Microsoft Word - 1.2全反射.doc

3.光の反射と屈折 35 1.2 全反射 全反射 普通に三角関数を理解しているものには 不思議な現象。 Optical Fiber はこのメカニズムで伝える 透過波・・・ n1＞n2のときに、入射角θ1を とすると、 このような入射角は存在する。 すると、スネルの法則より なので スネルの法則 z θ1 x θ2 n2 n1 φ ( ) 2 2 2 cos sin 2 2 2 2 2

sin

k

v

e

E

E

t i x z z

=

=

−

=

− +

ω

β

θ

β θ θ

r

実数であれば単に振動モードで あるが、複素数であると振幅は符 号によって減衰か成長する 吸収があると透過光 は減少する （吸収は考えない） 波長の逆数 1 2 sin n n c=

θ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ≥ − 1 2 1 2 1 1 sin sin n n n n c c

θ

θ

θ

( )

1 sin sin 1 2 1> = ≤ n n c

θ

θ

1 =≤ in n n n c v₂～ ～ + 全反射 ブリュ－スター角 n1 > n2のときには必ず存在する n1 < n2のときには存在しない θ2 θc

(

c

)

n n n n n n

θ

θ

θ

θ

θ

_{= → = = =} 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 _{sin 1} sin sin c

θ

θ

sin sin ₁> 1 sin sin 1 2 1 2 > ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = n n

θ

θ

●条件 ①第 2 相の屈折率 n2が n1より小 ②入射角θ1がθcよりも大 1 2 2 1 sin sin n n =

θ

θ

なので

θ

θ

1≥ 1 2 1 sin n n c − =

θ

2 1 sin sin 2 1 2 2

π

θ

θ

θ

= = = n n c 3.光の反射と屈折 36 となる。すなわちθ2は実数として存在しない角度となる 虚数（or 複素数）となる。 全反射という。 そこで を考えよう。θ2は存在しない角度なので、この式からθ2を 消去して、実数であるθ1だけの表示にしよう。 まず、θ2は複素数なので cosθ2を複素数として とおく。すると、 つまり、 とおくと、 は、 が境界面上を x 方向に進む波 iq p− = 2 cos

θ

z E θ1 z x θ1 ( 2 2) 2 sin cos 2 2

sin

θ θ β

θ

i x z t z

E

e

E

r

=

−

− + 2 cosh cos 2 sinh sin 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ θ θ

θ

θ

θ

θ

− − + = = − = = e e i e e i i i ib a+ = 2

θ

(

)

(

)

iq p e e a i e e a b i a b a ib a ib a ib a e e a i e e a ib a ib a ib a b b b b b b b b − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = ⋅ − = − = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = + = + − − − − 2 sin 2 cos sinh sin cosh cos sin sin cos cos cos 2 cos 2 sin sin cos cos sin sin θ1 z x φ 2

π

= a 2

π

= a θcのとき、 全反射のときの 屈折率は 2／π 0 , 2 p a=

π

－応用物理学第一（電磁波と物質の相互作用）－ 3.光の反射と屈折 を採用して、 減衰振幅 振動・波動 z へ進むにつれて指数関数的に減衰 エバネッセント光 → 光トンネル顕微鏡 減衰距離、あるいは しみ出し距離 トンネル効果へ 光の波長 q は、大体 1 のオーダだから、しみ出す距離は 光の波長程度：λ2 全反射のとき は、境界線を x 方向に伝 搬し、Ⅱ相（z>0）にはλ2の程度しか入らない。 トンネル効果という が全反射 p＝0 となり、q のみが残る トンネル効果―――量子力学 狭いポテンシャル（波の波長よりも狭い）障壁を低いエネルギーの粒子が 突き抜ける現象 光にもこの現象がある：λ2波長レベル 1 2 1 2 sin sin

θ

θ

n n = ( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{⋅ +} − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{⋅ + −} −

−

=

−

=

zp x n n i qz i iq p z x n n i t z

e

e

E

n

n

e

n

n

E

E

i 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 1 2 2 1 sin 1 2 1 2

sin

sin

θ β β θ β

θ

θ

r

2 cosθ z

q

q

/

1

2 2

λ

β

=

=

=

−1 2

β

2

λ

z

Eˆ

θ1 z x φ ib a+ = 2

θ

2

π

= a のとき、 c

θ

のとき c

θ

エネルギーの小さな粒子・・・突き抜ける確率が零とならはい。

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ =

c

ω

β

z=0 z －z qz i

e

−β2 z=0 －応用物理学第一（電磁波と物質の相互作用）－ 3.光の反射と屈折 ●光トンネル顕微鏡などに利用 ∥ 全反射の利用――わずかにしみ込む光を利用する。 屈折率の差があるとその分だけ透過する光の強度が違う ●問題１５． 屈折角θ2が と複素数とすると、cosθ2 が と複素数で表せることを 証明せよ。そのときに、p,q を a,b で表せ。 λ → λ2よりも小さくすると B へしみ出ていく光強 度が増加する。 プリズムを使った 光スプリッタ―（分割器） n1 n1 ib a+ = 2

