7．構造物の地震応答理論（6）

7．構造物の地震応答理論（6）

7-1

  地震力による応答

  地震力による運動方程式は式

(3.2)

で与えられた．

 

m x && + c x & + kx = − m x &&

_G   

(3.2)

x

G

&&

は，地震加速度である．ここで，

x &&

_Gを

g(t)と表すことに

する．したがって，式(3.2)は下記のようになる．

 

mx cx && + + & kx = − mg t ( )

   

(7.1)

地震力はおもりの（−質量×加速度）であり，加速度は地 震計で記録される．現在の地震計は，ほとんどがデジタル 記録方式であり，0.01秒や

0.005

秒間隔と一定の間隔で記 録される．たとえば，

0.01

秒間隔であると，得られる

g

は，

g(0),g(0.01),g(0.02),g(0.03),･･･

となり，これらはg(t_n

)と表すことができる．ここで，

t

n

= n

^⊿

t

であり，⊿

t

は，記録間隔である．さらに，これを簡 単にg_nと表すこともできる．したがって，

nは時間に対応す

る．

  ここでは，もっとも簡単な

x(t)

の求め方を示す．中央差 分法を使えば，

&& & x x ,

は以下のように求まる．

1

2

n n

n

x x

1

x t

+

−

= ∆

&

⁻

(7.2)

1 1

1 1

2

2

n n n n

n n n

n

x x x x

x x x

t t

x t t

+ −

+ −

− − − − +

∆ ∆

= =

∆ ∆

&&

 

(7.3)

ここで，

_{x x x} && &

_n

_,

_n

_,

_nは時刻

t

nにおける加速度，速度，変位であ る．式(7.2)，(7.3)がそれぞれ加速度，速度の次元になって いることを確認すること．速度は微小時間における変位の 変化率であり，加速度は速度の変化率である．したがって，

加速度も，速度も式(7.2)，(7.3)のように変位の変化率で表 される．また，これらは，常に式(7.1)を満たしている．式

(7.1)の両辺をmで割って，(7.2),(7.3)を代入すれば次のよう

になる．

1 1 1 1 2

0 0

2

2 2

2

n n n n n

n

x x x x x

h x

t ω t ω

+

− +

− +

−

−

+ +

∆ ∆ = − g

ⁿ

)

 

(7.3) n=0,1,2,･････

x

₀

=x

_-1

=0 (

g n t ∆

は地震記録であるので既知である．

x

₀

= x

_-1

=0

とす

ると，式(7.3)から

x

₁が求まる．次の

x

₂は

x

₀と今求まった

x

₁ から求まる．これを繰り返すことに，順次

x

_nが求まる．ま た，加速度，速度は，式(7.2)，(7.3)を使うことにより求め ることができる．

補足１：

x x x && &

_n

,

_n

,

_nを求める方法は，中央差分法の他にも た く さ ん あ る ． よ く 使 わ れ て い る 方 法 と し て は ，

Runge-Kutta

法，線形加速度法，

Newmark

のβ法，

Wilson

のθ法などがある．これらの詳しいことは，他の参考書 を勉強すること．なお，上記の中央差分法，

Runge-Kutta

法は陽解法，線形加速度法，Newmarkのβ法， Wilson のθ法は陰解法に属する．陽解法は，現時点の物理量

, ,

n n n

x x x

&& &

は過去の物理量だけで決めるが，陰解法では未

来の物理量を仮定して，過去と未来の物理量が矛盾なく 連続となるように未来の物理量を修正していく方法で ある．一般に，陰解法は，陽解法に比べ，計算量は多い が精度はよい．これは，陽解法は過去だけの物理量しか 使わないため，誤差が蓄積されてしまうためである．陰 解法では，未来の物理量を使うことにより，この誤差を 抑えている．

7-2  応答スペクトルの定義

  応答スペクトルとは，１自由度系の最大応答値を縦軸に，

横軸に固有周期にとって描いた曲線のことである．減衰比

h

は，パラメータとなる．したがって，h が変われば応答 スペクトルの形状は変わる．一般に，h=0.05が使われるこ とが多い．応答スペクトルには，加速度応答スペクトル，

速度応答スペクトル，変位応答スペクトルの３種類がある．

それぞれは，以下の式で定義される．

加速度応答スペクトル:

SA T h ( , )

₀

= max[| && && x + x

_G

|]

速度応答スペクトル:

_{SV T h ( , )}

₀

_{= max[| |] x &}

変位応答スペクトル

: SD T h ( , )

₀

= max[| |] x

ここで， は固有周期，h は減衰比である．｜｜は絶対値 である．加速度応答スペクトルでは絶対加速度をとること に注意すること．

T

0

7-3  応答スペクトルの例

0 5 10 15 20 25 30 35 40

時間 (sec) -800

-400 0 400 800

加速度 (cm/s/s)

max:-725 cm/s/s

図

7-1  2000

年鳥取県西部地震の

K-NET

観測点

TTR007（震央距離：約 13km）で得られた

加速度記録波形の

NS

成分

0 5 10 15 20 25 30 35 40

時間 (sec) -20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

応答速度 (cm/s)

max:-19.1 cm/s

（a）

T

₀

=0.1

秒

0 5 10 15 20 25 30 35 40

時間 (sec) -150

-100 -50 0 50 100 150

応答速度 (cm/s)

max:-127.2 cm/s

（b）

T

₀

=0.5

秒

図

7-2  各固有周期

T0における１自由度系の相対速度

x & (減衰比 h

は

0.05

とする)

