Generating the mapping class group of a surface by torsion

Generating the mapping class group of a surface by torsion

吉原 和也 (九州大学数理学府)^∗

本稿では、Σ_g,nを種数gのn個のpunctureを持つ有向閉曲面とし, N_g,nを種数gのn 個のpunctureを持つ非有向閉曲面とする. また, idは恒等写像を表すとする.

1. ^導入

有向曲面の写像類群は向きを保つ自己微分同相写像のアイソトピー類のなす群である. この群はタイヒミュラー空間の理論やLefschetz fibrationの理論, 代数幾何学で重要な 役割を持っており, 古くから研究されてきた. 有向曲面の写像類群の生成元を求める研 究はDehnから始まり, 様々な研究がなされている. 2011年に門田[19]はΣ_g,0の写像類 群が位数3の元3つ, または位数4の元4つで生成できることを示した. 全種数上に存 在する有限位数の元は2, 3, 4と6のみである. 本稿では位数6の写像類群の生成系が 得られたことについて報告する. また,非有向曲面についての写像類群の生成系の研究 もなされている. Sezpietowski [21]は非有向曲面の写像類群のinvolutionによる生成系 を発見した. この生成系の個数は種数とpunctureの個数に依存する. 種数やpuncture の個数に依存しないようなinvolutionの生成系は存在するかという問題が考えられる. この問題に対して, Sezpietowski [22]はNg,0の写像類群について肯定的な回答を与え た. 彼は4つのinvolutionからなる生成系を発見した. puncture付きの曲面N_g,nにつ いて, 肯定的な回答を与えることができたので報告する.

2. 準備

2.1. 有向曲面の写像類群

Mod(Σ_g,n)をΣ_g,n上の向きとpunctureの集合を保つ自己微分同相写像のアイソトピー 類のなす群で, Σ_g,nの写像類群と呼ぶ. Σ_g,n上の単純閉曲線aについて, Σ_g,nをaで切 り,切り口の一方を動かさずに別の切り口を360^◦ひねって再度はり合わせることによっ て得られる微分同相写像のアイソトピー類をaに沿ったDehn twistと呼び, t_aで表す. 写像類群Mod(Σ_g,n)のDehn twistに関する関係式を紹介する.

Lemma 2.1. aをΣ_g,n上の単純閉曲線とする. 任意のMod(Σ_g,n)の元fについて, 次が 成り立つ.

f t_af⁻¹ =t_f(a).

Lemma 2.2 (ブレイド関係式). a, bをΣ_g,n上の単純閉曲線とする.

(1) aとbが交わらない時, 次が成り立つ.

t_at_b =t_bt_a. (2) aとbが1点で横断的に交わる時, 次が成り立つ.

t_at_bt_a =t_bt_at_b.

∗e-mail:[email protected]

Σ_g,n上の単純閉曲線の順序付けられた集合c₁, c₂, . . . , c_nがn-チェインであるとは, c_i とc_i+1が1点で横断的に交わり(i= 1,2, . . . , n−1), |i−j |≥2の時c_iとc_jが交わらな いことである. n-チェインの和集合c₁∪c₂∪. . . c_nの正則近傍の境界成分をnが奇数の 場合d₁, d₂とし, nが偶数の場合dとする.

Lemma 2.3 (チェイン関係式). c₁, c₂, . . . , c_nをΣ_g,n上のn-チェインとする. (1) nが奇数の時, 次が成り立つ.

(t_c1t_c2. . . t_cn)ⁿ⁺¹ =t_d1t_d2. (2) nが偶数の時, 次が成り立つ.

(tc1tc2. . . tcn)²ⁿ⁺² =td.

次の関係式はランターン関係式と呼ばれ, Dehn [3]により発見され, Johnson [7]が再 発見したものである.

Lemma 2.4 (ランターン関係式). x1, x2を図 1に描かれている単純閉曲線とする. 次 が成り立つ.

t_a1t_c1t_c2t_a3 =t_x1t_x2t_a2.

a1 a2 a3

c₁ c₂ x1

x₂

図 1: ランターン関係式 2.2. 非有向曲面の写像類群

Ng,nを図 2 のように種数がg = 2r+ 1のときは種数rの有向曲面と1つの射影平面の 連結和で表し, 図 3のように種数がg = 2r+ 2のときは種数rの有向曲面と2つの射影 平面の連結和で表す.

