試験問題

(1)

〔注意事項〕 ．監督者の指示があるまで，この冊子と解答用紙を開いてはいけません。．この冊子の問題はページからなっています。また，解答用紙は枚，下書用紙は枚あります。監督者から解答開始の合図があったら，この冊子，解答用紙を確認し，落丁・乱丁および印刷の不鮮明な箇所などがあれば，手をあげて監督者に知らせなさい。 ．解答用紙には，受験番号を記入する欄がそれぞれ箇所ずつあります。監督者の指示 に従って，すべての解答用紙（合計枚）の受験番号欄（合計箇所）に受験番号を必ず 記入しなさい。 ．この冊子の白紙と余白は，適宜計算などに使用してよい。 ．解答は，必ず別紙「物理解答用紙」の指定された場所（問題番号や設問の番号・記号な どが対応する解答欄の中）に記入しなさい。その際，特に要求されていなければ，途 中の計算式などを書かずに，問いに対する答えのみを記入しなさい。 ．解答用紙の欄外や裏面には何も記入しないこと。．下書用紙への記入の有無・内容は自由です。．解答用紙は，持ち帰ってはいけません。．この冊子および下書用紙は，持ち帰りなさい。平成 年度（後期日程） 入学者選抜学力検査問題

物

理

（分）

(2)

Ⅰ

水平な円盤の上面にある物体の運動を考える。円盤中心 O からの距離を r とするとき， ≦ r ≦ R の範囲はなめらかな面で，r ＞ R の範囲は粗い面とする。 円盤が静止しているとき，図のように，O から小物体 A を速さ V で円盤半径方向に発射 した。A は r ＝ R （＞ R ）の地点で静止した。A と粗い面との間の動摩擦係数は一定で μ′ とし，重力加速度の大きさを g とする。 （）このときの V を求めよ。 （） A が発射されてから静止するまでの時間を V ，R ，μ′，g のみを用いて表せ。 次に，r ＝ R の位置に小物体 B を固定し，円盤を上方から見て反時計回りに一定の角速度 ω で回転させた。 （） B の質量を M とするとき，B が受ける向心力の大きさを求めよ。 さらに，図のように，O から小物体 A を速さ V ′で小物体 B に向かって発射した。A が r＝ R の地点に到達するまでに円盤は角度 θ だけ回転した。 （） θ を R ，V ′，ω のみを用いて表せ。 （） A は r ＝ R の地点に到達しても B と衝突せず，B から距離 L だけ離れていた。L を R ，V ′，ω のみを用いて表せ。θ は十分に小さく，sin θ ≒ θ と近似できる。 このとき，O にいて円盤とともに回転している観測者からは，小物体 A が，小物体 B の向 きに垂直な見かけの力 F を受けたために B と衝突しなかったように見える。この見かけの力 は一定でコリオリの力とよばれる。 （） A の質量が m であるとき，F の大きさを m，V ′，ω を用いて表せ。 （）観測者から見た A の軌跡はどのようなグラフになるか。図の（ア）∼（カ）から最も適切 なものをつ選択せよ。ただし，観測者から見て B の向きを x 軸の正の向き，その向きに 対して垂直左向きを y 軸の正の向きとする。 （配点率％）

(3)

粗い面なめらかな面小物体 A O 1 小物体 A 小物体 B O ′ 1 O O O O O O 図図（ア）（イ）（ウ）（エ）（オ）（カ）図

(4)

Ⅱ

複数のコイルからなる回路において，全体としての自己インダクタンス（合成インダクタンス） を求める方法を考える。図に，自己インダクタンス L ，L のつのコイルからなる直列お よび並列回路を示す。コイル L ，L および回路全体にかかる交流電圧をそれぞれ v（ t ），

v（ t ），v（ t ），流れる交流電流を i（ t ），i（ t ），i（ t ）とする。ただし，t は時刻を表す。さ らに，時間 Δt の間に，電流 i（ t ），i（ t ），i（ t ）がそれぞれ Δi ，Δi ，Δi だけ変化したと する。

（）下の文中の空欄（ア）∼（ウ）に当てはまる式を L および L を用いて表せ。

図（a）の直列回路では，回路の両端にかかる交流電圧 v（ t ）が L および L にかかる 交流電圧 v（ t ）と v（ t ）の和として表され，電流 i（ t ）が共通に流れるので，

Δi ＝ Δi ＝Δi となり，

v（ t ）＝ v（ t ）＋ v（ t ）＝ L Δi_Δt ＋ L Δi_Δt ＝（ L ＋ L ）Δi_Δt となる。したがって，直列回路の合成インダクタンス L は次式で表される。

L＝ L ＋ L ・・・・・・①

一方，図（b）の並列回路では，全電流は i（ t ）＝ i（ t ）＋ i（ t ）と表され，両端にかか る電圧 v（ t ）は共通で v（ t ）＝ v（ t ）＝ v（ t ）より，L Δi_Δt ＝ L Δi

