機械構造物の安全設計とは

信頼性設計の目標、ＬＲＦＤの

基礎理論

機械構造物の安全設計とは

• 設計部位について最大応力＜許容応力を満 足すること

• 最大応力 → 材料力学もしくは有限要素法によ る求める

• 許容応力 → 材料強度／安全係数

3

配管設計の例

660 660

変位

拘束

時刻

エルボー

強度 度数

10 20 30 40

0

σ

最大値

．．．荷重の見積もりや応力計算の不正確さ，使用条 件判定の不確実性，材料の不均一性や欠陥などに対 する懸念から，計算上応力が各破損の限度に達する までにある程度の余裕を見込んでおかないと安全と はいえない．そこで所要の許容応力を

で与え，材料の基準強さと許容応力の比を安全率と 呼んでいる．すなわち，余裕を与えるための係数が安

鵜戸口，川田，倉西共著「材料力学」 1973 年

教科書に見る安全率

安全率

許容応力 = 基準強さ

5

設計における破壊の回避

設計基準 破壊機構 対応 Design by Rule

ASME Sec Ⅰ & Ⅷ (Div1)

延性破壊、脆性 破壊、疲労

安全係数

（材料の許容応力）

クリープ 寿命管理係数 腐食 腐食代+上限温度

Design by Analysis

ASME Sec Ⅷ (Div ２ )

解析による設計（許容範囲を拡大）

材料の許容応力＝材料の規定最小強さ／安全係数

ASME の安全係数４から 3.5 への引き下げの正当性の説明から

安全係数 α ＝４の５０年間、安全係数 α に 起因する損傷事故はなかった。

引張強さに対する安全係数とは

１） 実績から

実は安全係数は、学術的 根拠に基づいて決められ

ているわけではない！

7

安全係数の変遷

安全係数 ASME 国内法規

α 10 (1925年以前) 5 (1925年)

4 (1943年)*1

3.5 (1999年→現在)*2 2.4（新設)*2

4 (1960年代→現在) 3.5(一部）

2.4（検討中）

β 1.6

1.5 (1975年→現在)

1.6

1.5 (2000年 → 現在 )

*1 戦時下、戦略物資（材料）を保護するという国家的要請によって 5 から 4 に引 き下げた。

*2 欧州連合規格 (CEN) が EU の勢力拡大に伴い強大化し、国際競争の中、安全

率が高いことは、分厚い容器を設計せざるをえないことであり、コストの点で競

争力を失うことを意味する。 ASME の安全係数 α の引き下げは、 CEN との競争を意

識したものである。

設計のプロセス

強度 確率密度

0.1 0.2

0

確率密度関数

代表値 許容値

安全裕度

安全係数 許容値 = 代表値

σ

確率システム 9

確率変数の取り扱い (1)

確率変数 (random variable) X

累積分布関数 (cumulative distribution function, CDF) )

( )

( ]

Pr[ a < X ≤ b = F b − F a

確率密度関数 (probability density function, PDF)

∫

∫

∞

∞

−

∞

−

=

=

=

− +

= +

≤

<

=

1 )

(

) ( )

(

) ( )

( )

( ]

Pr[

) (

dx x f

dx x f x

F

dx x f x F dx

x F dx

x X x

dx x dF

f

x

正規分布の特性

] ,

2 [ exp 1

2 ) 1

(

2

x x x

x x

X x N

x

f µ σ

σ µ σ

π _ ^⇒

 





 



 

 



−  −

=

] 1 , 0 [

N のことを標準正規分布と呼ぶ

X

X X

U σ

µ

= − の変数変換をすると に変換される N [ 0 , 1

]

分布関数を標準正

規分布関数という Φ (u ) )

φ (u

標準正規分布関数

] 1 , 0 2 [

exp 1 2

) 1

( u u

⇒ N

 



 

−

= π

φ

∫

=

Φ ( u ) ^u φ ( x ) dx

確率システム

683 .

0 )

1 ( )

1 (

5 . 0 )

0 (

1587 .

0 )

1 (

0228 .

0 )

2 (

0013 .

0 )

3 (

=

− Φ

− Φ

= Φ

=

− Φ

=

− Φ

=

− Φ

常識として覚えておくこと

確率密度関数からの破損確率の誘導

PDF

) ( x

f

^f

^{( x )}

0 荷重レベル x

荷重 強度

13

考え方 1

PDF

) ( x

f

f

( x )

dx x f

( )

0 x

荷重レベルが x < X ≦ x+dx に存在する確率は ?

x x + dx

)

( x

f

考え方 2

PDF

) ( x

f

f

( x )

) ( x F

0 x

荷重レベルが x のときの破損確率は ?

x ]

Prob[ R ≤ x ∫ ^x f ( x ) dx = F ( x )

15

考え方 3

PDF

) ( x

f

f

( x )

dx x f

( )

) ( x F

0

dx x

f x

F

dP _f = _R ( ) ⋅ _S ( )

x

荷重レベルが x<X ≦ x+dx にあり、なお

かつ破損の起きる確率 dPf は ?

