中央大学後楽園キャンパス3号館学生食堂の 最適窓口配置の評価

中央大学理工学部情報工学科 卒業論文

中央大学後楽園キャンパス 3 号館学生食堂の 最適窓口配置の評価

入学年度

2000

年 学籍番号 

00D8101002J

水本  剛四郎

Goshiro Mizumoto

指導教員  田口 東 教授

2004

年 3月

目次

第

1

章 序論

... 1

1.1  本研究の背景 ...1

1.2  本論文の構成 ...1

第

2

章

待ち行列

... 2

2.1  Poisson

過程...2

2.2  M/M/1

型の待ち行列

...3

2.3  M/M/S

型の待ち行列

...5

2.4  待ち行列ネットワーク...9

2.4.1  Burke

の定理

...9

2.4.2  直列型の待ち行列...10

2.4.3  並列型の待ち行列...12

2.4.4  Jackson

ネットワーク...14

第

3

章

実測調査

... 15

3.1  データの実測方法...15

3.2 実測データと適合結果...16

3.2.1  定食の窓口 ...16

3.2.2  うどん･そばの窓口...16

3.2.3  ラーメンの窓口 ...17

3.2.4  レジの窓口 ...18

3.2.5  単品の窓口 ...18

3.3  考察 ...19

第

4

章

学生食堂のシミュレーション...20

4.1  Visual SLAM ...20

4.2  学生食堂の待ち行列ネットワーク...21

4.3  シミュレーション方法...22

4.4  シミュレーション結果...23

第

5

章  最適窓口配置

... 27

第

6

章

座席の利用状況

... 33

6.1  シミュレーション方法...33

6.2  現在の利用状況 ...34

6.3  利用者増加後の利用状況 ...36

第

7

章 まとめ

...38

謝辞... 39

参考文献

... 40

あらまし

  現在飲食店は，高級なレストランからリーズナブルな値段で気軽に食べられる定食屋・

ファーストフードまで様々な種類が存在している．

  昼食の時間になると，学生・社会人等は昼休みの時間が限られているため，その時間帯 に集中して飲食店に向かい，店内に人が入りきれずに待ち行列を形成しているのが目に付 く．そして，長い行列が原因で，他の飲食店等で昼食を済ませる者も少なからず存在して いる．本研究の対象場所である中央大学後楽園キャンパス

3

号館学生食堂も同じような状 況である．

  そこで本研究では，混雑のピークの時間帯における待ち行列の混雑の解消法を検討する ために，学生食堂の注文窓口の配置に注目した．入口→注文窓口→レジ→出口というネッ トワーク上を客が移動するモデルにおけるシミュレーション実験を，汎用シミュレーショ ンモデル構築ツール

Visual SLAM

を利用して行い，その結果をもとに，窓口の最適配置を 考案することができた．さらに座席の容量に注目した．座席に座ってから食事をして，食 事が終了したら即座に退席するような座席の利用のシミュレーションを行い，対象時間内 の座席の利用状況を推測することができた．

キーワード：待ち行列，待ち行列ネットワーク，Visual SLAM

第

1

章  はじめに

1.1  本研究の背景

 

2003

年度の初頭に，中央大学の後楽園キャンパスにおいて新棟が建設され，その中には 学生食堂が設置された．現在，学生食堂内は昼休みの時間帯(11時

50

分〜12時

50

分)にお いて混雑のピークを迎え，食事の注文窓口の前には多くの客によって非常に長い待ち行列 が形成されている．そして，客の中にはその長い待ち行列が原因で，学生食堂の利用を諦 め，他の飲食店で昼食を済ませる客も少なからず存在している．また，学生食堂で昼食を 購入した客が座席に座ることのできない場合も多い．これらは，その客だけでなく，学生 食堂の経営者にとっても客の損失に繋がる問題である．

そこで本研究では，昼休みの時間帯を対象時間として，入口→注文窓口→レジ→出口と いうネットワーク上を客が移動するモデルを構築しシミュレーション実験を，汎用シミュ レーションモデル構築ツール

Visual SLAM

を利用して行う．その結果をもとに，待ち行列 の混雑の解消策を考案することと座席に座ってから食事をして，食事が終了したら即座に 退席するような座席の利用のシミュレーションを行い，座席の利用状況を推測することを 目的とする．

1.2

  本論文の構成

  本論文の構成は次のとおりである．まず第

2

章で待ち行列理論についての説明を行い，

次に第

3

章で待ち行列ネットワークについての説明を行う．第

4

章で実測調査の説明を行

い，第

5

章で

Visual  SLAM

の説明とシミュレーション結果の考察を行う．第

6

章では窓

口配置の改善策の考察と座席の利用状況を推測する．

第

2

章  待ち行列

2.1  Poisson

過程

  “電話がかかってくる”，“メールが届く”，“ファックスが届く”などの事象は，ラン ダムに起きる．ランダムに事象が起きる確率過程モデルとして

Poisson

過程がある．

 

Poisson

過程は、次の条件に従って事象が発生するモデルである．

    １

.

