, 伊佐美. Citation. 北海道教育大学紀要. 第二部. A, 数学・物理学・化学・工学編, 26(1) : 13-20. Issue Date. 1975-08. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5991. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . ６巻第１号昭和５０年８月北海道教育大学紀要（第２部Ａ）第２ｔｌ９７５ｌｉｏｎｌｉＳｅｃｉｔｉｉｖｅｒＩＡ）ＶｏｔｄｏＵｎｌｏｆＨｏｋｋａｏｎ（ｊｏｕｒｎａｓｙｏｆＥｄｕｃａｔ．１，２６，Ａｕｇｕｓ，Ｎｏ. （Ｃ）閃－空間と超函数の関係について. 藤. 伊佐美. 戸. 北海道教育大学函館分校数学教室. 節ａｎｄａＤｉＳｔｒｉｏｎｉｂｕｔｏｎｔｈｅＲｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅＳｐａｃｅ（Ｃ）ｌｓａＩＴＯｌｎｉＦＵＪｉｏｎｔｉｉｔｙｏｆＥｄｕｃａｉｄｏＵｎｒｖｅｓｉｃｓｔｔａｎｃｈｌｅＢｒＤｅｐａｔｍｅｎｔｏｆ～ａｔｈｅｍａｒ，Ｈｏｋｋａ，Ｈａｋｏｄａ０４０Ｈａｋｏｄａｔｅ. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ｉｉｌｎｔｈｅｆｔｐａｒｔｏｆｔｈｓｐａｐｅｒ，ｌｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｒｓｗｈｅｒｅ. （ｆ２．。，， … … …），ｆ，ｆ）（ｆｆ …）（ｘ）（ａ … … ｘ）＝ｆ（ｆ．。．ｅ，，２。，，，. ，．，．．櫨ド希お ◎ （ａ．．蓄（帥，ｆみ．．ｅ．），２デー），（に１仰ＴｈｅＳｐａｃｅｔｅｄｂｙ（Ｃ）ｆｆ，ｆｉ（ｔｆｈｆｔｓｄｅｎｏ，２ａｎｄｆ，… … …）ｉｅＣｉ＝０，１，２，……） ‘ ，ＴｈｅｓｅｏｔｅｕｎｃｏｎのｌｍＣｈＴ）ｈｉ（ａｎｄのｂｅｃｏｍｅｓＢａｎａｃｈａｌｇｅｂｒａ．ｌｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄＰａｒｔｏｆｔｓｐａＰｅｒ，ｗｅｒｅ，のｅＣ）（. ＆（境… ，一 “①）－ｏｍ－０，２，１ｉｎｇｏｎの，ｉｏｎｏｎａｃｅｒｔａｉｎＳｅｔｄｅｐｅｎｄｉｂｕｔｉｔｒｓ．ｓｈｏｗｔｈａｔＴｂｅｃｏｍｅｓａｄ１．序. ｉＣメから，函数空間への写像で，次－空間の拡張として，Ｇ－空間の積空間耳Ｃをとり，基，のようなものを考えることが出来る． . とし，Ｒヲｘに対して，）（（ｆ。（ａｘ）ｘ）＝ｆ（．。，ｅ，２， … … …），ｆ，ｆ ′ ′ ｆ（）（）ｆ（）＝ｅｆｆｘ）ａ … … ｘ（。．．，，，２，． ″（ｆ））（）ｆｆ）＝ｘａｆ … … … ｘ（．ｅ．２。，，，，２と定義する。このＲ上の函数を，（ｆ，ｏ，ｆ， … …）と記す．ｌ ‘ ｇｅｂｒａとなる．１２Ｚ０ …… は，適当なｎｏｒｍの導入により，ＢｒａｎｃｈａｆＣ … ＝ｆｆ（｛，，，，， … …）ｉ夫，，，又，Ｒヲｘとして，１３）（.

