振動特性を利用した損傷同定に関する研究

(1)

三重大学大学院教育学研究科修士論文

衝撃荷重を受けた積層複合材料の

振動特性を利用した損傷同定に関する研究

三重大学大学院教育学研究科教育科学専攻理数・生活系教育領域

2014

年

2

月

1 3

日川村涼

(2)

目次第 1 章序論

1.1 本研究の目的

…1

1.2 本論文の構成

…3

第 2 章有限要素法及び一次せん断変形理論による減衰性能同定法

2.1

複合材料のモデル化

2.1.1 複合材料の力学的特性

…4

2.1.2 複合材料の応力－ひずみ関係

…8

2.1.3 複合材料の破壊形態

…11

2.2 有限要素固有値解析法

2.2.1 有限要素法の基礎理論

…15

2.2.2 固有値解析法

…19

2.3 一次せん断変形理論

2.3.1 応力－ひずみ関係マトリックス

…25

2.3.2 ひずみ－節点変位関係マトリックス

…27

2.3.3 剛性マトリックス

…35

2.3.4 質量マトリックス

…40

2.3.5 振動減衰モデルの定式化

…44

2.4

結言 …

48

第 3 章積層複合材料の損傷位置同定手法

3.1 損傷位置同定

3.1.1 損傷位置同定の必要性

…49

3.1.2 損傷評価についての現状

…50

3.2

損傷位置同定手法

3.2.1 損傷時の固有値問題

…52

3.2.2 損傷ベクトル

…53

3.2.3 損傷位置評価法

…54

3.2.4 損傷表示プログラム

…55

3.3 損傷理論を考慮した損傷同定法の提案

3.3.1 損傷理論を考慮した積層複合材料モデル

…61

3.3.2 損傷同定結果

…66

3.4 結言

…70

(3)

第 4 章複合材料を用いた振動による振動減衰特性の評価

4.1 損傷による振動減衰特性の評価

4.1.1 自由支持打撃加振試験

…71

4.1.2 試験片について

…73

4.1.3 実験結果

…75

4.1.4 考察

…81

4.2 結言

…82

第 5 章結論 …

83

参考文献謝辞

(4)

- 1 -

第 1 章序論

1.1 本研究の目的

航空機をはじめとした様々な大型構造物は，安全を確保した上，長期にわたって使用することが求められている．設計寿命を迎えつつある構造物の安全な運用のためには，経年劣化した構造物に対しての安全性や信頼性の評価と保証が不可欠である．そして，材料内部の欠陥や表面の微小な傷を，検査物を破壊することなく検出する方法である非破壊検査は，その設備検査の中でも重要な支援技術であり，様々な非破壊試験法が研究，提案されている．

一方，複合材料は高い比強度と比剛性を持ち，耐疲労特性にも優れることから，航空機などの大型構造物にも用いられるようになり，産業界で重要な役割を果たしている．複合材料の一つである繊維強化プラスチックは，材料を構成する繊維が方向性を持つため，製作段階において繊維方向を変えて積層される．そのため，内部層で繊維破断やトランスバースクラック，層間剝離といった損傷をしていたとしても表面ではわからず，こうした複合材料における損傷同定では，目に見えない損傷を検知する方法が必要となる．近年，複合材料が航空機部材のような安全性を重視される用途に適用される例が増えるに伴い，複合材料に対する非破壊検査の要求も高まってきている．

このような背景から，非破壊による損傷同定法のための多くの研究がおこなわれてきた．轟・小林らは炭素繊維強化複合材料の強化剤である炭素繊維の導電性を利用し，積層板内部の層間はく離を定量的に同定している．

[1] [2]

黒木らは建物が損傷を受けた際の安全性の検証のため，拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに一般化伝達剛性係数法を導入した高精度な損傷同定法を提案している．

[3]

構造物の健全性が何らかの要因によって損なわれた場合，損傷した部材の剛性や場合によっては質量が変化し，健全な構造物と異なる振動特性が現れる．東・水口らは大型化した機械構造物のき裂等の損傷を検知するため，き裂の発生に伴って変化する固有振動数に着目している．[4]振動試験は非破壊で内部の損傷を評価することができるメリットがあり，本研究では，こうした構造物の振動特性を利用した損傷同定手法を開発することを最終的な目的としている．

本研究ではまず，Zimmerman, D.C.らの構造損傷検出法[5]より，有限要素モデルを用いて，固有値解析による損傷同定手法について述べる．損傷時の固有値問題から損傷同定理論をまとめ，損傷位置を示す指標として損傷ベクトルを定義する．損傷ベクトルを求めることよって損傷位置同定をすることができ，損傷ベクトルを求めるプログラムを損傷位置同定プログラムとする．

