現代経済学入門「財政《

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(1)2009 年 5 月 14 日（水曜 1 限）1/5. 16. 年金１ 16.1 重複世代モデル各世代は 2 期間（青年期と老年期）生きるとする。第ｔ世代＝ｔ期の期首から t+1 期の期末まで生きる世代. ct1 ＝第ｔ世代の青年期（＝ｔ期）の消費量 ct 2 ＝第ｔ世代の老年期（＝t+1 期）の消費量 Lt ＝第ｔ世代の人口（＝給付対象者数） Yt ＝第ｔ世代の青年期における労働所得（老年期の労働所得はゼロ） s t ＝第ｔ世代の青年期における私的な貯蓄 r ＝利子率（一定） bt ＝第 t 世代の一人あたり年金負担額（保険料）.  ＝一人あたり年金給付額（受取額）期世代. １. ２. ３. ４. ５. １. ２. ３. ４. 第 t 世代からある方式の公的年金を導入（に移行）＝第 t 世代以降の給付をその方式で賄う公的年金を導入（に移行）第 1 世代から公的年金が導入（することが第 1 期にアナウンス）されたとする。第 t 世代の青年期と老年期の予算制約式は次のように求められる。. ct1  Yt  st  bt ct 2  (1  r )st  . ：青年期の予算制約式：老年期の予算制約式. 1. (16-1) (16-2).

(2) 2009 年 5 月 14 日（水曜 1 限）2/5. 16.2 積立方式第 1 世代から（年金の給付を開始するとともに、1 期から保険料の徴収を開始する）積立方式の年金制度を導入したとする。そのとき、第 t 世代の一人当たり年金負担額（積立金）bt は運用されて t+1 期には元利合計が (1  r)bt になる。したがって、第 t 世代の公的年金の収支が均衡するためには.  Lt  (1  r )bt Lt. [給付総額＝運用資金の元利合計総額]. (16-3). が成立する。すなわち、t 期の保険料 bt と給付額  には、. bt . . (16-4). 1 r. という関係が成立している必要がある。そして、第 1 世代から（給付対象者となる）積立方式の年金制度が導入されて、それが継続される場合は(16-3)または(16-4)の関係が. t  1, 2, に対して成立することになる。 (16-1)、(16-2)、(16-4)より第 t 世代の 2 期間（青年期と老年期）を通じた予算制約式を、bt を用いずに表すと. ct1 . ct 2  Yt 1 r. (16-5). である。（問題 16-１）第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式(16-5)を図示しなさい。また、最適消 *. *. 費点 (ct1 , ct 2 ) とその点を通る無差別曲線を図示しなさい。また、最適な私的貯蓄と公的貯蓄の和 st  bt を図示しなさい。 *. ct 2. c t1 （問題 16-2）公的年金制度を拡充（  あるいは bt を増加）しても、私的な貯蓄と公的な貯蓄の和 st  bt が変化しないことを示しなさい。 bt を bt だけ増加させたとき、 *. 最適な私的貯蓄 s t の増分 st は bt を用いてどのように表せるだろうか。 *. *. 2.

(3) 2009 年 5 月 14 日（水曜 1 限）3/5. 16.3 賦課方式第 1 世代から（年金給付を開始するとともに、2 期から保険料の徴収を開始する）賦課方式の年金制度を導入したとする。そのとき、第 t 世代に対する年金給付総額が Lt は第 t+1 世代の保険料総額が bt 1 Lt 1 で賄われることになる。したがって、第 t 世代の公的年金の収支が均衡するためには. Lt  bt 1 Lt 1. (16-6). が成立する必要がある。また、人口成長率が一定の値 n であるとする（ n  1 ）。すなわち、. Lt 1  (1  n) Lt. (16-7). である。したがって、(16-6)と(16-7)より、 bt 1 を  と n を用いて表すと、. bt 1 . . (16-8). 1 n. である。そして、第 1 世代から（給付対象者となる）賦課方式の公的年金制度が導入され、それが継続される場合は、(16-6)あるいは(16-8)の関係が t  1, 2, に関して成立することになる。なお、 b1  0 である。【第 2 世代以降の各世代の予算制約式】 (16-1)、(16-2)、(16-8)より第ｔ世代（ t  1, 2, ）の２期間を通じた予算制約式を、 bt を用いずに表わすと. ct1 . ct 2  (n  r )  Yt  1 r (1  r )(1  n). (16-9). が成立する。（問題 16-3）第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式(16-9)を図示しなさい。また、最適消費 *. *. 点 (ct1 , ct 2 ) とその点を通る無差別曲線を図示しなさい。. ct 2. c t1. 3.