(3) . １４. 藤. ′ ｘ）＝ｆ（ｆ。（．ｘ） ′ ｆ，鰹）＝ｆ”×） ′ ｘ）＝ｆ（ｆ２（３ｘ）. 戸. 伊佐美. ）（ａ．ｅ，（ａ）．ｅ．（ａ）．ｅ．. ののき，（ｆ．ｏｏと同一視することが出来る．， … …）は，超函数ｆ，ｆｆこ）では（ｆ … …）一を取り出し（の。つ，，ｏ，，，の．，… …）は，（ “ ｆｆ（（（のｏ２ｒ…，（れ＝１．）ｏ，，，… …），の，，… …）ゲニ０，. を充たすとする．この条件のもとで，（ｆ，ｏ，……）が，超函数となるための条件を考える．，ｆ仰２．（Ｃ）一空間Ｃｆ（Ｚ＝０１２，，，……）は，区間工上で定義された実数値函数で，Ｚ回連続微分可能な函数の全体を示すものとする．の＝｛（ｆＥＣご２＝ ○ １２ … …－（Ｃ）ｏ，ｆｂ ……）１，，，，ｆとする．（ｆｏ．，，… …）は，１上の函数であって，ｆ（（（（）ｘ）＝ｆｘ）ａ。，。，ｆ．ｅ，… …）． ′ ′ ｆｆｆ（） … … （）（＝）（）ｘ。．ｘａ，，．ｅ，．ｆ（ｏ，ｆｂ… …. （（）… … … … … … … … … … … … … … … ｘ）＝ｆ“）ｘ）ａ．ｅ．. なる関係を充たすものとする．こ・で，. 妾ｆ（ｘ）＝ｆの（ｘ）又，測度０の集合を除いて，叢（毎，・・・・・・）（ｘ日毎，，）◎ ◎ ，，－－．と記した．上記関係式を，云いかえると，ｆｆ（；（ｘ）ｏ，ｆｂ… … 貿ｘ）；（，ｆも… …）. 一般に，（ ″ ） ” ）ｆ（ｆ拶（ｘ）ｏ，，ｆ，… …）ｘ）ご（，＋～，… …）となる．（Ｃ）のの元（ｆ（ｇｏｏ，，ｆ，…… ，ｇ，， … …）に対して，ｆｆ（ｆ … … ）＋（ｇ。。，．，，十ｇ， … …），ｇ．， … …）＝（。十ｇ。，ｆ. と定義する．又，実数ａに対して，ｆａ（ａｆ。，。． … …），ｆ， … …）＝（，ａｆ. と定義する．Ｚ＝｛（０ｐｏご：１上の実係数ｉ次の多項式… とし，， … …）ｌｐ，，ｐ，ｆｆ（ … …）－（ … … ）ＥＺｇｇ。。，，，，，，ｆｆのとき，（ｏ，．， … …）と（ｇｏ，ｇ，， … …）を同一視した空間を. 節＝（Ｃ）Ｚ（Ｃ）の－空間は実数体Ｒ上の線型空間となるＣ）とすると，（，．閲－空間で積を次のように定義するＣ）次に，（，，ｆ（（ｈ。ｇ。。，，ｆ， … …），ｇ，， … …）＝（，ｈ．， … …）（１４）.