（独立性）事象が起きるのはたがいに独立である．

    ２

.

（定常性）事象が起きる確率はどの時間帯でも同じである．

    ３

.

（希少性）微小時間

∆ t

の間にその事象が

2

回以上起きる確率は

0

である．

      （微小時間

∆ t

の間にその事象が起きる確率を

λ ∆ t

とする．）

  時間間隔

( ^{0 , t} ]

の中で，事象が 回起きる確率を

k p

_k

( ) t

^とする．

k

^＝

0,1,2,

…とすると

Poisson

過程は以下の式になる．

( ) ( )

^{k t}

k

e

k t t

p ₌ λ

₋

^λ

! ^(2.1)

（

2.1

）式の導出には事象が 回中 回起きるとする二項分布は

n k

( )

^{n k}

k k

n

C p 1 − p

⁻  

k = 0 , 1 , L , n , p > 0 , q > 0 , p + q = 1 ^(2.2)

となり，

(2.2)

式を用いる．

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

^{n k}

k n k k

k n k n

p k p

p kp np p

np np

p k p

k n n

p n p C

−

− −

− + −

−

×

⋅⋅

⋅

×

−

= ×

+ −

−

×

⋅⋅

⋅

×

−

= ×

−

1

! 1

) 1

! (

1 1 1

) 1 ,

0 , 0 , , , 1 , 0

( k = L n p > q > p + q =

ここで，

np → r

^，

( n → ∞ )

の時

( 1 − p )

ⁿ

→ e

^−r，

( n → ∞ )

なので

( )

^{n k k r}

k

n k

e

k p r

p

C

^{− −}

∞

→

− =

1 !

lim

_n

(2.3)

が得られ，これを

Poisson

の定理という．

Poisson

分布が二項分布の極限として得られ る．

  この

Poisson

の定理を用いて，時間間隔

( ^{0 , t} ]

の中で事象が 回起きる確率が

k Poisson

分布になることを以下に示す．時間間隔

∆ t = t / n

の間に事象が起きる確率は

λ ∆ t

となり，

起きない確率は

1 ₋ λ _{∆ t}

となる．すると

p = λ ∆ t

^{となるので，}

n t n t np

r = = λ = λ (2.4)

となり，

(2.3)

式に

(2.4)

式を代入すると

(2.1)

式になる．

2.2  M/M/1

型の待ち行列

 

M/M/1

型の待ち行列とは，窓口の数が

1

つ，客の到着が独立で同一の到着率

λ

の

Poisson

分布，窓口におけるサービス時間も独立で同一の指数分布に従う待ち行列モデ

ルである．窓口の単位時間あたりのサービス率を

µ

とすると，平均のサービス時間は

µ /

1

となる．

・・・・・

到着率

λ

サービス

µ

図

2.1

 

M/M/1

型の待ち行列のモデル

 

M/M/1

型の待ち行列の処理の能力は，単位時間あたりμ人である．よって単位時間

あたりの客の到着人数

λ

^が，

µ λ <

であるならば，これを平衡状態という．また

(2.5)

式で表される

ρ

^{を占有率という．}

µ

ρ = λ (2.5)

< 1

ρ

ならば来客数の方が多くなり，窓口の処理が間に合わない状態になるので待ち行 列システムが発散してしまう．

客の到着とサービスの確率について以下に述べる．単位時間の時間幅は

∆ t = 1 / N

と する．

_{∆ t}

の間に客が

1

人到着する確率は，単位時間に平均

λ

人の客が到着することか ら

λ / N

^{人，つまり}

λ ∆ t

である．客

1

人が到着する確率は

λ ∆ t

となり，

1

人も到着しない 確率は

1 − λ ∆ t

となる．サービスについても同様である．

1

人のサービスが終了する確率 は

µ ∆ t

となり，1人のサービスが終了しない確率は

1 − µ ∆ t

となる．

  待ち行列システムにいる客の数が

n

人である確率を求める．待ち行列システムに客が

n

^{人いる確率を}

p

_n

(t )

^と表す．

p

_n

(t )

^は，

1 ) (

0

∑

^∞

=

=

t p

n n

となる．

  待ち行列システム内の人数における状態確率について述べる．

時刻

t + ∆ t

で待ち行列システム内に客がいない場合は，次の

2

つの可能性が考えられ る．

      （１）

∆ t

の間でシステム内に客がいなくて，1人も到着しない場合

( ^t )

t

p

₀

( ) 1 − λ ∆ (2.6)

      （２）

∆ _t

の間でシステム内に

1

人客がいたが，サービスが終了した場合

t

t

p

₁

( ) µ ∆ (2.7)

待ち行列システム内に

1

人もいない確率は，

(2.6)

式と

(2.7)

式の和で表せるので

( ^t ) ^{p t t}

t p t

p

₀

( ) =

₀

( ) 1 − λ ∆ +

₁

( ) µ ∆ (2.8)

