解答例＋引用題 理系数学 過去問

2004 東京大学（理系）前期日程 問題

−−

１ 解答解説のページへ

[\平面の放物線_{\ [上の点345が次の条件を満たしている。}

△345は辺の長さDの正三角形であり点3 4を通る直線の傾きは である。

2004 東京大学（理系）前期日程 問題

−−

２ 解答解説のページへ

自然数の乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。

進法で表して桁以上の平方数に対し の位の数をD の位の数をEとお

いたとき DEが偶数となるならばEはまたはであることを示せ。

進法で表して桁以上の平方数に対しの位の数の位の数の位

の数およびの位の数の つがすべて同じ数となるならばその平方数は

2004 東京大学（理系）前期日程 問題

−−

３ 解答解説のページへ 半径の円&がある。半径 の円板' を円& に内接させながら円& の円周

に沿って滑ることなく転がす。円板'の周上の点を3とする。点3が円&の円

周に接してから再び円 & の円周に接するまでに描く曲線は円 & を つの部分に分

2004 東京大学（理系）前期日程 問題

−−

４ 解答解説のページへ

関数IQ[Q を次のように定める。

[ [

[

I I[

^

I[

`

I[I[

^

I[

`

I[

以下同様にQ≧に対して関数IQ[が定まったならば関数IQ[を

^

`

[ Q [ Q [

Q I I

I

で定める。

このとき以下の問いに答えよ。

Dを実数とする。I[ Dを満たす実数[の個数を求めよ。

Dを実数とする。I[ Dを満たす実数[の個数を求めよ。

Qを以上の自然数とする。IQ[ を満たす実数[の個数はQであることを

2004 東京大学（理系）前期日程 問題

−−

５ 解答解説のページへ

U を正の実数とする。[\] 空間内の原点2 を中心とする半径 の球を $

点3U を中心とする半径の球を% とする。球 $と球% の和集合の体積を

9 とする。ただし球$と球% の和集合とは球$ または球 % の少なくとも一方に

含まれる点全体よりなる立体のことである。

9をUの関数として表しそのグラフの概形をかけ。

9 となるときUの値はいくらか。四捨五入して小数第位まで求めよ。

2004 東京大学（理系）前期日程 問題

−−

６ 解答解説のページへ

片面を白色にもう片面を黒色に塗った正方形の板が枚ある。この枚の板を机

の上に横に並べ次の操作をくり返し行う。

さいころを振り出た目が であれば左端の板を裏返し であればまん中の

板を裏返しであれば右端の板を裏返す。

たとえば最初板の表の色の並び方が「白白白」であったとし 回目の操作で出

たさいころの目がであれば色の並び方は「黒白白」となる。さらに回目の操作

を行って出たさいころの目がであれば色の並び方は「黒白黒」となる。

「白白白」から始めて 回の操作の結果色の並び方が「黒白白」となる確率

を求めよ。

「白白白」から始めてQ 回の操作の結果色の並び方が「白白白」または「白

黒白」となる確率を求めよ。

注意 さいころはからまでの目が等確率で出るものとする。

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

１ 問題のページへ

S＜Tとして3_{S S4T Tとおく。}

直線34の傾きが より

S T S

T _{TS ………①}

また 34 Dより _{TST S D}

TS TS TS D

①より_{TS D}

D S

T ………②

さて線分34の中点を0とすると

0 ST ST

①②より

D T

D

S なので

_{T S T ST} D D

S ˜

よって 0

D

である。

ここで△345は辺の長さDの正三角形より

34

50 A 50 D

さて直線 34 の方向ベクトルはその成分を とすることができるので

それに垂直な単位ベクトルは

H である。以下複号同順として

H D 20 05 20

25 r

˜ r D D

# D D rD

5は放物線_{\ [上にあるので}

D _rD _{# D}

D _rD _{# DD}

まとめると_{D #D となりD＞から}

D である。

［解 説］

まず複素数平面上での回転を用いて考えました。しかし計算がかなり複雑にな

ってしまい方向転換をした結果が上の解です。

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

２ 問題のページへ

