ある準線形放物型偏微分方程式の 解の単調増加性について ＊
穴 田 浩 一
†１ Introduction
次の放物型準線形微分方程式
（1）
は,曲線短縮問題(e.g.[10],[12],[14])やプラズマ内の磁場における電 気抵抗の拡散に対するモデル(e.g.[13],[16],[17],[19])などに現れる も の で,こ の 方 程 式 の 解 の 振 る 舞 い に つ い て 多 く の 研 究 が 行 わ れ て い る (e.g.[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [15], [18], [20], [21],[22],[23]).
今回は,解の振る舞いの研究を進める中で非常に重要となる「時間が経過し たあと, 解が増加していくのか?（あるいはそうでないのか?）」という点の考 察に焦点をあてる.
δ= 2 の場合, [10]において, 正の初期値を持つ周期境界条件のもとで（1）
の解が次をみたすことが証明されている.
定理１ (Eventual Monotonicity by [10]) をある定数とす
＊本稿は, 平成29 年度早稲田大学特定課題研究助成（課題番号: 2017K-355）およ び平成28年度早稲田大学特定課題研究助成（課題番号: 2016K-339）による研究成 果の一部である.
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る.このとき,δ= 2 で
をみたす（1）の解 は,
をみたす において
が成り立つ.
定理１から, もし（1）の解がある において閾値 以上になると
（ の値も 以上だから） は以後ずっと
すなわち について単調増加となることがわかる.
さらに,0-ディリクレ境界条件のもとで次のことが成り立つことも知られて いる.
定理２（Eventual Monotonicity by [1]） をある定数とする.
このとき,δ= 2 で
をみたす（1）の解 は,
かつ
（2）
をみたす において
が成り立つ.ただし, は で
をみたす関数.
注意 （1）の解 が
（3）
をみたす場合,
だから, ならば は（2）をみたす.（すなわち,（3）
の場合,（2）をみたす はかならず存在する.）
本論文では,これと同様の定理がδ＞ 2 の場合についても成立することを 証明する.
２ Main Theorem
この節では,δ＞ 2 として,次の定理を証明する.
定理３ をある定数とする.このとき,δ＞ 2 で
をみたす（1）の解 は,
かつ（2）をみたす において
が成り立つ.ただし, は定理２で与えられた関数.
Proof.まず
となるようにし, をみたす
を考える.そのとき,
かつ
だから, は
をみたす.特に, の場合は
をみたし, の場合は
をみたす.ここで,（２）ならば,
となることに注意する.加えて, は
かつ
をみたしているから, の零点の個数は,重複度を含めてちょうど２個で ある.
一方,任意の に対して
かつ
（4）
である.さらに, となったときには
かつ
が成り立っている.これより, は の重複度２の零点であることがわ
かる.
したがって,重複度を含めた零点の個数は非増加であることから([11]),も
し または ならば,
（5）
かつ
（6）
が成立していなければならない.
以上から,
すなわち, がわかる. □
参考文献
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