次に，求めた損傷ベクトルを視覚化するための損傷表示プログラムを構築する．損傷表示プログラムでは，損傷ベクトルの数値的な取扱いについてまと

(5)

1.1 本研究の目的

- 2 -

め，損傷ベクトルの分布を示す．最後に精度検証，2種類の開発プログラムの整合性を示した．

また，損傷同定には様々な手法があるが積層複合材料について研究を行っているものは少ない．そこで本研究では，積層複合材料モデルによる損傷同定を扱う．積層複合材料の持つ力学的異方性と損傷形態を考慮し，損傷力学に基づいて，損傷時の剛性マトリックスの作成を行う．繊維破断やトランスバースクラックといった損傷を考慮した剛性マトリックスと有限要素モデルを用いて固有値解析，損傷位置同定を行い，開発プログラムの積層複合材料を想定した場合の結果を示し，同定精度について述べる．

一方，航空機のような大型構造物では精密な測定には多くの時間とコストを要するため，すべての構造物に常に損傷同定を行うことは困難である．損傷位置同定・損傷表示プログラムを導入する前に，まずは損傷の有無を判断する手法が必要であると考える．

損傷同定を行うかどうかを判断するための指標として，固有値解析で得られる固有振動数と振動モードを利用することがあげられる．損傷によって構造物の剛性が変化したと考えれば，理論上固有振動数は低下するので損傷前後の変化として指標にすることができる．しかし，目視では認識することが困難な損傷に対しては，ほとんど固有振動数には変化が表れないため，損傷有無の指標として固有振動数を扱うことは困難である．そこで本研究では，

振動特性の一つである減衰比に注目し，損傷が積層複合材料の振動減衰にどのような影響を及ぼすのかを自由支持加振試験によって実験的に調査する．

それにより，振動減衰を損傷同定の指標とすることが可能かどうかについて述べる．

(6)

- 3 -

1.2 本論文の構成

本論文は全

5

章で構成されている．

第

2

章では，まず複合材料の力学的特性から応力－ひずみ関係についてまとめ，複合材料の破壊形態について述べた後，損傷力学の定式化により，複合材料の損傷をどのように有限要素モデルに落とし込むかを述べる．

次に，有限要素法の基礎理論および固有値解析法について述べる．変位，ひずみの定義から，それぞれの関係式，要素の剛性マトリックスについてまとめる．また，弾性・減衰特性同定法の基礎となる有限要素固有値解析法の定式化について述べる．

最後に，一次せん断変形理論を導入したシェル要素の応力－ひずみ関係マトリックス，ひずみ－節点変位関係マトリックスについて述べ，剛性マトリックス，質量マトリックスの導出を行う．また，ひずみエネルギー理論を適用して，

一次せん断変形理論を導入したシェル要素を用いて複合材料の応力－ひずみ関係の定式化を行う．

第

3

章では，まず損傷位置同定の必要性や損傷評価技術の現状について述べ，

本研究との比較をし，意義や位置づけについて述べる．

次に，固有値解析による損傷同定理論によって，損傷部の剛性低下が構造全体の振動特性を変化させることを示し，構造物の損傷位置を示すものとして損傷ベクトルを定義する．損傷ベクトルの算出方法について述べ，算出した損傷ベクトルは，損傷表示プログラムによって視覚化を行う．損傷表示プログラムでは，節点ごとに得られる損傷ベクトルから要素ごとの損傷ベクトルを算出し，

変位成分や振動モードごとに和をとることで，損傷個所と損傷表示プログラムの整合性をとる．

最後に，損傷を考慮した剛性マトリックスを用いて固有値解析，損傷同定を行う．損傷を考慮した剛性マトリックスでは，繊維破断やトランスバースクラックなどの損傷形態に応じた剛性マトリックスを損傷力学に基づいて作成をする．繊維配向方向と損傷を考慮した一方向性複合材料モデルをつくり，開発したプログラムで固有値解析，損傷同定を扱い，プログラムの精度，有効性について述べる．

第

4

章では，衝撃荷重を受けた積層複合材料の振動特性の評価を行う．まず，

自由支持打撃加振試験法について述べ，固有振動数と減衰比の算出方法について述べる．

次に，実験を行った積層複合材料の積層構成と損傷形態についてまとめ，試験片ごと振動特性の結果を示す．

最後に得られた実験結果について損傷と振動特性の関係について考察を述べる．

第

5

章では，本研究の結論を述べる．

(7)

