吸収マルコフ連鎖による
交通規制実施後の街路交通量予測
大矢正樹
永名淳悟
篠原高司
（昭和57年8月31日受理）Forecasting Traffic Flow through the Street Network after
Traffic Regulation by Absorbing Markov Chain
MasakiOYA JungoNAGANA TakashiSHINOHARA Abstract This work deals with the problem of forecasting tra伍c distribution on the streets of an urban tra伍c network after tra伍c reguration． In this paper we show that Markov chain model is available for the accurate simuration of a street network not only in present but also in near future．
1．はじめに
交通規制実施後の街路交通予測は，交通規制案の妥 当性の検討において不可欠である。従来よく用いられ ている配分手法によって街路交通量を予測する場合次 の問題点があげられる。一つは従来の配分手法そのも のが，明日一方通行にしたならぽ交通はどう流れるで あろうか，といったような超短期的な交通量予測には 不向きであること。一つはOD調査によってOD交通 量を求めねばならないことである。信頼性の高い値を 得るためにはサンプル数を多くしなけれぽならないか ら，必然的に多くの経費と時間とを必要とすることに なる。多数の交通規制素案について検討し2，3の代 替案にしぼりこんでいく過程では，OD調査を必要と しない簡便な配分手法が望ましい。 このような配分モデルとしては，佐佐木の提案した ＊：千葉市役所 ＊＊：前田建設工業 「吸収コルコフ連鎖による街路交通量推計モデル」1）が 著名である。このモデルは，発生源（交通量の発生す る所）から街路網に流入した車は任意の吸収源（トリ ップの終了する所）に吸収されるまで，交差点ごとに 定められた右左折直進率に従って運行すると仮定して 街路交通量を求めようとするものである。松井は佐佐 木が吸収マルコフ連鎖を利用して解を求めたのに対し 車の運行が連続マルコフ過程に従うと仮定した時の交 通量分布を求める手法を発表した3）。この中で松井は 佐佐木の解と松井の解が定常状態では一致することを 明らかにすると共に，このモデルの現実の街路網に対 する適合度が実用上十分なものであることを報告して いる。著者らも甲府市の街路網に対して同様な観測を 行い，モデルによる計算値と測定値との誤差がきわめ て小さいことを確認した㌔ そこで残された疑問は次の二つであった。（1）このモ デルでは交差点に流入した車の右左折率および直進率 はすべての車について等しいという明らかに実情とは 異なった仮定を導入しているのに適合度が高いのは何故か。（2）このモデルによって交通規制実施後の交通量 を予測した場合，その適合度は実用上十分なほど高い か。 本稿は上の疑問に答えるためにまとめられた。本稿 の構成は次のとおりである。2．1で佐佐木の提案した モデルについての簡単な説明を行い，2．2ではある条 件のもとではこのモデルによる計算街路交通量と実測 街路交通量が完全に一致することを示す。3では昭和 56年12月に甲府市で実施された交通規制の際に得た資 料によって，このモデルの予測能力の検討を行い，4 で本稿の結論について述べる。 2． 吸収マルコフ連鎖による街路交通量推計モデル
2．1概説
ここで「吸収マルコフ連鎖による街路交通量推計モ デル」について簡単に説明しておこう。詳細について は文献1），2）を参照されたい。 Fig．1のような街路モデルを考える。街路網への 連絡道路には背後地を代表する入口（交通発生源）と 出口（吸収源）が1個ずつ設けてある。交差点間でも 交通量の出入（発生吸収）は当然あるわけであるが， 交差点間の発生吸収交通量を観測することは事実上不 可能なので，交差点間には発生源吸収源は設けないも のとする。 いま発生源からこの街路網に流入した車はいずれか の吸収源に吸収されるまで，交差点の右左折率および 直進率に支配されて全くランダムに街路から街路へと 移動すると仮定しよう。Fig．2に示すように，交差点 から交差点へ向う状態を1本のアークで表わすことに 匿劉・発生源 ［コ・吸収源 Fig．1街路モデル j k …1 ，，＿＿◆
