引用題 ２次数学セレクション

−−

１ [金沢大・文] 放 物 線 \₌₋[₊[ _を

+ ま た 放 物 線 _{\=[ を}

+ で 表 す 。 + 上 の 点

3 _{D −D+ D における}

+ の接線をOとする。このとき次の問いに答えよ。 接線Oの方程式を求めよ。またDの値に関係なくOは+と異なる点で交わる

ことを示せ。

接線 O と放物線+の異なる つの交点を結ぶ線分の中点を 4 とする。点 3 が

+ 上を動くとき点4の軌跡&の方程式を求めよ。

−−

２ [一橋大] DE を正の定数とする。関数\=[ −D[のグラフと点 Eを通る直線はち ょうど点34を共有している。ただし3の[座標は負4の[座標は正である。 直線34の方程式をDとEで表せ。

3および4の座標をDとEで表せ。

−−

３ [名古屋大・文] ≦N≦を満たす実数Nに対して[\平面上に次の連立不等式で表されるつの領 域'()を考える。

'は連立不等式_{\≧[ \≦N[で表される領域} (は連立不等式_{\≦[ \≧N[で表される領域} )は連立不等式\_≦−[ ₊[ _{\≧N[で表される領域} 領域'*()の面積PNを求めよ。

で求めた面積PNを最小にするNの値とその最小値を求めよ。

−−

４ ［九州大・文］

_{[ = [− [− [+}

I とおく。このとき次の問いに答えよ。 方程式 I[=の実数解[をすべて求め小さい順に並べよ。 不等式 IQ≦を満たす整数Qをすべて求めよ。

−−

５ ［名古屋大・理］ 関数 _{I[=[−[+のグラフをかけ。}

方程式 I[=D（D は実数）が相異なる つの実数解α＜β＜γ をもつとする。 α

γ − =

O をβのみを用いて表せ。

−−

６ ［広島大・文］ Sを正の定数とし放物線& \= [ +上の点3S Tにおける &の接線をOと

する。

点4S を通りOに直交する直線Pの方程式を求めよ。

放 物 線 & と 直 線 P の つ の 交 点 の [ 座 標 をα β α＜βと す れ ば

S ＜ ＜ ＜ β

α であることを示せ。

放物線 & と直線 P で囲まれた図形のうち [≧ の範囲にある部分の面積を6 放物線&と直線Pおよび直線[ = Sで囲まれた図形の面積を6とする。このとき

6 S

−−

７ ［大阪大・文］ [\平面において放物線_{\=[を&とする。また実数Nを与えたとき \=[+N} で定まる直線をOとする。

−＜[＜の範囲で&とOが点で交わるときNの満たす条件を求めよ。 Nがの条件を満たすとき&とOおよび直線[=− [=で囲まれたつの

−−

８ ［東北大・文］

Dを実数とし _I[₌[₊D₋[₊D₋D₊[_{とおく。方程式I[=が} つの異なる実数解をもつとき以下の問いに答えよ。

Dの値の範囲を求めよ。

関数\= I[の極値を求めよ。

D がで求めた範囲を動くとき \= I[の極大値を与える [ について点

−−

９ ［大阪大・文］

実数 DE を係数に含む 次式3[=[+D[+D[+Eを考える。3[の複素

数の範囲における因数分解を

[ = [−α [−β [−γ

3

とする。α βγ の間にα+γ =βという関係があるとき以下の問いに答えよ。

EをDの式で表せ。

α β γ がすべて実数であるとする。このとき D のとりうる値の範囲を求めよ。

で求めた D の式をIDとする。D がの範囲を動くとき関数E= IDの

−−

10 ［京都大・文］

π

≦[＜ のとき方程式 VLQ_[+FRV_[+VLQ_[FRV_{[=を満たす [ の個数}

−−

11 ［九州大・文］

放物線_{& \=[上の点 3における法線とは点 3における & の接線と点 3で垂}

−−

12 ［金沢大・文］

実数Dに対して関数I[ J[を

[ =− D+ [−

I J[=[+D

とし =

³

D [ [ G[

P I J とする。次の問いに答えよ。

PD＞を満たすDの値の範囲を求めよ。

で求めたDの値の範囲において関数K[=J[−PDI[を考える。こ

のとき

=

−−

13 ［京都大・文］

整式I[と実数&が

& [ G\ \ \ [ G\ \ [ + = + +

³

³

I I

−−

14 ［東京大・文］

次以下の整式I[=D[+E[+Fに対し =

³

[ G[

6 I を考える。