Δt の関係が得られ

ることから，

Δi

Δt ＝（ア） ΔiΔt ，ΔiΔt ＝（イ） ΔiΔt

となる。その結果，v（ t ）＝（ウ） Δi_Δt となるので，並列回路の合成インダクタンス L は L ＝ L ＋ L ・・・・・・② で表される。以上のように，複数のコイルからなる回路の合成インダクタンスは，複数の抵抗からなる回路の合成抵抗と同様に求めることができる。以下の問いにおいては，合成インダクタンスの関係式 ①，②を必要に応じて使ってよい。（）（）（）（）（） 1 （）1 （）2 （）2 1 2 1 2 （）1 （）1 （）2 （）2

(5)

次に，自己インダクタンス L のコイルおよび電気容量 C のコンデンサーの組み合わせから なる回路を考える。図（a）および（b）はそれぞれ LC 直列回路および LC 並列回路を示している。（）下の文中の空欄（エ）∼（ク）に当てはまる式を記入せよ。 図（a）の LC 直列回路において，コンデンサー C の両端にかかる電圧が v（ t ）＝ VC msinω t（ただし Vm，ω は定数）であると仮定すると，C に流れる電流 i（ t ）はC （エ）と表される。同じ電流 i（ t ）がコイル L に流れることから，L の両端にかかる電C 圧 v（ t ）は（オ）となる。したがって，LC 直列回路の両端にかかる電圧がL v（ t ）＝ vC（ t ）＋ v（ t ）＝L となるのは，角周波数 ω ＝（カ）のときである（以下，こ の角周波数を ω とおく）。このことは，角周波数が ω のとき，LC 直列回路はインピーダ ンスがの状態（以下これを短絡とよぶ）であることを意味する。 一方，図（b）は LC 並列回路であり，L に流れる電流が i（ t ）＝ IL msinω t（ただし Im は定数）であると仮定すると，L の両端にかかる電圧 v（ t ）が C にかかるので，C に流れL る電流 i（ t ）はC （キ）と表せる。したがって，LC 並列回路を流れる全電流が i （ t ）＝ i（ t ）＋ iC （ t ）＝L となるのは，ω ＝ ω のときである。これは，角周波数が ω のとき，LC 並列回路はインピーダンス無限大の状態（以下これを開放とよぶ）であることを意味する。図（a）の LC 直列回路において，コイルの自己インダクタンスを L に変えた場合，角周波数 ω ＝ ω で LC 直列回路のインピーダンスがつまり短絡の状態であるためには，コ ンデンサーの電気容量を（ク）とすればよい。（）（）（）（）（a）（b）（）（）L C L C （）C （）L （）（） C （）（）L 図

(6)

問い（）で説明した考え方に基づいて，図に示すコイルおよびコンデンサーからなる回路が，どのような状態または素子とみなせるかを考える。図（a）の最も左の直列回路において，自己インダクタンス L のコイルは，問い（）の関係式①を用いると，自己インダクタンス L の つのコイルの直列接続とみなすことができる。さらに角周波数 ω ＝ ω のとき，自己インダク タンス L のコイルと電気容量 C のコンデンサーの LC 直列回路が短絡となるので，回路全体 が自己インダクタンス L のコイルとして動作する。 一方，図（b）の最も左の並列回路において，電気容量 C のコンデンサーは，電気容量 C のつのコンデンサーの並列接続とみなすことができる。さらに角周波数 ω ＝ ω のとき，自 己インダクタンス L のコイルと電気容量 C のコンデンサーの LC 並列回路が開放となるので， 回路全体が電気容量 C のコンデンサーとして動作する。 （）角周波数 ω ＝ ω のとき，図（a）∼（c）に示すそれぞれの回路は，どのような状態または 素子とみなせるか，最も適切なものを以下の枠内の選択肢からつ選べ。ただし，選択肢には，コイルの場合は自己インダクタンスを，コンデンサーの場合は電気容量の大きさを示している。（）問い（）で述べた図（b）の LC 並列回路は，角周波数 ω ＝ ω のとき，開放の状態とし て動作した。同じ回路について角周波数を変化させて ω ＝ ! ω または ω ＝ ω ! としたとき，それぞれ回路は，どのような状態あるいは素子とみなせるか，以下の枠内の選択肢から最も適切なものをつ選べ。 開放，短絡， L， L， L， L， L ， L ， L ， C， C， C， C， C ， C ， C （配点率％）

(7)

2 2 同じ動作 2 との直列回路と 2 の並列回路 LC 直列回路 LC 並列回路短絡の場合，同じ動作同じ同じ動作同じ 自己インダク タンス のコイル として動作 電気容量 の コンデンサー として動作 開放（a）（b）の場合，同じ動作 4 2 2 3 2 2 （a）（b）（c）図図（以上）