梁の曲げ変形2

1

第１２回 梁の曲げ変形 （８章）

• 弾性曲線法

– 微分方程式による解法

• モールの定理による方法（弾性荷重法）

– 応力を求める方法との数学的アナロジー

• その他の方法

– エネルギーを用いた方法（本講義の範囲外）

p.122~

2

たわみとたわみ角

（復習）

弾性曲線または たわみ曲線 たわみ：下向き正

v

dx x





d vdv ＊ただし，微小変形では dx dv  





tan x v C’ C



回転角または たわみ角（時計回りを正） 接線 dx dv θ C’ （ブイ：たわみ）

弾性曲線の基本式

（７章参考：復習）

3





     dA E ydA EI y M 2 中立軸から距離 y のひずみと応力を求める   y dx dx    E Ey      1 M EI      近似的に （下側引張のM を正とするため負号） (7.1)式 (7.2)式 (7.3)式 2 2 d v M EI dx    (8.4)式 2 2 d d v dx dx       (8.3)式 P.129 tan dv dx   より 曲率半径



：曲率 1 _  曲率中心 dx dx dx 中立軸



M

y

x

v

図の三角形の相似則より （曲率とMの関係式） 4

弾性曲線法によるたわみの求め方

（復習）

C

1

、C

2

は境界条件から定める

境界条件 固定端

0

0

≠ 0

ピン

0

≠ 0

0

ローラー

0

≠ 0

0

v v



vM

二回積分

( ) 1 2 1 C x C dx dx x M EI v



 

基本式

EI x M dx v d ( ) 2 2  

一回積分

( ) 1 1 C dx x M EI dx dv_{  }





・・・ たわみ角

たわみ（変形）

x は材軸方向の距離

・・・・・・・・・・・・ 曲率



5

荷重とたわみの関係

EI x M dx v d ( ) 2 2   2 1 ) ( 1 C x C dx dx x M EI v



  1 ) ( 1 C dx x M EI dx dv_{  }





)

(

)

(

)

(

2 2

x

p

dx

x

dQ

dx

x

M

d

_

_

_

3 (3) 3 ( ) d v Q x v EI dx    4 (4) 4 ( ) d v p x v EI dx  

（荷重に関する式：４章参考）

荷重とたわみは・・・

４階微分方程式で結ばれる

1 ) ( ) ( ) ( D dx x p x Q dx x dM _{  }



2 1 ) ( ) (x pxdxdx Dx D M 



  P.121

（たわみの求め方より）

［積分］

［微分］

［ここでは，v のn 階微分をv(n) _と表す］ 6

モールの定理：数学的な共通性

荷重と応力の関係

弾性曲線法

2 2 ( ) d v M x EI dx   1 ) ( 1 C dx x M EI dx dv_{ } 

_

 2 1 ) ( 1 C x C dx dx x M EI v



  M(x) dx x dM x Q( ) () 積 分 () ) ( ) ( 2 2 x p dx x dQ dx x M d _{ } EI x M( ) ) (x p の代わりに を荷重（Z荷重）として応力図を描けば， 曲げモーメントがたわみに，せん断力がたわみ角に相当する 微分方程式を解く代わりに、応力を求める作業をすればよい