STをS≧ ≦T≦である整数として 桁以上の平方数を_{STとおく。}

ST S u STu T

すると _{Tのの位がSTのの位の数Eとなる。また STとくり上が}

りの数の和のの位が_{STのの位の数Dである。}

さて STは偶数な

ので DEが偶数と

なるのは右表より

T T T

の場合のみでありこのときEはまたはである。

STU を S≧ ≦T≦ ≦U≦ である整数として 桁以上の平方数を

S TU とおくと条件より の位の数との位の数が同じ数となるの

でその和は偶数である。

よって_{STUのの位の数はよりまたはである。}

L の位の数がのとき の位の数の位の数の位の数もすべて

なのでこの平方数はで割り切れる。

LL の位の数がのとき の位の数の位の数の位の数もすべて

である。このときよりU またはU である。

LLL U のとき _{ST ST}

Qを自然数として_{ST Qと仮定すると}

_{S T Q}

これより_{STのの位の数との位の数はともにである。}

すると平方数の の位の数と の位の数の和は偶数となるが で示したよ

うにこの場合はありえない。

LLLL U のとき _{ST ST}

Qを自然数として_{ST Qと仮定すると}

_{S T Q}

Lと同様にこの場合もありえない。

LLLより_{STUはで割り切れる。}

［解 説］

わかってしまえばそれまでですが道に迷いながら論理を詰めていくにはかな

りのエネルギーが必要となります。

T

T のの位

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

３ 問題のページへ

初めの点 3の位置を$ 円板' を円 & に

内接させながら転がし点 3 が再び円 & の円周に接

する点を%とする。

また円板'の中心を'とし 2'と[軸の正の向

きとのなす角をT とおく。さらに 円の接点を7 と

おき ‘7'3 Mとすると

M

T

M T

S

M

≦ ≦ のとき ≦T ≦S となることより

FRVS VLQS

% である。

また%から[軸に下ろした垂線の足を+

FRVS

とおく。

さて 23 2''3 FRVT VLQTFRVT M VLQT M FRVT VLQT

FRV

T

VLQ

T

FRVT FRVT VLQT VLQT

ここで 3[ \とおくと

T T FRV FRV

[ \ VLQT VLQT

まず扇形2$%の面積は‘$2% Sより _˜˜S S_である。

次に△2%+の面積は ‘%2+ SS Sより

S S

S S

S VLQ FRV VLQ VLQ

FRV _{˜ ˜}

点3の描く曲線$%と[軸直線%+に囲まれた部分の面積を6とすると

³

³

FRV

S \G[ S VLQT VLQT VLQT VLQT GT

6

³

S

T T T T

T

VLQ VLQ VLQ VLQ G

さて S T T S T T

>

T T

@

S

_VLQ FRV VLQ

³

³

G G

S VLQS

³

³

S T T T S T T T FRV FRV VLQ VLQ G G

>

VLQ T VLQT

@

S VLQS

2

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

>

@

S S

S

T T

T T T

T

VLQ

FRV

VLQ

³

³

G G

S VLQS

よって 6

SVLQSVLQS S VLQS

SVLQSVLQS

以上より円&の内側で曲線$%の上側の部分の面積は

S S S

S

S VLQ VLQ VLQ

S S

S S

S

S VLQ VLQ VLQ VLQ

S

また曲線$%によって分けられた円&のもうつの部分の面積は

S S

S

［解 説］

よく見かける内サイクロイドが題材になっています。ただ積分計算はかなり多

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

４ 問題のページへ

_I[ [[_{よりIc[ [ [[} D

[

I を満たす異なる実数 [ の個数は

[

\ I と\ Dのグラフの共有点の個数に

等しいので右表よりD＜ ＜Dのとき

個 D rのとき 個 ＜D＜のとき

個である。

I[ Wとおくと I[ Dは D

W

W _………＊

L D＜のとき

＊はW＜に解を 個もつのでI[ W

の解[は個である。

LL D のとき

