相対論 期末レポート
題目 「講義ノートのまとめ 」
（初版 2004 年 2 月 14 日）
理学部 自然情報科学科 3 年 物理コース 三好 烈麗
《前書き》
この度、山口大学理学部の白石清助教授の下で「相対論」に関してのレクチャーが行われた。
講義期間は半期であり、90分の講義が13回程度あっただけである。この短い時間に要所要所を的確に突いた講義 をして頂き、ガリレイ変換から
アインシュタイン
Einstein方程式、
シ ュ ヴ ァ ル ツ シ ル ト
Schwarzschild解までの理解が一通り出来たと小生は思っている。
一般的見地から見れば、この講義範囲はその一端にしかならない。だが相対論の「そ」の字も知らないような学生 に対して、ここまで講義が成されれば十分だと思われる。実は今回の期末レポートのために相対論の入門書をざっと 1,2冊読んでみたが、今回の講義範囲はこれら入門書の内容ほぼ全体をカバーしていた。白石先生には本当に頭の下 がる思いである。
この相対論の期末レポートが課題として出された時、「どうせならばこの貴重な講義内容を文書化して残そう」と 思いたったわけである。
このレポートの元となったのは小生が取り続けていた同講義のノートであり、このノートと自分の記憶、そして時 には参考書を数冊取り出して内容を出来るだけ咀嚼しながら、書き上げたのである。曖昧な表現などが多くならない ように努力したつもりであるが、講義中の説明の聞き逃し＆書き取り不足＆記憶の薄れ…etc.…などがあり、どうし てもそれが達成できなかった部分の存在も一部において否定出来ない。このあたりはどうか寛大にみて頂きたい所存 である。
またノートの書き取りミスチェックなどの協力をして頂いた、三浦春樹、山端孝之の両氏にはここで改めて感謝の 意を表しておきたい。（どうもありがとう。）
さらにどうしても分からないところがあった時などは、当の白石先生に直接質問をさせて頂いた。お忙しい中、丁 寧なご回答を有難うございました。（そのあまりの質問の多さに、後日山端氏から「白石先生が“三好は授業を聞いて おらん…”と嘆いとったよ…。」と告げられる。すみませんねぇ、馬鹿な学生で…。）
このレポートをご覧になって、同講義の雰囲気を少しでも味わって頂けたら、此れ幸いである。
平成15年 2月 吉日 三好 烈麗
第1章 ガリレイ変換からローレンツ変換へ 1.1 ガリレイ変換
或る慣性系Sとそれに対して速度
v
で移動している座標系S′を考え、t0の時に2つの座標系は一致していたと する（注：慣性系とはニュートンの第1法則が成り立つ座標系を意味する）。点Pに在る物体の位置ベクトルをSの 座標系でr(x,y,z)、S′の座標系でr(x,y,z)と表されるとする（図1.1.1参照）。ニュートン力学では時間の 流れは2つの座標系において共通であると考える。このとき2つの座標系で表した位置ベクトルの間の関係はt v r
r 、tt (1.1.1)
成分で表記すると
t t
t v z z
t v y y
t v x x
z y x
(1.1.2)
となる。このような位置ベクトルと時刻の間の関係式、または変換をガリレイ変換と呼ぶ。
ところでニュートン力学の法則はガリレイ変換に対して不変であることが知られている。実際に運動の第２法則に ついて考えてみると
Fma (1.1.3)
であるので、
Fmamr 但し 22 dt d r r
、r drdt (1.1.4)
である。ガリレイ変換より式(1.1.1)を参考に
rrv (1.1.5)
rr (1.1.6)
となる。式(1.1.6)の両辺に
m
を乗じて、mrmr (1.1.7)
これより式(1.1.4)を参考にすれば
F F
r F
r F
m m
(1.1.8)
となる。よってガリレイ変換に関してニュートンの法則は不変であることが分かる。
但し法則は不変であれど、現象自体は各座標で異なって見える。（つまり初期条件が異なって見える）
1.2 ローレンツ変換
ガリレイ変換については上述の通りである。しかし実際のところガリレイ変換は速度
v
が光速c
に近いときは変 更を受けるのである。ここでは表記を簡単にするためにv(v,0,0)とすると、ガリレイ変換（式（1.1.2）参照）は以下のようになる。
2 2
2 2 2
c v 1
c vx t t
z z
y y
c v 1
vt x x
(1.2.1)
このような変換をローレンツ変換と呼ぶ。