θ

cos

θ

2=p−iq n1 n1 A B n2

３.光の反射と屈折 39 1.3 複屈折と屈折率 A．非等方性媒質 前までの議論は、すべて等方性媒質と呼び、電気ベクトル（偏光）や進行方向が伝搬特性に無 関係と考えてきた。しかし、結晶や液晶では原子の並び方が方向によって異なる。このため、誘 電率や分極の大きさを変える。（依存性がある）。 Maxwell equation は、真空中として で考えたが一般に電束は、 電束密度 分極 この傾きよりの大きさが 分極である 例： 等方的であればこのようになる。しかし、一般に等方的ではなく、 x 方向に加わった電場に対して、y, z の分極が生じる。 テンソル表示する。 すなわち、 となる。行列表示すると とかける。一般に対角化されて、 となる。この対角方向を電気的主軸と呼ぶ。 0 0,

μ

ε

P E E Dv=

ε

v=

ε

₀v+v

○

＋

_○

－ Ex＝0 電子雲 核

○

＋

_○

－ x

○

＋

○

－ Ex ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x E E E D D D

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

z zz y zy x zx z z yz y yy x yx y z xz y xy x xx x E E E D E E E D E E E D

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+ + = + + = + + = E Dv=

ε

ˆv ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x z y x z y x E E E D D D

ε

ε

ε

0 0 0 0 0 0 ガラスや気体、液体 ３.光の反射と屈折 40 B．屈折率 均一で透明な物質は、一般に次の三つに分類される。 （１） がすべて等しい。（ ） （2） と が等しく、 が異なる。（ ） （3） がすべて異なる。（ ） （１）→等方性媒質、（ii）、（iii）は一軸性、二軸性と呼ぶ 屈折率を で定義する。 （真空に対する相対屈折率） このような異方性媒質の光学特性は屈折率楕円体を定義して解析する。 （二軸性） (一軸性) (一軸性) n0 →正常光線に対する屈折率 ne →異常光線に対する屈折率 z y x

ε

ε

ε

, ,

ε

_x =

ε

_y =

ε

_z y

ε

x

ε

ε

z

ε

x =

ε

y ≠

ε

z z y x

ε

ε

ε

, ,

ε

_x ≠

ε

_y ≠

ε

_z n = 0

ε

ε

1 2 2 2 2 2 2 = + + z y x n z n y n x 1 1 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + e z x x n z n y n x n z n y n x 0 2 0 2 0

ε

ε

ε

ε

z e x n n = = x x n c v = Z 軸：光軸 屈折面が等価 球 y x 1 0 2 0 2 0 2 = + + n z n y n x どの方向も屈折率は n0一定 x n y n

－応用物理学第一（電磁波と物質の相互作用）－ ３.光の反射と屈折 1.4 複屈折と結晶 光軸 ｚ n0 →全方向で同じ屈折率 ne →方向による 異常光線・・・光軸と入射光のなす面内に電気ベクトルが振動する光線 正常光線・・・光軸と入射光のなす面に垂直に振動する光線 偏光方向の異なった光の速度が異なる → これによって二重に字が見える。 （方解石など） 複屈折 （１） 複屈折の応用 ①ウォラストンプリズム ①②の器材 → 偏光を作るため ③1/4 波長板 → 偏光状態を変更するため ②ニコルプリズム カナダバルサム（透明接着剤）：n＝1.53 ●常光線は全反射し 黒色に吸収される ●異常光線のみが取り出される →直線偏光を取り出す

n

e n0 n0 z x e e n c v n c v = = 0 0 光軸 v0 ve 0 n n_e≤ ← 負の場合 n が大きい方が よく屈折する ne 0 n n_e≥ ← z z ne 68° 22° n0 異常 常 黒色塗料 異常光線 方解石 n0＝1.66 ne＝1.49 －応用物理学第一（電磁波と物質の相互作用）－ ３.光の反射と屈折 ③１／４波長板 結晶内での速度は Ex Ez なので、各々の間の波長のズレδ´（位相差）は、l だけ進 むと波長λに対して より δ＝2πのとき → λ c → λ , のとき円偏光となる。 は、光の波長 をλとすると、λ/4 に相当するそこで、 ４分の１波長板という、直→円偏光を作る 直→円偏光 円→直偏光 大きな複屈折だと薄くて済む。 応用 ↑0.5μ×π／2×0.1＝7.5mm ●問題１６． １／２波長板は、光の偏光状態にどのような役割を演じるのか述べよ。 （２） 直交ニコルと光の透過 入射光が常に x と y の二つの直線偏光に分解できるものとする。入射側にポラライザーP、出力側に アナライザーA をある角度αとα´でおく。 P A：β ポラライザーを通過した入射光の x と y 成分を とかける。これは、さらに A を通過すると , , 0 0 e e n c v n c v = = e e e e n n l l n n c l k l k v l v l − = − = − = − = ′ 0 0 0 0