のようになる．

系内人数は時間とともに変化するが，系内人数が 人である確率 が変化しない 状態を定常状態という．定常状態においては時間が経過しても確率は変化しないことか ら ， と表す．平衡状態となると，定常状態が存在するので

(2.8)

式を整理すると

k p

_k

(t )

n

n

t t p

p ( + ∆ ) = p

_n

( t ) = p

_n

0

1

p

p µ

= λ (2.9)

となる．これを平衡方程式という．

時刻 で待ち行列システムに客が

n

人いる場合は，次の

3

つの可能性が考えられ る．

t t + ∆

      （１）客が

n

^人おり，

_{∆ t}

の間に客が到着せず，サービスが終了しない場合

( t )( t ) p t { ( ) t }

t

p

_n

( ) 1 − λ ∆ 1 − µ ∆ ≈

_n

( ) 1 − λ + µ ∆ (2.10)

      （２）客が

n − 1

人おり，

∆ t

の間に客が到着し，サービスが終了しない場合

( ^t ) ^{p t t}

t t

p

_n−1

( ) λ ∆ 1 − µ ∆ ≈

_n−1

( ) λ ∆ (2.11)

      （３）客が

n + 1

^人おり，

∆ t

の間に客が到着せず，サービスが終了する場合

( ^t ) ^{p t t}

t t

p

_n+1

( ) µ ∆ 1 − λ ∆ ≈

_n+1

( ) µ ∆ (2.12)

時刻

t + ∆ t

で待ち行列システムに客が 人いる確率は，

n (2.10)

〜

(2.12)

式の和で表せる．

= ) (t

p

_n

^p

n

( ^t ) { 1 − ( λ + µ ) ∆ ^t }

^＋

p

_n−1

( t ) λ ∆ t

^＋

p

_n+1

( t ) µ ∆ t (2.13)

定常状態が存在することにより，

(2.13)

式を整理すると

( )

₁

0

1

− + +

₊

=

− n n

n

p p

p λ µ µ

λ

   

( n ≥ 1 )

となる．さらに整理すると

1

ρ

=

_n−

n

p

p (2.14)

となる．

(2.9)

式より待ち行列システムにいる人数を

1

→ まで増やしていくと

n

n

n

p

p =

₀

ρ

   

( n ≥ 0 ) (2.15)

が求められる．

(2.15)式を用いて，到着したらすぐにサービスが受けられる確率

を求 めると，

p

0

∑

∑

^∞

=

∞

=

− =

=

=

0

0 0

0

1 1

n n

n

p p

p ρ ρ

( − ρ )

= 1 p

0

となる．到着してもすぐにサービスが受けられない確率

_p

_nは

( )

ⁿ

p

n

= 1 − ρ ρ

となる．

M/M/1

型の平均的な振る舞いは以下に示す．

待ち行列システムの平均系内人数 は

L

∑

^∞

=

= −

=

0

1

n

np

n

L ρ

ρ (2.16)

となり，待ち行列システムの平均系内時間

W

はリトルの公式

W

L = λ

   

を用いると

λ µ λ = −

= L 1

W _(2.17)

となる．また，待ち行列システムの待ち行列長さの平均

L

_qは

∑

^∞

=

− = −

=

0

2

) 1 1 (

n

n

q

n p

L ρ

ρ (2.18)

となり，待ち行列システムの待ち時間の平均

_W

_qはリトルの公式より

λ

µ ρ λ = −

=

^q

q

W L (2.19)

となる．

2.3

 

M/M/S

型の待ち行列

M/M/

型の待ち行列は，

2.2

節の

M/M/1

型の待ち行列を基本としている．

M/M/1

型 の待ち行列は窓口が１つであるのに対して，

M/M/

型では窓口の数が最大 個存在す る．各窓口で

1

人ずつがサービスを受けている状態ならば，待ち行列を作らなければな らない．

S

S S

 

M/M/1

型と同じように，客の到着が到着率

λ

^の

Poisson

分布で，サービス率

µ

^の指

数分布に従う．

S

を窓口の数とする．

µ

サービス 到着率

λ

^{・・・・・}

・・・

・・・・・

サービス

図

2.3

 

M/M/ S

型の待ち行列のモデル

M/M/

型の待ち行列システムのサービス能力は，窓口１つあたりのサービスの平均 時間が

S / µ

1

となるから，単位時間あたり

S µ

人となる．従って単位時間の客の到着率

λ

が

µ λ < S

であるならば，平衡状態という．占有率は，

µ ρ λ

= S

となる．

  時刻 で待ち行列システム内に客が 人いるときを考える．客が 人いる場合は 次の

3

つの可能性が考えられる．

t

t + ∆ n n

（１） 客が 人おり の間に客が到着せず，サービスが終了しない場合で，客が の範囲の人数ならば，

n ∆ t

1 1 ≤ n ≤ S −

) 1

)(

( t t n t

p

_n

− λ ∆ − µ ∆ ( 1 ≤ n ≤ S − 1 ) (2.20)

