滲透性基礎の地下水流と揚壓力に就て

滲透性基礎 の地下水流 と揚壓力に就 て

正會員 工學博 士 本

間

仁*

濱

田

徳

一**

要 _{旨 砂 礫地 盤 上 に 設 け られ た低 堰 堤 の 下 を流 れ る地 下 水 流 の問題 の 中 で,未 だ解かれて ゐない幾 つ} か の 間題 を複 素 ポ テ ンシァル理 論に よつ て解 き,底 面へ の揚 壓 力分 布 の比 較_{,検 討 を試 み た も ので あ る。} 尚本 論 文 は 濱 田徳 一 君 が東 京 帝 國大 學 第 一 工學 部 在 學 中に 卒 業 論文 として纒 め た もの ゝ中か ら,筆 者が要 點 を抜 萃 した も ので あ る。 從 つ て 第2章 以下 の 數學 的取 扱 ひ及 び數 値計 算 は總 て 濱 田 君に よ るも ので あ る_。 (本 間 仁 記) 目 次 第1章 序 説 第4章 下部 不 滲 透層 の影 響 第2章 2列 の矢 板 を有す る揚 合 第5章 短 形 縦 斷 面 を持 つ基 礎 の周 りの地 下水 流 第3章 揚 壓 力 の分 布 第6章 雑 論

第1章

序

説

複素 ポテ ンシァル函敷 の理論を鷹用 して地下水流の問題を取扱 つた ものは甚だ多い。堰堤基礎の滲透流 の問題 に

就 て2,3の 例 を學 げ て見 る と,圖-1の 様 な場 合 に就 て はW. Weanerの 解が あ る1)。そ の 方法 を簡 單 に述 べ れ ば 圖-1の 様 に堰 堤 の底 幅 を2cと し,矢 板 の長 さ をdと し て 圖-1の 様 にZ面 の座 標 を取 れ ば,Schwarz-Christoffel の 定 理 を 應 用 してZ面 の下 半 分 が 次 の 寫像 函 數 に よつ てZ1 面 の 下 牛 分 に 寫 像 され,Z面 で のBCDEFはZ1面 で は B'C'D'E'F'に 移 る 。

(1)

但 しE'をz1=1に,D'をz1=0に,C'をz1=-1に,A' をz1=-∞ に 澤 ん だ 。 從 つ てb=c2, d=-c1で あ る 。B' とF'をmと 物 とす れ ば 圖-1.

(2)

そ こで 原 點 をmnの 中點 に移 し,√mn=2と な る様 に 長 さを變 へれ ば

(3)

w=φ+iψ の 面 とZ1'面 と の 關 係 は

(4)

* 東 京 帝 國 大 學 教 授 ** 工 學 士 海 軍 中 尉

1) Weauer: Journal of Math. and Physics, 11, 114

, 1932又 はM uskat: The Flow of Homogeneous Fluids through Pofous Media

2 滲 透 性 基礎 の地 下水 流 と揚壓 力に 就 て 73 圖-2 但 し Δφ=φ2-φ1で あ る。 更 に α=2c/d, β=b+c/d,x'=x+cと 書 け ば,(4)式 か ら底 面 の揚 壓 力 分 布 が 次 の様 に表 は され る。 圖-3.

(5)

但 し 勉 及 びPlは 上流 側 及 び下 流 側 水 底 面 の壓 力 で,Δp=p2-p1で あ る。 圖-3は 碓2c'の 時 の 矢 板 の位 置 と 壓 力 分 布 との 關 係 を 示 した もの で あつ て,矢 板 の 位 置がx'/2c=0,1,2,…,10の11種 の 場 合 を 示 して ゐ る 。之 か ら見 る と揚 壓 力 の 分 布 は普 通 に行 はれ て ゐ る直 線 的 分 布 の假 定 とは か な り違 つ て ゐる 。 圖-4は 矢 板 の 位置 と全 揚 壓 力 及 び 揚 壓 力 モ ー メ ン トとの 關 係 を 示 した もの で あつ て,d=2c及 びd=c/2の 二 つ の 場 合 の 曲線 を與 へ て ゐ る 。 含 水層 の厚 さがhで,そ の 下 に 水 平 の 不 滲 透 層 のあ る場 合 に 上 と同 じ く一 つ の矢 板 の あ る 問題 の解 はMuskat に よつ て 求 め られ て ゐ る2。 こ の時 のZ面 とZ1面 との 關 係 はA'をz1=-1,B'をz1=0,C'をz1=1,F' をz1=-a,G'をz1=b,E'を-m,D'をmに 移 せ ば

(6)

√z12-1の 符 號 はz1<-1の 時 は-,z1>1の 時 は+,-1≦z1≦1の 時 は 正 の 虚 數 で あ る。C'に 於 け る 條 件 か ら c2=0で あ わ,又B'に 於 け る 條 件 及 びz1=±mに 於 てzがz+ihに 移 る 事 か ら 從 つ て(6)式 は家 の形 に な る。

(7)

z1面 をw面 に 移 す とE'F'が φ=φ1,F'G'が ψ=0,GD'が φ=φ2D'E'が ψ=ψ2と な つ て,Z1面 の 實 軸

74 滲 透性 基 礎 の地 下 水流 と揚 壓 力 に就 て 3 圖-4. 圖-5.

