Microsoft Word - 中2数学解答【一問一答i〜n】.doc.pdf

(1)

中学

２

年生

数学

問題集

L 平行と合同

【L-01】多角形の内角の和/外角の和 P.1 【L-02/03】正多角形の 1 つの内角/外角 P.1 【L-04】1 つの内角→正多角形 P.2 【L-05】対頂角 P.3 【L-06/07】平行線の同位角/錯角 P.4 【L-08】平行線の間の角 P.4 【L-09】二等分線と角 P.5 【L-10】ブーメラン型 P.5 【L-11】三角形の合同条件 P.6∼7 【L-12】三角形の合同証明 1 P.8∼9 【L-13】三角形の合同証明 2 P.10 【L-14】三角形の合同証明 3 P.11

L 平行と合同

【L-01】多角形の内角の和/外角の和 P.1 【L-02/03】正多角形の 1 つの内角/外角 P.1 【L-04】1 つの内角→正多角形 P.2 【L-05】対頂角 P.3 【L-06/07】平行線の同位角/錯角 P.4 【L-08】平行線の間の角 P.4 【L-09】二等分線と角 P.5 【L-10】ブーメラン型 P.5 【L-11】三角形の合同条件 P.6∼7 【L-12】三角形の合同証明 1 P.8∼9 【L-13】三角形の合同証明 2 P.10 【L-14】三角形の合同証明 3 P.11

c 文字式(24)

【c-01】文字式の乗除 1 P.1 【c-02】文字式の乗除 2 P.2 【c-03】文字式の累乗 P.3 【c-04】項と係数 P.4 【c-05】次数 P.5 【c-06】文字式の加減 P.6 【c-07】文字式と式の値 P.7 【c-08】文字式と式の値 P.8 【c-09】分配法則 P.9 【c-10】分配法則(分数) P.10 【c-11】文字式の四則 P.11 【c-12】分子が複数の乗法 P.12 【c-13】同じ数ずつ増える規則性(数字) P.13 【c-14】同じ数ずつ増える規則性(図形) P.14∼16 【c-15】繰り返す規則性 P.17∼18 【c-16】和・差・積・商 P.19 【c-17】図形 P.20 【c-18】整数 P.21 【c-19】割合 P.22 【c-20】速さ P.23 【c-21】食塩水(食塩の量) P.24 【c-22】食塩水(濃度) P.25 【c-23】単位の変換 1 P.26 【c-24】単位の変換 2 P.27

c 文字式(24)

i∼n 一問一答(78)

【i】式の計算(12) P.1∼5

【j】連立方程式(17) P.6∼11

【k】１次関数 (25) P.12∼25

【l】平行と合同(13) P.26∼30

【m】三角形と四角形 (7) P.31∼34

【n】確率(4) P.35∼36

(2)

【一問一答 i-01】式の計算単項式の乗除

【一問一答 i-02】式の計算多項式の加減(整数)

□

1 次の計算をしなさい。

(1) 2

1

2 xy

⎛

₋

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

(2)

( )

3 2

ab

× −

a b

(3)

₋

₃

_{x y}

2 3

_{× −}

(

₄

_{x y}

3 2

)

1

2 2

4 x y

=

_{= −}

_{a b}

3 4

₌

_{12x y}

5 5 (4)

_a

4

_÷

_a

3₍₅₎

₆

_xy

_÷

₆

_xy

₍₆₎

_{3a b}

3 2

_{÷ −}

( )

_{a b}

2 4 3

a

aaaa

aaa

a

=

6xy

=

1

3

3 aaabb

ab

aab

= −

(7)

₂

2

1

3 a

÷

a

(8)

₄

2 3

2

3 xy

x y

÷

(9)

1

2

1

2 ab

4 ab

⎛

⎞

÷ −

_⎜

_⎟

⎝

⎠

2

3

1

6 aa

a

×

=

×

=

2

4

3

1

2

3 xxyyy

xy

×

=

×

=

4

2

2 abb

ab

b

×

= −

×

= −

(1)

1

2 2

4 x y

(2)

₋

_{a b}

3 4 (3)

_{12x y}

5 5 (4)

a

(5) 1 (6) −3ab (7) 6a (8)

_6xy

2 (9) −2b

□

1 次の計算をしなさい。

(1)

(

4 a

+

5 b

) (

+

2 a

−

6 b

)

(2)

(

2 x

−

4 y

) (

+

5 y

−

3 x

)

(3)

(

6 a

−

4 b

) (

−

4 a

+

3 b

)

(4)

(

x

−

5 y

) (

−

2 y

−

3 x

)

=6a−4b−4a−3b

= −

x

5 y

−

2 y

+

3 x

(5)

(

₆

_x

2

_{+ − −}

₅

_x

₂

) (

₃

_{x x}

_{− +}

2

₇

)

₍₆₎

(

_{− − + − −}

_x

2

₃

_x

₁

) (

_{2 6}

_x

2

₊

₇

_x

)

2 2

6 x

5 x

2 3

x x

7 =

+

− −

+

−

_{= − − + − +}

_x

2

₃

_x

_{1 2 6}

_x

2

₋

₇

_x

(7)

₎

5 a

+

3 b

(8)

₎

2 x

+

3 y

(1) 6a b− (2) − +x y (3) 2a−7b (4)

4 x

−

7 y

(5)

₇

_x

2

₊

₂

_x

₋

₉

(6)

₅

_x

2

₋

₁₀

_x

₋

₁

(7) 2a b− (8)

x

+

4 y

(3)

0

2 【一問一答 i-03】式の計算項と次数

【一問一答 i-04】式の計算多項式の加減(分数)

【一問一答 i-05】式の計算式の計算と式の値

□

1 次の多項式の項と次数を答えなさい。

(1)

2

₆

2 2

2 x

xy

y

+

−

(1)項 2

_,6

2

_,

2

2 x

xy

−

y

次数

3

１次の計算をしなさい。 (1)

5

3

2 a b a b

−

₋

+

₍₂₎

2

5

2

3

4 x

−

y

₋

x

−

y

2 5

(

) (

3 )

