空間の曲面と接平面

(1)

空間の曲面と接平面

(2)

空間の曲面と接平面

[

平面で定義された関数

^]

平面の各点

P

_{に対し実数}

f ( P )

が唯一つ定まるとき、

f ( P ) (

_又は単に

f )

は平面で定義された関数であるという。

平面上に原点と軸軸を定め点をこの座標を用いてと表すとはの二変数関数と考えることが出来る。

(3)

空間の曲面と接平面

[

^]

平面の各点

P

_{に対し実数}

f ( P )

f ( P ) (

_又は単に

f )

平面上に原点と

x

_軸

y

_{軸を定め点}

P

_をこの

x-y

_{座標を用い} て

P ( x, y )

と表すと

f ( P ) = f ( x, y )

は

x, y

_{の二変数関数と考} えることが出来る。

(4)

空間の曲面と接平面

[

^]

平面の各点

P

_{に対し実数}

f ( P )

f ( P ) (

_又は単に

f )

平面上に原点と

x

_軸

y

_{軸を定め点}

P

_をこの

x-y

_{座標を用い} て

P ( x, y )

と表すと

f ( P ) = f ( x, y )

は

x, y

_{の二変数関数と考} えることが出来る。

P 3 -11

7 -1 3

0.5 P(x,y) 3 -11

7 -1 3

0.5 x y

O

(5)

空間の曲面と接平面

(6)

空間の曲面と接平面

[

平面で定義された関数のグラフ

^] f ( P )

を平面で定義された関数とするとき、空間内で

P

_{から平面に垂直に}

f ( P )

だけ

(

_符合付で

)

_{離れた点の成す図形を}

f ( P )

のグラフとよぶ。

(7)

空間の曲面と接平面

[

平面で定義された関数のグラフ

^] f ( P )

を平面で定義された関数とするとき、空間内で

P

_{から平面に垂直に}

f ( P )

だけ

(

_符合付で

)

_{離れた点の成す図形を}

f ( P )

のグラフとよぶ。

P

f(P)

(8)

空間の曲面と接平面

(9)

空間の曲面と接平面

[

二変数関数のグラフが定める曲面

^]

空間内に原点と、

x, y, z

軸を定め

x-y

_{平面上の関数}

f ( x, y )

を

( x, y )

の二変数関数と考えるとき、方程式

z = f ( x, y )

を満たす点が定める曲面は

f ( x, y )

グラフ

(

_つまり

( x, y, f ( x, y ))

の定める曲面

)

_となる。

練習問題、、が定める曲面の

概形を求めよ。ヒントを固定したときに一定の平

面上に、、が定める曲線を考

える。

(10)

空間の曲面と接平面

[

^]

x, y, z

軸を定め

x-y

f ( x, y )

を

( x, y )

z = f ( x, y )

f ( x, y )

グラフ

(

_つまり

( x, y, f ( x, y ))

の定める曲面

)

_となる。

[

練習問題

^] z = x ² + y ²

_、

z = x ² − y ²

_、

z = xy

_{が定める曲面の} 概形を求めよ。

ヒントを固定したときに一定の平

面上に、、が定める曲線を考

える。

(11)

空間の曲面と接平面

[

^]

x, y, z

軸を定め

x-y

f ( x, y )

を

( x, y )

z = f ( x, y )

f ( x, y )

グラフ

(

_つまり

( x, y, f ( x, y ))

の定める曲面

)

_となる。

[

練習問題

^] z = x ² + y ²

_、

z = x ² − y ²

_、

z = xy

(

_ヒント

) z

_{を固定したときに}

z = (

_一定

)

_の平面上に

z = x ² + y ²

_、

z = x ² − y ²

_、

z = xy

_{が定める曲線を考} える。

(12)

空間の曲面と接平面

[

^]

x, y, z

軸を定め

x-y

f ( x, y )

を

( x, y )

z = f ( x, y )

f ( x, y )

グラフ

(

_つまり

( x, y, f ( x, y ))

の定める曲面

)

_となる。

[

練習問題

^] z = x ² + y ²

_、

z = x ² − y ²

_、

z = xy

(

_ヒント

) z

_{を固定したときに}

z = (

_一定

)

_の平面上に

z = x ² + y ²

_、

z = x ² − y ²

_、

z = xy

_{が定める曲線を考} える。

x

y

z

(13)

空間の曲面と接平面

z

x

y

z=x +y ² ²

(14)

空間の曲面と接平面

x y z

z=x -y ² ²

(15)