Z :Z荷重



微 分 7

モールの定理（手順）

• 荷重により梁に生じた曲げモーメントをEIで除して

仮想荷重と考える

• この仮想荷重に対するある点での

せん断力 ⇒

たわみ角

に相当する

曲げモーメント ⇒

たわみ

に相当する

（例）単純梁の支点のたわみ角：

1 A M EI  _  _   は 図 1 B M EI  _  _   は 図

を仮想荷重と考えたときのA点の支点反力

を仮想荷重と考えたときのB点の支点反力

8

境界条件と

共役梁

（きょうやくばり）

• 微分方程式を解く代わりに等価な応力を求めている

⇒境界条件をあわせた支点とする必要がある

モールの定理の 相当応力 相当する 境界条件 もとの梁の支点 固定端

0

0

ピン・ローラー

0

自由端 v v



0

,

0





e e

Q

M

e

M

Q

e

0

,

0





e e

Q

M

0

,

0





e e

Q

M

0



0



0



9

境界条件と

共役梁

• 微分方程式を解く代わりに等価な応力を求めている

⇒境界条件をあわせた支点とする必要がある

もとの梁 における支点 相当する 境界条件 共役梁 における支点 固定端

0

0

自由端 ピン・ローラー

0

ピン・ローラー 自由端 固定端 v v



0

,

0





e e

Q

M

e

M

Q

e

0

,

0





e e

Q

M

0

,

0





e e

Q

M

0



0



0



（参考） モールの定理における支点条件（１）

10 P.126

（参考） モールの定理における支点条件（２）

11 P.126

◆もとの梁の支持条件

◆共役梁の支持条件

（参考） 分布荷重による全荷重および図心

12 P.129

◆分布荷重形状： n 次式の全荷重および図心位置（一般解）

: 1 h W n    全荷重 2 G X n   図心位置(大きい荷重側からの距離):

13

モールの定理による（弾性荷重法）たわみを求める方法

① 与えられた荷重と与えられた梁に対してM図を描く

［図8.11(a)］

② M を EI で割り、Z 図を描く

［図8.11(b)］

P.126 EI M Z

③ 共役梁を作成し、Z 荷重を載荷する

［図8.11(c)］

④ 共役梁のせん断力 を求めると、得た値が与えられた

もとの梁のたわみ角 となる

［図8.11(d)］

Q 

⑤ 共役梁の曲げモーメント を求めると、得た値が与えら

れたもとの梁のたわみ となる

［図8.11(e)］

M  扱いやすくするためにZ荷重を上から載荷する． 反力の向きが逆になる場合もあるが、後で調整 14

弾性曲線法

の例：片持梁（集中荷重）

境界条件より， xl  v0, v0 P Px x M v EI  () 1 2 2 C Px v EI  2 1 3 6 Cx C Px EIv   , 2 2 1 Pl C  3 3 2 Pl C 



3 2 3



3 2 6 P v x l x l EI     先端のたわみ、たわみ角 3 2 0 , 3 2 Pl Pl x v EI  EI     

演習8.1

P.131 x l Px x M() ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ θ：反時計回り （教科書：EI/ℓ3 _{に比例 ⇒ 誤）} 15

モールの定理による解法例：片持梁

 v l P 自由端のたわみ角とたわみ （時計回りと下向き）

演習8.5の向きを変えている

Pl M ① EI Pl 仮想荷重と共役梁 Z荷重： ZM/EI ② ③ EI Pl e Q 2 2    ④ EI Pl l EI Pl e M v 3 3 2 2 3 2     ⑤ 3 / 2l e Q e M EI Pl 2 2 P.131 16

弾性曲線法

の例：単純梁(集中荷重）

1 2 2lx C Pb EIv  3 2 2 _{( )} 2 2 x a C P x l Pb EIv    ) 0 ( xa ) (axl x l Pb v EI  ) (x a P x l Pb v EI    境界条件 xa で v と v’ は連続（同値） 1 3, 2 4 C C C C   

例題8.2

x l Pb x M()



x a



P x l Pb x M()   l Pb / Pa /l P.118 B 2 1 3 6lx Cx C Pb EIv   ① 4 3 3 3 _{( )} 6 6 x a Cx C P x l Pb EIv     ② C l a _b P x A

モールの定理で解く・・・・

17

弾性荷重法

の例：単純梁(集中荷重）

例題8.3

モールの定理で解く (1)

① 反力を求め、M図を描く ②MをEIで割り、共役梁にZ荷重を載荷する A V VB 1 P P2 作用力 EI b Pa P  2 2 1 EI Pab P  2 2 2 EI Pab  ( ) Pb M x  x





( ) Pb M x  xP xa / Pb Pa/ Pab M B C a _b P 1 x A 2 x 18

弾性荷重法

の例：単純梁(集中荷重）

3 / a b 3 / 2b

例題8.3

モールの定理で解く (2)

A

B

A V VB 1 P P2 作用力 EI b Pa P  2 2 1 EI Pab P  2 2 2 EI Pab  ③ 反力 、 を求める

V

A

V

B ・B点まわりのモーメントの釣合い 0 3 2 3 2 1            P b a P b VA 





2 2 2 3 3 2 6 A Pab a b V a b EI Pab b EI         _  _       



a



EI Pab V P P VB   A   6 2 1 19

弾性荷重法

の例：単純梁(集中荷重）

例題8.3

モールの定理で解く (3)