6 a b

− −

a b

+

=

4(2

5 ) 3(

2 )

12 x

−

y

−

x

−

y

=

10

2

3

6 a

−

b

−

a

−

b

=

8

20

3

6

12 x

−

y

−

x

+

y

=

7

5

6 a

−

b

=

5

14

12 x

−

y

=

(3)

2

4 a b

−

₋

a b

+

₍₄₎

2

5

4

6 a

−

b

a

−

b

−

(5)

4

3

5

2 x y

x

−

y

−

(6)

3

6 x

₊

− +

x y

8

6 (5

)

2 x

−

y

−

x y

−

=

2

6 x x y

− +

=

8

6

5

2 x

−

y

−

x y

+

=

6 x y

+

=

3

5

2 x

−

y

=

(1)

7

5

6 a

−

b

(2)

5

14

12 x

−

y

(3)

3

4 b

−

(4)

4

12 a

+

b

(5)

3

5

2 x

−

y

(6)

6 x y

₊

1

a

＝−2，b＝−３のとき，次の式の値を求めなさい。 (1) 3a−5b (2)

(

−

a

＋

7 b

) (

−

2 a b

＋

)

(3)

− −

2 (

a

＋3

b

)

−

3 2

(

a b

＋

)

(4)

₋

_{a b}

2

_÷

₃

_a

(1)

9

(2)

−12

(3) 35 (4)

−2

(4)

【一問一答 i-06】式の計算等式変形 1(移項)

【一問一答 i-07】式の計算等式変形 2(分数)

【一問一答 i-08】式の計算等式変形 3(分子が複数)

１次の等式を〔〕の中の文字について解きなさい。 (1) 2x−y=3 y (2) 5x+3y=7 y

− = − +

y

2 x

3 y

=

2 x

−

3

(1)

y

=

2 x

−

3

(2)

5

7

3

3 y

= −

x

+

□

2 _{次の等式を〔〕の中の文字について解きなさい。}

(1)

1

2 s

=

ah

[ ]

h

(2)

1

3 v

=

sh

[ ]

s

2 ah

s

=

ah=2s

h

2s

a

=

(1)

h

2s

a

=

(2)

s

3v

h

=

１次の等式を〔〕の中の文字について解きなさい。 (1) c a b a 3 2 + = (2) 2 2c b a= + 〔

c

〕

2

3 a b

c

+ =

・・・各項に３ 2a b+ =3c 2a=3c b−

3

2

2 b

a

=

c

−

あるいは

3

2 c b

a

=

−

(1)

3

2

2 b

a

=

c

−

(2)

1

2 c a

= −

b

(5)

0

4 【一問一答 i-09】式の計算式の説明 1(連続する整数)

【一問一答 i-10】式の計算式の説明 2(偶数と奇数)

【一問一答 i-11】式の計算式の説明 3(2 けたの整数)

①

n

②

n+1

③

n+2

④

n

+ + + +

(

n

1) (

n

2)

⑤

3n+3

⑥

3(

n

+

1)

⑦

(

n

+

1)

⑧

3(

n

+

1)

1 連続する３つの整数の和は３の倍数になることを説明しなさい。連続する３つの整数のうち、最も小さい数をnとすると、連続する３つの整数は、 ① 、 ② 、 ③ とあらわせる。 ④ = ⑤ = ⑥

n

は整数なので、 ⑦ は整数といえる。よって、 ⑧ は３の倍数であるといえる。したがって、連続する３つの整数の和は３の倍数であるといえる。２奇数と偶数の和は奇数になることを説明しなさい。 m、nを整数とすると、奇数と偶数はそれぞれ、 ① 、 ② とあらわせる。 ③ = ④ = ⑤

m

、

n

は整数なので、 ⑥ は整数といえる。よって、 ⑦ は奇数であるといえる。したがって、奇数と偶数の和は奇数になるといえる。 ① 2m+1 ② 2n ③

(2

m

+ +

1) 2

n

④ 2m+2n+1 ⑤

2(

m n

+ +

) 1

⑥

(

m n

+

)

⑦

2(

m n

+ +

) 1

①

10a b+

②

10b a+

③

(

10 a b

+ +

) (

10 b a

+

)

④

11a+11b

⑤

11 a b

(

+

)

⑥

(

a b

+

)

⑦

11 a b

(

+

)

1 ２けたの整数 X がある。この数の十の位と一の位を入れ替えてできる数をＹとすると、ＸとＹの和が 11 の倍数になることを説明しなさい。Ｘの十の位の数を

a

、一の位の数をbとすると、２けたの整数Ｘ、Ｙはそれぞれ、 ① 、 ② とあらわせる。 ③ = ④ = ⑤

a

、bは整数なので、 ⑥ は整数といえる。よって、 ⑦ は１１の倍数であるといえる。従って、X と Y の和は 11 の倍数といえる。

(6)

【一問一答 i-12】式の計算図形への応用

□

2_{縦、横、高さがそれぞれ、、の直方体がある。この} とき、次の問いに答えなさい。 (1) この直方体の体積を、、を使ってあらわしなさい。 (2) この直方体の表面積を、、を使ってあらわしなさい。底面積… …① 側面積… …② 表面積…①＋② ※ をつけ忘れない。 (3) 横の長さを 2 倍にしたとき、もとの直方体との表面積の差はいくらになるか。底面積… …① 側面積… …② 表面積…

c

b

a

(1) V =abc (2) S = 2ab+2ac+2bc (3) 2ab+2bc ３底面の半径が

r

、高さがhの円柱の体積をV とする。このとき、次の問いに答えなさい。 (1) 円柱の体積Vを

r

、hを使ってあらわしなさい。 V = × × ×r r

π

h

_V

₌

_π

_{r h}

2 (2) 高さを変えないで、底面の半径を 2 倍にすると、体積は何倍になりますか。 2r× × ×2r

π

h

₌

_{4 r h}

_π

2

_{4 r h}

_π

2

_π

_h

_{4 :1} (3) 底面の半径を1 2倍すると、体積は何倍になりますか。

1

2 r

×

2 r

× ×

π

h

1

(1)