上部がw面

では矩形 の内部 に寫 され る。寫像函 數は

の 形 で あ るが,λ=(Dz1-B)/(A-Cz1)と 置 い て 常 敷 を適 當 に擇 べ ば

(8)

矩 形 の4隅 の座 標 を(8)式 に代 入す れ げ

(9)

但 しK及 びK'はk*及 び √1-k*2をmodulesと す る完 全 楕 圓 積 分 で あ る。之 か ら

(10)

k*はA,B,C,Dを 決 め る時 の關 係 式 か ら

但 し

(11)

圖-6は 矢 板 が 底邊 の 中央 に あ る時 のQ/Δ φ とd/hの 關係 を示 した もので あつ て,同 時 に2c/hの 影 響 も表 は し て ゐ る。

第2章

2列 の矢板を有す る場合

表-7 の様 な等 しい 長 さlの 矢 板 の あ る場 合 を 考 へ る。Z面 は次 の様 なSchwarz-Christofelの 變 換 に よつ て

4 滲 透性 基 礎 の地 下水流 と揚 塵 力 に就 て 75 圖-6. 圖-7. Z1面 に 饗 應 され る 。

(12)

こ の場 合 はA1は 實 數 で あ るか ら,A1=1と 置 く。 從 つ て

(13)

Z1面 はRiemann面 で あ るか らそ の上 葉 をx1軸 の 上 側 に 沿 つ て辿 つ て 見 る。 但 し1と1/k,-1と-1/k の 間 に は 夫 々切 斷が あ る。 又0點 は 兩面 で 互 に對 應 して ゐ る。 1>z1>0, argz1=0の 間 はf(z1,m,k)は _{分 母 が 正 ,分 子が負 であるか らz≦0,即 ちz1が0か ら1ま で 増 す} 間 にzは0か ら或 る値(-cと す る)ま で連 續 的 に減 少 して行 く。1/k>z1>1,argz1=0の 間 は(13)式 の被 積 分 が 實 數 値 に な る様 に書 き直 ほせ ば この 第 二項 は-cに 等 しい 。 從 つ てz1が1か ら1/kに 向 つ て進 め ばzは-cか ら-iの 方 向 に進 み,z1=m ま で來 れ ばz12-m2が 符 號 を か へ て 正 に な るか らzは 同 じ徑 路 を+iの 方 向 に 戻 る。 又z1>1/k,argz1=0の 間 は(13)式 のf(z1,m,k)の 分 母 は 負 で,分 子 は 正 で あ るか らzは 負 で,x軸 を 負 の方 向 に 進 む 。 同様 に して z1がx1軸 の 上側 に浩 つ てRiemann面 の上 葉 を負 の方 向 に進 む 時 は,zはx軸 に 沿 つ て正 の方 向 に進 む 。 Z1面 の下 半 面 を 考 へ てz1がx1軸 の下 側 に沿 つ て 進 む 時 を 考 へれ ば,切 斷 以外 の箇 所 で は 前 と同 じで あ り, 1∼1/kの 切 斷箇 所 ではz1がRiemann面 の 下葉 の 値 を 取 り √(1-z12)(1-k2z12)の 符 號 が 上 葉 とは 反 對 に な るか ら,zは1<21<mの 間 は+iの 方 向 に 進 み,m<z1<1/kの 間 は-iの 方 向 に 進 む 。 即 ちZ面 の 上 半 分 がZ 面 の下 半 分 に 寫 像 され る ので あ る。 故 に 圖-7の 様 なZ面 の循 環 流 はZ1面 で は線 分CC'の 周 りの 循環 流 に對 應 す る 。然 る に こ の循環 流 の複 素 ポ テ ンシァル をw=φ+iψ とす れ ば 一 般 には 次 の形 で 書 か れ る。

(14)

1/k<x1<∞, y1=0で φ=φ1 -1/k>x 1>-∞, y1=0で φ=φ2 且 つ φ2-φ1=Δ φ と書 け ば(14)式 は 次 の 形 に な る 。

76 滲 透性 基 礎 の地 下水 流 と揚 壓 力に 就 て 5

(15)

そ こで 数 値 計 算 を行 ふ爲 に は(13)式 を 既 知 の楕 圓 積 分 に 分 解 せ ね ば な らな い 。(13)式 を變 形 す る と

(16)

