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 (0,1),(1,0),(0,1),(1,0)  (,) xy (,) XY ||||1 xy  ≦ (0,1),(1,0),(0,1),(1,0)  lim a (,) XY (,) xy ||||1 xy  ≦

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Academic year: 2021

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(1)

[ 東京工業大学 1969 年 ４ ]

数列{ }an は3an 2an1 (n2, 3,)を満たしている。点( , )x y が| |x |y| 1≦ の範囲を動くとき

2 , 1 3

n n

Xa xy Ya xy

で与えられる点( ,X Y)の存在する範囲をSnとする。すべてのnに対してSnの面積が 2 であるとき，

lim n

n a

 を求めよ。

| |x |y| 1≦ で表される領域は，4点 (0, 1), (1, 0), (0,1), ( 1, 0) を結ぶ正方形であり，

この面積は2である。

また，

1

2 3

n n

X a x y Y a x y

 

  

より 1

2 3

n n

a

X x

a

Y y

 

   

  

   

     であるから

点( , )x y は行列

1

2 3

n n

a a

 

 

  によって，点( ,X Y)に移る。

この1次変換によって4点(0, 1), (1, 0), (0, 1), ( 1, 0) が移った点を結んでできる平行四辺形の

面積はすべてのnに対して2であることから，

1

det 2 1

3

n n

a a

 

  

  が成り立つ。

よって 3an2an1 1 であるが，3an 2an1 より 3an2an1 1

したがって 2 1 1

3 3

n n

aa であり，

1

1

1 1 2

3

n

an a

 

    

 

よって lim n 1

n a



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