いわゆる古典力学の範囲ではv c≪1のとき、ローレンツ変換はガリレイ変換に良い精度で近似できる。
第２章 特殊相対性理論への入り口 2.1 特殊相対性原理及び光速不変の原理
「力学、電磁気学などの物理法則は全て慣性系に対して同じ形で表される（つまり座標変換に関して不変であ る）」
という原理を特殊相対性原理、
「真空中の光の速さは光源の運動状態に関係なく一定である」
という原理を光速不変の原理と呼ぶ。
2.2 時計の遅れ
光速不変の原理を用いて運動する時計が遅れるということをざっと説明してみよう。
図1.4.1のように鏡を向かい合わせにし、その間を光（または光子）が往復する様子で時間を計る装置、つまり時
計を想定しよう。この時計で光子が一方の鏡と他方の鏡を往復する時間を考えてみる。但しその際にこの時計は運動 をしていない。そして一方で全く同じ時計を別に用意し、それを速度
v
で運動させてみると光は図1.4.2のような軌 跡を描く。ここで２つの時計の光が辿る軌跡に注目してみると明らかに運動している時計の方が、より長い軌跡を辿っている ことがわかる。つまり運動していない時計に比べて、運動している時計の方が上述の「光が往復する時間」が長い。
言い換えると運動していない時計の光が一往復した時には、運動している時計の光は一往復を終えていない。つまり
「運動している時計は遅れている」のである。
別の例として、速さv 0.6cで星Aから星Bに向かうロケ ットに乗っているRさんとそれをロケットの外で見守るAさん を考えてみよう。
ロケットの位置関係は図2.2.3の通りである。Aさんから見 ればAB間の距離は6光年である。
さて上述の時計とはちょっと違って、光が進んだ直線距離を 測って時間を測る時計をロケットが装備していたとする。Rさ んから見ると時計内の光はロケットの飛行経路に対して常に垂 直な方向には進んでいる。しかしAさんから見ればこの光は飛 行経路に対して垂直な方向には進んでいない。
ロケットが星Bに到着した瞬間、Aさんから見た光が進んだ 距離が10年である。これは
光年 10年 v
t 6 (2.2.1)
から説明が出来る。
そうすると図2.2.3からBさんから見た光が進んだ距離は8光年であることが分かる。つまりロケットが星Bに到 着するために必要な時間はA さんから見ると 10 年 、B さんから見ると８年 となるのである。
またAB間の距離に関していえばAさんから見て６光年であるのに対し、Bさんから見ると「速さv0.6cで 8 年
の時間が掛かった」のだから、
dR vt4.8光年 (2.2.2)
となる。
Aさんがいる座標系に比べ、Rさんがいる座標系では時間と長さが収縮していることが分かる。
2.3 時空の座標～ミンコフスキーの世界～
或る空間で物体が一次元の運動をしていて、その運動の様子は時間によって変化をしている。この運動の様子を距 離と時間をそれぞれの軸に取って、グラフを描けばその運動の理解を手助けしてくれるものになるだろう。
ところで光が空間を直線的に突き進んでいるという運動 c
t x (2.3.1)
をグラフ化すると、1 c≪1であるためにこのグラフはとっても分かりにくくなってしまう。そこでグラフを見や すくするために、式(2.3.1)を少し変形して
ctx
(2.3.2)
としてしまう。そして
x
を横軸、ctを縦軸にとれば図2.3.1の ようなグラフになり、とても見やすい。このようなグラフ（座標空間）を時空（図）、またはミンコフ スキーの世界（図）と呼ぶ。（注：この他にも色々と呼び名があ る）
例として節2.2でのロケットの話をこの時空図で表して表現し てみよう。Aさんを基準にした時空図を図2.3.2に、Rさんを基 準にした時空図を図2.3.3に示す。
座標軸以外に矢印が描いてある直線はある事象の連続変化を表 している。（例えば図2.3.2ではロケットの動きを斜めの線で表 している）
2.4 座標の間の関係
上述の時空図の一方を他方の
時空図に繰り込むとどのようになるか。実は以下の図2.4.1、2.4.2のようになる。
さて上述のような座標の取り方に依らず不変なものとはなんだろうか？
それは一般に2つのeventの座標(x1,ct1),(x2,ct2)の差について次のようなものである。
s 2 c 2 t 2 x 2 c 2 t 2 x 2
但しtt2t1、xx2 x1 (2.4.1)式(2.4.1)で表される量を世界距離の 2 乗 と定義する。実際に上の時空図においては