即 ち第1種 及 び第2種 の楕 圓 積 分 に分 解 され た 。Jacobiの 楕 圓 函 敷 を用 ひてz1=sn(u,k)と 置 け ば

(17)

又(15)式 か ら(第3章 に説 明 す る様 にk=ρg(Δ φ/Δp)=Δφ/π)

(18)

(17)式 と(18)式 か らwとzの 關係 を知 る事 が 出來 るの で あ る。 然 し實 際 に はz1を 實 數 の場 合 に限 る と して も (13)式 又 は(17)式 の數 値 計 算 に當 つ て,楕 圓 積 分 の 數値 表 は1>z1>0に 對 す る 數値 に 限 られ て ゐ る。從 つ て 更 に 次 の様 な書 き換 へが 必 要 で あ る。 i)1≧z1≧0(z1は 實 數),こ の 時 はz1=sinω と置 き

(19)

之 に 楕 圓 積 分 の函 數 表 を使 用 す る3)。 ii)1/k≧z1≧1(z1は 實 數),こ の 時 は 完 全 楕 圓 積 分K(k),E(k)を 用 ひ て(13)式 を 書 き直 ほ せ ば そ こ で1-k2z12=k'2t2,1-k2=k'2と 置 き,k'をmodulusと す る 完 全 楕 園 積 分 をK',E'等 と書 け ば (20) t=sinα と置 け ば 3)例 へ ば,林 桂 一:「 高 等 函 數 表 」

6 滲透 性 基 礎 の地 下 水流 と揚壓 力 に就 て 77 然 る にmの値 はkm2K'-1/kE'=0か ら定 め られ るか ら

(21)

尚z1>1/kの 部 分 は 今 の場 合 あ ま り必 要 で ない か ら暫 く省 略 す る。 又 上 に用 ひ たmの 決 定式 は次 の様 に して導 入 され る。A'及 びC'のzの 値 は一 致 す るか ら 1-k2z12=k'2t2と 置 い て計 算 す れ ば 左 邊 はim2K,右 邊 はi/k2E'に な る。 從 つ て

(22)

故 にkの 値 を適 當 に擇 べば,そ れ に對 す るZ面 の流 線 圖 を書 き得 る 筈 で あ るが,一 般 にz及 びz1が 複 素 變 數 で あ る 爲 に そ の 數 値計 算 は甚 だ 困難 で あ る。 よつ て 今 の場 合1/k>z1>0の 間 のzとwの 關 係 を求 め る事 に止 め る 。然 し堤 體 へ の揚 壓 力 の計 算 に は之 だ け の 數値 計 算 で充 分 で あ る。 先 づOA/AB(=c/l)とkと の 關 係 を 求 め る。(19)式 に於 てz1=sinφ で あ るか ら,z1=1に 於 て φ=π/2で あ る。

(23)

(24) 從 つ てkを 與 へ れ ば(22),(23),(24)式 か らm,c,lが 定 ま る。然 しlは 次 の式 か ら定 めた 方 が 簡 單 で あ る 。即 ち (21)式 か らz1が 實 數 で1/k≧z1≧1の 時 にzの 虚 數部 は α の函 數 で あ つ て,そ の極 小 値 がB'のzの 値 に な つ て ゐ る。 從 つ て と書 け ば,α は 次 の式 か ら定 ま る。 之 か ら定 ま る α を α1で 表 は せ ば,α1=sin-1(√1-k2m2/k')で あ つ て,lは

(25)

この様 にkを 與 へ れ ばc1/l1mが 定 ま る ので あ るが,初 め に(12)式 のAを1と 置 い て ゐ る か ら,一 般 的 にAを 未 知 實 數 とす れ ばl/cが 定 ま る事 に な る。 表-1にA=1の 場 合 のc,l及 び一 般 に適 用 出來 る〓cの 値 を與 へ た 。 次 に圖-7の 場 合 の 矢板 の 位置 が 對 稱 に 少 し動 か され て圖-8の 様 に なつ た 場 合 を 考 へ る。 この 時Z面 で は 圖 の 様 な循 環 流 と考 へ る とE,E'附 近 で 速 度 が 甚 だ 大 きい 事 に なつ て 實 際 とやゝ 違 つ た もの に な るが,近 似 的 に は 充 分 で あ る 。Z1面 は 前 と同 じで あ るか ら(13)式 が 用 ひ られ,只Z1面 で の循 環 流 がEE'(長 さ2n)の 線 分 の周 り

8 滲 透性 基 礎 の地 下水 流 と揚 壓 力 に就 て 79 の流 れ に な る 。OA=c1と 書 け ばc1/lとkの 關 係 は(23)式 か ら與 へ られ る 。z1とwの 關 係 は

