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北海道大学の問題

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Academic year: 2021

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  数学科の笹谷です.今回は 2019 年度北海道大学の問題にチャレンジしてみましょう.ゴリ押しで解き切る計算力  も必要ですが,うまく工夫して計算を楽にできないか試行錯誤してみてください.

 問題

t を 0 < t < 1 を満たす実数とする. , t 0 1 以外のすべての実数 x で定義された関数 f x = x t x tx ( ) + (1 - )  を考える. (1) f(x) は極大値と極小値を 1 つずつもつことを示せ. (2) f(x) の極大値を与える x の値をa ,極小値を与える x の値を b とし,座標平面上に 2 点 P (a , f(a)) , Q (b , f(b)) をとる.t が 0 < t < 1 を満たしながら変化するとき,線分 PQの中点 M の軌跡を求めよ.

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