１２月７日：今日は「一様収束と極限の交換」について，簡単にやります．山田先生の概論でもやっているは ずですが，これは大事（かつ鬼門？）なので．
（余計な一言）学園祭でちょっと気が抜けたし，寒くもなってきたので， 「そろそろ苦しくなってきた，そろそろ 投げ出してしまいたい」人が多くなってきたのではないでしょうか？しかし，講義でも言っているように，講 義でやっている事のすべてが理解できなくても，致命傷ではないのです．最低限，以下の中間試験で問うよう なことがわかっていれば，何とかなるものです．だから，ここで投げ出さないで，最低限のレベルはちゃんと 学習するようにして下さい．わからなければ，友達や僕に訊けばよい．春学期が終わった時点では皆さんの大 半はそこそこ頑張ってはいた訳ですから，ここで投げ出してはもったいないですよ．
（重要な予告）２週間後の 12/21（水）のこの時間に「中間テスト」を行います．大体の範囲は後期になって やったこと全部，ですが，特に「２変数関数の偏微分，極大・極小への応用」 「積分の計算」 「広義積分」およ び「一様収束の簡単な問題（一様収束の定義がわかっているか）」くらいが主なテーマになるでしょう．区分求 積や積分の理論的な問題については，なかなか出題しにくいので，出題したとしても少数のはずです．
第４回レポート問題（一様収束） ：
問 5 ： 以下の関数列 f n (x) の極限 lim n
→∞f n (x) を求めよ．また，その収束は一様か？（x の範囲は，x ≥ 0 とし てよい． ）
(a) f n (x) = e
−nx , (b) f n (x) = x e
−nx , (c) f n (x) = nx e
−nx ,
問 6* ： （チャレンジ問題）以下にいろいろな極限の交換に関する定理を述べた．これらの定理のほとんどは何 らかの「一様収束」を仮定している．そこで，これらの定理の仮定の「一様収束」は満たしていないけども，定理 の結論（極限の順序が交換できる）を満たしている例を考えてみよ． （特に定理 4.5.2 を考えよ）．
レポート提出について：
上の問５（とできれば問６）に解答し，12 月 12 日（月）午後５時までに，原の部屋（六本松３号館 3-312）の前の箱に
入れてください．整理の都合上，用紙はできるだけ A4 を使ってください．また，２枚以上にわたる場合は何らか の方法で綴じてくだされ． 「番外問題」と「重要な注意」（友達に感謝する）は春学期と前回の通り．
—————————————————以下，レジュメの続き —————————————
4.5 一様収束と極限の順序交換（この節は半分おまけ）
この節の内容は「数学概論 I」とも重複する部分が多いと思われるので，基礎的な部分に絞って述べることにす る．いろいろな応用例は多分，数学概論にお任せすることになるだろう（教科書では４章の３節）．
まず，一様収束の定義を書いておこう．比較のために，普通の収束も書くと，以下のようになる．
定義 4.5.1 ( 一様収束 ) 区間 [a, b] で定義された関数の列 f n (x) がある（n = 1, 2, 3, . . .）．この列について：
(i) 関数列 { f n (x) } が区間 [a, b] で関数 f (x) に 各点収束 するとは各点 x で lim
n
→∞f n (x) = f (x) となること，つ まり
∀ ² > 0 ∀ x ∈ [a, b] ∃ N(², x) n > N(², x) = ⇒ | f n (x) − f (x) | < ² (4.5.1) が成り立つ場合をいう．
(ii) 関数列 { f n (x) } が区間 [a, b] で関数 f(x) に 一様収束 するとは
∀ ² > 0 ∃ N(²) ∀ x ∈ [a, b] n > N (²) = ⇒ | f n (x) − f(x) | < ² (4.5.2) となることをいう． （この状況を「 lim
n
→∞f n (x) = f (x) の収束が一様である」ということもある． ）
各点収束と一様収束の違いは N が x に依存するかしないか である．より正確に言うと，x に依存しないように N をとることができれば一様収束，いくら頑張っても N が x に依存してしまう場合が（一様収束でない）各点収束，
である．なお，定義をよく見ればわかるように，一様収束であれば各点収束の条件も満たされている．この意味で，
一様収束は各点収束よりも強い（より強い性質を要求する）概念である．
以下では，この一様収束の概念が，如何に自然に現れるかを，いくつかの「２つの極限の問題」を通してみていく 事にしよう．以下では特に断らない限り，ある有限な区間 I = [a, b] で定義された関数の列 f n (x)（n = 1, 2, 3, . . .）
を考える．
4.5.1 一様収束，極限と積分の順序交換
まずは積分つながりで， 「積分と極限の交換」から行ってみよう．積分自身がリーマン和の極限で定義されている から，これはれっきとした「極限の順序交換」の問題である．春学期の最初に，以下のような問いかけをしたのを 覚えているだろうか？
関数列 f n (x) を
f n (x) =
n (0 < x < 1/n)
0 (それ以外)
(4.5.3)
と定義する．このとき，
（？？） lim
n
→∞[∫ 1 0
f n (x)dx ]
=
∫ 1 0
(
n lim
→∞f n (x) )
dx （？？） (4.5.4)
が成り立つだろうか？
答えは「成り立たない」である 6 ．つまり，この関数列については，極限 lim
n
→∞と積分 ∫ 1
0 を交換することはできな いのだ．しかし一方で，極限と積分が交換できるような例もある．例えば，
g n (x) =
1 (0 < x < 1/n)
0 (それ以外)
(4.5.5)
に対しては
n lim
→∞[∫ 1 0
g n (x)dx ]
=
∫ 1 0
(
n lim
→∞g n (x) )
dx (4.5.6)
が成り立つ（両辺ともにゼロ）．この２つのケースの違いは何だろうか？
もう少し問題を整理したい．f (x) = lim
n
→∞f n (x) と書くと (4.5.4) は
（？？） lim
n
→∞[∫ 1 0
f n (x)dx ]
=
∫ 1 0
f (x)dx （？？） (4.5.7)
と等価であり，これは
（？？） lim
n
→∞[∫ 1 0
{
f n (x) − f (x) }
dx ]
= 0 （？？） (4.5.8)
とも等価である．そこで g n (x) = f n (x) − f (x) と書けば，問題は次のように定式化される．
問題：区間 [a, b] で定義された関数列 g n (x) がすべての x で lim
n
→∞g n (x) = 0 をみたす場合， lim
n
→∞∫ b a
g n (x) = 0 と言えるだろうか？一般にこうとは言えないならば，言えるための十分条件は何だろうか？
少し発見法的に考えてみよう． lim
n
→∞g n (x) = 0 ということは
∀ ² > 0 ∃ N (², x) n > N(², x) = ⇒ | g n (x) | < ² (4.5.9)
6なぜ成り立たないのか，各自で納得すること．少なくとも「数学入門」ではここのところが怪しかった人が多かったと聞いている