2.1.1 複合材料の力学的特性

- 4 -

第 2 章有限要素法及び一次せん断変形理論による振動特性評価法

2.1

複合材料のモデル化

2.1.1

複合材料の力学的特性

複合材料は，複数の構成素材を物理的に混合した構造材料で，軽量，高剛性，

高強度などの優れた材料特性を有する．また，分散相・マトリックス相の構成素材，分散相の形態，体積含有率を変化させることにより材料設計を行うことが可能で，軽量化，高機能化，多機能化を実現する構造材料として，多くの工業分野で応用され実用化に至っている．分散相には微小系で高機能・高強度の構成素材，マトリックス相には成形性に優れた低剛性・低強度の構成素材が適用され，これらを混合することにより，複合材料全体として複数の材料特性を得ることができる．また，それぞれの構成素材が有する材料特性だけでなく，

相乗効果により，構成素材単独にはない優れた材料特性が得られる可能性もある．

構造材料の材料特性に対する要求は，剛性，強度，軽量性，遮音性，耐久性，

耐熱性，耐震性，耐食性，耐摩耗性など複雑化，多様化している．しかしながら，金属材料のような単一材料の材料特性には限界があり，単一材料のみで，

材料特性に対する要求を完全に満たすことは困難である．これに対して，材料設計が可能な複合材料の材料特性には無限の可能性があり，材料設計により，

構造材料の材料特性に対する要求に適合する材料特性を任意に設計することができる．

複合材料の材料特性は，分散相の材料特性に支配されるため，複合材料の分類は，分散相の構成素材・形態に対して行われる．複合材料は，分散相の構成素材により粒子分散複合材料，繊維強化複合材料に分類され，さらに繊維強化複合材料は，分散相の形態により不連続繊維強化複合材料，連続繊維複合材料，

多方向連続繊維複合材料に分類される．繊維強化複合材料を実構造物に応用する場合には，繊維強化複合材料を積層して，複合効果により材料特性を向上させた積層複合材料が適用される．本研究では，連続繊維複合材料を一方向性材料，多方向連続繊維複合材料をクロス配向材料と表記する．

繊維強化複合材料は，分散相である微小系繊維と，マトリックス相である樹脂を複合した構造材料で，その材料特性は，繊維・樹脂の構成素材，繊維形態，

繊維含有率により決定される．繊維には，ガラス繊維，炭素繊維，ケブラー繊維，金属繊維などがあり，特に，

GFRP

（ガラス繊維強化プラスチック），

CFRP

（炭素繊維強化プラスチック）が広範囲，広領域で適用されている．ガラス繊維，金属繊維は，繊維の直径が微小であるほど，確率的に内部損傷が減少し，

剛性，強度が増大する．

繊維強化複合材料は，繊維と樹脂を複合形成するため，単一材料とは異なり不均質性，材料異方性を示す．そのため，弾性定数の測定には繊維配向角の異

(8)

- 5 -

なる数種類の試験片が必要となる．また，局所的な変形，破壊が生じる可能性があり，材料試験により弾性定数を測定することは困難である．繊維強化複合材料の繊維方向の材料特性は，繊維の材料特性に支配され，板厚方向の材料特性は，樹脂の材料特性に支配される．したがって，繊維強化複合材料は相対的にせん断剛性が低くなり，薄肉構造においても板厚方向のせん断変形が生じる可能性がある．

繊維強化複合材料を実構造物に応用する場合には，高剛性，高強度，高減衰能などの優れた材料特性を十分に発揮させ，高機能性，多機能性を実現するために，その材料特性を明らかにする必要がある．以下では，図

2.1

のようなランダム配向材料，一方向性材料．クロス配向材料に力学的特性と，複合則について述べる．

(a)

ランダム配向材料 (b) 一方向性材料 (c) クロス配向材料

図

2.1 繊維強化複合材料

（1）ランダム配向材料

ランダム配向材料は，樹脂に，不連続繊維をランダムに混入して成形した繊維強化複合材料である．ランダム配向材料の力学的特性は，繊維・樹脂の構成素材，繊維形態，繊維含有率，繊維分布状態などにより決定される．また，ランダム配向材料は，繊維が完全にランダムに配向されている場合には，繊維配向面内において面内等方性を示すが，完全にランダムに配向されていない場合には，繊維の強化効率が低下し，繊維配向面内において面内異方性を示す．

ランダム配向材料の弾性定数には次式のような関係がある．

E

_L

 E

_T

(2.1)

G

_TV

 G

_VL

(2.2)

) 1 (

2

_LT

L LT

G E



  (2.3)

L

T

V

(9)

2.1.1 複合材料の力学的特性

- 6 -

（2）一方向性材料

一方向性材料は，繊維を平行に配向させ，樹脂を混入して成形した繊維強化複合材料である．一方向性材料の力学的特性は，繊維・樹脂の構成素材，繊維形態，繊維含有率，繊維配向角などにより決定される．また，一方向性材料は，