_V

₌

_π

_{r h}

2 (2) 4倍 (3) 1 4倍

h

r

２縦、横、高さがそれぞれ

a

、b、

c

の直方体がある。このとき、次の問いに答えなさい。 (1) この直方体の体積V を

a

、b、

c

を使ってあらわしなさい。 (2) この直方体の表面積Sを

a

、b、

c

を使ってあらわしなさい。底面積… a b× × =2 2ab…① 側面積…

(

a a b b

+ + + ×

)

c

=

c a

(

2 +

2 b

)

=2ac+2bc…② 表面積…①＋② ※ S =をつけ忘れない。 (3) 横の長さを 2 倍にしたとき、もとの直方体との表面積の差はいくらになるか。底面積…2b a× × =2 4ab…① 側面積…

(

a a

+ +

2 b

+

2 b

)

× =

c c a

(

2 +

4 b

)

=2ac+4bc…② 表面積…4ab+2ac+4bc

(7)

0

6 【一問一答 j-01】連立方程式加減法 1

【一問一答 j-02】連立方程式加減法 2(係数をそろえる)

【一問一答 j-03】連立方程式加減法 3(係数をそろえる)

【一問一答 j-04】連立方程式加減法 4(小数)

【一問一答 j-05】連立方程式加減法 5(分数)

１次の連立方程式を解きなさい。 (1)

0.2

0.5

1

0.3

0.1

3.2 x

y

x

y

−

=

⎧

⎨

₊

₌

⎩

(2)

0.3

1.4

0.1

0.02

0.03

0.13 x

y

x

y

+

=

⎧

⎨

₋

₌

⎩

(1)

x

=

10,

y

=

2

(2)

x

=

5,

y

= −

1

3

2

1

5

4

1 x

y

x

y

⎧ + =

⎪

⎨

⎪ +

=

⎩

(2)

2

1

3

4

1

2

5

2

3 x

y

x

y

⎧

₋

_{= −}

⎪⎪

⎨

⎪

₋

₌

⎪⎩

(1)

x

= −

3,

y

=

4

(2)

x

= −

6,

y

= −

12 □

1 _{次の連立方程式を解きなさい。}

(1)

3

7

2

3

4 x

y

x

y

−

=

⎧

⎨ + = −

⎩

(2)

3

11

3

2

5 x

y

x

y

+

=

⎧

⎨ − =

⎩

(1)

x

=

1,

y

= −

2

(2)

x

=

3,

y

=

2 １次の連立方程式を解きなさい。

(1)

3

4

10

4

3

5 x

y

x

y

− +

= −

⎧

⎨ +

=

⎩

(2)

8

3

25

6

5

3 x

y

x

y

+

= −

⎧

⎨ − =

⎩

(1)

x

=

2,

y

= −

1 (2)

x

= −

2,

y

= −

3 □

1 _{次の連立方程式を解きなさい。}

(1)

3

5

2

3

7 x y

x

y

+ =

⎧

⎨ − =

⎩

(2)

2

3

10

5

6

2 x

y

x

y

−

= −

⎧

⎨ + =

⎩

(1)

x

=

2,

y

= −

1

(2)

x

= −

2,

y

=

2

(8)

【一問一答 j-06】連立方程式加減法 6(分配法則)

【一問一答 j-07】連立方程式代入法

【一問一答 j-08】連立方程式連立方程式と式の値

【一問一答 j-09】連立方程式 A＝B＝C 型

□

1

次の問いに答えよ。 (1) 連立方程式

9

2

6 ax by

bx ay

+

=

⎧

⎨

₋

_{= −}

⎩

の解が

1

2 x

y

=

⎧

⎨ =

⎩

であるとき、定数

a b

,

の値を求めよ。

(1)

a

=

5,

b

=

2 ３次の連立方程式を解け。

(1) 4

x y

+ =

7 x

+

2 y

= −

1 (1)

x

= −

1,

y

=

3 □

4 _{次の連立方程式を、代入法を使って解きなさい。}

(1)

1

2

3

5 y

x

y

= +

⎧

⎨ − = −

⎩

(2)

4

2

1 y

x

y

x

= −

⎧

⎨ = −

⎩

(1)

x

=

2,

y

=

3

(2)

x

= −

3,

y

= −

7 (

)

3

6

5

2

10 x y

x

x y

− =

⎧⎪

⎨ − =

− −

⎪⎩

(2)

(

)

(

)

3

2

3

1 x

y

x

y

⎧ −

− = −

⎪

⎨

_{+ − = −}

⎪⎩

(1)

x

= −

1,

y

= −

9

(2)

x

= −

1,

y

=

5

(9)

0

8 【一問一答 j-10】連立方程式金額

【一問一答 j-11】連立方程式整数(商と余り)

【一問一答 j-12】連立方程式 2 けたの整数

１１本 50 円の鉛筆と 1 本 120 円のボールペンを合わせて 20 本買ったところ、代金が 1560 円であった。鉛筆を

x

本，ボールペンをy本買ったとき，次の問いに答えよ。 (1) 連立方程式をつくれ。 (2) 鉛筆とボールペンはそれぞれ何本買ったか。

x

=

12,8

□

2 大小２つの整数がある。その和は 54 で、大きいほうの整数を小さいほうの整数で割ると、商が 5、余りが 6 である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 大小 2 つの整数をそれぞれ

x

、yとして連立方程式をつくれ。大きいほうの整数を

x

,小さいほうの整数をyとすると、

54

5

6 x y

x

y

+ =

⎧

⎨ = +

⎩

(2) 大小 2 つの整数をそれぞれ求めよ。

x

=

46,

y

=

8 (1)

⎧

_{⎨ = +}

x y

_x

+ =

₅

_y

54 ₆

⎩

(2)

大…４６小…８１ 2 けたの整数があり、十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの整数より 18 大きい。また、もとの整数と入れかえた数との和は 110 である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) もとの 2 けたの整数の十の位の数を

x

、一の位の数をyとして連立方程式をつくれ。

10

18

10

110 y x

x y

x y x

y

+ =

+ +

⎧

⎨

_{+ + +}

₌

⎩

(2) もとの整数を求めよ。

x

=

4,

y

=

6

(1)