(26)

そ こでz1=sn(u,k)な

る〓 を媒介複素變 數 として

(27)

圖-8. nはAE/OAか ら 定 め られ るの で あ るが,そ の爲 に はz1が 實 數 でz1≧1/kの 時 に(13)式 を 計 算 せ ね ば な らな い 。 こ の計 算 に は次 の様 な變 形 が 必 要 で あ る。(16)式 か ら そ こ でz1=1/kvと 置 け ば

(28)

從 つ て0≦v≦1の 間 の 積 分 に 變 換 され た が,數 値表 の な い第 三 種 楕 圓 積 分 が 入つ て來 た ので 實 際 の計 算 は や は わ 困 難 で あ る。 そ こで(28)式 の代 りに

(29)

を用 ひ る事 とし,之 か らzとz1の

關係 を實軸上 で數値的 に求 めて,Z面

のE'に

對 應す るz1の 値 か らnを 定

めねばな らない。

第3章

揚 壓 力 の 分 布

地下水の流れでは速度が小 さいか ら慣性項が省略 され て,定 常運動 では次 の様 に書かれ る4)。

(30)

但 し φ は速 度 ポ テ ンシ ァル で,sは 流 れ の 方 向 に,yは 鉛 直 上 向 き に測 る。(30)式 を積 分 す れ ば 次 の様 なpを 與 へ る式 が得 られ る。

(31)

4) 本 間 仁:「 高 等 水 理 學 」168(頁.

80 滲 透 性 基礎 の地 下 水 流 と揚 壓 力 に 就 て 9 p1,y1,φ1は與 へ られ た 點 に於 け る値 で あ る。 こ の式 か ら等 ポ テ ンシァル面 上 で はp/ρg+yが 等 しい 値 を 持 つ 事 が わ か る。 尚k=ρg(φ2-φ1)/(p2-p1)=ρg(Δ φ/Δp)で あ る。 先 づ 圖-7の 場 合 の底 面 に沿 ふ揚 壓 力 を計 算 す る。 こ の時 はz1が 實 數 で,1≧￨z1￨≧0で あ り,y=0で あ る。 底 面 に沿 つ て Ψ=0と す れ ばw=φ で み るか らz1=1/kcosφ で あ る。 又 矢 板 面 に 沿 つ ては1/k≧￨z1￨≧1で あ るか ら 矢 板 面 上 で も φ=0で あ る か らzz=1/kcosφ に な る 。 例1,p1=1,p2=0と す れ ば Δφ は 以 ず π で あ る か ら,滲 透 係 數 は ρgπ で 與 へ ら れ る 。modulus kを1/2 とす れ ば θ=sin-1k=10°,從 つ て 表-1に よ りl/c=0.34811で あ る。 計 算 の 結 果 は 表-2a,bの 様 に な る。 表-2a.

10 滲透 性 基礎 の地 下 水流 と揚壓 力 に就 て 81 表-2b. こ の結果 か ら揚壓 力 の分 布 を圖-9に 實 線 を以 て示 した。 點 線 は一 般 に行 はれ る様 に速 度 を一 定 と考 へ て求 め た 直 線 的 の揚壓 力 分 布 で あ る。 例2.k=0.3420,θ=sin-1k=20°,l/c=0.54268, p1=1,p2=0,Δ φ=π と し て 底 面 揚 壓 力 の み を 求 め る 。 表-3.

82

滲透性基礎 の地下水流 と揚壓 力に就て

11 圖-9. 例3. k=0.1736,θ=sin-1k=10°,l/c=0.89756,p1=1,p2=0,Δ φ=π と して 底 面 壓 力 の 計 算 値 の み を示 す 。 例2及 び 例3の 揚 壓 力 分 布 は 圖-10及 び 圖-11に 示 し て あ る 。 全 揚 壓 力 は 一 般 に 行 は れ る 近 似 計 算 と等 し く な 圖-10. 圖-11. るが,そ の 作 用 點 は 常 に 堤 體 の 中 央 に 近 く,特 にl/cが 大 き く な る程 そ の 傾 向 は 著 しい 。 表-4. 次 に 圖-8の 場 合 の 揚 壓 力 分 布 を 計 算 す る 。z1が 實 數 でn>1/kの 時 に(19),(21)及 び(29)式 か ら i) 1≧￨z1￨≧0

12

滲透性基礎 の地下水流 と揚壓 力に就 て

83 ii) 1/k≧￨z1￨≧1 iii) ￨z1￨≧1/k 但 しiii)の 最 後 の 積 分 は 數 値 積 分 に よ つ て 計 算 す る 。 例4.k=0.1736,θ=sin-1k=10°,l/c=0.89756, p1=1, p2=0,Δ φ=π,n=6.0000と す る 。 z面 とz1面 の 關 係 は 例3と 同 じで あ る 。 然 しz1≧1/kの 計 算 を行 は ね ば な ら な い 。

の數値積

分 に はsimpson則 即 ち を 用 ひ てxnか らxn+2ま で の 積 分 を 求 め て,順 次 之 を 加 へ た の であ る。 表-5に は2の 實 數値 に封 す る計 算 値 のみ を示 した。 表-5a. 表-5b.