繊維配向面内だけではなく繊維配向側面においても材料異方性を示す．繊維は，

円形断面，同一直径であり，正方形配列，六角形配列などの配列方法がある．

一方向性材料の弾性定数には次式のような関係がある．

_E

_L

_ _E

_V

(2.4)

G

_LT

 G

_VL

(2.5)

) 1 (

2

_TV

T TV

G E



  (2.6)

また，一方向性材料のせん断弾性係数

G

_LTは

45°方向の縦弾性係数を E

_LTとすると

L LT T

L LT

LT

E

v E E E G

2 1 1 4

1     (2.7)

の関係より

LT T LT LT T LT L T L

LT T L

LT

E E E E E E v E E

E E G E

2 4   

 (2.8)

で求められる．

（3）クロス配向材

クロス配向材は，繊維を織物状に配向させ，樹脂を混入して成形した繊維強化複合材料である．したがって，クロス配向材の繊維含有率は，一方向性材料に比べて小さくなる．クロス配向材料の力学的特性は，繊維・樹脂の構成素材，

繊維形態，繊維含有率，繊維配向角のほかに縦繊維方向と横繊維方向の角度，

間隔などにより決定される．

(10)

- 7 -

クロス配向材料は繊維を織物状に配向しているため，繊維配向面内において面内等方性を示す．クロス配向材料のせん断弾性係数は，幾何学的変形を考慮して，ランダム配向材料の

20%として近似することができる．

クロス配向材料の弾性定数には次式のような関係がある．

E

_L

 E

_T

(2.9)

G

_TV

 G

_VL

(2.10)

) 1(2

2.0

LT L LT

G E



  (2.11)

（4）複合則

繊維強化複合材料の縦弾性係数

E

_L，

E

_Tは，複合則を適用すると，近似的に次式で求められる．

_f_f _m

1(

_f

)

m m f f L

V E V E

V E V E E













 (2.12)

f m m f

m f

T

E V E V

E E E

  (2.13)

ここで，

E

f，

V

fは繊維の縦弾性係数，体積含有率であり，

E

_m，

V

_mは樹脂の縦弾性係数，体積含有率である．特に，V_f は繊維含有率と呼ばれる．



は繊維の形態により決定される係数で，ランダム配向材料の場合

  3 / 8

^{，一方向性材料の} 場合

  1 . 0

，クロス配向材料の場合

  0 . 5

となる．

複合則により求められる縦弾性係数

E

_L，

E

_Tは，数値的厳密解ではない．しかしながら，

E

_Lは実験的検証により，数値的近似解として適用できることが明らかにされている．一方，

E

_Tは実験的検証により，繊維含有率

_V

_f が大きい場合には適用できないことが明らかにされている．その場合，ポアソン効果を考慮して，樹脂の縦弾性係数

_E

_m^*を

2

*

1

_m

m

v

E E

  (2.14)

とすることにより，複合則が適用可能となる．

(11)

2.1.2 複合材料の応力－ひずみ関係

- 8 -

複合則は，界面効果，ポアソン効果，繊維と樹脂の相互干渉を無視しているため，繊維と樹脂の材料特性が極端に異なる場合には適用できない．

2.1.2

複合材料の応力－ひずみ関係

複合材料の力学的挙動解析には，微視力学的な解析と巨視力学的な解析がある．微視力学的な解析とは，分散相構成素材とマトリックス相構成素材の力学的挙動を考える解析であり，巨視力学的な解析とは，複合材料全体の力学的挙動を考える解析である．複合材料は，分散相とマトリックス相を複合成形した微視的不均質材料であるが，複合材料全体の力学的挙動を考える場合には，分散相構成素材とマトリックス相構成素材の相互干渉を無視して，巨視的均質材料としてみなすことができる．本研究では，繊維強化複合材料を巨視的均質材料とみなして，積層複合材料の巨視的力学的挙動解析を行う．

繊維強化複合材料は，繊維・樹脂の構成素材，繊維形態，繊維含有率，積層構成を変化させることにより材料設計を行うことが可能で，その設計条件により弾性特性，振動特性，振動減衰特性が著しく変化して複雑な力学的挙動を示す．繊維強化複合材料の複雑な力学的学的特性は，繊維強化複合材料を巨視的均質材料とみなすことにより，材料座標系におけるラミナの応力－ひずみ関係マトリックスでモデル化することができる．したがって，繊維強化複合材料の材料異方性は，材料座標系におけるラミナの応力－ひずみ関係マトリックスに反映されることになる．