図 2: g = 2r+ 1についての曲面N_g,nとその上の単純閉曲線

図 3: g = 2r+ 2についての曲面N_g,nとその上の単純閉曲線

Mod(Ng,n)をNg,n上のpunctureの集合を保つ自己微分同相写像のアイソトピー類の なす群で, N_g,nの写像類群と呼ぶ. cをN_g,n上の単純閉曲線とする. cの正則近傍がア ニュラスのときcを両側単純閉曲線,cの正則近傍がメビウスの帯のときcを片側単純閉 曲線と呼ぶ.

cが両側単純閉曲線のとき, cに沿ったDehn twistを定義できる. 次の性質を持つ. Lemma 2.5. fを曲面Ng,nの任意の微分同相写像, cをNg,n上の両側単純閉曲線とす る. この時, 次が成り立つ.

t^ϵ_f(c) =f t_cf⁻¹.

ここでN_cをcの正則近傍とするとき, 制限f |Ncが向きを保つ(resp. 向きを逆にする) ならば, ϵ= 1(resp. ϵ=−1)である.

Mod(N_g,n)はDehn twistだけでは生成できないことが知られている. Mod(N_g,n)を 生成するためにはDehn twistとは別の写像が必要である. Y-homeomorphismは次のよ うに定義される写像である. 1点で横断的に交わる片側単純閉曲線mと両側単純閉曲線 aについて,m∪aの正則近傍Kは1つ穴あきクラインの壷に同相である. Mをmの正 則近傍とする. Y-homeomorphism Y_m,aはKの境界を固定したままaに沿ってMを1 周回すことによって得られる微分同相写像のアイソトピー類である(図 4).

Y _m,a

→

a m

∂K

図 4: Y-homeomorphism

xをN_g,n上のpucture, αをxを基点とする片側単純閉曲線とする. Mをαの正則近 傍とすると, Mは1つのpunctureを持つメビウスの帯に同相である. Mの境界を固定

して, xをαに1周回すことで得られる微分同相写像のアイソトピー類をpuncture slide と呼ぶ(図 5).

→ v

α

図 5: puncture slide Y-homeomorphismとpuncture slideは次の性質を持つ.

Lemma 2.6. 1点で横断的に交わるN_g,n上の片側単純閉曲線mと両側単純閉曲線aに ついて, 次が成り立つ.

(1) Y_m−1,a =Y_m,a. (2) Y_m,a−1 =Y_m,a⁻¹.

(3) N_g,n上の任意の微分同相写像fについて, f Y_m,af⁻¹ =Y_f(m),f(a). ここで, 単純閉曲線cについてc⁻¹はcの向きを逆にしたものである.

Lemma 2.7. vを片側単純閉曲線αに沿ったxのpuncture slideとする. N_g,nの任意の 微分同相写像fについて, f vf⁻¹はf(α)に沿ったf(x)のpuncture slideである.

3. ^{写像類群の生成系}

3.1. 有向曲面の写像類群の生成系

有向曲面の写像類群の最初の生成系はDehnにより与えられた.

Theorem 3.1. [3] Mod(Σ_g,0) は有限個に多くのDehn twistにより生成される.

LickorishはMod(Σ_g,0)の有限生成系を与えた.

Theorem 3.2. [12] Mod(Σg,0)は3g−1個のDehn twist

t_a1, t_a2, . . . , t_ag, t_b1, t_b2, . . . , t_bg, t_c1, t_c2, . . . , t_cg−1 により生成される.

Humphriesはこの結果を改善し、さらにDehn twistによる最小の生成系を与えた.

Theorem 3.3. [6] Mod(Σ_g,0)は2g+ 1個のDehn twist t_a1, t_a2, t_b1, t_b2, . . . , t_bg, t_c1, t_c2, . . . , t_cg−1

により生成される. これはMod(Σ_g,0)を生成するDehn twistの最小の個数である.

図 6: Lickorish generator

puncture付きの曲面についてもDehn twistにより生成されることが知られている.

Dehn twist以外の元を考えるとHumphriesの生成元の個数より少ない個数の生成系を

構成することができる. 次のような問題を考えることができる.

Problem 3.1. Mod(Σ_g,n)は有限位数の元で生成できるか? Problem 3.2. Mod(Σ_g,n)の最小の生成系を決定せよ.

問題 3.1に対して, 1971年にMaclachlan [16]がpunctureを持たない場合に, その後 Patterson [20]がpuncutreを持つ場合に有限位数の元により生成できることを示した.

involutionによる写像類群の生成については最初にMcCarthyとPapadopoulosにより 考えられ, ある特定のinvolutionの無限個の共役類により生成されることが示された. Theorem 3.4. [15] Mod(Σ_g,0)は無限個のinvolutionにより生成される.

Luoはpunctureの個数が0個、または1の時に有限個のinvolutionで生成されること を示した.