λ

ω

ω

δ

ωは一定、 波長が変わる c

ω

λ

= n0 ne l z 軸 （光学軸） λ 直接これ 0 0 v k =

ω

e e v k =

ω

0 0 k k v v e e < > c ω λ= 2

π

δ

′= 2

π

δ

′= 4 / λ 2 π π 2 3

π

π

δ

′

λ

n l Δ = ′

λ

δ

e n n n= − Δ ₀ δ´ は 波 長 の ズレ比 n l Δ = 2

πλ

α

α

sin cos ⋅ = ⋅ = E E E E y x α _α´ Ey y β Ex x P A 入射光 A P

３.光の反射と屈折 43 で与えられる。 通常のクロスにセットすると、 で全く光は透過してこない。 応用 P と A の間に結晶を入れることにする。この結晶によって、複屈折が生じ位相差δが生まれる。 これによって Eyは元々 だけ Exと Eyの間の位相がずれる。 透過してくる光はこれらのベクトル和となる。 透過光強度 より、 として整理すると

(

)

(

)

(

α

β

)

α

(

α

β

)

α

β

α

α

β

α

α

− = − = ′ = − = − = ′ = sin sin sin sin cos cos cos cos E E E E E E E E y y A y x x A x 直角 0 , 0 , 2 , 0 , 2 ′= = = = = A y A x E E

π

β

α

π

α

n d Δ − = 0 2

λ

π

δ

Δn= n0−ne δ i y y x x e E E E E → → iδ x y E e E ; 2 π i x y Ee E ～ 0

λ

d 結晶 A P A y A x T

E

E

E

= + 2 T t I∝

E

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

{

}

2 sin 2 1 cos cos sin cos sin cos 2 sin sin cos cos cos 2 sin cos cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

δ

δ

δ

β

α

β

α

α

α

β

α

α

β

α

α

δ

δ

δ

δ

δ

δ

− = − − + − ⋅ + − ⋅ = + + = + + + = + + = E A y A x A y A x A y A y A y A x A x A y A y A x T

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

(

)

(

)

2 sin 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 sin cos 2 sin 2 sin 2 sin cos 2 2 0 2 2 0 2 2 2

δ

α

π

β

δ

β

α

α

β

δ

β

α

α

β

I I I E I t t = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{− −} = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{− −} ∝ とすると（クロスポラライザー）

E

~T×

H

~T*

E

T2 t i

e

ω まで含む ～ 係数あり c

ε

0 だけ異なる T T c H * ～

ε

₀

E

A x

E

T

E

A y

E

δ

cos A y

E

δ

こうすると (PとAがない場合のExを位相の基準にすると) ３.光の反射と屈折 44 αは結晶の光軸とポラライザーとの角度である。 とすると、結晶の位相変化のみを測定できる。 液晶表示器 ｉ)αを電界で変化 → TN 型セル ｉｉ)δを電界で変化 → 複屈折型セル 液晶における ――― 電気力学効果 ●問題１７． ニコルプリズムに正常と異常光線が入射されると、異常光線のみが通過して出てくる。このとき次の 問いに答えよ。ただし、プリズムは双方とも方解石でできており、平行四辺形に組み合わせている。 その正常光線に対する屈折率は、n0＝1.66、異常光線に対しては、ne＝1.49 である。また、２つの方 解石を接着している接着剤はカナダバルサムで、その光学的性質は等方的であり、屈折率 n＝1.53 である。なおθ₁＝68°で光線は底辺 A に平行に入射するものとする。 （１）プリズム中に正常と異常光線の通過する光路をえがき、各々の角度を求めよ。 （２）θ2の角度を求めよ。 （３）同じ条件でカナダバルサムを使わず、また接着せずに n＝1.0 の空気の層を２つのプリズムの間 に作ると光線はどのように進むか。 ●問題１８． 図のような平行光線が、屈折率が z 方向に一定の屈折率勾配をもつ結晶に入射された。結晶から出 射する光線の進む方向（曲がる角度θ）を計算せよ。ただし、屈折率は A－A’(z=0)では nA 、B－B’ 面(z=D)で nBとし、x 方向の屈折率変化はない。 nB：屈折率 at B－B’ nA：屈折率 at A－A’ 4

π

α

= 2 sin2 0

δ

I I_t= 外力によって生じた ＋電界や磁界、力学的な力 θ1 θ2 a A A’ θ A B’ B v0 D 等波面 l x z

－応用物理学第一（電磁波と物質の相互作用）－ ３.光の反射と屈折 ●問題１９． 次のような電気光学特性をもつ結晶プリズムに電界 Eex（＞0）を印加したうえで光を入射した。プリズ ムから出射してくる透過光の方向として正しいものを選び、その角度θを計算せよ。ただし、a は正の 数とする。 ●問題２０． 全反射とは何か現象を具体的に説明し、一体それが数理的にはどのような意味をもつ現象であるか、 また波動として物理的にどのようなことが起こっているのか説明するとともに、全反射を利用した応用 例をあげよ。