繊維強化複合材料のような異方性材料は，等方性材料に比べて，材料座標系におけるラミナの応力－ひずみ関係マトリックスが複雑化する．したがって，

繊維強化複合材料の複雑な力学的特性を，材料座標系におけるラミナの応力－

ひずみ関係でモデル化するためには，繊維強化複合材料の弾性定数を正確に把握しなければならない．

一次せん断変形理論を導入したシェル要素を用いて繊維強化複合材料の巨視力学的挙動解析を行う際には，繊維強化複合材料の力学的特性に応じて，二次元化問題として平面応力問題，平面ひずみ問題，繊維強化複合材料の方向としてエッジ方向，フラット方向など，繊維強化複合材料の種類を正確に選択する必要がある．これにより，弾性定数と，材料座標系におけるラミナの応力－ひずみ関係マトリックスが変化し，繊維強化複合材料の複雑な力学的特性を巨視的均質異方性材料として近似することができる．本研究では，二次元化問題として平面応力問題，平面ひずみ問題，繊維強化複合材料の方向としてエッジ方向，フラット方向，繊維強化複合材料の種類として等方性材料，ランダム配向材料，一方向性材料，クロス配向材料を定義し，各条件に対して，繊維強化複合材料の力学的特性に応じた弾性定数を決定している．

以下では，二次元化問題として平面応力問題，平面ひずみ問題，繊維強化複

(12)

- 9 -

合材料の方向として，エッジ方向，フラット方向について述べ，さらに各条件に対して，繊維強化複合材料の力学的特性に応じた弾性定数を示す．

（1）平面応力問題，平面ひずみ問題

材料座標系におけるラミナの応力－ひずみ関係マトリックス

_Q

は次式で表される．

 





 







66 55 44 33 23 13

23 22 12

13 12 11

0 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

Q Q Q Q Q Q

Q Q Q

Q (2.15)

平面応力問題とは，解析対象物の板厚が小さい場合の解析方法であり，板厚方向の応力



_Zを

0

とする．平面応力問題において，

_Q

_ijは次式で与えられる．

2

2 11

LT T L

L

v E E Q E

  (2.16)

₁₂ ₂

LT T L

v E E

v E Q E

  (2.17)

22 2 LT T L

T L

v E E

E Q E

  (2.18)

Q

₄₄

 G

_TV

, Q

₅₅

 G

_VL

, Q

₆₆

 G

_LT

(2.19)

平面ひずみ問題は，解析対象物の板厚が大きい場合の解析法であり，板厚方向のひずみ



_Z^を

0

とする．平面ひずみ問題において，

_Q

_ijは次式で与えられる．

A E v E

Q E

^T

TV V

L

 

 



 



2

11

1 1

(2.20)

(13)

2.1.2 複合材料の応力－ひずみ関係

- 10 -

A

E v v E v

Q E

^T

VL TV V LT

V

 

 



 

 1

12

(2.21)

A E v E

Q E

^V

VL L

V

 

 



 



2

13

1 1

(2.22)

Q

₄₄

 G

_TV

, Q

₅₅

 G

_VL

, Q

₆₆

 G

_LT

(2.23)

ただし，

 

 



    

 1 1 2

² ² ²

LT L T VL V

L TV T V LT VL TV V

T L

E v v E E v E E v E v E v

E

A E (2.24)

である．

（2）エッジ方向，フラット方向

本研究では，図

2.2

のように，

xy

平面が繊維配向面となる場合をエッジ方向，

zx

面が繊維配向面となる場合をフラット方向として定義する．

(a)

エッジ方向

(b)

フラット方向

図

2.2 繊維強化複合材料の方向

x y

z

(14)

- 11 -

2.1.3

複合材料の損傷形態

複合材料の破壊及び強度特性の予測のため，多くの仮説が提唱されている．

破壊基準として最大応力説及び最大ひずみ説がよく用いられるが，これらは材料主軸方向の応力成分の相互作用が無視されており，面内荷重を受ける積層材の端部など，多軸応力状態となる場合には妥当性に乏しい．そこで、本研究における力学的挙動解析では，各損傷形態の発生は

Hoffman

の破壊則により決定することとする．

複合材料は力学的特性に異方性を有するために，発生する損傷も異方性となる．例えば，FRP は繊維方向強度と比較してせん断強度や繊維直角方向強度が著しく低いなど，強度の異方性を示すため，負荷を受ける構造物には，繊維破断，トランスバースクラック，樹脂破壊，層間はく離などの損傷が発生する．

以下に各損傷形態について示す．

(a)

繊維破断

繊維強化複合材料の繊維方向の引張負荷による破断で，その材料にとって最も強い抵抗を示すモードである．

(b)

トランスバースクラック

マトリックス破壊ともいい，局所的に潜在する欠陥や，繊維と母材のはく離から生じたき裂が母材内を横断し，繊維との界面に達する．

(c)

樹脂破壊

マトリックスの破壊が起こっている点はトランスバースクラックと同じであるが，VL方向にき裂が発生している．

(d)