i ” l
i／ 、＼↓’fF、g．2
すれぽ，各交差点の進入方向別右左折率および直進率 でアーク間の遷移確率を与えることができる。Fig．2 でアークiからアークノ，le，1の遷移確率をそれぞれ ρη，Pile， Pitとすれば，これらはアークiの左折率， 直進率，右折率で与えられるわけである。 発生源，吸収源の個数をそれぞれ夕，アークの個数をmとする。通常の街路網ではr〈mであるa行列
の左上から吸収源，発生源，アークの順にならべると 遷移確率行列は 吸 発 アーク噺li）； （・）
と表わすことができる。ここに1は（r×r）の行列で 単位行列，Rは（m×r）の行列でアークから吸収源 への遷移確率行列，Q1は（r×m）の行列で発生源か らアークへの遷移確率行列，Q2は（m×m）の行列 でアーク間の遷移確率行列，0はすべて零行列であ る。言うまでもなく式（1）の右辺の行列の行和は1であ る。式（1）の行列はFig．1の街路モデルを式で表現し たものと，とらえることができる。 アークiの交通量Xiは「街路網へ流入したすべて の車がいずれかの吸収源に吸収されるまでに，アーク iを訪門する回数の期待値として求められる」と定義 すれぽ各アーク（街路）の交通量は，（1×m）の行ベ クトル： X＝IJQ 1（1−Q2）−1 （2） で与えられる。ここに X≡（Xl， x2……Xm） U≡（u、，u2−・・u。） で，〃プ（元＝1，2，……，r）は発生源元より街路網に 流入する交通量である。（1−Q2）−1は（1−Q2）の逆行 列であり，その‘元要素はアークiを出発した1台の 車がいずれかの吸収源に吸収されるまでに，アークブを訪門する回数の期待値を表わしている。 2．2 計算街路交通量と実測街路交通量 交通量はある1地点を単位時間内に通過する車の数 で定義されるから，同じ街路区間でも場所によって交 通量の値は異なる。そこで便宜上実測街路交通量を，街 路両端で観測される交通量の平均値で与えられると定 義することにしよう。Fig．3に示すように，街路iの 両端の交通量がXil， x，2であったとすれぽ，実測街路 交通量xzは（Xil＋Xi2）／2で与えられるわけである。 さて，Fig．1に示されるような街路網で単位時間 内に発生源から流入した車は各運転者が選択した経路 に従って運行し，単位時間内に全車が吸収源に吸収さ れたとしよう。またこの時交差点問の発生交通量，吸 収交通量の値が等しく，その結果Fig．4に示すよう に街路両端の交通量が等しいと仮定する。この時各交 差点で進入方向別に右左折直進交通量を観測し，各街 路（アーク）の実測交通量および右左折直進率（アー ク間の遷移確率）の値が得られたとすると，式（2）で求 められる計算交通量の値と実測交通量の値が一致する ことを以下に示そう。 2．1と同様に発生源，吸収源の個数はそれぞれr，ア ーク（街路）の個数はm（r〈m）とする。説明の便 宜のために発生源につながる街路には発生源の番号と 同じ番号をわりあてることにしよう。すると発生源か らアークへの遷移確率行列Q1，アークからアークへの 遷移確率行列Q2は次のように表わすことができる。 r m一グ
− ＿JL−−−N
叫11＼1il潮・
○÷
、、 ／！夢り
m一夕 r− 一一
礁ii：∴ll［）1
これを式で表わして Ql＝（1 0） （3） Q2＝（O Q2＊） （4） ここに1は（r×r）の単位行列，Q2＊は（m×（m−r）） の行列，0はいずれも零行列である。行列Q2は非負OXt， 、， Xi、○
←一 （一一一一一一一一一一一一一一一」一＝一一一一一一w ← Xi＝（Xil＋Xi2）／2 Fig．3 N A卵
