Revised at 08:05, December 21, 2012 １年生補習 1
1 連立方程式
1.1 １次式の場合
演習問題1.1.1 次の連立方程式を満たす(x, y)を全て求めて下さい：
2x+ 2y−2 = 0 2x+ 4y−2 = 0
第１式から第２式を引けば明らかにy= 0である事が分かりますので、これを戻せば 2x−2 = 0すなわちx= 1が得られます。
以上により解は(1,0)のみである事が分かりました。
演習問題1.1.2
2x+ 4y = 0 4x−16y= 0
演習問題1.1.3
x+y+ 3 = 0 x+ 2y+ 2 = 0
演習問題1.1.4
2x−y−4 = 0 x−2y+ 1 = 0
演習問題1.1.5
2x+y−2 = 0 x+ 2y+ 2 = 0
演習問題1.1.6
4x+y−2 = 0 x+ 2y+ 3 = 0
演習問題1.1.7
x+y−1 = 0 x+ 2y−1 = 0
演習問題1.1.8
2x−y= 0
−x+ 2y= 0
演習問題1.1.9
2x+ 2αy= 0 2αx+ 2y= 0
1.2 １次式でないが割と簡単な場合
演習問題1.2.1
x2−y= 0 y2−x= 0
第１式からy=x2なのでこれを第２式に代入すれば 0 =x4−x=x(x3−1)
となり、x= 0,1が得られます（このときy= 0,1です）。従って解は(0,0),(1,1)の２ 点です。
演習問題1.2.2
3x2−10x+ 8 = 0 2y+ 2 = 0
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演習問題1.2.3
x2−2y= 0 y2−2x= 0
演習問題1.2.4
x2−3y= 0 y2−3x= 0
演習問題1.2.5
x2+y= 0 y2+x= 0
演習問題1.2.6
2x2−y= 0 y2−4x= 0
演習問題1.2.7
x−y= 0 y2−x= 0
演習問題1.2.8
3x2+ 3y2−3 = 0 6xy= 0
演習問題1.2.9
3x2+ 3y2−6 = 0 6xy= 0
演習問題1.2.10
x2−4y= 0 x−y= 0
演習問題1.2.11
x−y= 0 y2−x= 0
演習問題1.2.12
x2−2x= 0 y= 0
演習問題1.2.13
y−x2+ 2x−1 = 0 y+x−3 = 0
演習問題1.2.14
3x2+y2= 1 xy= 0
演習問題1.2.15
2x−4 = 0 4y3−16y= 0
演習問題1.2.16
2x3−y−x= 0 x−y= 0
演習問題1.2.17
4x3(x−2)2+ 2x4(x−2) = 0 2y= 0
演習問題1.2.18
x3−y= 0 y3−x= 0
演習問題1.2.19
1−2x2= 0 xy= 0
演習問題1.2.20
x2+ 2x+y2= 0 y= 0
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1.3 ちょっと難しい場合
演習問題1.3.1
x(2x+y) = 0 x2−y2+ 3 = 0
第１式からx= 0またはy=−2xであることがわかります。
x= 0の時は第２式からy=±√
3となり、またy=−2xの時は同様に第２式から x2−4x2+ 3 =0
x2=1 すなわち x=±1 となるので、結局この連立方程式の解は(x, y) = (0,±√
3),(±1,∓2)の４点です（複号 同順）。
演習問題1.3.2
3x2+ 4xy−y2−4y= 0 2x2−2xy−4x= 0
演習問題1.3.3
x2−2xy+y2−1 = 0 x2−2xy= 0
演習問題1.3.4
2xy+ 2x−y= 0 x2−x+ 3y= 0
演習問題1.3.5
y(2x+y) = 0
x2+ 2xy+ 3y2−1 = 0
演習問題1.3.6
x2+xy−y2−x= 0 x2−4xy+ 3y2= 0
第１式の３倍と第２式を辺々加えれば
0 = 3x2+ 3xy−3y2−3x+x2−4xy+ 3y2= 4x2−xy−3x=x(4x−y−3) ですので、x= 0であるかどうかで場合分けしてみましょう。
x= 0の時は２式は共にy2= 0となりますからy= 0を得ます。
x6= 0の時はy= 4x−3ですから、これを第１式に代入すれば
0 =x2+x(4x−3)−(4x−3)2−x=−11x2+ 20x−9 =−(11x−9)(x−1) が得られ、x= 119,1である事が分かります。それぞれの場合yは 3
11,1です。以上から 解は３点(0,0),°9
11,113¢
,(1,1)です。
演習問題1.3.7
(x+y)2−4y= 0 (x+y)2−4x= 0
演習問題1.3.8
x(1−3y) = 0 x2−y2= 0
演習問題1.3.9
x−3 +y2= 0 y(x+ 1) = 0
演習問題1.3.10
y(3−2x−y) = 0 x(3−x−2y) = 0
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演習問題1.3.11
y(2x+y−1) = 0 x(x+ 2y−1) = 0
演習問題1.3.12
2y(x+y−3) = 0 x(x+ 4y−6) = 0
演習問題1.3.13
x3−2(x−y) = 0 y3+ 2(x−y) = 0
演習問題1.3.14
4x(x2+y2−1) = 0 4y(x2+y2+ 1) = 0
演習問題1.3.15
y(3x2+y2−1) = 0 x(x2+ 3y2−1) = 0
演習問題1.3.16
x(x2+ 3y2) = 0 y(3x2+y2−3) = 0
演習問題1.3.17
2x(1−x2−2y2) = 0 2y(2−x2−2y2) = 0
演習問題1.3.18
2x(a−ax2−by2) = 0 2y(b−ax2−by2) = 0
演習問題1.3.19
logy= 0 logx= 0
演習問題1.3.20
2x−siny= 0 cosy(2 siny−x) = 0