となり，客が

S ≤ n

の範囲の人数ならば

) 1

)(

( t t S t

p

_n

− λ ∆ − µ ∆ ( S ≤ n ) (2.21)

となる．

（２）客が

n − 1

人おり

∆ t

の間に客が１人到着し，サービスが終了しない場合

t

t

p

_n−1

( ) λ ∆ (2.22)

        となる．

  （３）客が 人いて の間に客が到着せず，サービスが終了する場合で，客が の範囲の人数ならば，

+ 1

n ∆ t

1 1 ≤ n ≤ S −

) ) 1 )((

1

( t n t

p

_n+

+ µ ∆ ( 1 ≤ n ≤ S − 1 ) (2.23)

となり，客が

_{S ≤ n}

の範囲の人数ならば

t S t

p

_n+1

( ) µ ∆ ( S ≤ n ) (2.24)

となる．

待ち行列システム内に 人いる確率は，客数が

n 1 ≤ n ≤ S − 1

の範囲の人数ならば，

(2.20)

式，

(2.22)

式，

(2.23)

式の和で表されるので，

= ) (t

p

_n

p

_n

( t )( 1 − λ ∆ t − n µ ∆ t ) + p

_n−1

( t ) λ ∆ t + p

_n+1

( t )(( n + 1 ) µ ∆ t ) (2.25)

となり，客数が の範囲の人数ならば，

(2.21)

式，

(2.22)

式，

(2.24)

式の和で表せる ので，

n S ≤

= ) (t

p

_n

p

_n

( t )( 1 − λ ∆ t − S µ ∆ t ) + p

_n−1

( t ) λ ∆ t + p

_n+1

( t )( S µ ∆ t ) (2.26)

となる．待ち行列システム内の客が

0

人である確率は，

( ^t ) ^{p t t}

t p t

p

₀

( ) =

₀

( ) 1 − λ ∆ +

₁

( ) µ ∆

となり，

(2.7)

式と同様である．平衡状態であると定常状態が存在するので，

(2.25)

式は

) ( λ n µ

p

_n

+ = p

_n−1

λ + p

_n+1

( n + 1 ) µ

 

( 1 ≤ n ≤ S − 1 )

   

(2.27)

となり，

(2.26)

式は

) ( λ S µ

p

_n

+

＝

p

_n−1

λ + p

_n+1

S µ ( S ≤ n ) (2.28)

なり，

(2.7)

式は

t p

p

₀

λ =

₁

µ ∆ (2.29)

となる．

(2.27)

〜

(2.29)

式を平行方程式という．

(2.27)

〜

(2.29)

式を解くと，

) 1 1

!

⁰

( ≤ ≤ −

= p n S

n p a

n n

)

! ( S n

S S p a

_{n S}

n

n

=

₋

≤

となる．ここで

a

^，

p

₀はそれぞれ以下のように定義される．

µ

= λ a

1 1

0

0

! ( 1 )! ( )

− −

=

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

− + −

= ∑

^S

n

S n

a S S

a n

p a

到着した客が初めて待ち行列を作る確率と，

S

個の窓口がすべてふさがっている確率は 等しい．その確率を

G

_Sとすると，

S S n

n S

a p S

S p G

= −

= ∑

^∞

=

となるので，

S

個の窓口がすべてふさがっている確率

G

_Sは

a S

S S a S

a a a

a S

S S a

G

_{S S}

S

S

+ − + −

⋅⋅

⋅⋅

⋅ + + +

= −

₋

! )!

1 (

! 1 2

!

1

2

(2.30)

と求められる．これをアーランの第

2

公式という．

窓口数を決めて

(2.30)

式に代入する．

S =1

の場合：

a a a a a

G =

+ −

= −

1 1 1

1

S =2

の場合：

a a a a a

a a

G = +

+ − +

= −

2 1 2

2

²

2 2

2

S =3

の場合：

₂

3 3

2 3

3

6 4

) 3 ( 2 1 2

) 3 ( 2

a a a a

a a a

a a

G = + +

+ − + +

= −

待ち行列システムの平均待ち時間

L

_qは        

∑

^∞

+

=

−

=

1

) (

S n

n

q

n S p

L

∑

^∞

+

=

−

−

=

1

) ( ) (

S n

S n

p

S

S

n ρ

∑

^∞

=

∂

= ∂

1 n

n

p

S

ρ ρ ρ

1 )

( ρ

ρ ρ ρ

−

∂

= p

_S

∂

)

2

1

( ρ

ρ

= p

_S

−

a S G

_S

a

= − (2.31)

となり，待ち行列システムの平均待ち時間

W

_qはリトルの公式より

) (

1 a G S

W

_q

L

^q _S

= −

= λ µ (2.32)