陸圏：発生源 ［：：コ：吸収i原 Fig．4 行列で行和が1以下であることに注意しておこう。 アーク（街路）の実測交通量ベクトルをX，発生交 通量ベクトルをUとする。ただし X≡（Xl x2……Xm） （5） IJ≡（Ul u2・・・… Ur） （6） で，Xi（i＝1，2，……， r）はアーク（街路）iの実 測交通量，吻（ノ＝1，2，……，r）は発最源ノから街 路網への流入交通量を表わしている。今次の2式： m−r−
Xu≡…（Xl……xr O……0） （7） グ−
Xα≡（0……O xr＋1……Xm） （8） で定義されるm次元ベクトルX。，X、を導入すると明 らかに次の関係式が成立している。 X。＝UQl X。＝XQ2 X＝Xu十Xα 式（9），ao）より Xl＝Ul Xr＝Ur X。＋1＝ql。＋1・Xl＋q2。＋1’X2＋……＋qm。＋1’Xm Xm＝qlm・Xl＋q2m’X2＋…’◆’＋qmm’Xm なるm個の方程式が得られるが， ｜ （9） ao） ⑪ これをXi（i＝1，2， …… 香jを未知数とする連立方程式とみなすと，Q1， Q2のランクがそれぞれr， m−rであることからXi （i＝1，2，……，m）の値は一意的に定まることがわ かる。したがってアーク（街路）の式（2）によって求め た計算交通量を島とし， A X≡（Xl x2’°”°’Xm） （5）t m−rA − X．≡（元1…蕗 0……0） Aと定義した時，X， X，、 方程式： A X。 ＝＝ UQi パ A X。＝XQ2 グ ハ Xα≡（0……O A 元，＋1……r，n）A
（7）f （8）’ X、の間に式（9），ao）と同型の （9）’ ㈹’Aが成立すれぽX＝Xであることは自明である。よって 式（2）より式（9）’，（10）’が導かれることを示せばよい。 Q2が非負行列で行和が1以下であることからn→。。 のときQ2nは零行列に収束する。よって （1−Q2）−1＝1＋Σ Q，・k （11） k＝1 である。これを式（2）に代入して ノへ OO X＝UQ 1（1十ΣQ2り ㈹ k＝1 いま
A
AX（o）≡（∠1jb，（o） dft 2（o）……di。t（o））≡UQ 1 ㈹A
dX（J，｝≡（ti元，（k） ∠1：E，・（h）・…一∠元“1（ヵ）…三UQIQ2カ （le：＝1， 2， … ） と定義すれば ノN へ A X・・AX（o）十Σ∠1X（k） k・＝1 である。式（3），（4）に注日すれば d元r＋1（o）＝……＝dX．（o）＝0 ∠12，｛k）＝・・・… ＝∠1元r（々）＝0 （k：＝1， 2， ・・・… ） ＜ ＜ （iaj ⑮ である．ことは明らか。したがってdX（o），∠1X㈲はA
dX（o）＝（∠121（o）…一∠1Xr（o）0……0） ⑯ A 4Xω＝（0……OXr＋1ω……元。、㈲） （17） ，ヘ ノヘ へと書き表わすことができ，X≡X，，． ＋ X、であることと A ノ Xu， X。の定義より ヘ ノへ dX ｛e）＝Xte ㈹ co ム へΣ4X（ヵ）＝Xα ⑲
k＝1 である。また へ AX（le＞＝UQ，Q，k＝UQ，Q2fe−IQ2（k＝ 1，2，……） より A A AX Ckl＝AX（k−1）Q2（le＝1，2，……） ⑳ Q♂がk→。。のとき零行列に収束することからk→・・A
のとき4X㈲は零ベクトルに収束する。よって式㈹， ⑳より oo へ oo A jへ ΣAX（々）＝（ΣX（le−1））Q，＝XQ2 ⑳ え＝1 k＝＝1 である。 A ，ヘ ノへ 式倒，㈹よb’ X。＝UQ1，式⑲，⑳よりX。＝XQ2が A成立するので，X＝X，すなわち実測街路交通量と計 算街路交通量は一致する。つまり，交差点間で発生す る交通量と吸収される交通量が等しい場合には，街路 網へ流入する交通量と交差点における右左折直進率と が正しく与えられれば，吸収マルコフ連鎖モデルによ って街路交通量を正確に求めることができるわけであ る。 実際の街路網で街路両端の交通量が一致することは まれであるが，その差は実測街路交通量に比べるとご く小さいのが普通である。そのため，観測から得た街 路網への流入交通量と交差点における右左折直進率の 値から式（2）によって街路交通量を求めると，計算値と 実測値の適合度は実用上十分なものになるわけであ る。 3． 交通規制実施後の街路交通量予測 甲府市で昭和56年12月8日より甲府市北東地域（北 新・相川・新柑屋・朝日）で交通規制を実施した。