84 滲 透 性基 礎 の地 下 水流 と揚 壓 力 に(就て 13 こ の 結 果 を圖-12に 示 し た(圖 に は 矢 板 上 の 値 も示 す)。 こ の 場 合 は 堤 底 中 央 か ら 前 後 の 端 ま で の 距 離 を夫 々c' と す れ ば,l/c'=06395に な つ て ゐ る 。 矢板 が不 對 稱 に置 かれ て ゐ る場 合 に 就 ても 一 つ の例 を計 算 して ゐ るが之 は 省 略 す る。只 こ の 場 合 で も例5の 場 合 で も全揚 壓 力が 普通 の近 似 計 算法 に よる もの よ りも小 さ く なつ て ゐ る。 矢板 の長 さが 等 し くない 場 合 に就 て もz面 とw面 の關係 を表 示 す る事 は 出來 る5)。然 しこ の場 合 は z1を 實 數 に 限 つ て も表 示 式 を 簡 單 な楕 圓積 分 に 分 解 す る 事 は不 可 能 で あ り,從 つて この制 限 内で も数 値 積分 のみ に 依 らね ば な らない 。 圖-12.

第4章

下部不滲透層 の影 響

圖-13の 様 に深 さhの 庭 に 不 滲 透 層 の あ る場 合 を 考 へ る。 圖 の様 なz面 とt面 との 間 の 寫 像函 數 はSchwarz Christoffelの 定理 に よ り

(32)

z=0に 甥 し てt=oで あ る か らB=0で あ る 。 切 断 はt=1∼1/k及 び-1∼-1/kの 間 に あ る 。 そ こ で ζ=ktな る ζ 面 を 考 へ て,ζ 面 とw面 と の 關 係 を 調 べ る 。 兩 者 の 對 應 はCD上 で φ=φ1,η 軸 上 で φ=0, C'D'上 で 圖-13. 圖-14. φ=-φ1,流 線COC'で φ=0,流 線DED'で φ=φ1で あ る。 そ こ でw面 の 矩 形CC'D'Dの 内部 を ζ 面 の 上 半 面 に篤 像 して 圖-14の 様 に 關 係 を つ け れ ば (33) ζ=1に 於 てw=φ1で あ る か ら φ1=A'K(h)に な る 。 更 に φc-φc'=2φ1=Δ φ と書 け ばA'=Δ φ/(2K(h))に な つ て 5) 佐 々 木 達 次 郎:「 等 角 寫 像 の 應 用 」,p. 227∼230に 類 似 の 問 題 が あ る 。

14 _{滲 透 性基 礎 の地 下水 流 と揚壓 力 に 就 て 85}

(34)

(35) (32),(35)式 か らzとwの 關 係 を求 め る ので あ るが,(32)式 は 更 に數 値 計 算 を な し得 る様 に變 形 せ ね ば な らない 。 即 ちt=sn(u,k)=snuと 置 け ば(32)式 は 1/n2=k2sn2aと 置 い て第 二 項 を變 形 す れ ば

(36)

(37)

kとaはz面 の形 か ら定 ま り,mは 後 に述 べ る様 にk,aか ら定 め られ る。Aは 兩 圖 形 の 間 の倍 率 を 定 め る常 數 で あ るか ら1と 置 い て も よい 。 i)Aで はt=1,u=K(k), z=-c,之 を(36)式 に代 入 す れ ば

(38)

ii)Cで はt=1/k,u=K+iK',z=-c

(39)

iii)Eで はt =∞,u=iK',z=-ih,

(40)

iv)Bで はt=m,u=um,z=-c-il

(41)

今 楕圓 積 分E(u)をTheta函 θ(u)=〓4(u/2K/T)を 用 ひて と書 け ばZ(u)は2Kを 週 期 とす る單 週 期 函 數 で〓4の 三 角 級 數 展 開 を利 用 して 計 算 が 出 來 る。 而 も Ⅱ(u,a)と Z(u)の 間 の關 係 式 か ら次 の式 が 得 られ る。

86

滲透性基礎の地 下水流 と揚壓力に就て

15 38),(39)式 か らcを 消 去 して 更 にZ(a)を 導 入 す れ ば

(42)

又(38),(41)式 か ら

(43)

篭つ て あ らゆ るAに 蜀 してm,h/l,l/c等 が 定 め られ る。 更 に流 速 分 布 を 計 算す るに は

(44)

例5.A=-1と し,a=1.3, 2.0; k2=0.1, 0.2,…0.9に 對 す るm2,l,c,h,を 夫 々 に 計 算 す る 。 但 し q=e(K'/K)π と 書 い て 又lの 計算 に はum=K+iyと 書 い て

(45)

を 用 ひ,yはsn か ら

(46)

と し て 求 め られ る 。 又cosπ/K(um±a)は

16 _{滲透性 基 礎 の地 下 水流 と揚 壓力 に就 て 87}

か ら 計 算 され る 。a=1.3,2.0の 場 合 を次 の表-6,7に 示 す 。

表-6a. a=1.3

表-6b.