Theorem 3.5. [14] nを0または1とする. Mod(Σ_g,n)は有限個のinvolutionで生成さ れる.

Luoは同論文のなかで, 次の問題を出している.

Problem 3.3. Mod(Σ_g,n)について, 種数gと点の個数nに依存しない有限位数のみか らなる生成元の個数の普遍的な上界は存在するか?

BrendleとFarbはこの問題について, 肯定的な解答を与えた. Theorem 3.6. [1]

(1) g ≥1について, Mod(Σ_g,0)は3個の有限位数の元により生成される.

(2) g ≥3かつn = 0, またはg ≥4かつ n ≤1について, Mod(Σ_g,n)は6個のinvolution により生成される.

BrendleとFarbはこの系として次を得た.

Cor 3.1. [1] g ≥3かつn = 0, またはg ≥4かつ n≤ 1について, Mod(Σ_g,n)は6個の 生成元を持つコクセター群の商として実現できる.

任意の個数のpunctreを持つ曲面についてはKassabovがこの問題に肯定的な解答を 与えた.

Theorem 3.7. [8]

(1) g ≥8について, Mod(Σ_g,n)は4個のinvolutionにより生成される.

(2) g ≥6について, Mod(Σ_g,n)は5個のinvolutionにより生成される. (3) g ≥4について, Mod(Σ_g,n)は6個のinvolutionにより生成される.

門田はこの結果を改善し, 次の生成系を得た. Theorem 3.8. [17]

(1) g ≥7について, Mod(Σ_g,n)は4個のinvolutionにより生成される.

(2) g ≥5について, Mod(Σ_g,n)は5個のinvolutionにより生成される.

有限位数の生成元については次の結果が知られている.

Theorem 3.9. [1]g ≥3のとき, Mod(Σ_g,0)は位数2g+ 2, 4g+ 2, 2により生成される. Korkmazは次の有限位数の生成系を与えた. また, Korkmazの結果は問題3.2に対し て解答を与えている. Korkmazの生成系は最小の生成系である.

Theorem 3.10. [10] Mod(Σg,0)は位数4g+ 2の元2つにより生成される. 門田は位数3の元のみ, または位数4の元のみからなる生成系を求めた.

Theorem 3.11. [19]

(1) g ≥3について, M(Σ_g,0)は3個の位数3の元により生成される.

(2) g ≥3について, M(Σ_g,0)は4個の位数4の元により生成される.

Duは次の生成系を得た.

Theorem 3.12. [4]

(1) g ≥3について, Mod(Σ_g,0)は3個のinvolutionと1個の位数3の元により生成され る.

(2) Mod(Σ_3,0)は4個のinvolutionと1個の位数3の元により生成される.

次は主結果の1つである.

Main Theorem 3.1. Mod(Σg,0)はg ≥7のとき位数6の元3つ, g = 5,6のとき位数6 の元4つで生成される.

Lanierは最近次の生成系を得た.

Theorem 3.13. k ≥5とg ≥(k−1)(k−3)について, Mod(Σ_g,0)は位数kの元4つで 生成される. kが3の倍数である時, Mod(Σ_g,0)を生成する位数kの元の個数は3つで十 分である.

3.2. 非有向曲面の写像類群の生成系

非有向曲面N_g,nの写像類群の生成系は最初Lickorishにより発見された.

Theorem 3.14. [11]

(1) Mod(N_g,0)はDehn twistとY-homeomorphismにより生成される.

(2) Mod(N_g,0)はDehn twistのみでは生成できない.

有限生成系はpunctureなしの場合にChilingworth, punctureありの場合にKorkmaz により与えられた. Humphriesの結果の非有向曲面版は廣瀬とSzepietowskiにより与 えられた.

Theorem 3.15. [5, 23] M(Ng,0)はg個のDehn twistと1つのY-homeomorphismによ り生成される. さらに、この生成系はDehn twistとY-homeomorphismからなる最小の 生成系である.

非有向曲面版の問題 3.1に対しては, Szepietowskiが次を証明した.

Theorem 3.16. [21] g ≥1について, M(N_g,n)はinvolutionにより生成される.

この生成元の個数は種数gと点の個数nに依存する. 非有向曲面版のLuoの問題 3.3 が考えられるが, punctureを持たない曲面N_g,0の場合にSzepietowskiは肯定的な解答 を与えた.

Theorem 3.17. [22] g ≥4について, M(Ng,0)は4つのinvolutionにより生成される. 次は2つめの主結果である. punctureを持つ曲面N_g,nについて, 非有向曲面版のLuo の問題に肯定的な解答を与えることができた.

