[ 東京工業大学 1972 年 １ ]
2 1 0
のとき，|a b| 1 を満たす整数a b, の組をすべて求めよ。
2 1 0
より 1 3 2
i
よって 3
2 2
a b a b a i
である。
したがって
2 2
2 3
2 2
ab a b a
2
3 2
2 4
a b a
であり，これが 1 に等しいので
2
3 2
2 4 1
a b a
…①
ここで，①が成り立つためには 3 2
4 a ≦1 であることが必要で，
0, 1, 1
a でなければならない。
(ⅰ) a0のとき
①より b2 1 なので b 1
(ⅱ) a1のとき
②より b b( 1) 0 なので b0, 1
(ⅲ) a 1のとき
③より b b( 1) 0 なので b0, 1
(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)より ( , )a b (0, 1), (1, 0), (1, 1), ( 1, 0), ( 1, 1)
[ 東京工業大学 1972 年 ２ ]
3 0 ( 0)
x − + =x k k> が絶対値1の虚根をもつとき，この方程式の3つの根を求めよ。
実数係数の方程式なので，a bi+ を解にもてばa bi− も解にもつ。
このとき，絶対値1の虚根をもつことから a2 +b2 =1，b≠0 より x3− +x kは {x− +(a bi)}{x− −(a bi)}=(x a− )2+b2
2 2 2
2
x ax a b
= − + +
2 2 1
x ax
= − + を因数にもつ。
よって x3− + =x k (x2−2ax+1)(x−α)
3 2
( 2 ) (2 1)
x α a x aα x α
= + − − + + − であるから係数を比較して
2 0
2 1 1
a a
k α
α α
− − =
⎧⎪ + = −
⎨⎪− =
⎩
"
"
"
①
②
③
①，③より
2
a= k さらに②より k2 =2
0
k > から k= 2 なので 2
a= 2 よって α = − 2 したがって x3− + =x k
(
x2− 2x+1)(
x+ 2)
となるので方程式 x3− + =x k 0 の解は x= − 2, 12
(
2± 2i)
よって求める3つの根は 2 2
2, 2
± i
−
[ 東京工業大学 1972 年 ３ ]
(1) ,m n, を正の整数として，nC m n Cmが成り立つとき，とmの大小について調べよ。
(2) xの多項式F x( )を(xa)3で割ったときの余りをR x( )とする。
( )
R x をF a( ), F a´( ), F´´( )a で表せ。
(1) ( )!
C ! !
n
n
n
，
( )!
C ! !
m n m
m n
m n
より
C C
n m n m
⇔ ( )! ( )!
! ! ! !
n m n
n m n
⇔ (n)( n 1) ( 1) (m n m n )( 1)(m1) …① である。
いま，≦m とすると n≦m n ， n 1≦m n 1，…，1≦m1 が成り立ち，
これらの不等式の両辺はすべて正である。
これらを辺々かけると (n)( n 1) ( 1)≦(m n m n )( 1)(m1) となり
①と矛盾する。
よって m である。
(2) R x( )はxの2次以下の整式であるから R x( )A x a( )2B x a( ) C とおける。
( )
F x を(x a )3で割ったときの商をP x( )とすると
3 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
F x P x x a A x a B x a C …②
よって F x´( )P x x a´( )( )3P x( ) 3( x a )22 (A x a ) B …③
さらに F´´( )x P´´( )(x x a )3P x´( ) 3( x a )2P x´( ) 3( x a )2P x( ) 6( x a ) 2A
3 2
´´( )( ) 6 ´( )( ) ( ) 6( ) 2
P x x a P x x a P x x a A
…④
②，③，④にxaを代入すると
( ) , ´( ) , ´´( ) 2 F a C F a B F a A
となる。
よって 1 2
( ) ´´( )( ) ´( )( ) ( )
R x 2 F a x a F a x a F a
[ 東京工業大学 1972 年 ４ ]
区間a≦ ≦x bにおいて， f´( )x 0を満たす関数f x( )に対して， ( ) b| ( ) ( ) | F x
a f t f x dt とおくとき，F x( )はxのどんな値に対して最小となるか。
a≦ ≦x b を満たすxを1つ決めると，tの関数 f t( ) f x( ) (a≦ ≦t b) は f t( )が単調増加なので
tx のとき負，txのとき0，txのとき正となる。
よって ( ) x { ( ) ( )} b{ ( ) ( )}
a x
F x
f t f x dt
f t f x dt( )( ) x ( ) ( )( ) b ( )
a x
f x x a f t dt f x b x f t dt
( )(2 ) x ( ) x ( )
a b
f x x a b f t dt f t dt
となる。
ここで，F x´( ) f´( )(2x x a b ) 2 ( )f x f x( ) f x( )
´( )(2 )
f x x a b
であり， f´( )x 0 であるからF x( )の増減は下表に従う。
よって，F x( ) は
2 x a b
のときに最小となる。
x a …
2 a b
… b
´( )
F x － 0 ＋
( )
F x
[ 東京工業大学 1972 年 ５ ]
曲線y=logxと原点からこの曲線に引いた接線およびx軸で囲まれた部分を，x軸の回まわりに 1回転して得られる立体の体積を求めよ。
log
y= x より 1
´ y = x
曲線上の点 T( , log )t t における接線は 1
( ) log
y x t t
= t − + より これが原点を通るとき 1
0 (0 t) logt
= t − + から t=e
したがって接点の座標は T( , 1)e
求める立体の体積は，図の斜線部分をx軸のまわりに回転した回転体の体積である。
これは△OTEをx軸のまわりに回転したものから図形ATEをx軸のまわりに回転したものを 除いた部分の体積であるから，求める体積をV として
2 1 (log ) 3
e
V = π e−π
∫
x dx となる。ここで， 2
1e(log )x dx
∫
2 1 1(log ) e e 2(log ) 1
x x x x dx
⎡ ⎤ x
=⎣ ⎦ −
∫
⋅ ⋅2 1elog
e x dx
= −
∫
[
log]
1ee x x x
= − −
1
= −e
であるから， ( 1)
V = π3 e−π e−
(
6 2)
3 e
= π − となる。
x y
O 1 e
1 T
A E
y=logx
[ 東京工業大学 1972 年 ６ ]
(1) 初項a，公差dの等差数列{ }an に対して，級数
1 an
n
e
が収束するための必要十分条件を求めよ。(2) 次の関係を満たす関数 f x( )を求めよ。
( ) 0 ( ) sin f x x
f t t dt(1) 条件より an a (n 1)d であり，ean ea (n 1)d ea
ed n1 である。よって
1 an
n
e
は，初項ea，公比ed の無限等比級数である。無辺等比級数の収束条件は 「初項が0」または「公比の絶対値1」である。
初項ea 0 より，条件は|ed | 1 であるから，ed 1 ⇔ d0 である。
(2)
0 f t( ) sint dt c とおくと f x( ) x c であり，
0 ( ) sin c
tc t dt
0tsint dt 0csint dt
tcost
0
0( cos ) t dt2c 2c よって c
したがって f x( ) x