88

滲透性基礎の地下水流 と揚壓力 に就て

17 表-7a. (a=2.0,a≦K(k)) 表-7b. 圖-15は こ の 兩 表 の 結 果 か ら,支 へ ら れ たk2,aの 値 に 封 す るh/1とl/cの 關 係,即 ち 與 へ られ たh/lと l/c及 びaと の 關 係 か らkの 値 を 定 め る 曲 線 を作 つ た も の で あ る。 以 上 の 計 算 を 利 用 し て 揚 壓 力 分 布 を 求 め て,之 を不 滲 透 層 の な い 場 合 の 計 算 結 果 と比 較 して 見 る 。 不 滲 透 層 の 影 響 の 大 き い 場 合 を 取 る 爲 に,a=2.0,k2=0.7の 場 合 を考 へ れ ばl/c=0.5769,h/l=1.4852で あ る 。 圖-15. 計 算 に は(36),(37)の 兩 式 を使 用 す る の で あ る が,こ の場 合 は2K(sna)/Δ φ=1で よい 。 計 算 と左數 値 表 を簡單 に表-8に 示 す 。 又 この 結 果 と して 得 られ た揚壓 力分 布 は圖-16に 實 線 を 以 て示 した。 之 を h=∞ の場 合 と比 較 す る爲 に堰堤 底 面 上流 端 の揚壓 力 の強 さをpzbと 書 いて,第3章 の計 算 か ら 圖-16. 圖-17.

18

滲透性基礎 の地下水流 と揚壓力に就て

89 表-8. 表-9か らl/c-pzb曲 線 を畫 い て,l/c=0.5769に 對 す るpzb=0.6050を 得 る 。 圖-17は 底 面 上 の 各 點 に 封 し て こ の様 な 曲 線 を 作 つ た も の で あ つ て,之 か らh=∞ の場 合 にl/c=0.5769に 封 す る 揚 壓 力 分 布 曲 線 を 豊 け ば 圖-16中 の 鎖 線 の 様 に な り,下 部 不 滲 透 層 の 影 響 の 甚 だ 小 さ い 事)が わ か る 。 表-9.

第5章

矩 形 縦 斷 面 を持 つ基 礎 の 周 りの地 下水 流

圖-18の 場合 にz面 か らz1面 に移す寫像函 數は

z=-ilをz1=0に 移 す か らB=-ilで あ る 。

(47)

之を第1種 及 び第2種

の楕圓積分に分解すれば

(48)

此 處 でA<0と す る と圖 の様 な 寫 像 關 係 とな り,z面 で のEABO1CDFの 下側 がz1面 の 上 半 分 に 移 され る。 そ こでA=-1と 置 く事 にす る。 又z1とwと の 關係 は

(49)

で あ つ てz1=sn(u,k)と 置 け ば(48),(49)式 の 代 り に

90 滲 透 性 墓礎 の地 下 水流 と揚 壓 力 に就 て 19

(50)

前 と同 じ様 に 之 を函 數 表 を 引 き得 る形 に改 め る。 i)z1は 實 數,1≧z1≧0な らば(48)式 又 は(50)式 の 重 ゝで よい 。 ii)z1は 實 數,1/k≧z1≧1な らば こ ゝ で1-k2z12=k'2t2,1-k2=k'2と 置 き,完 全 楕 圓 積 分K',E'を 用 ひ て 書 き直 せ ば

(51)

ゐ を 與 へ てl/cを 定 め る に は(50)式 及 び(51)式 か ら

(52)

圖-18. 圖-19. 表-10.