10262 82 02 (2.4.2)
となり、確かに不変であることが分かる。
特に2つのeventを光が通過する場合においては
c2t2x2 0 (2.4.3)
であり、世界距離は0となる。
この世界距離の2乗c2t2x2はどのような慣性系における観測者にとっても同じ値である。この世界距離の2 乗を少し変形してみることにしよう。
x
t c 1 0
0 x 1
t c x t
c2 2 2 (2.4.4)
x
t c 1 0
0 x 1
t c x t
c
2 2 2 (2.4.5)この2つの式は上述の式(2.4.1)を満たさなければならない。この式を満たす条件として
x t c cosh sinh
sinh cosh
x t c
(2.4.6)
がある。これを式(2.4.5)に代入すると
x
t c cosh sinh
sinh cosh
1 0
0 1 cosh sinh
sinh x cosh
t c x t
c
2 2 2
(2.4.7)
x
t c cosh sinh
sinh cosh
cosh sinh
sinh x cosh
t
c
(2.4.8)
x
t c cosh sinh
0
0 sinh
x cosh t
c 2 2
2 2
(2.4.9)
x
t c 1 0
0 x 1
t
c (2.4.10)
となり、式(2.4.4)に等しくなることが分かる。
さてct軸とはx0を表す直線である。このとき式(2.4.6)から
x(sinh)ct(cosh)x0 (2.4.11)
であり
ct
tanh x (2.4.12)
となる。ここで
xvt (2.4.13)
を用いると、式（2.4.12）は以下のようになる。
c
tanh v (2.4.14)
これから
1 v2 c2
cosh 1
、 1 v2 c2
c sinh v
(2.4.15)
であるので、式(2.4.6)は
x ct c v 1
1 c
v 1
c v
c v 1
c v c
v 1
1 x
t c
2 2 2
2
2 2 2
2
(2.4.16)
と表記しなおすことが出来る。この式より 1 v2 c2
vt x x
(2.4.17)
2 2
2
c v 1
c vx t t
(2.4.18)
節2.2での「運動する時計の遅れ」の議論を式(2.4.18)を用いて数式化する と、時計の座標は座標系Sでは、
xvt (2.4.19)
であるから、
t
c 1 v c t
v 1
) c v 1 ( t c v 1
c vx
t t 2
2 2
2 2 2 2
2
2
(2.4.20)
と表せる。座標系S′では時計の進み方が遅くなることがわかる。
一方運動する物差しの収縮を考えてみる。物差しの長さを座標系Sはt 0 で測るものとする。座標系S′では静止している物差しの両端の座標はx1,x2で あるとすると、座標系Sで見る物差しの長さは
2 1 2 2 12 c v 1
x x x
x
(2.4.21)
2 1 2 1 22 x2 x1 c
1 v ) x x ( x
x
(2.4.22)
と表せる。運動する物差しは収縮して見える。
2.5 世界距離の2乗の意味
図2.5.1のようにs2 c2t2x2が正負、及び0の場合で時空の領域 が区分される。
s2 0のとき(ct,x)は原点に対して空間的領域にある s2 0のとき(ct,x)は原点に対して時間的領域にある s2 0のとき(ct,x)は原点に対してnull 的領域 にある
と表現する。これらの性質は同じ点をどの慣性系から見ても変わらな い。
この議論を(ct,x)の2次元空間から(ct,x,y,z)の4次元空間のも のに拡張してみる。まずnull的領域に注目すると図2.5.2（都合上
) y , x , ct
( の3次元空間で表現されている）のように(ct,x,y,z)空 間での円錐が形成される。この円錐を光円錐と呼ぶ。
この光円錐についてct 0の部分を未来錐、ct0の部分を過去錐と呼ぶ。
2.6 速度の合成
図2.6.1のように座標系Aに対して座標系Bは速さv1で動き、座標系Bに対して座標系Cは速さv2で動いている。
では座標系Aに対して座標系Cはどんな速さで動いているのであろうか？この疑問の答えとして次のように考える。
式(2.4.6)より各座標系の変換は次のように表すことが出来る。
x ct cosh
sinh
sinh cosh
x t c
1 1
1 1
(2.6.1)
