解析学 レポート問題 2

解析学 レポート問題 2

2009年前期, 西岡^*1

• 09/06/05日の講義中に指定した「レポート問題2への解答レポート」を提出せよ:

∗ A4用紙に記入し, 5号館商学部事務室に提出すること. ∗ ^〆切= 06/11(木), 17:00.

• このレポート評価は出席点の一部とする.

• 連名による提出を認める. ただし正答でない場合,レポート評価は大幅に低くなるので,各自努力する こと.

(∗) 指数関数e^x,三角関数sinx, cosxのテイラー展開は,

e^x= 1 +x+x² 2! +x³

3! +x⁴ 4! +x⁵

5! +x⁶ 6! +x⁷

7! +· · · . cosx= 1 −x²

2! +x⁴

4! −x⁶

6! +· · ·. sinx= x −x³

3! +x⁵

5! −x⁷ 7! +· · ·.

(i) これらを比べる. ⇒ ±^{を無視すれば}, これらのテイラー展開はよく似ている. ⇒^{厳密に一致させるた} め,虚数i を使う.

(ii) iを虚数単位とする, i²=−1. e^x のテイラー展開でx→ixと置き換える:

e^x = 1 + x +x² 2! + x³

3! +x⁴ 4! + x⁵

5! +x⁶ 6! + x⁷

7! +· · ·.

e^{i x}= 1 +i x−x² 2! −ix³

3! +x⁴ 4! +ix⁵

5! −x⁶ 6! −ix⁷

7! +· · ·.

=

“ 1−x²

2! +x⁴ 4! −x⁶

6! +· · ·” +i

“ x−x³

3! +x⁵ 5! −x⁷

7! +· · ·”

= cosx+isinx.

(iii) つまり, 次の等式(=オイラーの等式)が証明された.

(1) e^{i x}= cosx+isinx.

レポート問題2

¶ ³

a, bを実数とする. オイラーの等式(1)を利用し, 複素数に拡張した対数関数log(a+ib)を求めよ. ヒント: (1)を対数関数で表すと

log(

cosx+isinx)

=i x.

⇒a+i bを(

cosx+isinx)

の形で表現する.

µ ´

*1 http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/˜nishioka/ 2号館11階38号室, オフィスアワー:水曜4限