となる．

待ち行列システムの平均系内時間

_W

は

µ + 1

= W

_q

W (2.33)

となり，待ち行列システムの平均系内人数 はリトルの公式より

L W

L = λ (2.34)

となる．

2.4

  待ち行列ネットワーク

2.4.1

 

Burke

の定理

  健康診断を受けるときには，内科検診・レントゲン・歯科検診などの様々な箇所を回 り，必要な箇所を回り終わると，健康診断が終わる．この場合は，内科検診などの項目 ごとに人が順番を待ってサービスを受けることになる．順番を待ってサービスを受ける という順序は，待ち行列のモデルにあてはまるので，各項目を待ち行列システムとして モデル化する．各項目を節点と考えて，節点をリンクで結ぶと，待ち行列ネットワーク ができる．

2.4

節では，窓口を節点とする．

  到着率が

λ

^の

Poisson

分布で，サービス率が

µ

^{の指数分布に従う}

M/M/1

型の待ち行 列システムが

λ < µ

で平衡状態であるときは，その出力過程は到着率が

λ

^の

Poisson

過 程であることを以下に示す．

・・・・・・

サービス μ

出力過程

λ

到着率

λ

図

2.4

 

Burke

の定理のモデル

M/M/1

型の待ち行列の出力過程は，次の

2

つの可能性が考えられる．

（

1

）  システム内の客の人数が１人以上の時

  現在サービスを受けている客がサービス率

µ

^の

Poisson

分布で出発する．

（

2

）システム内の客の人数が

0

人の時

現在サービスを受けている客がいないので，客が到着するのを待つ．客が到 着すると直ちにサービスを開始し，サービスが終了した客はサービス率

µ

^の

Poisson

分布で出発する．客の到着を待つ時間を表す確率変数を

T

₁として，

客がサービスを受け始めてから，終わって出発するまでの時間を表す確率変 数を

T

₂とする．

T

1と

T

₂を以下のように定義する．

t T T

₁

+

₂

=

s

T

₁

=

，

T

₂

= t − s

(2)

を考慮とすると，次の式が成り立つ．

∫ ⁻

=

^t

p s p t s ds t

p

0

) ( ) ( )

(

   

⁼ ∫

^t

^e

^{− s − t−s}

^ds

0

)

µ

(

λ µ λ

( e

^µt

e

^λt

) µ

λ

λµ

₋

₋

₋

= −

システム内の客の数が

0

となる確率は

1 − λ / µ

^{であるので，}

D

を出発する客の時間間隔 を表す確率変数とすると

t t

t

e e

e t

D

p ^{µ λ} µ ^µ

µ λ µ

λ λµ µ

λ

µ

−

−

−

+

−

−

= −

= ) ( )

(

となる．これを整理すると

( D t ) e

^t

p = = λ

⁻

^λ

を得る．よって出力過程は到着率と同じ

λ

^の

Poisson

分布となる．これを

Burke

の定 理という．

2.4.2  直列型の待ち行列

直列型の待ち行列とは，

M/M/1

型の待ち行列システムを直列接続したものである．

到着率が

λ

^の

Poisson

分布で，節点

i

^{におけるサービス率が} の指数分布に従う．節点

を

2

つとして考える．

µ

i

・・・ ・・・

節点２

µ

2

節点１

µ

1

出力過程

λ

到着率

λ

図

2.5

 

M/M/1

型の直列接続のモデル

節点１が平衡状態になるための条件は である．このとき，節点１は節点２に影 響されないため，

M/M/1

型の理論により

µ

1

λ <

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

1 1

1

) 1

( µ

λ µ

λ

^m

m

N p

となる．

3.1

節で示した通り，

M/M/1

型の出力過程は，節点

1

の待ち行列が定常状態で あるならば

Burke

の定理より到着率が

λ

^の

Poisson

分布となる．

λ < µ

₂ならば，節点

2

も定常状態が存在するので，

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

2 2

2

) 1

( µ

λ µ

λ

ⁿ

n

N p

となる．

M/M/1

型の直列接続の結合分布を考える．節点

1

の系内人数が 人で，節点

2

の系内人数が

n

^{人いる状態確率を} とする．このシステムが平衡状態にあると してその状態方程式は次式で表される．

m )

, ( m n p

) 1 , ( ) 1 , 1 ( ) , 1 ( ) , (

)

_{1 2}

2

1

+ = − + + − + +

+ µ µ p m n λ p m n µ p m n µ p m n

( λ

2

= − + +

+ µ p n µ p n µ p n

λ

(2.35) )

1 , ( ) 0 , 1 ( ) 0 , ( )

( λ + µ

₁

p m = λ p m − + µ

₂

p m (2.36)

) 1 , 0 ( ) 1 , 1 ( ) , 0 ( )

(

_{1 2}

(2.38)

(2.37)

) 1 , 0 ( ) 0 , 0

( µ

₂

λ p =

(2.35)

〜

(2.38)