(4) . （Ｃ）①－空間と超函数の関係について. とし，ｈｏ＝ｆｏｏｇｏｈｉ＝ｆｉ十ｆｌｏｇ。ｏｏｇ. ぎ＝０. とするｏ但し，れ！. である．このときｆ（〕′ （（ｘ）〔ｇ。。．，ｇ．， … …），ｆ， … …）ｆ・γ〕（×）となるｏ）（（ｆ・）〕（・ｙ（ｘ）＋〔（＝〔ｇｏｇｏ．ｏ，・…・，ｇ．，，－…・ｏ，ｆ，．…．，ｇ，，．…．，ｆｍｆｆ）に対して（ … … … （ … 元（ … … Ｃ空ｇｏ補題１（）－間のｅｏｏ，ｇ，，，，．，ｅ．，ｆ … （｛（ｅ。ｇ。。．，ｇ，， … …），ｆ， … …），ｅ，， … …）ｏ（ｆ１ｆ）（ｏ（。＝（ｅ。ｇ。，ｇ，， … …），．，…… ，ｅ．， … …）｛となるｏ. （証明）左辺のｎ回微分は，定義より . Ｘ１. ｉ＝０. . ブ）ご〉）ＣブＺｊＣｚｅ～．月当ｆ．ｇ髪ラご：０. と，殆んど到る所等しい． “Ｃｏ；－．Ｃｏ； … … ＝ｏｃｏニー，. Ｇ＝. Ｃ“ －ｊ（ｏ ≦ ブ ≦ ％）. より，上記函数は，ブ. れ. ）郡当りブ））８髪ラ＝呂Ｇ（ヱ月ご . となる．従って，補題は，成立する．. ｍ－空間はａ以上のようにして，（Ｃ）ｇｅｂｒａとなるｏ，ｌ. ｍ－空間はＢａｎｃｈａｌＣ）ｇｅｂｒａとなるｏ補題２（，ｆ（ｇｏ＝（，ｏ，ｇ，， … …）＝， … …），ｆ. （証明）. “ ≦ Ｉゲ＝＝魂計器Ｇｇ解剖１（ｇ。ｆ；＝（，， … …）＝。，ｇ，， … …）＝ｏ｛，ｆ. 仰－空間の性質３ｏ（Ｃ）仰－空間の元を，中，Ｔとする．即ち，（Ｃ）ｆ），（ｆ ‐ Ｔ＝（．ＥＣつ．ｏ，‐…．，ｆＣｉゆ＝（の。， … …），（のＥ），の．. とする．補題３. ２＝０，１，２，… … のときｏ. ｆ｛）ニ０（Ｔ①）. （１５）. １５.

(5) . 藤. １６. ｝＝０）”－１（Ｔ①′ ２）＝０２））”－（Ｔや（. 戸. 伊佐美. ごＴ①” ）となる）①＝（－１）ならば，ＴＯ．. ）γ＝０（Ｔ中ロー１. ′ －２） ″ ＝０よりで′①｛｝｝＝０（Ｔ①ロー２））十Ｔ①” １ ‐ ）， γ ＝０より，Ｔ ①（」１，（証明）（Ｔ夢ご. ぎー１）十Ｔ①① ＝ ○ ２Ｔ′①（ ’ ′ ・. ご－２）＝Ｔ①① Ｔ″①（. ）γ′ ；０よりまた，（Ｔ①”－３，. ｉー１）十Ｔ① ◎ ＝０・ゼー２）十３Ｔ′①（ ≠ －３）十３Ｔ″①（Ｔ′″①（ ′ ．. ‘ －３）＝－Ｔ①① Ｔ′″①（. 以下，同様にして，. ごＴ①① ＴＱ）① ＝（－１）. となる．. た）γ ＝０（々＝０１２ … …）補題４（Ｔ中（，，，ならば，任意のｎに対して（ｎは，自然数）） ① ＝（一．）刀Ｔ①◎ Ｔ（れ. （証明）任意のｎに対して，（Ｔ①γ ＝Ｏ（Ｔ夢ｙ；０２）ｙ＝０（Ｔの（. ）γ ＝。（Ｔ①＠一１より，. （Ｔ◎ ◎ ＝。（れ一１）＝。（Ｔ．））γ ＝。カー１（Ｔ①（. となるから，補題３より）刀Ｔれ）① ＝（－１）Ｔ（れ. となる．. 定理１（Ｔねγ ＝０，（れ＝０，１，２，… …）２は，整数）とすると，ならば，任意の自然数々に対して，々 ≧ Ｚ ≧ ０（ｆ（にＰｆｒ）ｆがりｒ）＝（－１）のとなる．. （証明）. の. ′（）た）＝－ｆ，の毒ゴ； … … ＝－１）ｆｒ・の。. を示せばよい．これは，）ｙ＝ｏ（Ｔ①（か１ ″ご０た－２））（Ｔ①（. （Ｔ ①）◎ ＝ ○ が成立すれば，示される．ところが，この関係式は，条件より，明らかに成立する．１６）（.