(4) 2009 年 5 月 14 日（水曜 1 限）4/5 （問題 16-4） n  r と n  r のそれぞれのケースにおいて、賦課方式の公的年金の拡充（  あるいは bt を増加）が、第 2 世代以降の世代の消費パターンと、それらの世代の効用水準にどのような影響を与えるかを検討しなさい。また、n  r のケースにおいて、bt が bt だけ増加（ bt  0 ）したときの最適な私的貯蓄 s t の増分を st と *. *. おけば、bt + st ＜0 であることを示しなさい。なお、各期の消費財が正常財（＝ *. 上級財）であるとする。. ct 2. c t1 【第１世代の予算制約式】第 1 世代の 1 期の予算制約式は. c11  Y1  s1. (16-10). であり、2 期の予算制約式は(16-2)に t  1 を代入したものであるので、. c12  (1  r )s1  . (16-11). である。したがって、第 1 世代の 2 期間を通じた予算制約式は. c11 . c12   Y1  1 r 1 r. (16-12）. となる。（問題 16-5）賦課方式の公的年金の拡充（  あるいは bt の増加）が、第 1 世代の消費点 * * (c11 , c12 ) と、その世代の効用水準にどのような影響を与えるかを検討しなさい。. なお、各期の消費財が正常財（＝上級財）であるとする。問題 16-2 より積立方式の公的年金の拡充は、私的貯蓄と公的貯蓄の和を変化させない。しかし、問題 16-4 と問題 16-5 より、 n  r のケースでは賦課方式の公的年金の拡充は私的貯蓄と公的貯蓄の和を減少させることになる。. 4.

(5) 2009 年 5 月 14 日（水曜 1 限）5/5. 16.4 補論**：国庫負担方式と国債による積立方式年金の給付は全額国庫負担で賄うとともに、その国庫負担の財源は全て同じ期の（次の世代に対する）労働所得税で賄うとする。そこで、第 t 世代の 1 人あたりの労働所得税を Tt と置けば、世代 t の青年期と老年期の予算制約式は、それぞれ (16-13) ct1  Yt  st  Tt (16-14) ct 2  (1  r )st   となる（ t  2, 3, ）。そして、 T1  0 であり、 t  1 期の財政収支の均衡条件が（ t  1, 2, ） (16-15) Lt  Tt 1 Lt 1 なので、人口の成長率が n であることを考慮すれば、. Tt 1 .  1 n. （ t  1, 2, ）. (16-16). である。（問題 16-6） (16-13)、(16-14)、(16-16)より(16-9)が成立することを示しなさい。問題 16-6 より、「賦課方式の年金制度」と「全額国庫負担の年金制度＋労働所得税」は各世代に与える影響は同じであることになる。労働所得税と（満期が 1 期の）国債発行を組み合わせることにより、（部分的な国庫負担を伴う）積立方式が実質的に賦課方式と同等になることを説明しよう。議論の簡単化のため、. r  n のケースに議論を限定する。そして、第 t 世代の（1 人あたりの）労働所得税が Tt 、国債発行額（＝国債購入額＝年金積立額）を bt と表すことにする。まず、第 1 世代の年金給付  は全額国庫負担で賄う。すなわち、 T1  b1  0 である。次に、第 2 世代以降の第 t 世代の労働所得税 Tt と国債発行額（＝購入額） bt は、   ( r  n) （ t  2, 3, ） (16-17) Tt  (1  n)  (1  r ). bt .  1 r. （ t  2, 3, ）. (16-18). であるとする。このとき、(16-18)より第 2 世代以降の各世代は、フェアな年金に対応するだけの積立はしている。そして、第 2 世代以降の青年期と老年期の予算制約式はそれぞれ、. c1t  Yt  st  bt  Tt ct 2  (1  r )(st  bt ). (16-19) (16-20). である。（問題 16-7） (16-17)と(16-18)より、 t  1 期の年金収支の均衡条件、. Lt  Tt 1 Lt 1  bt Lt 1. (16-21). が成立することを示しなさい。（問題 16-8） (16-19)、(16-20)、(16-21)より、第 2 世代以降の第 t 世代の 2 期間を通じた予算制約式が(16-9)と一致することを示しなさい。. 5.

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