層間はく離

積層した各層の間は，接着剤のみで強度は低く初めからよく接着していない場合もある．曲げや衝撃，圧縮負荷などにより層の間がはく離することがある．

各モデルの損傷の様子を図

2.3

に示す．

(15)

2.1.3 複合材料の損傷形態

- 12 -

(a)

繊維破断モデル

(b)

トランスバースクラックモデル

(c)

樹脂破壊モデル

図

2.3 損傷形態

T L

V

T L

V

T L

V

(16)

- 13 -

(d)

層間はく離モデル図

2.3

損傷形態

有限要素法による破壊挙動解析では，破壊要素を取り除いたり，破壊要素の剛性を低下させ，破壊後の挙動を取り扱うのが一般的である．損傷力学による定式化により，巨視的に直交異方性材料と見なせるラミナの損傷状態での剛性マトリックスを導出したものを以下に示す．

損傷状態の応力－ひずみ関係式は，

σ

_LTV，

ε

_LTVをひずみベクトル，応力ベクトルとして，

σ

^LTV

 Q

^LTV

ε

^LTV

(2.25)

と表せる．このとき損傷状態の剛性マトリックス

Q

^LTVは

 ⁽ ¹ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ¹ ¹ ⁾ ⁾  ^, ⁴ ⁽ ¹  ⁽ ¹ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ¹ ¹ ⁾ ⁾  ^, ⁴ ⁽ ¹  ⁽ ¹ ⁾ ⁽ ⁾⁽ ¹ ¹ ⁾ ⁾ 

1 ( 4

0 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 )

1 ( )

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

0 0 0 )

1 )(

1 ( )

1 )(

1 (

0 0 0 )

1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( )

1 (

66 2 2

66 55 2 2

55 44 2 2

44

66 55 44 33

2 23

13

23 22

2 12

13 12

11 2

T L

L V

V T

V V

T L

V

V T

T T

L

L V

T L

L

LTV

D D

Q D Q D

D D

Q D Q D

D D

Q D Q D

Q Q Q Q

D Q

D D

Q D D

Q D Q

D D

Q D D

Q D



 



 



 

 





 







 Q

(2.26)

T L

V

(17)

2.1.3 複合材料の損傷形態

- 14 -

で表現でき，

^Q

^ijは初期状態の剛性マトリックス

^Q

の成分を表す．

D

_L，

D

_T，

D

_V は，損傷テンソルの主値を表す．式(2.26)により，材料損傷は材料の剛性低下によって表現でき，また損傷に異方性が存在する場合には，材料が等方性か異方性にかかわらず材料の剛性低下も異方性の表現とする必要があることがわかる．

本研究では，損傷同定を行う際，有限要素法による固有値解析を利用しているが，式(2.153)に基づいて，繊維破断ならば

D

L，トランスバースクラックならば

D

T，樹脂破壊ならば

D

T，D_V，層間剥離ならば

D

Vを含む成分値を変更することによって解析モデルを表現することとする．

(18)

- 15 -

2.2 有限要素固有値解析法 2.2.1 有限要素法の基礎理論

有限要素法は，無限自由度の全体領域を有限自由度の部分領域の集合体として近似し，数学的な連立方程式の解法を用いて，物理的近似解を求める数値解析法である．

有限要素法では，全体領域を部分領域に分割して離散的近似を行う．この離散化により，部分領域の連立方程式を構成し，その総和として全体領域の連立方程式を導出することができる．有限要素法の連立方程式の解法には，変位法に基づく偏微分方程式が用いられることが多い．そのため，有限要素法は，物理的には近似解を，数学的には厳密解を求める解析法ということになる．

（1）剛性マトリックス

有限要素法では，節点を用いて全体領域を離散化し，その離散的な節点間を補間関数により連続化することで，部分領域である要素を構成する．

節点変位を未知数とする変位型有限要素法では，節点変位により全体領域の力学的挙動を表現する．また，要素内部の変位，ひずみ，応力は，節点変位の関数として定義することができる．

要素内部の任意点における変位

_u

は，節点変位

δ

_eの関数として

u  Nδ

_e

(2.27)

で求められる．ここで，

N

は形状関数である．

要素内部の任意点におけるひずみ

_ε

は，節点変位

δ

ε  Bδ

_e

(2.28)

B

はひずみ－節点変位関係マトリックスである．

要素内部の任意点における応力



は，節点変位

δ

DBδ

e

σ Dε



 (2.29)

D

は応力－ひずみ関係マトリックスである．

部分領域の連立方程式である要素の剛性方程式は，要素における節点力

F

_eと

(19)