20

50

120 1560

x y

x

y

⎧ + =

⎨

₊

₌

⎩

(2) 鉛筆…12(本) ボールペン…8(本)

(1)

10

18

10

110 y x

x y

x y x

y

+ =

+ +

⎧

⎨

_{+ + +}

₌

⎩

(2)

46

(10)

【一問一答 j-13】連立方程式速さ

【一問一答 j-14】連立方程式生徒数の増減(割合)

□

1 _{家から 1800ｍ離れた中学校まで 20 分で行きたい。歩く速さを毎分 75ｍ、走る速さを} 毎分 100ｍとする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 歩く距離と走る距離をそれぞれ

x

ｍ、yｍとして連立方程式をつくれ。

1800

20 75 100

x y

x

y

⎧ + =

⎪

⎨

₊

₌

⎪⎩

(2) 歩く距離と走る距離はそれぞれ何ｍにすればよいか。

x

=

600,

y

=

1200

(1) 1800 20 75 100 x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ ₊ ₌ ⎪⎩ (2) 歩く距離…600 (ｍ) 走る距離…1200 (ｍ)

□

1 _{ある中学校の昨年度の生徒数は 470 人であったが、今年度は男子} が昨年より 6％減少し、女子が昨年より 5％増加して、全体では 4 人減少したという。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 昨年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ、

x

人、y人として、連立方程式をつくりなさい。

470

94

105

466

100

100 x

y

x

y

+

=

⎧

⎪

⎨

₊

₌

⎪⎩

(2) 今年度の男子、女子の生徒数を求めよ。

x

=

250,

y

=

220

ただし、これは昨年度の人数なので、今年度の男子→

94 250 235

100 ×

=

今年度の女子→

105 220 231

100 ×

=

(1)

470

94

105 ₄₆₆

100

100 x

y

x

y

+

=

⎧

⎪

⎨

₊

₌

⎪⎩

(2)

男子…235(人) 女子…231(人)

(11)

0

10 【一問一答 j-15】連立方程式食塩水(割合)

【一問一答 j-16】連立方程式列車(速さ)

１６％の食塩水と３％の食塩水を混ぜて、５％の食塩水を 300ｇつくりたい。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 連立方程式をつくりなさい。 (2) ６％の食塩水と３％の食塩水をそれぞれ何ｇ混ぜればよいか。（1）

300

6

3

5

300

100

100 x y

x

y

+ =

⎧

⎪

⎨

₊

₌

_×

⎪⎩

（2） 6％… 200(ｇ) 3％… 100(ｇ)

□

1 _{ある電車が一定の速さで走っている。この電車が 730ｍの鉄橋を渡り始めてか}

らわたり終わるまでに 38 秒かかった。また、620ｍのトンネルに入り終わって

から、出始めるまでに 16 秒かかった。このとき，次の問いに答えよ。

(1) この電車の長さを xm ，速さを

ym

/

として連立方程式をつくれ。

38

730

16

620 y

x

y

x

⎧

= +

⎨

₌

₋

⎩

(2) この電車の長さと速さを求めなさい。

x

=

220,

y

=

25 (1)

38

730

16

620 y x

y

x

= +

⎧

⎨

₌

₋

⎩

(2)

長さ…220 (ｍ) 速さ…25 (ｍ/秒)

(12)

【一問一答 j-17】連立方程式湖(速さ)

□

1 _{周囲が 2100ｍの池がある。花子と太郎が、この池の周囲を同じ}

地点から出発して自転車で進むことにした。一回目は、2 人が

反対の方向に回ることにし、同時に出発したところ、7 分後に

始めて出会った。二回目は同じ方向に回ることにし、同時に出

発したところ、42 分後にちょうど太郎が花子に一周差をつけ

た。このとき，次の問いに答えよ。

(1) 太郎と花子の分速の速さをそれぞれ x ｍ/秒，

ym

/

として連立

方程式をつくれ。

(2) 太郎と花子の分速の速さを求めなさい。

(1)

7

7 2100

42

42 2100

x

y

x

y

⎧ +

=

⎨

−

=

⎩

(2)

太郎…175 (ｍ/分) 花子…125 (ｍ/分)

(13)

0

12 【一問一答 k-01】１次関数１次関数の式→グラフ

【一問一答 k-02】１次関数１次関数のグラフ→式

１

次の 1 次関数のグラフを図にかけ。

(1)

y

=

3 x

−

4 (2)

y

= − +

x

3 (3)

3

1

2 y

=

x

−

(4)

1

3

4 y

= −

x

+

２

次のグラフの直線の式を求めよ。

(1)

y

= +

x

2 (2)

y

= − +

2 x

3 (3)

2

4

3 y

= −

x

−

(4)

y

= −

x

2 (4)

(14)

【一問一答 k-03】1 次関数 1 次関数の基礎知識

【一問一答 k-04】１次関数１次関数の式(文章)

□

1 次の直線の式を求めなさい。 (1) 傾きが３で，点(1,2)を通る直線。

y ax b

=

+

２＝３×１＋ｂｂ＝−１ (2) 変化の割合が−2 で，x=4のとき，

y

= −

4

となる。

y ax b

=

+

−４＝−２×４＋ｂｂ＝４ (3) 直線

y

=

3 x

−

2

に平行で，点(4,2)を通る直線。

y ax b

=

+

２＝３×４＋ｂｂ＝−10 (4) 点(3,7)を通り,

x

の増加量が 2 のとき，yの増加量が 8 になる直線の式。

y ax b

=

+

７＝４×３＋ｂａ＝8 2＝４ｂ＝−５ (5) 切片が 1 で，（2，5）を通る直線。

y ax b

=

+

５＝２×ａ＋１ａ＝２ (1)

y

=

3 x

−

1

(2)

y

= − +

2 x

4

(3)

y

=

3 x

−

10

(4)

y

=

4 x

−

5

(5)

y

=

2 x

+

1

１次の文章は、y=ax+b の中のある文字の情報を述べたものである。 それぞれ、どの文字がいくらであるかを答えなさい。 (1) 変化の割合が−2 である。 (2) 切片が 3 である。 (3) x=2 のとき、y=−5 である。 (4) x の増加量が 3 のとき、y の増加量が 12 である。 a= 12 3 = 4 (1) a= −2 (2) b= 3 (3)

x

= 2, y = −5

(4) a= 4

(15)