I= I=のとき6をDの関数として表せ。

−−

15 ［千葉大・文］

D と N を正の実数とする。

[ D

\= のグラフを平行移動して得られる放物線&と

_[ D

\=− のグラフを平行移動して得られる放物線&がともに原点2 で直線

N[

\= に接するものとする。原点 2 を通り直線\=N[に垂直な直線を O とする。

放物線&と直線 O によって囲まれる図形の面積を6放物線&と直線 O によって囲 まれる図形の面積を6とおき6=6+6とする。次の問いに答えよ。

6をDとNを用いて表せ。

−−

16 ［神戸大・理］

_{[ =[− [+}

I _{J[=[−とし方程式 I[=について考える。このと}

き以下のことを示せ。

I[=は絶対値がより小さいつの相異なる実数解をもつ。 αがI[=の解ならば Jαも I[=の解となる。

I[=の解を小さい順にαααとすれば

α =α

J Jα=α Jα=α となる。

−−

17 ［筑波大・理］

[ = [ − D[

I とおく。ただしD＞とする。

I−≦IとなるDの範囲を求めよ。

−−

18 ［一橋大］

Dを実数とする。傾きがPであるつの直線が曲線_{\=[−D[とそれぞれ点$} 点%で接している。

−−

19 ［広島大・文］

N は定数でN＞ とする。曲線_{& \=N[[≧と つの直線}

N N[ \

O = +

N N[ \

P =− +との交点の[座標をそれぞれ_{α β} ＜_β＜_αとするとき次の問い

に答えよ。

α−βの値を求めよ。

αβα+βおよびα−βをNを用いて表せ。

曲線&と直線OPとで囲まれた部分の面積を最小にするNの値を求めよ。ま

−−

20 ［大阪大・文］

曲線_{& \=−[−を考える。}

Wが実数全体を動くとき曲線&上の点_{W −W−を頂点とする放物線}

_{− − −}

= [ W W

\

が通過する領域を[\平面上に図示せよ。

−−

21 ［名古屋大・文］

関数I[を

¯ ® ­ = ＜ ≧ [ [ [ I

により定める。

DEは実数とする。\=D[+Eのグラフと\= I[のグラフがちょうどつの交

点をもつためのDEに対する条件を求めよ。

STは実数でS＞とする。\=[+S[+S[+Tのグラフと\= I[のグラ

−−

22 ［東北大・理］

DE を正の実数とする。曲線_{& \=[−D[+Dと点3E を考える。以下の} 問いに答えよ。

点3から曲線&に接線がちょうど本引けるような点D Eの存在する領域を 図示せよ。

−−

23 ［東京大・理］

辺の長さがDとEとFの直方体を長さが Eの辺を回転軸として°回転させ

るとき直方体が通過する点全体がつくる立体を9とする。 9の体積をDEFを用いて表せ。

−−

24 [名古屋大・文]

関数_{\ [ [のグラフをかけ。}

曲線_{\ [ [の接線で点}

を通るものをすべて求めよ。 S を定数とする。[ の 次方程式

[ [ S [ の異なる実数解の個数を求

−−

25 [京都大・理]

−−

26 [一橋大]

[\平面上に放物線_{& \ [と点$ 3 S がある。線分$3と} &は

定数Sの存在する範囲を求めよ。

6を&と線分$4で囲まれた領域とし6を&線分43および\軸とで囲 まれた領域とする。6と6の面積の和が最小となるSの値を求めよ。

−−

27 [京都大] 実数[\が条件_{[[\ \ を満たしながら動くとき}

−−

28 [九州大・文] 関数 _{I [ [[ [ を考える。曲線& \ I [ について以下の問いに} 答えよ。

W≧のとき曲線&は傾きがWである接線を本もつことを示せ。

において傾きが W である 本の接線と曲線 & との接点をそれぞれ 3 S I S 4 T I T とする ただし S＜T。このとき点 3 と点 4 は点 $ に関して対称の位置にあることを示せ。

−−

−−

30 [大阪大・文] [\ 平 面 上 で 考 え る 。 不 等 式 _{\＜[の 表 す 領 域 を ' と し 不 等 式}

[ \≦ の表す領域を(とする。このとき以下の問いに答えよ。 領域'と領域(をそれぞれ図示せよ。

$ D E を領域 ' に属する点とする。点$ D E を通り傾きがDの直線と放 物線_{\ [で囲まれた部分の面積を6 D E とする。6 D E を DE を用} いて表せ。

