2019.06.18 1-4 数学 B 第６章 図形と式 §1 点と直線 §1.1 ２点間の距離と内分点 【授業目標】 ・座標の与えられた 2 点の間の距離を、座標に基づき算出できる。 ・座標の与えられた 2 点間を、任意の n : m に内分した点の座標を表すことができる。 ・3 つの頂点の座標が与えられた三角形の重心を表すことができる。 また、2 つの頂点と重心の座標が与えられた三角形の残りの頂点の座標を求めることができる。 ○ x, y 平面内の２点を A(x1, y1)、B(x2, y2) と置く。 → 添え字がついた変数は、具体的な数値。 x1, x2, … xn, … は、x という変数の集合の要素（ x1, x2 … ∈ x ）、ただし、x ∈ ℝ（実数） y1, y2, … yn, … は、y という変数の集合の要素。 〃 A(x1, y1), B(x2, y2) などは、「x, y 平面内の点」という集合の要素。 ○ ２点間の距離 … 複素数の絶対値と同じ考え方。三平方の定理を用いる。→ p164 囲み → 問１、問２（y 軸上の点を P(0,b) と置き、b を求める）、問３（P(a,b)と置く） （追記）2 点を結ぶ線分と 2 点からの垂線および水平線が直角三角形を作図できない場合 （x または y が共通の場合）でも、同じ式が成り立つことを確認する必要がある。 ○ 内分 … p165 点 P が AB 上（A と B の間）にあり、距離の比 AP：PB が m : n であるとき、 点 P は、AB を m : n （の比）に内分する点である、という。 ● 式の形を覚えても間違えるくらいなら、その都度以下のいずれかの方法で自分で導出 する。それがいやなら、絶対に間違えないくらい何度も練習問題を解く。 ● 教科書：図からわかるように点 P の x 座標を計算する際、y 座標は無視して考える。 すると、xP - xA : xB - xP = m : n より、m(xB - xP) = n(xP - xA) と式変形できる。 展開して、xP について整理します。mxB - mxP = nxP - nxA なので、nxA + mxB = xP(m+n) よって、xP = (nxA + mxB)/(m+n) となる。 ● 別法１。A の座標を基準にします。xB = xA + x と書けるとき、x = xB - xA です。 P の座標は、xB = xA + (m/(m+n))･x です。 xB = xA + (m/(m+n))･x = xA + mx/(m+n) = {(m+n)xA + (mxB - mxA)}/(m+n) = (nxA + mxB)/(m+n) ● 別法２。具体的な数値を入れてみる。たとえば、AB を 9:1 に内分する点 P。 重み付き平均だが、点 P の座標が点 B の座標にかなり近いことから xP = (1xA + 9xB)/10 △ 外分 AB の延長上（A と B の外）にあり、距離の比 AP：PB が m : n であるような点 P。 → 問題集 p79 PLUS 例題、430、431 ○ 中点 1:1 に内分する点のこと。点 P の座標は、A, B の座標の単純相加平均。xP = (xA + xB)/2 ○ 三角形の重心 ① 三角形の頂点と対辺の中点とを結ぶ線分（中線）３本は、必ず１点で交わる。 この点を重心という。一般に G の文字を充てることが多い。 ② 三角形の任意の中線を、頂点から辺の中点にかけて 2:1 で内分する点。 ③ 三角形の各頂点に同じ質量の質点があるときの、質点系の重心の位置。
④ 均一な重さの三角形のプレートを一点で支えたとき、全体を支えることができる点。 → 物理的重心。一般的な多角形では、③の質量計の重心とは一致しない。 プレートを細かい断片にして、それぞれの質量 m、重心からの距離 r としたとき、 mr で計算されるモーメントをすべて足し合わせたときに釣り合う。 ④' 四角形の物理的重心の求め方。四角形を隣接しない頂点を結び、2 つの三角形に切る。 それぞれ、三角形の重心を G1, G2 とし、三角形の面積を S1, S2 とする。 G1, G2 の位置に S1, S2 の重さがあるときの重心に等しいので、てこの原理より G1, G2 を S2:S1 に内分する点として求めることができる。 ⑤ 三角形に 3 本の中線を描いてできる小さな 6 個の三角形はすべて同じ面積をもつ。 ただし、三角形を、その重心を通る任意の直線で二分してできる 2 つの図形が いつも同じ面積をもつわけではない。 ⑥ 三角形の重心の公式。 各頂点の座標が A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) の時、 重心の座標は G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3) である。← ③に該当。②より算出可能。 → 問５、問６（⑥の公式を用いる ○ 三角形の重心の存在の証明 【方針１】 三角形の中線 3 本が１点で交わることを示す。 三角形の中線を a, b, c としたとき、a と b の交点が、a と c の交点と一致することを示す。 具体的には、a と b の交点、a と c の交点がともに、中線 a を頂点から 2:1 に内分すること。 a と b の交点を G とし、a の足 L、b の足 M をつないだ補助線 ML を考える。