荷重と強度が正規分布するとき

課題：

荷重が N(μ _S ,σ _S ² ) 、強度が N(μ _R ,σ _R ² ) のとき破損確率を求めよ

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

PDF

強度

荷重

17

考え方 4

PDF

) ( x

f

f

( x )

dx x f

( )

) ( x F

0

∫ ^∞

= 0 dP dx

P _{f f}

{ ^{f d} } ^{f x dx}

dx x

f x F

P _{f R} ( ) _S ( ) ^x _R ( ) _S ( )

0 0

0 ∫ ∫

∫ ^{∞ = ∞}

= ξ ξ

x

荷重レベルがあらゆるレベルに

あるときの破損確率の総和は ?

考え方

dx x

f x F

P _{f R} ( ) _S ( )

∫ 0 ^∞

= ^{計算むずかしい} _!

そこで覚えておくと便利な法則

荷重 S が N(μ _S ,σ _S ² ) 、強度 R が N(μ _R ,σ _R ² ) のに従うとき R-S は N(μ _R -μ _S , σ _R ² + σ _S ² ) に従う !

S R

S

R µ µ

µ

= − σ _R

_S = σ _R

+ σ _S

F ^R-S (x) の誘導



 





 



 

 



−  −

=

−

−

−

−

2

2 exp 1

2 ) 1

(

S R

S R S

R S

R

x x

f σ

µ σ

π

ξ ξ d f

x

F _R

_S ( ) = ∫

^x

_R

_S ( )

S R

S

y R

−

−

= σ µ 変数変換 ξ

y dy x

F _R

_S ^{( ) =} ∫

^x

^µ

^σ

₂ ¹ _π ^exp _ ^{  −} ₂

_ ^{ }

 

 

 Φ 

−

 =



 



 − Φ

=

=

−

−

−

− −

S R

S R S

R S R S

R

f F

P σ

µ σ

µ 1

) 0 (

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-50 0 50 100 150

PDF

x

)

( x

f _{R− S}

安全係数と破損確率の関係

 





 





+

⋅ Φ −

−

= 2 2 2

1 1

S R

c c

f f

η η

強度と荷重の変動係数

、

中央安全係数、 :

: _{R S}

f c η η

標準偏差

 





 





+ Φ −

−

= 1 2 2

S R

S R

P f

σ σ

µ µ

 





 





+

⋅ Φ −

−

= 2 2 2

) /

( )

/ (

) /

(

1 1 /

S S

R R

S R

S R

µ σ

µ σ

µ µ

µ µ

安全係数を破損確率と結び

付けることが可能

信頼性設計の考え方

安全係数と荷重・強度のばらつき から破損確率を評価し、設計の基 準とする考え方

今後の設計概念のあるべき方向性

信頼性設計の例

10

f ≤

設計目標 P η _R , η _S → given

 





 





+

⋅

− −

=

1 1

S R

c c f

f P f

η Φ η

f C を決定 課題

999 .

1 0

2

2 2

  ≥





 





+

⋅

−

S R

c c

f f

η Φ η

) 999 .

0

1

(

2 2 2

≥

 





 





+

⋅

− Φ

η η

c c

f

f 数表より 3.090

0.05 0.1 0.2

S

R η

η ,

リスク概念とは

危険 安全

危険 安全

日本流

欧米流

毎日新聞 2010 年 4 月 27 日

直列系の信頼度 一個の機器の故障＝システムの故障

としてしまうと何が起きるのか

∏

= ⁿ

i

i

S R

R

1

∏

=

−

=

−

= ⁿ

i

i S

S R R

F

1

1 1

仮に Ri=0.999,n=614 のとき

459 .

0 999

. 0

1 − ⁶¹⁴ =

S = F

541 .

0 999

.

0 ⁶¹⁴ =

S = R

個々の機器の信頼度が 0.999 であったとし ても，システム信頼度は 0.541 まで低下 !

安定した継続運転は困難とい うことになるのではないか？

検出器を増やすと漏洩検知の可能性は高 くなるものの，システム信頼度は著しく低下

信頼性工学的 視点が不可欠！

検出器数の最適 化を図る必要有

り

原子力、もんじゅ、の 今日の困難な事態を 他山の石とし、宇宙分 野において統計リテラ

シーを強化しておくこ

とが極めて重要

構造信頼性でよく出てくる分布形

正規分布 引張強さ、降伏点、疲労限度、定常過程のサンプル点 ( 中心 極限定理 )

対数正規分布 疲労寿命。多数の因子が積の形で寄与するとき対数正規分 布に近づく ( 中心極限定理 )

ワイブル分布 故障分布の表現。変動係数は形状母数のみの関数となる 二項分布 1 回の試行での生起確率 p が与えられたとき、 n 回中 m 回生起

する確率の分布

ポアソン分布 出現確率が極めて小さい事象が極めて多数の試みのうちで 起こる回数の分布。二項分布で p→0,n→∞ の分布

指数分布 信頼度の時間関数

レーレー分布 狭帯域定常過程の極値の分布 ( ワイブル分布の特別な場合 ) ガンマ分布 α 、 β の変化に対する形状変化の自由度が大きい。

極値分布 強度の最小値の分布、欠陥の最大値の分布など

最小値の分布の考え方

脆性材料の強度 → 最小値の分布(Weakest Link Model) 1 個の強度分布が

n個の部品で構成さ れる製品の分布は ?

