3次元球形井戸型ポテンシャル中の一粒子量子状態

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1 େҪສلਓ ઐमେֶࣗવՊֶݚڀॴ2 ཁɹࢫɹ̏࣍ݩٿܗҪށܕϙςϯγϟϧʹଋറ͞Εཻͨࢠͷྔࢠঢ়ଶ͸,ྔࢠྗֶͷجຊత ͳ໰୊ͱͯ͠ॏཁͳ໾ׂΛՌ͖ͨͯͨ͠ɻྫ͑͹,ॏਫૉݪࢠ֩(σϡʔςϩϯʣͳͲͷೋཻ ࢠଋറܥͷߏ଄ݚڀʹର͠,ୈҰۙࣅཧ࿦ͱͯ͠Ԡ༻Ͱ͖Δɻ͜ͷ࿦จͰ͸,̏࣍ݩٿܗҪށ ܕϙςϯγϟϧʹัଊ͞ΕཻͨࢠͷଋറΤωϧΪʔΛ਺஋ܭࢉͰٻΊΔࡍʹ༗༻ͱࢥΘΕΔ͍ ͔ͭ͘ͷղੳత݁Ռʹ͍ͭͯ·ͱΊ,ͦΕʹج͍ͮͨ਺஋ܭࢉΛ࣮ࢪͨ݁͠ՌΛൃද͢Δɻ 1. ॹݴ ྔࢠଟମܥͷݚڀ͸ೋମ໰୊͔Β࢝·Δɻ̎ͭͷཻࢠͷؒʹಇ͘࡞༻͕ʮ૬ޓ࡞༻ʯͰ͋Ε͹ ͦͷࣗ༝౓͸ॏ৺ࣗ༝౓ͱ૬ରࣗ༝౓ʹ෼཭͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ֎৔͸ߟ͑ͳ͍ͷͰ, ॏ৺ࣗ༝౓ ͸, ݹయྗֶͰݴ͏ͱ͜Ζͷ׳ੑͷ๏ଇʹै͏ࣗ໌ͳӡಈʹ૬౰͠, ฏ໘೾ͷ೾ಈؔ਺ͱͳΔɻҰ ํ, ૬ରӡಈʹؔͯ͠͸, ׵ࢉ࣭ྔΛ µ ͱද͢ͱ { 2µ∇ℏ2 2+ V (r) } Ψ(r) = EΨ(r), (1) ͱ͍͏ܗͷγϡϨσΟϯΨʔํఔࣜʹΑͬͯهड़͞ΕΔɻ͜͜Ͱ r ͸૬ର࠲ඪϕΫτϧͰ͋Γ, ͦ ͷ௕͞Λ r= |r| ͱද͢ɻ ҪށܕϙςϯγϟϧʹΑͬͯଋറঢ়ଶΛߟ࡯͢Δ৔߹, V (r) = −V0<0 ͱઃఆ͢Δɻ͜ͷͱ͖ ଋറΤωϧΪʔ E ͸໌Β͔ʹෛ஋ΛͱΔ(E < 0)ɻ͜ͷঢ়گͰ, ྔࢠঢ়ଶΛهड़͢Δ೾ಈํఔࣜ Ψ(r) ͸ͲͷΑ͏ͳܗͱͳΓ, ͦΕʹରԠ͢Δ E ͸ͲͷΑ͏ͳ஋ΛͱΔͷ͔ௐ΂Δͷ͕͜ͷ࿦จʹ ͓͚ΔओͨΔ໨తͰ͋Δɻ 2. ̏࣍ݩۃ࠲ඪͷ͓͚ΔεέʔϦϯά 3 ࣍ݩٿܗϙςϯγϟϧΛߟ͑ΔͷͰ, ̏࣍ݩۃ࠲ඪ (r, θ, ϕ) Λಋೖ͢Δͷ͕ศརͰ͋Δɻ೾ಈ ؔ਺Λม਺෼཭ͯ͠ Ψ(r) =u(r) r Ylm(θϕ) (2) ͱද͠, ڑ཭ͷεέʔϧͱͯ͠ r0ͱ͍͏εέʔϧҼࢠΛಋೖ͢Δͱ, γϡϨσΟϯΨʔํఔࣜ͸࣍ ͷΑ͏ʹมܗ͞ΕΔɻ { d2 2 + l(l − 1) ρ2 + (2π) 2(ϵ − υ(ρ))}u(ρ) = 0. (3)

(2)
(3)

ͱͳΔɻ

ϙςϯγϟϧͷڥք(ρ = 1) ʹ͓͚Δ matching ํఔࣜ d log uin(ρ = 1)/dρ = d log uout(ρ = 1)/dρ ͔Β࣍ͷํఔࣜΛಘΔɻ √ ϵ0 υ0− ϵ0tan(2π√υ0− ϵ0) + 1 = 0. (15) ϵ0ʹର͢Δ͜ͷඇઢܗํఔ͕ࣜΤωϧΪʔݻ༗஋ํఔࣜʹ૬౰͢Δɻ͢ͳΘͪ, ̏࣍ݩٿܗҪށܕ ϙςϯγϟϧʹଋറ͞ΕཻͨࢠͷS ೾ঢ়ଶͷ໰୊͸, ͜ͷํఔࣜΛղ͘͜ͱʹؼண͞ΕΔͷͰ͋Δɻ 4. ਺஋ܭࢉ υ0Λύϥϝʔλͱ͠, ݻ༗஋ํఔࣜ (15) Λ਺஋తʹղ͍ͨɻࠓճͷ਺஋ܭࢉͰ͸, ύϥϝʔλ

υ0͸, (υ0)min = 0 ͔Β (υ0)max = 36 ·Ͱ, ࠁΈ෯ ∆υ0 = {(υ0)max− (υ0)min}/104Ͱಈ͔ͨ͠ɻ

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