Main Theorem 3.2. (1) g ≥13かつgが奇数のとき, M(N_g,n)は8個のinvolutionに より生成される.

(2) g ≥14かつgが偶数のとき, M(Ng,n)は11個のinvolutionにより生成される.

4. 主結果の証明

4.1. Main Theorem 3.1の証明 種数g = 5mのときのみを示す(m≥2).

4.1.1. 位数6の元fの構成

図 7のように曲面Σ_g,0 を曲線a₃, c₁, c₂, ϵ₁, c₄, c₅, a_5i−3, c_5i−3, c_5i−2, c_5i−1, c_5i, a_5i+1 (i = 2,3, . . . ,^g−₅⁵)とδ_g−4に沿って切る. このとき, ^g₅個の曲面S₁, S₂, . . . , S^g−5

5 , S₁^′を得る. S₁ は^6(g−5)

5 + 13個の境界成分を持つ球面, S_jは6個の境界成分a_5j−3, c_5j−3, c_5j−2, c_5j−1, c_5j, a5j+1をもつ球面, S₁^′は1つの境界成分δg−4をもつ種数4の曲面である.

図 7: 曲面を切る曲線I f₁^′, f₂, . . . , f^g−5

5

を図 8のような^π

3回転とする. ただし, f₁^′は境界成分δ_g−4を固定する と仮定する. この写像たちは次のように境界成分に作用する.

(f₁^′)⁵(c₅) = (f₁^′)⁴(c₁) = (f₁^′)³(c₄) = (f₁^′)²(c₂) = f₁^′(ϵ₁) = a₃

f_j⁵(a_5j−3) =f_j⁴(c_5j−3) = f_j³(c_5j−2) = f_j²(c_5j−1) =f_j(c_5j) =a_5j+1 (j = 2,3, . . . ,g−5 5 ).

図 8: ^π₃回転f₁^′, f₂, . . . , f^g−5 5

図 8において, δ_g−4は球面の後側にあり, (f₁^′)⁶ =t_δg−4であることに注意する. t_δg−4を キャンセルするために, f₁^′′を次のように定める.

f₁^′′ = (t_ag−3t_bg−3t_cg−3t_bg−2t_a′

g−2)⁻¹(t_ag−1t_bg−1t_cg−1t_bgt_ag).

チェイン関係式より(f₁^′′)⁶ =t_δ−1 g−4

である.微分同相写像f₁^′, f₁^′′, f₂, . . . , f^g−5 5

は境界上一 致するので, この写像たちは位数6の微分同相写像f : Σ_g →Σ_gを定める.

4.1.2. 位数6の元hの構成

f : Σ_g →Σ_gと同様の方法で位数6の元h: Σ_g →Σ_gを構成する. 図9のように曲面Σ_gを 曲線a₁, a₂, c₂, c₃, ϵ₂, ϵ₃, a_5i−5, c_5i−5, c_5i−4, c_5i−3, c_5i−2, a_5i−1 (i= 2,3, . . . ,^g₅)に沿って切り,

g+5

5 個の曲面T₁, T₂, . . . , T^g+5

5

を得る. T^g+5

5

は^6g

5 個の境界成分を持つ球面,T₁は6個の境 界成分a₁, a₂, c₂, c₃, ϵ₂, ϵ₃をもつ球面,T_jは6個の境界成分a_5j−5, c_5j−5, c_5j−4, c_5j−3, c_5j−2, a_5j−1をもつ球面である(j = 2,3, . . . ,^g₅).

図 9: 曲面を切る曲線II h₁, h₂, . . . , h^g+5

5

を図 10と図 11のような^π

3回転とする. この写像たちは次のように境 界成分に作用する.

h⁵₁(a₁) = h⁴₁(ϵ₂) = h³₁(ϵ₃) =h²₁(c₃) =h₁(c₂) = a₂

h⁵_j(a_5j−5) = h⁴_j(c_5j−5) =h³_j(c_5j−4) =h²_j(c_5j−3) =h_j(c_5j−2) =a_5j−1 (j = 2,3, . . . ,g−5 5 ).

図 10: ^π₃ 回転h₁, h₂, . . . , h^g

5

図 11: ^π₃回転h^g+5

5

微分同相写像h1, h2, . . . , h^g+5

5

は境界上一致するので,この写像たちは位数6の微分同 相写像h: Σ_g →Σ_gを定める.