0

14 【一問一答 k-04】１次関数１次関数の式(図)

【一問一答 k-05】１次関数２点を通る直線(文章)

【一問一答 k-05】１次関数２点を通る直線(図)

(1)

y

= − −

2 x

1 (2)

y

= −

x

2 □

1 _{次の 2 点を通る直線の式を求めなさい。} (1) (−2,3),(1,−3) ★2 点を通る直線は→連立方程式！

y ax b

=

+

に代入する。

3

2

3 a b

a b

= − +

⎧

⎨− = +

⎩

a

= −

2,

b

= −

1

(2) (−1,−3),(4,2)

3 2 4

a b

− = − +

⎧

⎨

₌

₊

⎩

a

=

1,

b

= −

2 □

1

右の図のような直線ℓがある。直線ℓの傾きは 2 で、点 A(−4,−3)を通っている。直線ℓの式を求めよ。

_{y = ax + b}

に、

a = 2

、

_{x = −4,y = −3}

を代入して bを求める。

(1)

_{y = 2x + 5}

□

1

右の図のように、点 A(−4,−3)、点 B(−1,6)の２点を通る直線ℓの式を求めよ。 ★2 点を通る直線は→連立方程式！ −3 = −4a + b 6= −a + b ⎧ ⎨ ⎩

a = 3,b = 9

(1)

_{y = 3x + 9}

(16)

【一問一答 k-06】１次関数１次関数のグラフ上の座標

【一問一答 k-07】１次関数１次関数の変域

y

m

y= − +x 8 ℓ y= x2 +5 (1,7) (8,0)

x

□

1

右の図のように、点 A、点 B があり、直線ℓの式は

5

2 +

= x

y

、直線

m

は傾きが−1 の直線である。直線ℓ、

m

の交点 C の

x

座標が 1 であるとき、次の問いに答えよ。 (1) 点 C のy座標を求めよ。点Ｃは

y

=

2 x

+

5

上にあるので、

y

=

2 x

+

5

にx=1を代入する。

y

= +

2 5

y

=

7

(2) 直線

m

の式を求めよ。【k-04】の内容

y ax b

=

+

→傾きがー１なので

y

= − +

x b

これに、点Ｃ(1,7)を代入。7= − +1 b b=8 (3) 点 A、点 B の座標を求めよ。点Ａは（？,０）なので、

y

=

2 x

+

5

に

y

=

0

を代入。 0 2= x+5

5

2 x

= −

点Ｂは（？,０）なので、y= − +x 8に

y

=

0

を代入。 0= − +x 8 x=8

(1)

７ (2)

y

= − +

x

8 (3)

A

5, 0 2 ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

B

(8 , 0)

5 , 0 2 ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

□

1 _{次の問いに答えなさい。} (1)

y

=

2 x

−

1

において、

x

の変域が

1 x

6

であるとき、yの変域を求めよ。 (2)

y

=

3 x

−

2

において、

x

の変域が

−

3 x

2

であるとき、yの変域を求めよ。 (3)

y

= − +

2 x

4

において、

x

の変域が

−

2 x

5

であるとき、yの変域を求めよ。

8 y

−

6

としないように注意。（1）

1 y

11

（2）

−

11 y

4

(3)

−

6 y

8

(17)

0

16 【一問一答 k-08】１次関数１次関数と変化の割合

【一問一答 k-09】１次関数２元１次方程式

【一問一答 k-10】１次関数 x=●、y=●の直線

１次の方程式を 1 次関数の形に直しなさい。 (1)

3 x

−

3 y

= −

9

y=の形に等式変形する。

− = − −

3 y

3 x

9 y x

= +

3

２次の 1 次関数で，

x

の値が−2 から 1 まで増加したときのy の増加量を求めなさい。 (1)

y

= − −

2 x

3 y

x

に当てはめて解くとよい。 -2 -1 0 1 2 3 →

x

の増加量は３ yの増加量をkとおくと

2

3 k

−

=

k= −6 (2)

y

=

3 x

+

2

（1） −6 （2） 9 （1）

y x

= +

3

２図の(1)∼(3)の直線の式を求めよ。（1）

x = 4

（2）

_{y = 2}

(3)

_{y = −6}

(18)

【一問一答 k-11】１次関数文章→関数の式 1(ろうそく)

【一問一答 k-12】１次関数文章→関数の式 2(水そう)

(1)

y

= −

0.8 x

+

6 (2)

7.5 時間後

(3)

0 x

7.5

0 y

6 □

2 _{長さ 6ｃｍのろうそく A に火をつけると 1 時間に 0.8 ㎝} ずつ短くなっていく。ろうそく A に火をつけてから

x

時間後のろうそく A の長さをycmとするとき、次の問いに答えよ。 (1) yを

x

の式で表せ。 (2) ろうそくＡが燃え尽きるのは火をつけてから何時間後か。 (3)

x

、yの変域をそれぞれ不等号を用いて表せ。

(1)

y

= − +

2 x

18 (2)①

16 ②

14 ③

12 ④

10 ⑤

5 (3)

0 x

9

0 y

18 □

4 _{水槽に 18ℓの水が入っている。いま、この水槽から毎分} 2ℓずつ排水していく。排水しはじめてから

x

分後の水槽 の水の量を yℓとする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) yを

x

の式で表せ。 (2) 右の

x

、yの対応表を完成せよ。 (3)

x

、yの変域をそれぞれ不等号を用いて表せ。

x

₀

₁

₂

₃

₄

_⑤

y

₁₈

_{① ② ③ ④ 8}

(19)

0

18 【一問一答 k-13】１次関数１次関数と交点の座標

【一問一答 k-14】１次関数グラフ上の三角形の面積 1

y

_{y = −x + 8}

y

= x

2 +

5 (1,7)