原分布 f (x ) )

1

( x f

)

1

( x

f f ( x ) から誘導可能

)

1

( x

F の意味 n 個の最小値が x 以下である確率 )

(

1 − F

x の意味 n 個のサンプルの全てが x 以上となる確率 x

F x

F ( ) ( 1 ( ))

1 −

= −

∴

n が十分に大きくなった極限で近づく分布を漸近分布と呼ぶ 微分

)) ( ( )) ( 1 ( )

(

1

x n F x f x

f = −

⋅ −

−

∴

現実に観察される現象は、 n が十分に大きな統計的現象 (1)

(2)

)

1

( x

f が高い値を持つ領域 F ( x ) << 1

従って

)]

( exp[

] )) ( 1 exp[log(

)) ( 1 ( ) (

1 − F

x = − F x

= − F x

≈ − nF x

∴

) ( 1 − nF x

) ( x

− nF  + = − + − 

3 ) 2

1 log(

3

2

x

x x x

(3) F(x) の裾野形状

のみで決まる

裾野の分布形としては 2 種類のものが重要 (1)指数関数型

(2) べき乗型

(1)指数関数型

x PDF

x

f1(x)の最大に関心があるため、

最頻値 xm に注目する

 

 



=  −

ξ

m

x x x

F x

F ( ) ( ) exp (4)

原分布 f ( x ) )

1

( x f

指数関数的に減少 x=xmにてF(xm)を通過する指数関数

最頻値より

= 0

=x_m

dx

df

(4)→(3) の後、 1 階微分で f1(x) 求まる さらに上式の最頻値の条件より

 



 

  

 



−  −

−

= ξ

x x x

F

( ) 1 exp exp (5) x n

F

1

)

( =

最小値の第一漸近分布 or 二重指数分布 



 



=

 F n

x

1

から求まる

(2) べき乗関数型

変数 x に下限 x0 があり、 F(x) の立ち 上がり部が

)

( )

( x x x

F = −

に従うとき。式 (3) に代入して



 





 



 

 



−  −

−

=

ε

ξ

1

( ) 1 exp x x

x F

つまり三母数ワイブル分布

ただし、

ε

ξ ^ _

 



=  1

n となるように定める

最小値の第三漸近分布と呼ぶ

ξ _は、

最大値分布が必要になる場合

全面腐食であればサンプリング 検査の平均値でも問題なし

石油タンク底板の減肉量の測定

局部腐食の場合には、サン プリング値が最大値であると いう保障はない

極値統計学による評価を適用

最大値分布

PDF

原分布

裾野形状 分布名

指数関数型 Gumbel 分布

第一種極大値分布

べき乗型 Frechet 分布

第二種極大値分布

)

1

( x

F の意味 n 個の最大値が x 以下である確率 )

1

( x

F の意味 n 個のサンプルの全てが x 以下となる確率 x

F x

F

( ) = ( )

∴

n が十分に大きくなった極限で近づく分布を漸近分布と呼ぶ 微分

) ( )

( )

(

1

x nF x f x

f =

⋅

∴

現実に観察される現象は、 n が十分に大きな統計的現象 (1)

(2)

参考 1

)

1

( x

f が高い値を持つ領域 1 − F ( x ) << 1

従って

))]

( 1 ( exp[

] ))) ( 1 ( 1 exp[log(

))) ( 1 ( 1 ( )

1

( x F x F x n F x

F = − −

= − −

≈ − −

∴

)) ( 1 (

1 − n − F x )) ( 1

( F x

n −

−



 + = − + − 3 ) 2

1 log(

3

2

x

x x x

(3) 1-F(x) の裾野形状の

みで決まる

大きい側の裾野の分布形としては 2 種類のものが重要 (1)指数関数型

(2) べき乗型

(1)指数関数型

x PDF

x

f1(x)が最大となるところに関心が あるため、最頻値 xm に注目する

 

 



=  −

−

ξ

x x x

F x

F ( ) ( ) exp

1 (4)

原分布 f ( x ) )

1

( x f

指数関数的に減少 x=xmにてF(xm)を通過する指数関数

最頻値より

= 0

=x_m

dx

df

(4)→(3) の後、 1 階微分で f1(x) 求まる さらに上式の最頻値の条件より

 



 

  

 



−  −

= ξ

x x x

F

( ) exp exp (5) x n

F

1

)

( =

最大値の第一漸近分布 or 二重指数分布 



 



=

 F n

x

1

から求まる