2.2.1 有限要素法の基礎理論

- 16 -

節点変位

δ

_eの関係を表し，要素の剛性マトリックス

K

_eを用いて次式で定義される．

K

_e

δ

_e

 F

_e

(2.30)

要素の剛性マトリックス

K

_eは，仮想仕事の原理を利用すると次式で求められる．

^K

^e

^  ^B

^T

^DB ^dV ^(2.31)

また，全体領域の連立方程式である構造全体の剛性方程式は，構造全体における節点力

F

と節点変位

δ

の関係を表し，構造全体の剛性マトリックス

K

を用いて次式で定義される．

Kδ  F (2.32)

構造全体の剛性マトリックス

K

は，重ね合わせの原理及び仮想仕事の原理を適用すると，要素の剛性マトリックス

K

_eの総和として次式で求められる．

^K ^  ^K

^e

^(2.33)

（2）質量マトリックス

非減衰強制振動問題における要素の運動方程式は，要素の質量マトリックス

M

eを用いて次式で定義される．

M

_e

δ  

_e

 K

_e

δ

_e

 _F

_e

(2.34)

要素の質量マトリックス

M

_eは，ダランベールの原理を適用すると次式で求められる．

^M

^e

^  ^N

^T

^ ^N ^dV ^(2.35)

(20)

- 17 -

ここで，



^{は密度である．}

また，非減衰強制振動問題における構造全体運動方程式は，構造全体の質量マトリックス

M

_M _δ ^ ^ _ _Kδ _ _F (2.36)

同様に，非減衰自由振動問題における構造全体の質量マトリックス

M

M δ    Kδ  ₀ (2.37)

構造全体の質量マトリックス

M

は，重ね合わせの原理及びダランベールの原理を適用すると，要素の質量マトリックス

M

_eの総和として次式で求められる．

^M ^  ^M

^e

^(2.38)

（3）スカイライン法

式(2.32)の構造全体の剛性方程式，式(2.36)の非減衰強制振動問題における構造全体の運動方程式，式(2.37)の非減衰自由振動問題における構造全体の運動方程式は，多元の連立方程式となる．したがって，連立方程式の解法は，有限要素法の解析精度，解析速度に大きな影響を及ぼすことになる．

有限要素法の剛性マトリックス，質量マトリックスは対称マトリックスであり，また対角成分付近に非零成分が集中するという特徴を有する．本研究では，

連立方程式の解法として，これらの特性を利用した，コレスキー分解法に基づくスカイライン法を適用する．スカイライン法は，剛性マトリックス，質量マトリックスの各列において，対角成分から非零成分までのバンド幅を設定し，

バンド幅内の成分のみを記憶して，記憶領域の効率化と解析速度の向上を図る解法である．未知数である節点変位は，スカイライン法により効率化された連立方程式を，コレスキー分解法を適用して解くことにより求めることができる．

剛性マトリックス

K

は対称マトリックスであるため，下三角形マトリックス

L

，上三角形マトリックス

U

，対角マトリックス

D

を用いて，次式のように分解することができる．

LU LDL

K

^T



 (2.39)

(21)

2.2.1 有限要素法の基礎理論

- 18 -

構造全体の剛性方程式は，式(2.6)に式(2.13)を代入すると

LUδ  F (2.40)

となり，さらに未知ベクトル

y

を介在させると次式で表すことができる．

y Uδ F Ly



 (2.41)

i

行

j

列における剛性マトリックスの成分を

_K

_ijとすると，下三角形マトリックスの成分

_L

_ij，上三角形マトリックスの成分

_U

_ijは



















1

1 1

1 11 11

j

k

jk kj jj

jj ii ij ij

i

k

ik kj ij

ij

L U K

U U L U

L U K

U K U

) 1 , , 2 , 1

(    

 



 





j

i ( j  2 , 3 ,   , n )

 













(2.42)

_n

は列数で

_n _

自由度×要素数である．

未知ベクトルの成分

y

_iは

) , , 3 , 2 (

1

1 1 1

n U j

y U F

y F y

jj j

k

k kj j

j

  







^



(2.43)

で求められ，さらに節点変位の成分



_jは

1 1

1

) 2 , 3 , ( y

n j U

y

j

k k kj j

j











 

^





 (2.44)

で求められる．

(22)

- 19 -

2.2.2 固有値解析法

構造物の振動特性は剛性，質量により決定され，振動減衰特性は剛性，質量，

減衰により決定される．しかしながら，減衰は複雑な非線形現象であるため，

減衰マトリックスを構成して，構造物の振動減衰特性を減衰振動問題として定式化することは非常に困難である．したがって，構造物の動的挙動を考える場合には，構造物の振動特性を表す固有値および固有ベクトルを算出する．

非減衰自由振動問題における構造全体の運動方程式は，一般固有値問題として

Kx   Mx (2.45)