12 月7日，8日両日の調査より得た資料を使って，吸収 マルコフ連鎖モデルによってはたして交通規制実施後 の街路交通量が精度よく推定できるかどうか検討して みよう。 3．1調査概要 調査人数の関係でFig．5の丸印で示す4交差点で 調査を行った。南北方向の街路のうち東端は武田通り で西端はホテル日商から国立病院へ向う道である。東 西方向の街路は幅約5mの細街路で，一方通行規制が 新たに実施されることになった。Fig．6， Fig．7は 実際の街路網をモデル化したもので，それぞれ規制前 規制後の交通の流れを表わしている。調査は両日とも 午前8時から9時まで行い，交差点に進入する車の右 左折および直進交通量を観測し，右左折直進率および 実測街路交通量を求めた。ただし街路両端の交通量の 平均値を実測街路交通量とした。 3．2 街路交通量予測 はじめに吸収マルコフ連鎖モデルの現況再現能力を 実例についてチェックしてみよう。Fig．8は12月7 日の街路交通量について，計算値と実測値とを示した ものである。ほとんど完全に両者は一致しているが，］
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曇 Fig．5調査地区略図 コ，饗：
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E． Dい 医函：発生源 ［コ：吸収源 Fig．6 交通規制実施前の交通流 4 ⊂⇒ 1 ｜1
｜1
己＞ 3 ぐ＝コ 2 圏：発生源 ［コ：吸収源 Fig．7 交通規制実施後の交通流 これはFig．9に示すように街路両端の交通量の差が 実測街路交通量に比べて小さいためである。 つぎに12月7日の調査結果から交通規制後の街路交 通量を予測して，12月8日の実測街路交通量と比較し てみる。本稿で検討するのは吸収マルコフ連鎖モデル の短期予測能力についてであるから，発生源からの流 入交通量は不変と仮定して十分である。したがって交 差点の右左折直進率を適当に定めてやれぽ，街路交通 量が推計できることになる。 交通規制実施後の車の挙動については次のように仮 定した。 1） 交通規制によって右折（左折）禁止となった街路 交通については，従来その交差点で右折（左折）し ていた車はそのまま直進する。 2） 交通規制によって直進禁止となった街路交通につ いては，従来直進していた車は右折あるいは左折す るが，右折車と左折車の割合は従来と同じである。 3） その進行方向について交通規制による影響をうけ 國：発生源 〔コ：吸収源 Fig．8 計算値と実測値（規制前） （）内の数値は実測値（台／時） ↓ § § 189 157 ↑ 芸：《・： 一レ ■一一■」 ■←■一一 呼 ロ声● 駕 @ § @ ヨ93 ↓μ ．。120 100鳴 g s 瘁@ F司 ヶh o m ⑰ @ 108 91 ↑↑ §§鵠 69→
→ →→
←
碑←一一● 閂←■一←
59 @ § ｜ ↓ 104 101， @ ト、 @ 品 τ ↓ 54 圏：発生源 ［コ：吸収源 Fig．9方向別交通量（規制前）（台／時） ない街路交通については，車の挙動は従来と同じで ある。 上の仮定より交通規制実施後の右左折直進率は次の ように定まる。 1） 規制によって右折（左折）できなくなった街路交通 の右折（左折）率は零，直進率は規制前の直進率と右 折（左折）率の和，左折（右折）率は従来と同じ値。 2） 規制によって直進できなくなった街路交通の直進 率は零，右左折率は従来と同じ値。 3） 進行方向について規制の影響をうけない街路交通 の右左折直進率は従来と同じ値。 このようにして定めた右左折直進率の値を使って求 めた街路交通量の推定値と実測値とをFig．10に， 推定値と実測値との比の値をFig．11に示す。試み に「吸収マルコフ連鎖モデルによって規制後の街路交 通量は正確に求まる」という仮説をκ2検定してみる と，x2値は117．7となり自由度17（街路数が17より）≡ （ ｝：《《 （ （ ”（ 卜 一 鵠 卜 o◎o 寸 等 一 “つ ） ） ）＄一 ）卜 ：： 195（225）口 口寸 4