(8,0)

x

₋5 2,0 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

□

1

(1) 三角形 ABC の面積を求めよ。底辺ＡＢ・・・5 8 5 16 21 2+ = +2 2 = 2

21

7

1

147

2 × × =

2

4 (1)

147

4 □

1

右の図で、ℓは２点 A（−4、0）、B（0，4）を通る直線であり、直線

m

の式は 9 2 3 + − = x y である。２直線_ℓ、

m

の交点を C、直線

m

とx軸との交点 D の座標を(6,0) とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 直線

ℓ

の式を求めよ。

直線l は（０,４）を通る直線なので

y ax

=

+

4

これに点Ａ（−４,０）を代入して

a

を求めると a=1

(2) 点 C の座標を求めよ。

★交点の座標は、＝で結ぶ！ x+4＝

3

9

2 x

−

+

この方程式を解くと、x=2 これが

x

座標になり、x=2を

y

= +

x

4

、

3

9

2 y

= −

x

+

のどちらかに代入すると、

y

=

6

となる。

(1)

y

= +

x

4 (2)

_（2,6）

y

m

9 2 3 + − = x y _ℓ y= x+4 (2,6) B(0,4) A(-4,0) D(6,0)

x

(20)

【一問一答 k-15】１次関数グラフ上の三角形の面積 2

□

1 _{右の図で、直線}

1

2

2 y

= −

x

+

と放物線

_{y = −x}

が点 A

で交わっており、

1

2

2 y

= −

x

+

と直線ℓとの交点 B

の x 座標は２である。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点 B の座標を求めよ。

【k-06】の内容

y= − 1 2x+ 2に

x =2 を代入。

(2) 点 A の座標を求めよ。

【k-13】の内容

★交点の座標は、＝で結ぶ！

− 1 2x+ 2 = −xの方程式を解く。

(3) △ABO の面積を求めよ。

△CBO △CAO △CBO＋△CAO

= 2 × 4 ×

1

2 = 4

= 2 × 2 ×

1

2 = 2

(1)

(2,1)

(2)

(−4,4)

(3)

6

(21)

0

20 【一問一答 k-16/k-17】１次関数１次関数と動点(変域/式)

(2) 点 P が辺 CD 上にある場合すでに 3 秒間歩いてきている点 P が C から D までの 4ｃｍをたどり着くのに 2 秒かかるので，x の変域は ３＜x ＜５となる。また，点 P が，B からスタート して歩いた道のり，つまり BP の長さはやはり 2xcm となる。 また，△ABP の面積は，点 P が CD 上のどこに あっても，底辺が 4cm，高さが 6cm で変わらないので， △ABP の面積＝1 2 ×底辺 AB×高さ 6cm y ＝ 1 2 × 4 × 6 (3) 点 P が辺 DA 上にいる場合スタート地点の B からすでに 5 秒間歩いてきている点 P が，ゴール地点の A にたどりつくには，あと 3 秒かかるので，

x

の変域は 5＜

x

＜8 となる。また，①，②と同様に△ABP の面積を求めると， △ABP の面積＝1 2×底辺 AB×高さ AP となるのだが，この高さ AP を、

x

を使ってあらわすと， AP＝（BC＋CD＋DA）−BP と考えることが出来るので，＝（ 6 ＋4 ＋6 ）―2x ＝（16−2x）よって， △ＡＢＰの面積＝ 1 2×底辺ＡＢ×高さＡＰ y ＝ 1 2 × 4 ×（16−2x）変域

0 x

3

式

y

=

4 x

変域

3 x

5

式

y

=

12

変域

5 x

8

式

y

= − +

4 x

32 □

1 AB＝4cm，BC＝6cm の長方形 ABCD がある。点 P は B を出発し，長方形の辺上を毎秒 2cm の速さで，C，

D を通り，A まで進むものとする。点 P が B を出発してから x 秒後の△ABP の面積を ycm２_{とするとき，点 P}

が次の辺上にある場合の x と y の関係を式にあらわせ。また，x の変域も書け。 (1) 点 P が辺 BC 上にある場合点 P が B から C までの 6

cm

をたどり着くのに 3 秒かかるので

x

の変域は０＜

x

＜３となる。また，点 P が，B から歩いた道のり（BP の長さ）は，速さ×時間＝2

cm

/秒×

x

秒間＝2

x cm

よって△ABP の面積＝ 1 2 × 底辺 AB×高さ BP ＝ × 4 × 2

(22)

【一問一答 k-18】１次関数ダイヤグラム 1

(1)

_毎分80ｍ

(2)

y

=

60 x

(3)

y

=

150 x

−

4500

(4)

50 _分後

□

1 _{A さんは，家から}3600m離れたおばさんの家まで，途中の公園での休みを入れて合計 60 分で行った。右の図は， A さんが歩いた様子をグラフにあらわしたものである。このとき，次の問いに答えなさい。 (1) 家から公園までの A さんの歩く速さは毎分何mか。 ) (m y 3600 ②y=2400 ③y 60= x 2400 ①y 80= x ④y=150x−4500 30 40 60 ) ( x 関数の応用問題は，とにかくグラフを最大限に利用しよう。原点を通る直線なので，y ax= 。点

(

30,2400

)

を通っているので，代入して，a =80。ちなみにグラフの傾き

a

は，速さにあたる。

【一問一答 k-19】１次関数ダイヤグラム 2

(2) xの変域が40 x 60 y xの式であらわせ。 ★２点を通る直線の式は、連立方程式。点₍40, 2400₎，

(

60,3600

)

を通る直線なので，それぞれ

y ax b

=

+

に代入する。 2400 40a b= + …① 3600 60a b= + …② 連立方程式で解くと，a =60，b=0となる。

【一問一答 k-20】１次関数ダイヤグラム 3

(3) A さんが家を出てから

30

分後に，姉が毎分150mの速さの自転車で A さんのあとを追いかけた。姉が家を出ておばさんの家に着 くまでの x と y の関係を式で表せ。 姉の直線をグラフに書き込むとすると，点

(

30,0

)

を通り，傾き150の直線となる。よって，

y

=

150 x b

+

に

(

30,0

)