空間の曲面と接平面

x

y z

z=xy

(16)

空間の曲面と接平面

(17)

空間の曲面と接平面

[

二変数関数の一次関数による近似

^] x-y

_{座標を定められた平} 面で定義された関数

f ( x, y )

について、

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

が成り立つならば、をの近くで一次関数

で近似すると、がに近付くとき「余り」

はの一次式より速くに近付く。即ち

が空間内に定める曲面はが定める曲面のでの接平面の方程式である。

(18)

空間の曲面と接平面

[

^] x-y

f ( x, y )

について、

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

が成り立つならば、

をの近くで一次関数

で近似すると、がに近付くとき「余り」

はの一次式より速くに近付く。即ち

(19)

空間の曲面と接平面

[

^] x-y

f ( x, y )

について、

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

f (x, y)

_を

(x ₀ , y ₀ )

_{の近くで一次関数}

f (x ₀ , y ₀ ) + A(x − x ₀ ) + B (y − y ₀ )

で近似すると、

(x, y)

_が

(x ₀ , y ₀ )

_{に近付くとき「余り」}

R ( x, y )

_は

x, y

_{の一次式より速く}

0

_{に近付く。}

即ち

(20)

空間の曲面と接平面

[

^] x-y

f ( x, y )

について、

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

f (x, y)

_を

(x ₀ , y ₀ )

_{の近くで一次関数}

f (x ₀ , y ₀ ) + A(x − x ₀ ) + B (y − y ₀ )

で近似すると、

(x, y)

_が

(x ₀ , y ₀ )

_{に近付くとき「余り」}

R ( x, y )

_は

x, y

_{の一次式より速く}

0

_{に近付く。即ち}

z = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ )

が

x-y-z

_{空間内に定める曲面は}

z = f (x, y)

_{が定める曲面の}

(21)

空間の曲面と接平面

(22)

空間の曲面と接平面

[

例

^] z ≡ 0 (x, y

_{によらずに}

z

_は常に

0)

_は

z = x ² + y ²

_が定める曲面の原点

(0, 0, 0)

における接平面である。

(

_{この場合一次} の係数

A = B = 0)

実際、点と原点との距離はなので

即ちのとき

練習問題はが定める曲面の原点における接平面であることを示せ。

解答例なので

(23)

空間の曲面と接平面

[

例

^] z ≡ 0 (x, y

_{によらずに}

z

_は常に

0)

_は

z = x ² + y ²

(0, 0, 0)

(

A = B = 0)

実際、点

(x, y)

_{と原点との距離は}

p

x ² + y ²

_なので

( x, y ) → (0 , 0)

即ち

p

x ² + y ² → 0

のとき

x ² + y ²

p x ² + y ² → 0

練習問題はが定める曲面の原点

における接平面であることを示せ。

解答例なので

(24)

空間の曲面と接平面

[

例

^] z ≡ 0 (x, y

_{によらずに}

z

_は常に

0)

_は

z = x ² + y ²

(0, 0, 0)

(

A = B = 0)

実際、点

(x, y)

p

x ² + y ²

_なので

( x, y ) → (0 , 0)

即ち

p

x ² + y ² → 0

のとき

x ² + y ²

p x ² + y ² → 0

[

練習問題

^] z ≡ 0

は

z = x ² − y ²

_{が定める曲面の原点}

(0 , 0 , 0)

解答例なので

(25)

空間の曲面と接平面

[

例

^] z ≡ 0 (x, y

_{によらずに}

z

_は常に

0)

_は

z = x ² + y ²

(0, 0, 0)

(

A = B = 0)

実際、点

(x, y)

p

x ² + y ²

_なので

( x, y ) → (0 , 0)

即ち

p

x ² + y ² → 0

のとき

x ² + y ²

p x ² + y ² → 0

[

練習問題

^] z ≡ 0

は

z = x ² − y ²

_{が定める曲面の原点}

(0 , 0 , 0)

[

解答例

^] | x ² − y ² | ≤ | x ² | + | y ² | = | x ² + y ² |

なので

x ² − y ²

≤ x ² + y ²

→ 0 ( p

x ² + y ² → 0)

(26)

空間の曲面と接平面

(27)

空間の曲面と接平面

[

定義

^] f ( x, y )

が

( x ₀ , y ₀ )

で一次関数で近似できるとき

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

はで全微分可能であるという。このとき明

らかに、は以下で求まる。

定義

を各々のによるまたはによるにおける偏微分係数とよぶ。

(28)