式までの状態方程式を大域平衡方程式といい，その遷移図を以下に示す

) ,

( m n ( m + 1 , n )

) 1 , 1 ( m + n − µ

2

µ

2

λ

µ

1

) 1 , ( m n +

) 1 , ( m n − )

1 , 1 ( m − n +

) , 1 ( m − n

µ

1

λ

図

2.6

  直列型の待ち行列の状態遷移図

(2.35)

〜

(2.38)

式の解としてつぎのような積形解を仮定する．

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

2 1

1

1 µ

λ µ

F λ

n m

F n m

p ⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2 1

) ,

( µ

λ µ

λ

     

(2.39)

(2.35)

式に

(2.39)

式を代入すると，

1

2 1 2 1

2 1

1 1 2 1

1 2

1

) ( , )

(

+

− +

−

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

+

n m n

m n

m

F F

F n m

p µ

λ µ µ λ µ

λ µ

µ λ µ

λ µ

λ λ µ

µ

λ

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

−

2 2

1

2 1 1

1

1

) , ( )

, ( )

,

( µ

µ λ µ

λ µ µ λ

µ

λ p m n λ p m n p m n

   

) , ( ) , ( ) ,

(

₂

1

p m n µ p m n λ p m n

µ + +

=

     

) , ( ) ( λ + µ

₁

+ µ

₂

p m n

=

     

となり，等式が成り立つ．(2.36)〜(2.38)式も同様になる．よって

) ( ) ( ) ,

( m n p m p n

p =

が成り立つ．

2.4.3  並列型の待ち行列

並列型の待ち行列とは，

M/M/1

型の待ち行列システムを並列接続したものである．

2.4.2

節で述べた直列型の待ち行列と同様で，節点 のサービス率が の指数分布に従

う．並列型の場合は各節点に対して到着率が異なるので節点 に対する到着率を の

Poisson

分布とする．また，節点

i

でサービスを受けて他の節点に行く確率を とし，

他の節点に行かないでそのまま外部に出る確率は とする．

i µ

_i

i λ

_i

p

i

p

i

− 1 1 0 < p

_i

<

とする．節点を

2

つとして考える．

到着率１

λ

1

節点２

µ

2

節点１

µ

1

1 − p

1

・・・・・

p

2

p

1

到着率２

λ

2

1 − p

2

・・・・・

図

2.7

 

M/M/1

型の並列接続のモデル

M/M/1

型の並列接続が無限に長くならず，定常状態が存在する条件を述べる．節点

１に入ってくる客は，節点１に到着した客と節点

2

を経由して節点１に来た客の

2

パタ ーンある． を節点

r

₁

1

の到着率にすると，

2 2 1

1

p r

r = λ +

となり，節点

2

についても同じことが言えるので，

1 1 2

2

p r

r = λ +

となる．よって定常状態の条件は，

r

_i

< µ

_i       

( i =1,2)

となる．占有率ρは

r

_i

/ µ

_iとして

n

n

m

m

p ( , ) = ( 1 − ρ

₁

)( 1 − ρ

₂

) ρ

₁

ρ

₂

で与えられる．これを

Jackson

の定理という．一般的な形は次節で説明する。

2.4.4  Jackson

ネットワーク

Jackson

ネットワークとは，

１． 節点は

M/M/1

型の待ち行列システムである．節点が全部で

K

^個ある．

２． 節点 には外部から到着率

i λ

_i^{での到着がある．}

３． 節点

i

でのサービスを受け終わった客は，節点 から節点 へランダムに確率 で移動する．ネットワークの外部へ出て行く確率は，

i j

) , ( i j p

∑

=

−

=

^K

j

j i p i

q

1

) , ( 1

) (

である．

以上の条件を満たすネットワークのことを言う．

定理

3.1

（

Jackson

の定理）

    節点

j

^{に来る客を}

r

_j^とすると

∑

=

= +

=

^K

i i j

j

r p i j j K

r

1

) , , 2 , 1 ( )

,

( L

λ

    の解が

) , , 2 , 1

( j K

r

_j

< µ

_j

= L

    を満たしているとき，

ρ

_j

= r

_j

/ µ

_j^として

∏

=

−

=

^K

j

n j j K

n

j

n n p

1 2

1

, , , ) ( 1 )

( _L ρ ρ

    と定常分布が求められる．

Jackson

ネットワークの平均的な振る舞いを以下に示す．

ノード

i

における平均滞在系内人数

N

_iは

( i K )

N

i i

i

1 , 2 , ,

1 = L

= − ρ ρ

となる．よって，ネットワーク内の系内人数の期待値

N

は

∑

=

=

^K

i

N

i

N

1

(2.40)

で与えられる．ネットワーク内の平均滞在時間

T

^は

∑

=

=

^K

i i 1

λ λ

とすると，リトルの公式より

T

N = λ

が成り立つ．よって，

∑

=

−

=

=

^K

i i

N

i

T

1

1 1

ρ ρ λ

λ (2.41)