2 x ④ 梁のせん断力とモーメントを求める すなわち、

A

B

A V B V 1 1x P 1 x A Q A M EI Pbx  1 B Q B M 2 2 x P EI Pax  2     M Q EI Pbx V P V QA A A x A _ 2 2 1 1 1      3 1 1 1 1 x P x V MAA A  x  EI Pax V P V QB B B x B _ 2 2 2 2 2      





EI Pbx x b EI Pab    6 6 3 1 1    3 2 2 2 2 x P x V MBB B  x 





EI Pax x a EI Pab    6 6 3 2 2    2 1 1 1 2 x Pbx P EI  2 2 2 2 2 x Pax P EI  20

弾性荷重法

の例：単純梁(集中荷重）

例題8.3

モールの定理で解く (4)

⑤ A点、B点、載荷点のたわみ角とたわみを 求める １）A点 ２）B点 ３）載荷点



b



EI Pab V x A A      6 ) 0 (1  0  A 



a



EI Pab V x B B    _  6 ) 0 ( 2  0  B  _{反時計回り}















b a



EI Pab a b EI Pab EI Pba b EI Pab a x C   _   _  _    _  3 3 6 2 6 2 1 









EI b Pa a b EI b Pa EI b Pa b EI b Pa C _  _{ }  _ 3 6 6 6 2 2 2 3 2         B C a _b P 1 x A 2 x

21

弾性荷重法

の例：片持梁（端部モーメント）

M 2   EI M 2 2   EI M

4

/



例題8.4

A

EI

C

2EI

B

2 /  /2 A M A V

4

/

3

① M図を描く ② Z荷重を計算する ⇒等分布荷重の面積を部材の断面 剛性で割る ③ 共役梁を作成してZ荷重を載荷 ④ 端部のせん断力とモーメントを求める EI M EI M EI M VA 4 3 4 2       EI M EI M EI M MA 16 5 4 3 4 4 2 2           M MB

ℓ/4

_3ℓ/4

P.127 22

弾性荷重法

の例：片持梁（端部モーメント）

x EI M



x



EI M   2 x  

例題8.4

A M A V x ⑤ 共役梁のせん断力とモーメントを求める



x



EI M EI Mx EI M EI Mx V Qx A 3 4 4 4 3 1 1         EI Mx x V M Mx A A 2 2 1 1     x 1 x Q 1 x M 2 x Q 2 x M EI Mx x EI M EI M 2 4 3 16 5 2 2      



x



EI M Qx    2 2 2 









2 2 2 4 2 2 EI x M x x EI M Mx            ⑥ C点のたわみ角とたわみ



x/2



EI M EI M 4 2 4 3 4 2 1          _{ }    EI M EI M EI M EI M 16 8 8 3 16 5 2 2 2 2 2 1     _{  }     上側に たわむ P.127 23

弾性荷重法

の例：単純梁（端部モーメント）

演習8.4



a A M

A

EI

B

C

A V VB

A

B

C

M 図

A

B

C

A V C V C M EI MA 2  Z 荷重   A B A A M V M V  ,  A M EI M EI M V A A A A 3 3 2 2  _{ }  



B B



A A A A A C C V EI M EI M EI M EI M V V             6 2 3 2     反時計回りの ため（－）となる a EI M a V M A C C C 6     



上側に変形する ため（－）となる

A

A V EI MA 2 

B

B V 簡略化した 共役梁 片持ち梁に荷重が作用しないと モーメントやせん断力が生じない



MB0



ℓ

P.131 ⇒ 24

弾性荷重法

の例：張出し梁(集中荷重）



a EI P

演習8.7

A B C EI 2 A V VB A B C M 図 Pa A B C A V _VC C M Z 荷重 EI Pa 2 EI a P 4  EI Pa 2 2 EI Pa





   a P V Pa VA B     , Z荷重用の共役梁はゲルバー梁となる ゲルバー梁：B点のモーメント=0 B点の左右でつり合い式を立てる EI a P EI a P VA A 12 3 4       EI Pa EI a P V VC C A 2 4 2      



a



EI Pa 3 6   



a



EI Pa a EI Pa a V MC C C 2 6 3 2 2 2         反時計回りの ため（－）となる



MB0



（鉛直方向の釣合）

ℓ

P.131