x t c cosh
sinh
sinh cosh
x t c
2 2
2 2
(2.6.2)
これより
x ct cosh
sinh
sinh cosh
cosh sinh
sinh cosh
x t c
1 1
1 1
2 2
2 2
(2.6.3)
x ct ) cosh(
) sinh(
) sinh(
) cosh(
2 1 2
1
2 1 2
1
(2.6.4)
x ct cosh
sinh
sinh cosh
(2.6.5)
となる。このとき問題の速さをV とし
c
tanh V (2.6.6)
とすれば、
2 1
2 1
2
1 1 tanh tanh
tanh ) tanh
tanh(
(2.6.7)
より
22 1
2 1
c v 1 v
v V v
(2.6.8)
となる。もしv1 cのとき
c
c 1 v
v V c
2 2
(2.6.9)
となる。ちなみに 0付近においては速度の合成は
Vv1v2 (2.6.10)
と表すことが出来る。
2.7 よくありがちな特殊相対論の考え方のよくわかる例
図2.7.1のように移動する列車の中央にBさ
ん、そしてx軸に関してBさんと同じ位置にA さんがいる。このAさんとBさんの間に光源が 置かれている。そしてAさん、Bさん、光源が 同じ位置にいる瞬間に光源が光るとする。
さて光は列車の前方の壁と後方の壁、どちら に早く到着するであろう？
答えはAさんから見ると光は後ろの壁に早く到着し、Bさんから見ると光は前後の壁に同時に到着することになる。
この理由は以下の時空図を見ると、理解が早く済む。
第３章 特殊相対論的力学
3.1 ニュートン力学から相対論的力学へのアプローチ ニュートン力学においては以下の等式が成り立つ。
2X2 F dt
md (3.1.1)
まずF0の場合を考えると X2 0
2
dt
md X0
dt md dt
d (3.1.2)
ここで
X v
P m
dt md
(3.1.3)
とすれば P 0 dt
d (3.1.4)
となる。これは運動量保存を表す式である。
これを例にして、「相対論的力学においても運動量は保存する」と仮定してみる。但しこの場合運動量は次のよう に表される。
Pm(v)v (3.1.5)
式(3.1.5)では質量が速度の関数で表されることに注意しておく。但し質量に関しては
m(0)m0 (3.1.6)
という条件を付しておく。
ではこのm(v)を求めるために、図3.1.1、図3.1.2のような衝突問題を考え てみる。
「静止している物体Bに速さ
v
の物体Aが衝突し、衝突後両者は一体になり物 体Cとして速さV で運動し続けた。」
二つの図では物体B、物体Cそれぞれが静止して見える座標系が描かれている。
このとき運動量の保存則から衝突の前後について
m(v)vm00m(v)vM(V)V (3.1.7) また質量保存則から衝突の前後について
m(v)m0 M(V) (3.1.8)
となり、これらから v V
m V ) v (
m 0
(3.1.9)
ところで速度合成の式
2 2 2
2
c 1 V
V 2 c
1 V V v V
(3.1.10)
をV について解くと
2 22
c 1 v v 1
V c (3.1.11)
となるので、これを式(3.1.9)に代入すると質量については
2 2 0
c 1 v ) m v ( m
(3.1.12)
となる。またこれより運動量については
2 2 0
c 1 v
m
v
P (3.1.13)
となる。式(3.1.12)についてv c≪1の条件で近似すると
2 2 0 0 2 1
2 2
0 c
m v 2 m 1 c
1 v m ) v (
m (3.1.14)
となる。右辺の第２項までを残し、そしてc2を乗じると 2 0 2 m0v2
2 c 1 m c ) v (
m (3.1.15)
となる。
m(v)c2を相対論的エネルギー、m(0)m0を質量と呼ぶ。これ以後m0を定数
m
と表す。ところで式(3.1.15)よりニュートン力学における運動エネルギーは、相対論的エネルギーから静止エネルギーを差 し引いたものに相当し、これは速度が小さい時の近似であることがわかる。
3.2 ローレンツ変換に対して不変な量 2 2 m2c2
c
E
P (3.2.1)
はローレンツ変換に対して不変な量である。これから座標系S、S′について以下のような変換が行える。
x Px
c E cosh sinh
sinh cosh