と与えられる．

第

3

章  実測調査

3.1  データの実測方法

三号館の学生食堂の各窓口におけるサービス提供時間と注文比率の実測を行う．

      ：時間測定者       ：注文比率測定者

レジ

単品

うどん そば

ラーメン ご飯

味噌汁

レジ 

退 場  

退 場

単品 定食

  入 場

      図

3.1

  現在の学生食堂と観測者配置 図

3.1

を見ると，学生食堂にある窓口は，

１．定食（カレー・どんぶり・おかず）

２．うどん・そば ３．ラーメン

である．定食，うどん・そば，ラーメンは，窓口で受け取り，単品，ご飯，味噌汁はカ フェテラス方式になっており，自由に取る方式になっている．

1

〜

3

の窓口においての測定方法を以下に示す．

         

1

．注文した時刻を記入

         

2

．客が注文した品物を受け取った時刻を記入

2

の時刻から

1

の時刻の差から，注文した客に対してのサービス提供時間を算出した．

注文した品物を受け取った客は必ずレジの窓口を通過する．レジの窓口の測定方法を 以下に示す．

         

1

．店員が打ち始めた時刻を記入

         

2

．店員がおつりを返すか次の人の順番になり店員がレジを打ち始める時刻 を記入

2

の時刻から

1

の時刻の差から，会計に来た客に対してのサービス提供時間を算出した．

さらに注文比率と注文の組み合わせを調べるために，客がレジに持ってきた品物を調

査する．調査する項目は以下の

おかず，カレー，どんぶり，ラーメン，うどん・そば，ご飯，味噌汁，単品 の

8

項目である．

3.2  実測データと適合結果

3.1

節で述べた実測方法を用いて，学生食堂で事前に

2

回実測を行い，実測に慣れた 上で

3

回目を行った．

3

回目に行った実測を本研究のデータとして使用した．実測日時 は

2003

年

10

月

24

日金曜日の

11

時

50

分〜

12

時

50

分である．

3.2.1

  定食の窓口

定食の窓口の実測結果は以下の通りなった．

表

3.1

  定食の窓口の実測結果

到着人数 サービス時間

(1

人

)

注文比率

おかず

65

人

0.29

分

0.31

カレー

45

人

0.19

分

0.21

どんぶり

102

人

0.26

分

0.48

合計

212

人

0.26

分

1.00

  定食の窓口は

M/M/1

型の待ち行列システムのモデルとする．

(2.16)

〜

(2.19)

式を用い て計算を行った．

表

3.2

 

M/M/

１型のモデルの適合結果

到着率

3.53

人

/

分

サービス率

3.81

人

/

分

占有率

0.93

平均系内人数

12.61

人 平均待ち人数

11.68

人 平均待ち時間

3.31

分 平均滞在時間

3.57

分

3.2.2

  うどん・そばの窓口

  うどん・そばの窓口の実測結果は以下の通りになった．

表

3.3

  うどん・そばの窓口の実測結果

到着人数 サービス時間

(1

人

)

うどん・そば 60人 0.67分

表

3.4

  到着率とサービス率  到着率

1.0

人

/

分 サービス率

1.5

人

/

分

  うどん・そばの窓口には，ゆでる場所が最大

6

個ある．ゆでる場所は窓口と考える．

実測より，うどん・そばのゆでる場所は対象時間内に最大

3

個使用していた．よって，

うどん・そばの窓口を

M/M/3

型の待ち行列のモデルとする．

(2.16)

〜

(2.19)

式を用いて 計算を行った．

表

3.5

 

M/M/1

型のモデルの適合結果

占有率

0.30

平均系内人数

0.68

人 平均待ち人数

0.01

人 平均待ち時間

0.01

分 平均滞在時間

0.68

分

3.2.3  ラーメンの窓口

  ラーメンの窓口の実測結果は以下の通りになる．

表

3.6

  ラーメンの窓口の実測結果

到着人数 サービス時間 ラーメン

101

人

1.2

分

表

3.7

  到着率とサービス率

到着率

1.68

人

/

分

サービス率

0.83

人

/

分

  ラーメンの窓口は，ゆでる場所が最大

12

個ある．実測より，ラーメンのゆでる場所 は対象時間内に最大

5

個使用していた．よって，ラーメンの窓口を

M/M/5

型の待ち行 列のモデルとする．

(2.31)

〜

(2.34)

式を用いて計算を行った．

表

3.8

 

M/M/3

型のモデルの適合結果

占有率

0.41

平均系内人数

2.08

人 平均待ち人数

0.05

人 平均待ち時間

0.03

分 平均滞在時間

1.24

分

3.2.4

  単品の窓口

単品の窓口は，他の窓口に行かない客を対象として単品のみを注文した人に限り実測 を行った．単品のみを注文した客の平均品目数が

2

品目であり，１品目を取るのに約

5

秒かかるため，単品の窓口のサービス率を

0.17

分と設定した．単品窓口は

1

つとして，

M/M/1

型の待ち行列と考え，

(2.16)