20

滲透性基礎の地午水流 と揚壓力に就て

91 之 か らc及 びlをkの 函 數 と し て 求 め る 事 が 出 來,從 つ てl/cとkの 曲 線 を 畫 く事 が 出 來 る 。 表-10に A=-1の 時 のc,l,l/cを 與 へ た 。l/cはAに 無 關 係 の 大 さ を 持 つ て ゐ る 。 又 そ の 曲 線 は 圖-19に 與 へ る 。 揚 壓 力 の 分 布 を 求 め る に は,(31)式 に 於 てy=-l,yl=0(k=ρgΔ φ/Δp)と し て 計 算 す る 。 こ の 場 合 も 底 面 に 沿 つ て ψ=0と す る 。 例6.k=0.7660,θ=sin-1k=50°,l/c=0.6817,p1=1,p2=0,Δ φ=π とす る 。(50),(51)を 用 ひ て φ 及 びpを 計 算 し た 結 果 を表-11に 示 す 。 又 壓 力 分 布 曲線 は 圖-20に 示 し た 。 表-11. 表-12. 例7. k=0.6946,θ=sin-lk=44°,l/c=1.081,l=0.6337,c=0.5859,p1=1,p2=0,Δ φ=π とす る 。 本 例 で は 底 面 の 塵 力 の み を 計 算 し た 。 數 値 及 び 曲 線 は 表-12及 び 圖-21に 示 す 。 こ の 二 つ の 例 か ら見 る と一 般 に 行 は れ て ゐ る 直 線 的 な 揚 壓 力 分 布 の 假 定 は 甚 だ し い 誤 差 を 與 へ る も の で な い 事 が わ か る 。 次 に ψ=0の 流 線 上 で の 速 度 分 布 髪 求 め る 。 先 づ 一 般 のdw/dz=-u+ivを 計 算 す れ ば

92

滲透性基礎 の地下水流 と揚壓力に就 て

21

(33)

圖-20. 圖-21. 倒6に 於 け る底 面 の速 度 分 布 を,堤 底中 央 で の流 速 を1と して 計 算 す れ ば表-13及 び圖-22を 得 る。 表-13. 圖-22. 圖-23.

22 滲 透性 基 礎 の地 下水 流 と揚 壓 力 に就 て 93 この 問 題 に甥 して も第4章 に 於 け る と同様 に して 下 部 不 滲 透 層 の影 響 を考 へ る事 が 出來 る。 圖-13の 場 合 と同 様 にy=-hの 所 に不 滲 透 層 が あ る も の とし て,z面 か らt面 へ は に よつ て寫 され る。 又 面vの 考 へ て ゐ る領 域 はt面 の上 半 面 に移 つ て,流 線 の形 はt面 で は圖-23の 様 に な る。 そ こで ζ=ktの ζ 面 を 考 へ れ ば,之 とw面 との 關係 は(34)式 で與 へ られ る。 但 しこ の場 合h=1/ke(0<h<1) と書 く。 從 つ て(35)式 の形 が 成 り立 ち,結 局 次 の式 が 得 られ る。

(55)

(55)式 の 第2式 を 數 値計 算 の 可 能 な形 に改 め る に は,t=sn(u,k)=snuと お き

(56)

此處で積分

を計 算 す る。-1/e2=nと 置 けば 更 にn=-k2sn2(a,k)と 置 け ば

(57)

之 と(55)の 第1式 か ら 計 算 す る の で あ る 。 但 しe=1/(ksna),h=1/ke-sn(a,k)で あ る 。

與 へ られ たz面 の 形 か らk,a(又 はe)を 定 め る 爲 に,前 と同 様 に 先 づk,aを 與 へ て そ れ に 甥 す るc,l,hを 求 め る 。z,t,uの3つ の 面 の 對 應 は 次 の 様 に な つ て ゐ る 。

i)Hで はt→ ∞,z=-ih,u=iK'

94

滲透 性基礎の地 下水流 と揚壓 力に就て

23 ii)Aで はt→1,z=-c-il,u=K

(59)

iii)Bで はt=1/k,z=-c,u=K+iK'

(60)

Ⅱ は前 に與へ た式 に よつて計算す る事が 出來 るので あるが,特 定 なものは次 の式で計算 され る。

從 つ て(58),(59),(60)式 か らl,c,hがA,k,aに よつ て 表 は さ れ る が,Aを 除 け ば

(61)

表-14a. a=0.8 表-14b. a=0.8

24 滲 透 性基 礎 の地 下水 流 と揚壓 力 に 就 て 95

(62)

但 し 〓'(a)/〓(a)はZ(a)と し て 計 算 さ れ る 。 又 母 數 は 総 てkで あ る 。 先 づk=0.8の 場 合 を 計 算 す れ ば 次 の 表-14を 得 る 。 以 下a=1.0,1.3,2.0の 場 合 を 順 次 に 表-15,16,17に 示 し た 。 表-15. a=1.0 表-16. a=1.3 表-17. a=2.0 kを 一 定 に してsna=1/(kc)を 考 へ る とt面 で1/(kc)はRiemann面 上葉 の横 軸 の上 側 に 沿 ひ0∼1の 間 に あ る。 從 つ てt=sn(u,k)でtをRiemann面 上 葉 に取 つ た 時 の寫 像 か らaが0∼Kの 實 數 値 を とる事 は 明 か で あ る。即 ち表-17のk2=0.1∼0.6はRiemann面 下 葉 の状 態 を 示 して ゐ る。 以 上の 計 算 か ら,與 へ られ たa及 びkに よつ てl/c及 びh/lを 與 へ る曲線 を 作 れ ば 圖-24の 様 に な る。