(6) . （Ｃ）①－空間と超函数の関係についてｓｕｐｐＴ＝. １Ｔ（ｘ）≠. １７. 〕ｘＥ工. ｘ） ≠ ｓｕｐｐの“）；〔幻の妙（. 〕ｘＥ工，（“ ＝０，１，２，… …）. とする．定理２（Ｔ “サニ０，（れ＝０，１，２，… …）のとき。）（れ＝○ １２ … …）ｓｕｐｐＴコｓｕｐｐの拶，，，，. ならば，任意の自然数 ” に対して，）＝ＳｕＰＰの０Ｓｕｐｐの“ ０）である）となる。（の。＝⑦も．. （証明）適当な “ があって，ｘ） ≠ ○ の。（. １） … … … … … … … … … … … … … … …（. Ｘ）＝ ○ ｘ） ≠ ０，の。（の夢（. ２） … … … … … … … … … … … … … … …（. ｘ）＝の夢（または，. ２≦ 粥ならば，１）の場合は，定理１より，７とする。（ｆ）；０（）。の卿（ｘｘ。. となる。再び，定理１を使うと，ｆ妙｝の。（ｘ）＝０となる．仮定より，ｆ卿（）＝０ｘとなる．次に，（に火Ｘ） ≠ Ｏｆ. ）（）＝０とから，ｘとすると，定理１との拶（）ｆ（Ｘ）・の獣ｘ）；０，（粥 ≧ １）饗：｛となる．従って，. ）；０，（ｍ≧１）ｘの妙（となる．定理１より，. （にｔ）（に曇）（（ｆ（Ｘ）⑦”×）ニーｆｘ）◎のｏｘ）. ｛に？）≠ ０としたことと予盾する｛）｛（）＝０となり，ｆ：＝ｘとなる．仮定より，ｆ。故に，. （にＰｆ（）＝Ｏｘとなる．以下，同様にして，Ｔ（ｘ）＝Ｏ. ）の場合は，起り得ない。１が，示されるから，（（）の場合は，２（ｆ夢（）ｏの。ｘ）＝ ○ ｘ１２となるから，粥＝０，，，… … に対して，. ）＝０）ｏｆ妙（ｘｘの妙（）ｆ穿（）＝０となるとなり，ｘ。即ち，Ｔ）＝０となるから，この場合も，起り得ない．４。超函数との関係ののＥＣとし， ① ；（の，の，の， … …）. （１７）.

(7) . 藤. １８. 戸. 伊佐美. ｍに対してとおく．ＴＥ（Ｃ），ｉＴ①① ）① ；（－１）ＴＯ. Ｚ＝１２ … …）（，，. ならば，ｓｕｐｐの上で，Ｔを超函数と見倣すことが出来る．何故ならば，（ｆｆｅｃつ. ｆＴ；（２ｒ …．）．ｏ，ｆ，ｆ．とおき．. Ｃｏｍｐａｃｔｓｕｐｐｏｒｔを持つＣの－空間の元を. Ｚ；１，２，… …）ｆ（の０，とおけば．のｏぎは，，ズニ１，２，… …）ｓｕｐｐのコｓｕＰｐの０，（，ｓｕｐｐの＝Ｕｓｕｐｐの０ｆ，. ）（ａ．ｅ．. を充たし，粥＝０，１，２，… … に対して，）（Ｚ一の）；→ の（ｍａ・ｅＪ（の』〆なる如くとれる．ｆｏはｓｕｐｐの上の超函数と見倣せるから，，. 〃『）仰け直＝ ←・）すけ濯くめゐ. （Ｚ＝１，２，……）. となる．故に，. だめののみ＝ ←．可んがり禽. （彫１，２，……）. となる．一方，仮定より，（ｍ）ｆ留）① ＝（－１）ｍｆｏの. ）（粥；１，２ｒ …・. となるから，. （のりゐを騨ののみ－←．戸ル，のとなり，. ）ぬ）み；をふめぬ）みル評が成立する．従って，ｓｕｐｐの上で，）ｆ夢＝凡ｍ（）ａ．ｅ．即ち，ｓｕｐｐの上で，）二ｆ）Ｔ（ｍもｍ（）（粥＝１，２ｒ …・）ａ．ｅ．となり，Ｔは，ｓｕｐｐの上で，超函数ｆｏと同一視することが出来る．ｆＴ；（．２。，ｆ，－…．），ｆ ①ｏ；（の０，の，，の２， … …）ｍＣ）－空間の元とし，は，（ｓｕｐＰＴコｓｕｐｐリヂ. （雀，ブ＝○，１，２，… …；Ｚ≦ブ）. とする．中．＝（の，，の２，の３， … …） ①２；（の２，の３，の４， … …）. （１８）.