−−

31 [名古屋大・理] Dを正の定数とし

& 上の点_{$ W WD W における & の接線をO とする。O と& で囲まれた図形の} 面積6 W を求めよ。ただし

Eを実数とする。&の接線のうち[\平面上の点% D E を通るものの本数を求 めよ。

& の接線のうち点% D E を通るものが 本のみの場合を考えそれらの接線 をOOとする。ただし OとOはどちらも原点 を通らないとする。Oと & で囲まれた図形の面積を6とし Oと & で囲まれた図形の面積を6とする。

6 6≧ として 6

−32−

32 [千葉大] a, b を実数とし, a0とする。放物線 2

4 x

y 上に 2 点A , 2

a , B , 2

b を

とる。点A における放物線の接線と法線をそれぞれlAとnA, 点Bにおける放物線の 接線と法線をそれぞれlBとnBとおいたとき, lAとlBが直交しているものとする。2 つの接線lA, lBの交点をPとし, 2つの法線nA, nBの交点をQとする。

(1) bをaを用いて表せ。

(2) P, Qの座標をaを用いて表せ。

−33−

33 [京都府医大] a, b, cを定数とし, 0, 1av とする。座標平面上に2つの放物線

2 :

C yx , Ca:yax2bxc

がある。C, Caの両方に接する直線を C, Caの共通接線という。C, Caの共通接線が ちょうど2本存在するという条件を(T)で表す。

(1) 条件(T)が成り立つための必要十分条件は, Caが下に凸でCとCaが異なる2点で 交わるか, または, Caが上に凸で C とCaが共有点をもたないことのいずれかが成 り立つことであることを証明せよ。

(2) 条件(T)が成り立つとき, 2本の共通接線をl, mとおく。lとC, Caの接点をそれ ぞれA, Pとおき, mとC, Caの接点をそれぞれB, Qとおく。ただし, Aのx座標 はBのx座標より小さいとする。このとき, 直線ABとPQは平行であることを証 明せよ。

−34−

−35−

35 [神戸大・理] c を0 c 1を満たす実数とする。f( )x を 2 次以下の多項式とし, 曲線y f( )x が3点( 0, 0 ) , ( ,c c32 )c , (1, 1)を通るとする。次の問いに答えよ。

(1) ( )f x を求めよ。

(2) 曲線y f( )x と曲線yx32xで囲まれた部分の面積Sをcを用いて表せ。

−36−

36 [一橋大] 原 点 を O と す る xy 平 面 上 に, 放 物 線C y: 1 x2が あ る 。C 上 に 2 点

2

P( , 1p p ), Q( , 1q q2)をpqとなるようにとる。

(1) 2つの線分OP, OQと放物線Cで囲まれた部分の面積Sを, pとqの式で表せ。

(2) q p 1であるときSの最小値を求めよ。

－37－

37 [北海道大・文]

2 つ 放 物 線

2

1: 3

2

C y= - +x , C2: y=(x-a)2+a (a>0 ) あ 。 点

(

)

1 3

P ,

2

p -p + け C₁ 接線をl₁ す 。

(1) C1 C2 共有点を い a 関す 条件を求 。

(2) l1 平行 C₂ 接線l₂ 方程式 , l₂ C₂ 接点P₂ 座標をa, pを用い 表せ。

(3) C1 C2 共有点を い す 。(2) 求 P₂ P₁を結ぶ線分 l₁ 垂直

－38－

38 [北海道大・理] 4 3 2

( )x =x -4x -8x

f す 。

(1) 関数 f( )x 極大値 極小値, びそ xを求 。

(2) 曲線y= f( )x 2点( ,a f( ) )a ( ,b f( ) )b (a<b) 接す 直線 方程式を求

－39－

39 [岡山大・文]

関 数 f( )x を

2

( )x =[ ]x +2(x-[ ])x -(x-[ ])x

f 定 。 こ こ , [ ]x n x

を満 す最大 整数nを表す。

(1) ( )f x x あ こ を示せ。

(2) (f x+1)= f( )x +1 あ こ を示せ。

(3) 0 x 2 い y= f( )x グラフを描け。

(4) 0 a＜1 す ,

1 ( ) a a x dx +

－40－

40 [京都大・文]

tを実数 す 。

3

y=x -x グラフCへ点P(1, t) 接線を引く。

(1) 接線 う 1本 け引け う t 範囲を求 。

(2) t (1) 求 範囲を動く , P(1, t) C へ引い 接線 C 囲ま 部