＊の解はW となり I[ Wの解 [

は 個となる。

LLL ＜D＜のとき

＊は＜W＜に解を個もつので I[ Wの解[はu 個である。

LY D のとき

＊の解はW となり I[ Wの解[は 個となる。

Y D＞のとき

＊はW＞に解を個もつので I[ Wは解[は個である。

L∼Yより I[ Dの解の個数は次のようになる。

D

D＜ ＜ のとき個D rのとき個 ＜D＜のとき個

＜D＜のとき IQ[ Dを満たす実数 [ が＜[＜にQ個あるという命

題がすべての自然数に対して成立することを数学的帰納法で示す。

L Q のとき

D [

I の解は より＜[＜に個あ

る。これを[ D E Jとおく。

LL Q Nのとき

＜W＜

のときIN[ Wの解が＜[＜

にN_{個あると仮定する。}

このとき IN[ Dは D

W

W _I

_IN[

_D

すると解はIN[ D E J より求まる。

[ … … …

[

Ic _{＋ − ＋}

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

仮定より IN[ D IN[ E IN[ J の解は ＜D＜E＜J＜から

＜[＜

にそれぞれN_{個ずつありそれらはすべて異なる。}

すなわち IN[ Dの解は ＜[＜にuN N個存在する。 LLLよりQ≧ ＜D＜ではIQ[ Dは＜[＜にQ個の解をもつ。

そこでQ≧をQ≧としDの値をD に限定しても上の命題は成り立つので

Q≧のときIQ[ を満たす実数[の個数はQである。

［解 説］

実数解の個数を調べる頻出問題ですがひねりが加わっているために表現方法に難

しさが感じられます。特にで数学的帰納法を十分に機能させるために拡張した

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

５ 問題のページへ

L U≧のとき

球$と%は共通部分がないので₉ S_˜S_˜ S_である。

LL ＜U＜のとき

円_{[ \ と円[U\ を[軸のまわ}

りに回転して球$と%をつくると考える。

そして直線

U

[ に関する対称性を考慮すると

球$と%の和集合の体積9は

>

@

U [ G[ [ [ U

9 S

³

S

S

^

U

U

`

S

U U

ここで G9_GU S

U

SUUより

9は＜U＜で右表のように単調に増加しさらに

＜ U GU9

G S

これからグラフは上に凸である。

LLLより9のグラフの概形は右図のようになる。

S＞u＞より9 となるUは＜U＜にた

だつ存在する。

よりS

U U

………＊

S U U S U U

ここで＜S＜より＜_S ＜

U のとき _{UU u}

U のとき _{UU u}

U のとき _UU≒u

以上より＊を満たすUの小数第位までの概数はである。

［解 説］

数値計算が超難です。ではグラフからUの値がより少し小さいと判断しと

りあえず で計算しその後微調整をしました。電卓なしで計算するのは本当

に疲れます。

U …

GU

G9 _＋

9 S S

2004 東京大学（理系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

−−

６ 問題のページへ

正方形の枚の板を左から$ % &とする。回の操作の結果色の並び方が

「黒白白」となるのはつの場合があり確率はそれぞれ次のようになる。

L $を回裏返す場合

LL $を回裏返し%を回裏返す場合

&

LLL $を回裏返し&を回裏返す場合 &

LLLLLLより求める確率は である。

枚の板の両端の色に注目してQ回の操作の結果$と&の板が「白・白」とな

る確率をSQ「白・黒」または「黒・白」となる確率をTQ「黒・黒」となる確

率をUQおく。このとき S T U である。

Q Q

Q S T

S ………①TQ SQ TQ UQ

………② Q Q

Q T U

S より②からTQ TQTQ TQ

Q Q T

T TQ

Q Q

よって TQ Q………③

①③より SQ SQ

^

`

Q SQ Q ………④

④を満たすつの数列をD Eを定数として SQ D Q Eとおくと

^

`

Q E D Q E Q

D ………⑤

すると D D E EよりD E となる。

④⑤より SQ Q

^

SQ Q

`

Q Q

Q Q

S

以上より求める両端が白の確率は SQ Q Q

［解 説］

確率の計算に漸化式を利用する頻出問題です。なお漸化式の解き方の詳細につ