96 滲 透 性 基礎 の地 下 水流 と揚 壓 力 に就 て 25 この 場 合 の揚 壓 力 分 布 を求 め る に は,(55)の 第1式 及 び(57,式 か ら 計 算 す るの で あ るが,Ⅱ(u,a)の 計 算 を 實 數 のuの 場 合 に限 つ た の で底 面 で の揚 壓 力 しか求 め られ て ゐ な い。 圖-24. 例8. a=1.3, k2=0.8,l/c=0.687, h/l=3.592と す る 。 諸 函 數 値 は 表-16に あ る か ら,p1=1, p2=0,Δ φ=2K (sna),sna=0.88697と し て表-18を 得 る 。 表-18.

26

滲透性基礎の地下水流 と揚壓力に就 て

97 表-18に は 左 半 分 の み を示 し て ゐ る が,圖 形 の 封 稱 性 に よ つ て 右 半 分 の 値 を 知 る事 が 出 來 て,圖-25の 曲 線 を得 る 。 例9. a=2.0,k2=0.9,l/c=1,0599,h/l=2.0497,p1=1,p2= 0,Δ φ=2K(sna),sna=0.98162と し,表-17を 参 照 して 計 算 ずれ ば 次 の 表-19及 び 圖-26を 得 る 。 之 等 の 結 果 をh=∞ の 場 合 と 比 較 す る 爲 に は,先 づ 前 の 圖-17と 同 様 なl/cとpzの 曲 線 群 を作 り,之 を利 用 して 例8 及 び 例9に 相 當 す るh=∞ の 場 合 の 揚 壓 力 を 求 め れ ば, 圖-26及 び 圖-27に 點 線 で 示 した 分 布 曲 線 が 得 ら れ る 。 之 か 圖-25. 表-19. 圖-26. 圖-27.

98

滲透性基礎 の地 下水流 と揚壓力 に就て

27

ら見れば下部不滲透層の影響は この場合に も甚だ小 さい事がわかる。

第6章

雑

論

以上 に述 べた複素 ポテ ンシアルに よる解が正 しい結果を與へ るか 否か を調 べる爲 に 粗砂を用ひて簡單 な實 験を

試 みた。實験 では下部不滲透層 の外に兩側に も壁を持つか ら,そ の影響 を考 へる と極 めて簡單 な場合で なければ解

析的 な解が得 られ ない。そ こで圖-28の 様 な唯一 つの矢板 のあ る場 合の解を求 め,A,Bの2點

の關係位置及び

矢板 の下 を通 る流量 に就 て數値計算 と實驗結果 との比較 を試 みたが(流 量 は絶對値 に よら ず,落 差 の變化 に甥す る

變化 の割合で測 る),兩 者 は極 めて よい一致 を示 した。

砂 を填 めた圓〓 の兩端面 に水 位差 を與へ,そ の時 の抵抗係數 を

d=砂 の平 均 徑,I=動 水 勾 配

の形 で表 は しな 時 に・ ζ とReynolds數vd/vと の 關 係 は,つ き固 め ない 砂 に甥 して はRe<8の 間 で はReは ζ に逆 比 例 し6),運 動 は 暦 流 状 態 に あ る。 そ こ で矢 板 の長 さ19.4cm(砂 暦 の深 さ36cm)の 場 合 に就 て矢 板 先 端 附 近 で のReを 計 算 した所,先 端 か ら上 に0.65cm,下 に0.50cmの 間がRe>8で あ つ た 。即 ち この範 圍 内 で は Darcyの 法 則 が 完 全 に 成 り立 つ て ゐ な い の で あ るが,そ の範 圍 は 全 體 か ら見 れ ば 極 めて 小部 分 で あ る爲 に,上 に 述 べ た實 驗 に於 て も計 算 値 との 間 に差 違 が 見 られ な か つ た もの と思 は れ る。 砂 は 輕 く填 め て放 置 す れ ば 下 の 方 か ら締 め固 ま り,一 時〓 の値が 不 均 一 に な る 。 この 様 な状 態 で 實 驗 を行 ふ と 圖-23. 流線 の 形 は 著 し く變つ て來 る 。即 ち 圖-28の 様 な 場 合 な らはhの 不均 一性 の爲 に流 線 は垂 れ 下る。 こ の問 題 に就 て も多 少 の考 察 を したが 茲 に は 省 略 す る。 (昭.18.12.5.受 付) 6)Muskat:前 出,60頁