(解法：Wilson

のθ法)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 時間 (sec)

-60 -40 -20 0 20 40 60

応答速度 (cm/s) max:54.8 cm/s

（c）

T

₀

=1.0

秒

0 5 10 15 20 25 30 35 40

時間 (sec) -50

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

応答速度 (cm/s)

max:-45.8 cm/s

（d）

_T

₀

=1.5

秒

0 5 10 15 20 25 30 35 40

時間 (sec) -60

-40 -20 0 20 40 60 80

応答速度 (cm/s) max:60.9 cm/s

（e）

_T

₀

=2.0

秒

図

7-2（続き）各固有周期 T

₀における１自由度系の相対速度

x & (減衰比 h

は

0.05

とする)       （解法：Wilsonのθ法）

0 0.5 1 1.5 2 2.5 固有周期 To (sec)

0 20 40 60 80 100 120 140

速度応答スペクトル，SV (cm/s)

19.1 127.2

54.8

45.8

60.9

図

7-3  速度応答スペクトル（ ｈ

＝0.05）

0 0.5 1 1.5 2 2.5

固有周期 To (sec) 0

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

加速度応答スペクトル，SA (cm/s/s)

1413.7 1645.2

217.6

139.7 119.3

図

7-4  加速度応答スペクトル（ ｈ

＝0.05）

0 0.5 1 1.5 2 2.5

固有周期 To (sec) 0

5 10 15 20

変位応答スペクトル，SD (cm)

0.4 10.4

5.5

7.8

12.0

図

7-5

  変位応答スペクトル（

ｈ

＝

0.05

）

補足

K-NET：強震ネットワーク（防災科学技術研究所）のことで，約鉱

区内の約

1000

地点（約

25km間隔）で地震観測が行われている．得

られた記録は，インターネット上で公開されている．

2000年鳥取県西部地震：上記で取り上げた地震は，2000年

10

月

6

日に発生した鳥取県西部地震（気象庁マグニチュード

Mj7.3，震源

深さ

11km）である．気象庁マグニチュードに関しては，1995

年兵

庫県南部地震（Mj7.3，震源深さ

14km）と同レベルであり，共に浅

発の内陸直下型の地震である．兵庫県南部地震に比べると，被害規 模は遥かに小さいが，全国の

K-NET

観測点の約

3

割にあたる

304

地点で地震記録が得られている．

非線形性：構造物は大きく変形するとバネ定数と減衰比が変化す る．これを非線形という．

7-4  応答スペクトルの意義

  応答スペクトルは構造物から見た地震動強さを表している．例え ば，図

7-3

から，この地点での地震動は固有周期

0.5

秒の建物がも っとも揺れやすい性質だったことが分る．

7-5

  疑似応答スペクトル

応答スペクトル

SA,SV,SD

は以下の関係にある．

0

2

0 0

SV SD

SA SV SD

ω

ω ω

≈

≈ ≈

 

(7.4)

ここで，ωは角振動数で固有周期 とはω=2π/ の関係に ある．上式を使えば，他への応答スペクトルへ変換できる．

この場合，変換された方の応答スペクトルを疑似応答スペ クトルという．

T0 T₀

地震動強さの指標について 

地震動の強さを表現することは意外と難しい．それは，同 じ地震動入力であっても，構造物の特性によって応答が異 なるからである．一般的に知られている指標は，最大加速 度，最大速度，最大速度，計測震度であろう．その他の指 標としては，SI値（Spectrum Intensity）がある．定義式は，

以下のとおりである．

2.5

0 0

0.1

1 ( , )

SI = 2.4 ∫ SV T h dT

これは，速度応答スペクトルの周期

0.1

秒から

2.5

秒の間 の平均値に対応する．この周期帯に着目している理由は，

多くの構造物がこの周期帯にあるからである．一般に，

h=0.2

が用いられるが，

h=0.05

を用いる場合もある．最大 加速度，最大速度，最大変位，計測震度よりも被害との相 関が高いといわれている．

7-6  例題

2000

年鳥取県西部地震で得られた地震記録（K-net 観測点

TTR007

の

NS

成分）をダウンロー ド（スケジュール表にリンクしてある）し，固有周期１秒，減衰比

h=0.05

の１自由度系の相対 速度を中央差分法を用いて求め，描画せよ．これらは

EXCEL

を使って行うこと．また，図

7-2(c)

と比較せよ．

解答例

1 1 1 1 2

0 0

2 2

2 2

1 1 0 1 1 0

2 2

1 0 0 1 0

2 2 2

0 1

1

( )

2 2

( ) 2

( )

2 ( ) ( )

(1 ) ( ( ) 2) (1 )

( ) ( ( ) 2) (1

n G

n n n n n

n n

n n n n n n n

n n n

n n n

n

g x n t

x x x x x

h x g

t t

t

( )

2

x x x h x x t x t g t

x h t x t x h t

g t x t x h

x

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

+ − + −

+ − + −

+ −

+ −

= ∆

− + −

+ + = −

∆ ∆

∆

− + + − ∆ + ∆ = − ∆

= + ∆ + ∆ − + − ∆

− ∆ − ∆ − − −

=

&&

両辺に をかける．

0 0

1 1

) 1

2

n n

n

t h t

x x

x t

ω ω

+ −

∆ + ∆

= −

& ∆

EXCEL

での作成例はスケジュール表にリンクしてあるの

で，グラフは省略．