と書ける．ここで，



^{は固有値，}

x

は固有ベクトルである．固有ベクトル

_x

は節点変位

δ

と同義であり，自由振動状態における振幅の相対比を表す．

固有値



^{，固有角振動数}



，固有振動数

_f

，固有周期

T

には，それぞれ次式のような関係がある．

₂

2 2 2

2

4 4  f T 



    (2.46)

    2  f  ² T  (2.47)

f T 1 2

2  

 





 (2.48)

T  2  2  1 f







 (2.49)

（1）サブスペース法

本研究では，全体空間における一般固有値問題の解法として，サブスペース法を適用する．サブスペース法は，大規模な一般固有値問題の小規模化を図り，

任意数の固有値及び固有ベクトルを同時に求める解法である．サブスペース法では，最小固有値を求める逆反復法と，任意数の固有値を同時に求める同時反復法を併用しており，反復操作を行うことにより，固有ベクトル相互の独立性を保持しながら，未知数である固有ベクトルを収束させることができる．

最小固有値から

_m

個の固有値と，それに対応する

_m

個の固有ベクトルを求めるとき，第

n

ステップの固有ベクトル列

X

_nを次式で定義する．

X

_n

  x

₁

, x

₂

,   , x

_m



_n

(2.50)

(23)

2.2.2 固有値解析法

- 20 -

第

_n

X

_nに，逆反復法を適用して

Z

_n

 MX

_n

(2.51)

を求め，さらに連立方程式

KY

_n

 Z

_n

(2.52)

を解いて

Y

_nを求める．初期ステップにおいては，固有ベクトル列が未知であるため，仮想的に初期固有ベクトル列

X

₀を設定する．連立方程式の解法には，コレスキー分解法に基づくスカイライン法を適用する．

大規模な一般固有値問題の小規模化を図るために，全体空間における一般固有値問題を部分空間における一般固有値問題に帰着させる．一般固有値問題を全体空間から部分空間に射影することで，同時反復法を適用して，任意数の固有値及び固有ベクトルを同時に求めることが可能となる．

部分空間における第

n

ステップの剛性マトリクス

k

_n，質量マトリックス

m

_nは，

全体空間における剛性マトリックス

K

，質量マトリックス

M

を直交化することにより次式で求められる．

_k

_n

_ _Y

_n^T

_KY

_n

_ _Y

_n^T

_Z (2.53)

m

_n

 Y

_n^T

MY

_n

(2.54)

この直交化操作により得られた部分空間における一般固有値問題

k

_n

t

_n

 λ

_n

m

_n

t

_n

(2.55)

を解くことにより，部分空間における第

_n

ステップの固有値



_n^{，固有ベクトル} 列

t

_nを求めることができる．部分空間における一般固有値問題の解法には，一般化ヤコビ法を適用する．部分空間における第

_n

ステップの剛性マトリックス

k

n，質量マトリックス

m

_n，固有ベクトル列

t

_nは

m

行

m

列の対称マトリックスである．

全体空間における第

n  1

X

_n_₁は，部分空間における第

_n

t

_nを，部分空間から全体空間に射影することにより次式で求められる．

(24)

- 21 -

X

_n_₁

 Y

_n

t

_n

( n  0 , 1 , 2   ) (2.56)

式(2.51)以下の反復操作を行うことにより，固有ベクトル列

X

を収束させ，

m

個の固有値と，それに対応する

_m

個の固有ベクトルを求める．収束した場合，

K

，

M

はともに対角マトリックスとなり，

X

，

Y

はともに固有ベクトル列となる．

（2）一般化ヤコビ法

本研究では，部分空間における一般化固有値問題の解法として，一般化ヤコビ法を適用する．一般化ヤコビ法は，すべての固有値及び固有ベクトルを同時の求める解法である．

一般化ヤコビ法の初期設定として，部分空間における固有ベクトル列

t

を単位マトリックスとして初期化する．

部分空間における剛性マトリックス

k

，質量マトリックス

_m

の，絶対値最大の非対角成分をそれぞれ

_k

_ij，

_m

_ijとし

2 2 2

jj ii

ij

k k

k

 (2.57)

2 2 2

jj ii

ij

m m

m

 (2.58)

を求める．式(2.57)と式(2.58)を比較し，大きい方の行番号を

p

，列番号を

q

として

pq qq qq pq

pp qq qq pp

pp pq pq pp

m k m k c

m k m k b

m k m k a













(2.59)

を求め，さらに二次方程式

x

²

 bx  ac  ₀ (2.60)

を解いて

x

を求める．二次方程式の解を比較し，絶対値が大きい方の解を

x

として，非対角成分

_k

_pq，

_m

_pqが

0

となるような



，



を次式により決定する．