〜

(2.19)

式を用いて計算を行った．

表

3.9

  単品の窓口の測定

到着人数 サービス時間

単品

120

人

0.17

分

表

3.10

 

M/M/1

型のモデルの適合結果

到着率

2.00

人

/

分

サービス率

5.92

人

/

分

占有率

0.34

平均系内人数

0.51

人 平均待ち人数

0.17

人 平均待ち時間 0.09分 平均滞在時間

0.26

人

3.2.5

  レジの窓口

  学生食堂には，レジが

3

台設置されているが，測定日に実際使用されていた台数が

2

台であったので，レジの窓口は

M/M/2

型の待ち行列のモデルとして考え，(2.31)〜(2.34) 式を用いて計算を行った．

表

3.11

  レジの窓口の実測結果

到着人数 サービス時間

レジ

482

人

0.18

分

表

3.12

 

M/M/2

型のモデルの適合結果

到着率

8.04

人

/

分

サービス率

5.61

人

/

分

占有率

0.725

平均系内人数

3.063

人 平均待ち人数

1.612

人 平均待ち時間

0.198

分 平均滞在時間

0.376

分  

3.3  考察

適合結果より，各窓口の混雑の度合いがわかった．結果を以下の図

4.2

に各窓口の比 較するために示す．

12.61

11.68

3.31 3.57

0.68 0.68

0.01 0.01 2.08

0.03 1.24

0.51 0.05 0.26

0.17 0.09

0 2 4 6 8 10 12 14

平均系内人数

平均待ち人数

平均待ち時間

平均滞在時間

定食の窓口 うどん・そばの窓口 ラーメンの窓口 単品の窓口

図

3.2  適合結果の比較

最も混雑する窓口は，定食の窓口であった．ピークの時間帯の

12

時〜

12

時

10

分に は，最大で

45

人程度の長い待ち行列が形成されていた．実際に，

20

人並んでいる時の 待ち時間の測定をしたが

5

分

26

秒であった．

混雑しない窓口は，うどん・そばの窓口である．待ちはほとんどできない．ピーク時 の時間帯の

12

時〜

12

時

10

分には，最大で

2

人しか並ばなかった．

単品の窓口は，実測において時間帯ごとの到着率に変動がなく，置いてある品物を取 るだけなので，サービス時間も早い．混雑も目立たなかった．

ラーメンの窓口は，ピークの時間帯の

12

時〜12 時

10

分には，最大で

10

人並んで いた．サービス時間が長いために，待ち時間，待ち人数は少ないが平均滞在時間は

1.24

分と

2

番目に長かった．

レジの窓口は，到着人数が多いが，

12

時〜

12

時

10

分の時間帯でも，

1

つのレジに最 大で

6

人並んでいた．サービス時間が短いため混雑はあまり目立たなかった．

第

4

章  学生食堂のシミュレーション

4.1  Visual  SLAM

シミュレーションプロジェクトは，データの収集，モデルの構築，シミュレーション の実行，代替案の作成，出力結果の分析，結果の表示，結果に基づく推奨案の提示とそ の実施など多くの業務や作業により成り立っている．

 

Visual

 

SLAM

は，モデルの構築，シミュレーションによるモデル分析，シミュレー

ション結果の表示をサポートする統合シミュレーションシステムである．ウインドウに よってグラフィック形式あるいはテキスト形式の情報の入力が容易で，モデルデータプ ロジェクトなどに関する情報を入力できる．

Project

 

Maintainer

はシステムのシミュ レーション分析にあたって必要な仕事を自動的に実行する．プレゼンテーション機能と して，アニメーション機能があり，これによってモデルの動き，構造，制御ロジックを 視覚的に表示することができ，１つあるいは複数のシナリオのシミュレーションから得 られる定量的性能評価結果を表示する従来型のレポート形式やグラフ形式の結果出力 と補完して用いることができる．

 

Visual SLAM

を使ったシミュレーション作成の流れは，以下の通りである．

シナリオを作成し，ネットワークを構築する

↓

コントロール文

(

制御文

)

を作成する

↓

アニメーションを定義する

↓

シミュレーションを行い，データを取得する

シナリオは，シミュレーションを行うために必要な要素を作成させる場所を提供する．

ネットワークの構築は，次節の図

4.1

のようなネットワークを考えて，それに似合った ネットワークを作成する．コントロール文

(

制御文

)

作成で，シミュレーションに対して

“条件を与える”，“どのようなデータがほしい”，“シミュレーションを何回繰り返す”

など様々な制御ができる．

ネットワークとコントロール文を作成すればシミュレーションが実行できる．シミュ レーション結果として，平均滞在時間・平均待ち時間・平均待ち人数などが出力される．

もし視覚的にシミュレーションを見たい場合は，アニメーションを定義する．ボトルネ ックになっている場所が視覚的にわかる．