(8) . の－空間と超函数の一工日（Ｃ）関係について ′ ′ 、」、. １９. の；（の“ ２，の十，，の＋， … …）とおく．また，のをＣの－空間の元とし， ①帥＝（の，の，の， … … …）. とおく．節－空間でＣ）定理３（，する．〔Ｔ①？〕 ′ ＝Ｏ（ｚ～ブ；０，１，２，２ …；Ｚ≦ブ），らば，Ｔは，ｓｕｐｐの上で超函数と見倣すことが出来て，. ，その上で超函数の意味で，ｆ。＝Ｔとな. （証明）仮定と定理１より，. ” ｆ拶）‐のた）＝（－１）. ・の長靴（）ｘ. なる。仮定より，）→の（）ｘの”× ，（かの）（）の鯖 ”×） →⑦ × ，（←－ｍ）なるから， ″ｆ・（の（ｆ妙・の（ｘ）＝（－１）Ｘ）。のゞ成立する，。. 従って，定理３の前に書いたことから定理は成立する，，． ‘ ）補題５〔Ｔ①～〕′ ＝０（” ＝０，１，２，… …；Ｚ≦“，. ご）ｓｕＰＰＴコｓｕＰＰの～. ｚソ；○，１，２，… …；Ｚ ≦ブ），（する。０ ≦ Ｚ ≦ ” ならば， ′ ）ｓｕＰＰの」“ コｓｕＰＰの” （）ａ．ｅ．なる．. （証明）先づ，）（ｓｕｐｐの婚１コｓｕｐｐの封１ａ．），ｅ. なることを示す．の」；；（）＝０，の」狩り（）≠ ０とすると，の銭が，Ｃれ十１→ －空間の元であるこｘｘより，このような点ｘは，弧立点となり，測度０の集合に属する．定理２と仮定から，. ）－）－ｓｕｐｐの」”１ｓｕｐｐの” なるから，. ）（ｓｕｐｐの」”コｓｕｐｐの” ）ａ．ｅ．なる．. 系，補題５の条件と同じ条件を充たすものとする或るれ〆（０ ≦ Ｚ ≦ ”）があてザニ」ｉっ，の．リｌ）上超函数の意味でｆ＝Ｔとなるらば，ｓｕｐｐの豆，，。．（証明）定理１と仮定から，. ）；－ｆにＴ１）・鼠ナ１）ｆｒ）・の” 夢．. （左＝１，２，… …）. Ｉ）を超函数と見倣すと定理３の前文よりなる．ｆにＴ，，. ）！ル雪のｇ１励み＝－‘ 館Ｉ. 溜めゐ. （１９）.

(9) . 藤. ２０. 戸. 伊佐美. となる．以上の関係と，仮定から，. ）りぎ）（尤励ふも）がり伽－‘′ ハＺＦＬ′ ．嫉も－の“ ，ｆ）上母）＝ｆ髪１（ａ故に，ｓｕｐｐの豆．ｅ．）となり，従って，超函数の意味で，Ｔ＝ｏとなる．，. （２０）.

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