を代入すると，b= −4500となり，

150 4500

y

=

x

−

…図の④ (4) 姉が A さんに追いつくのは，A さんが家を出てから何分後か。姉がＡさんに追いつく地点というのは，2 つの直線の交点を指しているので，「交点の座標は＝で結んで」出すと，150x−4500 60= x

(23)

0

22 【一問一答 k-21】１次関数１次関数と方程式 1

【一問一答 k-22】１次関数１次関数と方程式 2(差)

ℓ m A Ｂ x O

２右の図のように、2 直線

ℓ

・・・

y

= x

3 −

4 、

2

2 3 +

=

…

y

x

m

があり、その交点を P とする。直線

ℓ

上の P より右側

に点 A をとり、A を通って

y

軸に平行な直線と、 m と

の交点を B とする。点 A の x 座標を

k

として、次の問

いに答えよ。

(1) AB＝3 のとき、次の①、②に答えよ。

①

k

の値を求めよ。

AB の長さ＝３という方程式を立てればよい。

3 6 3

2 k

− =

② 点 A の座標を求めよ。

(1)①

k =6

②

A

（6、14）

１右の図のように、直線

ℓ

・・・

y

=

−

2 x

+

12 があり、

ℓ

と

x

軸、

y

軸との交点をそれぞれ P、Q とする。線分 PQ

上に点 A をとり、A を通って x 軸に平行な直線と

y

軸

との交点を B、A を通って

y

軸に平行な直線と x 軸との

交点を C として長方形 OBAC をつくる。点 A の x 座標

を

k

として、次の問いに答えよ。

(1) 四角形 OBAC が正方形となるとき、次の①、②に答え

よ。

①

k

の値を求めよ。

正方形なので、AB＝AC という方程式を立てればよい。

k = − +2k 12

3k =12

k =4

② 点 A の座標を求めよ。

(1)① k =4 ② Ａ（４，４） ℓ

(24)

【一問一答 k-23】１次関数１次関数と回転体

y

m

y= x− +8 ℓ y= x2 +5 (1,7) (8,0)

x

□

2

右の図のように、点 A

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛− 0,

2

5

、点 B があり、直線ℓの傾きは 2、直線

m

の式は

y

= x

−

+

8

である。直線ℓ、

m

の交点を C とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 点 B の座標を求めよ。【k-06】の内容

点Ｂ( ？，0 )は直線

m

上にあるので、

y

=

0

を

y

= − +

x

8

に代入する。そうすると，x=8となる。

(2) 直線

ℓ

の式を求めよ。【k-04】の内容

直線l は傾きが２，Ａ

5 , 0

2 ⎛

₋

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

を通る直線なので， ↓ ↓ a=2

5 ,

0

2 x

= −

y

=

を

y ax b

=

+

に代入。

(3) 交点 C の座標を求めよ。【k-13】の内容

★交点の座標は、＝で結ぶ！ 2x+ = − +5 x 8 方程式を解くと、 x=1 これが

x

y

=

2 x

+

5

、

y

= − +

x

8 y

=

7

となる。

(4) △ABC の面積を求めよ。【k-14】の内容

底辺↓ 面積↓ 5 8 2 5 16 2 2 21 2 + = + =

21

1

7

2

147

4 × ×

=

(5) △ABC を x 軸で回転させたときにできる立体の体

積を求めよ。

21 1

7 7

2

3

343

2 π

π

× × × ×

=

(1)

(8,0)

(2)

y

=

2 x

+

5 (3)

(1,7)

(4)

147

4 (5)

343

2 π

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 0, 2 5

(25)

0

24 【一問一答 k-24】１次関数三角形の面積二等分線

□

1

右の図のように、点 A

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛− 0,

2

5

、点 B（8，0）があり、直線ℓ、

m

の式はそれぞれ、

y

= x

2 +

5

、

y

= x

−

+

8

である。直線ℓ、

m

の交点を C とするとき、次の問いに答えよ。 (1) 交点 C の座標を求めよ。【k-13】の内容

★交点の座標は、＝で結ぶ！ 2x+ = − +5 x 8 方程式を解くと、 x=1 これが

x

y

=

2 x

+

5

、

y

= − +

x

8 y

=

7

となる。答えが出たらグラフでチェック！→位置的におかしくない。

(2) B，C の中点の座標を求めよ。

★中点の座標は、足して２で割る！ B（8，0） C（1，7）

x

座標→

8＋1＝9

9

1

9

2

2 × =

y座標→0＋7＝7

7

1

7

2

2 × =

中点の座標を M とすると、M

9 7

,

2 2

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

(3) 点 A を通り、三角形 ABC の面積を二等分する直線

の式を求めよ。

★三角形の面積二等分線は、中点と頂点を通ればよい！ ★２点を通る直線は、連立方程式！よって、Ａ、M を通る直線の式を求めればよい。

y ax b

=

+

にそれぞれ、 A

5 , 0

2 ⎛

₋

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

を代入 M

9 7

,

2 2

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

を代入

0

5

2 a b

= −

+

・・・①

7

9

2 =

2 a b

+

…② ①、②を連立で解くと、

1 ,

5

2

4 a

=

b

=

(1)

C(1,7)

(2)

9 7

,

2 2

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

(3)

1

5

2

4 y

=

x

+

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− 0, 2 5 y

m

y= x− +8 ℓ y= x2 +5 (1,7) M _⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 7 , 2 9 (8,0)

x

(26)

【一問一答 k-25】１次関数平行四辺形の面積二等分線

y (0,7) A(2,6) B(8,6) M(4,3)

x

C(6,0)