P c E
(3.2.2)
例として系Sで静止しており、系S′では速さ
v
で運動している粒子に関して考える。（図3.2.1参照）まず系Sでは
Emc2 (3.2.3)
Px 0 (3.2.4)
一方、系S′では
2 2 2 2
c v 1 mc mc cosh
E (3.2.5)
x 2 2
c v 1 mc mv sinh
P (3.2.6)
である。
3.3 相対論的力学の一例
電磁場内の荷電粒子を考える。まず自由粒子（力が働かない粒子）についてのラグランジュアンの形式は m 2
2
L1 v 但し
dt ) t (
v dX 、X(t)：粒子の座標 (3.3.1)
Lを相対論的に拡張してみる。まずv c≪1とすれば 22 22
c v 2 1 1 c
1 v (3.3.2)
そして
2 22 c 1 v mc
L (3.3.3)
とすれば、
2 mv2 2
mc 1
L (3.3.4)
ここで作用（action）を考えると
I
Ldt
(mc2) 1c12 xt 2dtmc
c2t2 x2 (3.3.5)となり、式(3.3.5)の右辺の平方根内部がローレンツ変換に対して不変であることから、作用もローレンツ変換に対し て不変であることがわかる。
さて次に
オ イ ラ ー
Euler-
ラ グ ラ ン ジ ュ
Lagrange方程式を考えてみる。
0
x L x
L dt
d
(3.3.6)
式(3.3.3)をもとに考えると
2 2 x
x 2
2 2 2 x
x
c P v 1
mv c
v 1 2
) c v 2 mc ( v
L x
L
(3.3.7)
0 dt
dPx (3.3.8)
となる。
次に荷電粒子（電荷q）のラグランジュアンを考える。
q
Av
c 1 v mc
L 2
2
2 (3.3.9)
但しA：ベクトルポテンシャル、 ：スカラーポテンシャル ここで以下の数式を考えてみる。
x
t c 1 0
0 A 1
t c
t x
A X
v
A (3.3.10)
ここで式(3.3.10)の中辺がローレンツ変換に対して不変であることから
x
x A
c cosh
sinh
sinh cosh
A
c
(3.3.11)
式(3.3.9)からEuler-Lagrange方程式について考えると 2x 2 qAx
c v 1
mv x
L
(3.3.12)
z z y y x
xv A v A v
x A x q
L (3.3.13)
x x v A x v A x v A
q x x y y z z
(3.3.14)
z A t z y A t y x A t x t q A dt qA dP
c v 1
mv dt
d x L dt
d x x x x x
2 x 2
x
(3.3.15)
なのだから
x x v A x v A x v A z q
v A y v A x v A t q A dt
dP z
z y y x x x
z x y x x x
x
(3.3.16) であり、これを整理すると
x
A z v A y A x v A t A q x
dt
dP x z
z y x
y x
x
(3.3.17)
となり、電場Eと磁場Bに関して t
A
E (3.3.18)
BA (3.3.19)
であるから、式(3.3.17)は以下のようにまとめられる。
x q
x
x
dt
dP E vB (3.3.20)
P q
E
vB
dt
d (3.3.21)
これは見慣れた式である。
3.4 4次元時空での記述
4次元の変数を以下のように表記することにする。
z y x ct
x または x0 ct ,x1 x ,x2 y ,x3 z
(3.4.1)
また以下のような行列を考える。
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(3.4.2)
このxと を利用すると、4次元空間における世界距離の2乗は次のように表すことが出来る。
3
0 3
0 2
2 2 2
2 ct x y z x x x x
s
(3.4.3)
相対性理論では添え字について0から3までの和をとることが多い。そこで今後は和の記号
3
0 を省略し、同一項 の中に同じギリシャ文字が上付き文字と下付き文字として対になって表れているときには、その添え字について0か ら3までの和をとることにする。
同様の表記方法を用いると
z y x
P P P c E
P を用いて、 PP m2c2 (3.4.4)