空間の曲面と接平面

[

定義

^] f ( x, y )

が

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0 f (x, y)

_は

(x ₀ , y ₀ )

で全微分可能であるという。

このとき明らかに、は以下で求まる。

定義

(29)

空間の曲面と接平面

[

定義

^] f ( x, y )

が

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

f (x, y)

_は

(x ₀ , y ₀ )

で全微分可能であるという。このとき明らかに、

A, B

_{は以下で求まる。}

A = lim

x → x 0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ , B = lim

y → y 0

f (x ₀ , y) − f (x ₀ , y ₀ ) y − y ₀

定義

(30)

空間の曲面と接平面

[

定義

^] f ( x, y )

が

( x ₀ , y ₀ )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + A ( x − x ₀ ) + B ( y − y ₀ ) + R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R(x, y)

p (x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

f (x, y)

_は

(x ₀ , y ₀ )

で全微分可能であるという。このとき明らかに、

A, B

_{は以下で求まる。}

A = lim

x → x 0

f (x, y ₀ ) − f (x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ , B = lim

y → y 0

f (x ₀ , y) − f (x ₀ , y ₀ ) y − y ₀

[

定義

^]

∂f

∂x ( x ₀ , y ₀ )=lim

x → x 0

f ( x, y ₀ ) − f ( x ₀ , y ₀ )

x − x ₀ , ∂f

∂y ( x ₀ , y ₀ )=lim

y → y 0

f ( x ₀ , y ) − f ( x ₀ , y ₀ ) y − y ₀

を各々

f

_の

x

_{によるまたは}

y

_による

( x , y )

における偏微分

(31)

空間の曲面と接平面

(32)

空間の曲面と接平面

[

練習問題

^]

次の曲面の接平面の方程式を求めよ。

(1) z = x ² + y ²

_の点

(1 , 1 , 2)

での接平面。

(2) z = x ² − y ²

_の点

(1 , 1 , 0)

での接平面。

(3) z = xy

_の点

(1 , 0 , 0)

での接平面。

解答例

にを代入して

(33)

空間の曲面と接平面

[

練習問題

^]

(1) z = x ² + y ²

_の点

(1 , 1 , 2)

での接平面。

(2) z = x ² − y ²

_の点

(1 , 1 , 0)

での接平面。

(3) z = xy

_の点

(1 , 0 , 0)

での接平面。

[

解答例

^]

(1) ∂z

∂x = 2 x, ∂z

∂y = 2 y

_に

x = 1 , y = 1

を代入して

z = 2 + 2( x − 1) + 2( y − 1) = 2 x + 2 y − 2

にを代入して

(34)

空間の曲面と接平面

[

練習問題

^]

(1) z = x ² + y ²

_の点

(1 , 1 , 2)

での接平面。

(2) z = x ² − y ²

_の点

(1 , 1 , 0)

での接平面。

(3) z = xy

_の点

(1 , 0 , 0)

での接平面。

[

解答例

^]

(1) ∂z

∂x = 2 x, ∂z

∂y = 2 y

_に

x = 1 , y = 1

を代入して

z = 2 + 2( x − 1) + 2( y − 1) = 2 x + 2 y − 2 (2) ∂z

∂x = 2x, ∂z

∂y = −2y

_に

x = 1, y = 1

_{を代入して}

z = 2(x − 1) − 2(y − 1) = 2x − 2y

にを代入して

(35)

空間の曲面と接平面

[

練習問題

^]

(1) z = x ² + y ²

_の点

(1 , 1 , 2)

での接平面。

(2) z = x ² − y ²

_の点

(1 , 1 , 0)

での接平面。

(3) z = xy

_の点

(1 , 0 , 0)

での接平面。

[

解答例

^]

(1) ∂z

∂x = 2 x, ∂z

∂y = 2 y

_に

x = 1 , y = 1

を代入して

z = 2 + 2( x − 1) + 2( y − 1) = 2 x + 2 y − 2 (2) ∂z

∂x = 2x, ∂z

∂y = −2y

_に

x = 1, y = 1

_{を代入して}

z = 2(x − 1) − 2(y − 1) = 2x − 2y

(3) ∂z

= y, ∂z

= x

_に

x = 1 , y = 0

を代入して

(36)

宿題

問題集

セクション

72

_〜

73 (143

_ページ〜

146

_ページ

)

_、

76

_〜

77 (151

ページ〜

154

_ページ

)