□

4 _{右の図のように、3 点 A(2,6)，B，C(6,0)があ}

り、四角形 OABC は平行四辺形である。これ

について、次の問いに答えよ。

(1) OA を通る直線の式を求めよ。【e-04】の内容

原点を通る直線なのでy ax= これに点 A（2,6）を代入して

a

を求めると a=3 ★答えが出たらグラフでチェック！→傾き具合がちょうどよい。

(2) 点 B の座標を求めよ。

点 O から点 A まで→横に 2、縦に 6 なので点 C から点 B までも同様に考える。

(3) A，C の中点の座標を求めよ。

★中点の座標は、足して 2 で割る！ A（2,6） C（6,0）

x

座標→ 2＋6＝8

8

1

4

2 × =

y座標→6＋0＝6

6

1

3

2 × =

中点の座標を M とすると、M（4，3）

(4) 点 E(0,7)を通り、平行四辺形 OABC の面積を

二等分する直線の式を求めよ。

★平行四辺形の面積二等分線は、対角線の交点を通ればよい！点（0，7）を通るので、

y ax

=

+

7

また M（4，3）を通ればよいので、

y ax

=

+

7

に代入

a= −1 (1)

y

=

3 x

(2) 点Ｂ・・・（８,６） (3) （４，３） (4)

y

= − +

x

7

(27)

0

26 【一問一答 l-01】平行と合同多角形の内角の和・外角の和

【一問一答 l-02】平行と合同正多角形の 1 つの内角・1 つの外角

【一問一答 l-03】平行と合同 1 つの内角→正多角形

１次の問いに答えなさい。 (1) 十一角形の内角の和を求めよ。

(

)

180 n−2 に当てはめる 180 11 2

(

−

)

＝1620 (2) 九角形の外角の和を求めよ。 (1) 1620 ° (2) 360°

□

2 _{次の問いに答えなさい。} (1) 内角の和が 720°である多角形は何角形か。 n角形のnが問われている。

(

)

180 n− =2 720の方程式を解けばよい。 (2) 1 つの内角の大きさが 144°であるのは，正何角形か。正n角形のnが問われている。 180

₍

n− =2

₎

144nの方程式を解けばよい。あるいは 180-144 360÷36＝10 ＝36 (3) 1 つの外角の大きさが 72°であるのは，正何角形か。正n角形のnが問われている。外角の和は，何角形でも 360°なので 360÷72 ＝5 (1) 六角形 (2) 正十角形 (3) 正五角形１次の問いに答えなさい。 (1) 正八角形の 1 つの内角の大きさを求めよ。 180

₍

n−2

₎

180(8-2) 1080÷8＝135 ＝180×6 ＝1080 (2) 正六角形の 1 つの外角の大きさを求めよ。３６０÷６＝６０ (1) 135° (2) 60°

(28)

【一問一答 l-04】平行と合同対頂角

【一問一答 l-05】平行と合同平行線の同位角／錯角

【一問一答 l-06】平行と合同平行線の間の角

１次の図で，

∠x

の値を求めなさい。 (1) (2)

(1) ∠ =x 45° (2) ∠ =x 60° ２次の図で，ℓ

_{// m}

のとき、

∠ ∠

x y

,

２次の図で，ℓ

_{// m}

のとき、

∠ ∠

x y

,

(1) 58° x ∠ = 122° y ∠ = (2) 104° x ∠ = 85° y ∠ = (1) ∠ =x 86° (2) ∠ =x 70°

(29)

0

28 【一問一答 l-07】平行と合同二等分線と角

【一問一答 l-08】平行と合同ブーメラン型

【一問一答 l-09】平行と合同三角形の合同条件

□

2 次の図で、∠

x

の大きさを求めなさい。 (1) (2) (3) 15° 18°

□

1 _{次の図で、∠}

x

の大きさを求めなさい。 (1) (2) (1) 80 (2) 124

x

30°

x

25° 40° (1) 138 (2) 106 (3) 82

□

1 _{三角形の合同条件を３つ答えよ。} (1) ３組の辺がそれぞれ等しい (2) ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい (3) 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

(30)

【一問一答 l-10】平行と合同三角形の合同証明 1

【一問一答 l-11】平行と合同三角形の合同証明 2

Α

Ｃ

Ｏ

ＤＢ

□

3 _{AO＝BO、AC //DB のとき、△AOC≡△BOD を証明せよ。} （証明） AOC と△BOD において AO＝BO（仮定）・・・① ∠AOC＝∠BOD(対頂角)・・・② ∠CAO＝∠DBO(平行線の錯角)・・・③ ①、②、③より 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、 AOC≡△BOD となるよって、対応する辺は等しいので、 AC＝BD となる 1_{∠ABC の二等分線上に点 D をとり、AB＝CB とするとき、} △ABD≡△CBD となることを証明せよ。（証明） ABD と△CBD において AB＝CB（仮定）・・・① ∠ABD＝∠CBD(仮定)・・・② BD＝BD(共通)・・・③ ①、②、③より２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 △ABD≡△CBD となる

Α

Ｄ

ＢＣ

Microsoft Word - 中2数学解答【一問一答i〜n】.doc.pdf

中学

２

年生

数学

問題集

L 平行と合同

L 平行と合同

c 文字式(24)

c 文字式(24)

c 文字式(24)

c 文字式(24)

c 文字式(24)

i∼n 一問一答(78)

【i】式の計算(12) P.1∼5

【j】連立方程式(17) P.6∼11

【k】１次関数 (25) P.12∼25

【l】平行と合同(13) P.26∼30

【m】三角形と四角形 (7) P.31∼34

【n】確率(4) P.35∼36

【一問一答 i-01】式の計算 単項式の乗除

【一問一答 i-02】式の計算 多項式の加減(整数)

□

1 次の計算をしなさい。

1

2

xy

⎛

−

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

( )

ab

× −

a b

−

3

x y

× −

(

4

x y

)

1

4

x y

=

= −

a b

=

12x y

a

÷

a

6

xy

÷

6

xy

3a b

÷ −

( )

a b

a

aaaa

aaa

a

a

=

=

=

=

6xy

6xy

=

1

3

【一問一答 i-01】式の計算単項式の乗除

【一問一答 i-02】式の計算多項式の加減(整数)

₋

₋

₃

_{x y}

_{× −}

₄

_{x y}

_{= −}

_{a b}

₌

_{12x y}

_a

_÷

_a

₆

_xy

_÷

₆

_xy

_{3a b}

_{÷ −}

_{a b}

₂

₄

_⎜

_⎟

₋

_{a b}