CB:CA = CL:CM、∠BCA = ∠LCM （共通）なので、△CBA と △CLM は相似である。 相似な二つの三角形において、∠CBA = ∠CLM である。
よって、AB // ML （同位角が等しいので平行線である）
そのため、∠ABM = ∠LMB、かつ、∠BAL = ∠LMA（平行線の錯角は等しい） 従って、△GAB と△GLM は相似。 L は中点なので CB = 2CL となる。 相似な二つの三角形 △CLM と △CBA において、CB = 2CL なので AB = 2ML となる。 相似な二つの三角形 △GLM と △GAB において、AB = 2ML なので AG = 2LG となる。 よって、G は中線 a を 2:1 に内分する点である。 a と c の交点を H とし、a の足 L、c の足 N をつないだ補助線 LN を考える。 上と同様に考えると、H は、中線 a を 2:1 に内分する点であるため、H と G は等しい。 【方針２】 三角形の中線 3 本が１点で交わることを示す。 三角形の頂点の座標を A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) として与え、 三角形の中線をそれぞれ頂点から 2 : 1 に内分した点が、すべて同じ座標であることを示す。 （教科書 pp 166-167.）→ ⑥の公式の証明も兼ねる。 △ 三角形の五心 重心 中線（三角形の頂点と、対辺の中点を結んだ線）が交差する点 外心 外接円の中心、各頂点からの距離が等しい点 内心 内接円の中心、各辺まで下した垂線の足の長さが等しい点 垂心 三角形の頂点から対辺へおろした垂線が交差する点 傍心 1 つの角の二等分線と残り 2 つの角の外角の二等分線の交点。頂点ごとにある。
● 教科書の問題のヒント 関係をはっきりさせるために、座標平面内に各点を作図すると良い（フリーハンドで描く場合も、正確さを意 識して書く）。これにより目視でおよその座標等が分かるから、求めた答えの検算代わりにもなる。 問１ AB、OA、OB はそれぞれ線分の長さ（2 点間の距離）のこと。2 つの点の x 座標の差を x、y 座標の差を y と表記するなら、三平方の定理より求まり、2 点間の距離 d = √(x2 + y2) の関係である。 例題１ 求める点の座標を変数で置く。x 軸上の点は、y 座標が 0 で固定。点 P(x, 0) と置くことができる。 AP、BP をそれぞれ求めると x を含む式となるので、これらを等しいと置く。 図的な意味は、求める点が、A, B を結ぶ線分の垂直二等分線と x 軸との交点の座標。 問２ y 軸上の点は、x 座標が 0 で固定。点 P(0, y) と置くことができる。AP、BP をそれぞれ求めると y を含 む式となるので、これらを等しいと置く。図的には、A, B を結ぶ線分の垂直二等分線と y 軸との交点の座標。 問３ 導かれる関係式が 2 次式になることからもわかるように、求める答えは 2 点まであり得るので注意。 → （発展） 図的には「アポロニウスの円」と呼ばれる円の周と x 軸との交点となる。 線分 AB の両端から、m : n の比にある点の集合、すなわち、アポロニウスの円は、線分 AB を m : n に内分す る点を通る。また、その中心は、線分 AB の延長上（直線 AB 上）のいずれかにあり、線分 AB を m2 : n2 に外分 する点である（下図で、円の中心を O としたとき、OA ： OB = 1 : 2 である）。 m < n の時、この円の中心は、A 側にある。m = n の時は、円の中心が無限遠にまで遠ざかり、アポロニウスの 円の円弧の曲率が極限にまで小さくなり、直線となっていると解釈できる。
問４ 内分点の座標の公式を間違えないこと。 ※ 右図は、垂直二等分線と 2 つのアポロニウスの円 アポロニウスの円の中心は、AB を 1:4、4:1 に外分する点 問５，６ 三角形の重心 G の x 座標 xG = (xA + xB + xC)/3 の公式より求める。