4.1.3. 位数6の元によるDehn twistの生成

ランターン関係式を使って, Dehn twistを位数6の元の積として表示する. ランターン 関係式より

t_a1t_c1t_c2t_a3 =t_x1t_x2t_a2 が成り立つ. これを書き換えて,

t_a1 = (t_x1t⁻¹_c1 )(t_x2t⁻¹_a3)(t_a2t⁻¹_c2 ) を得る. fとhの構成法より,

f⁴(a₂) =x₁, f²(a₂) =x₂, f⁴(c2) = c1, f²(c2) = a3,

h(c₂) = a₂. が成り立つ. kを積t_c2h⁻¹t⁻_c¹

2 とする. kは位数6の元である. 次が成り立つ.

t_a2t⁻_c2¹ =t_h(c2)t⁻_c2¹ =ht_c2h⁻¹t⁻_c2¹ =hk.

t_x1t⁻_c¹

1 =t_f⁴_(a2)t⁻_f4¹(c2)=f⁴t_a2t⁻_c¹

2 f⁻⁴ =f⁴hkf⁻⁴.

t_x2t⁻_a¹

3 =t_f²_(a2)t⁻_f2¹(c2)=f²t_a2t⁻_c¹

2 f⁻² =f²hkf⁻². 上の式より,

t_a1 = (f⁴hkf⁻⁴)(f²hkf⁻²)(hk) が成り立つ.

4.1.4. 位数6の元による写像類群の生成

Gをf, h, kから生成されるMod(Σg,0)の部分群とする. 今ta1は位数6の元f, h, kの積 であるので,t_a1 ∈Gである. a₁にf, h, kを作用させて, Humphriesの生成系の曲線に移 すことができるならば, Lemma 2.1よりG= Mod(Σ_g,0)を示すことができる. Σ_g,0上の 曲線a, bについて, a→^f bはf(a) = bを表わすとする. 図 12より, a₁をHumphriesの生 成元のすべての曲線に写すことができる. よって, G= Mod(Σ_g,0)が示せた.

図 12: f, h, kのHumphriesの生成元への作用

4.2. Main Theorem 3.2の証明

以下g = 2r+ 1, r= 2k, n= 2l+ 1を仮定する. PMod(Ng,n)をpunctureをpointwiseに 止めるような写像類からなるMod(N_g,n)の部分群,Sym_nをn次対称群とする. Korkmaz はPMod(N_g,n)の有限生成系を発見した.

Theorem 4.1. [9] PMod(N_g,n)は以下の元により生成される.

(1) l∈Sについて, t_l. (2) 1≤j ≤nについて, vj. (3) y.

ただし, S = {a₁, a₂,· · ·, a_r, b₁, b₂, c₁, c₂,· · · , c_r−1, d₁, d₂, e₁, e₂,· · · , e_n−1}, vjは図13の曲線αjに沿ったpuncture slide,

yは図 14の曲線ξを境界成分とするクラインの壷の上のY-homeomorphismである.

次は完全系列になる.

1→PMod(Ng,b)→Mod(Ng,b)→^π Symn→1.

準同型写像πはMod(N_g,b)の元のpunctureへの作用により与えられる.

Main Theorem 3.2を証明するために次の補題を使う.

図 13: 曲線αj

図 14: 曲線ξ

Lemma 4.1. HとQを群とし、NとKをHの部分群とする. Hが次の完全系列を持 つと仮定する.

1→N →ⁱ H →^π Q→1.

i(N)⊂Kかつπ |K:K →Qが全射であるならば, K =Hが成り立つ.

上の完全系列と補題 4.1より, involutionの集合GでPMod(N_g,b)を含み, πのGへの 制限がSymnに全射的に写るようなものを構成すればよい.

4.2.1. involutionによるDehn twistの生成

図15と図16のような2つのN_g,nのモデルを考える. 2つの図の点線に沿って手前から奥 に向かうように鏡をおいているとする. この鏡による鏡映は曲面N_g,b上のinvolutionσ とτを与える.

τ(a₁) =a⁻₁¹であることに注意する. Rを積τ σとすると, Rは曲面N_g,n上の曲線に次 のように作用する.

(1)R(a₁) =a₂, R(a₂) = a₃, . . . , R(a_k) = a_k+1, R(a_k+1) = a_k+2, . . . , R(a_r−1) =a_r. (2)R(b₁) =b₂, R(b₂) =b₃, . . . , R(b_k) = b_k+1, R(b_k+1) =b_k+2, . . . , R(b_r−1) =b_r. (3)R(c₁) = c₂, R(c₂) = c₃, . . . , R(c_k) = c_k+1, R(c_k+1) =c_k+2, . . . , R(c_r−2) = c_r−1.

mirror

図 15: 鏡映σ :N_g,n→N_g,n

mirror

図 16: 鏡映τ :N_g,n→N_g,n