1． 解答用紙は，マーク式解答用紙と記述式解答用紙の 2 種類があります。
2． 監督の指示により，解答用紙に受験番号（算用数字），氏名，フリガナを記 入し，受験番号および該当する試験日をマークしてください。記入について は解答用紙の注意事項に従ってください。
3． 問題冊子の解答番号と解答用紙の番号を間違えないように注意してください。
4． 数学の問題は， 2 〜 5 ページにあります。試験開始の合図があったら，まず ページ数を確認してください。
5． 受験票を試験時間中は，机上の受験番号の下に呈示しておいてください。
6． 質問，その他用件があるときは，手を上げて合図してください。
7． 試験時間中の退場は認めません。
8． 試験時間は数学と国語で80分です。
9． この問題冊子は持ち帰ってください。
数 学
（Ｒ）
平成31年度入学試験問題
受験上の注意
（国語は別冊子（Ｒ）になります）
2
数 学
問 1 異なる自然数m，nについて，「 m と n が共に無理数ならば積 m n は 無理数である」
問 2 実数a，bおよび k 12 なる実数kについて，「kab=a2+b2ならばa=b=0 である」
問 3 2 次関数y=f（x）について，「fl（0）101fl（1）ならばf（1）1f（2）である」
問 4 三角形ABCについて，「sin A = cos BならばCは直角である」
問 5 データのn個の値x1，x2，…，xnとその標準偏差sについて，「s=0 ならば データのn個の値は皆等しい」
各問いにおいて示される命題「…」について，真であるか偽であるかを判定し なさい．そして，真ならばその命題の証明を，偽ならばその命題に対する反例 を示しなさい．
［Ⅰ］
問題［Ⅰ］の証明または反例，問題［Ⅱ］の解答欄 あ － き にはあてはまる数式，
語句，説明を記述式解答用紙に記述しなさい．問題［Ⅱ］の問題文中のア－サには，各 空欄にあてはまる数を 5 頁にある解答群の中から選び，マーク式解答用紙にマークしな さい．解答群の中に適するものがない場合は をマークしなさい．
計算用紙
4
2 つの整数a，bについて，ある整数kを用いてa=bkと表されるとき，b はaの あ であるといい，aはbの い であるという．このとき，kもa の あ である．
210=2・3・5・7=6・35 のように，整数がいくつかの整数の積で表される とき，その 1 つの整数を，もとの整数の因数という．2，3，5，7，6，35，105 などは 210 の因数である．
また，7 の正の あ は 1 と 7 だけである．このように，2 以上の自然数で 1 とそれ自身以外に正の あ がない数を う という．特に 1 は う で はない．
う である因数を素因数といい，自然数を「 え する」ことを素因数分 解するという．
たとえば，168 は お と素因数分解でき，2019 はア・イウエと素因数分 解できる．また 120 は 2・2・2・3・オと素因数分解され，この場合は指数を用 いた形で書くと 2カ・3キ・ク ケとなる．
ここで，2 以上の自然数nについて，nと互いに素である 1 以上n以下の自然 数の個数をf（n）で表すことにする．たとえば，n=6 のとき，1，2，3，4，5，6 の中で，6 と互いに素である自然数は 1 とコだけであるから，f（6）=2 である．
また，pが う であれば，f（p）=p-サとなる．
次に， う であるpについて，f（p2）を求めてみよう．1 以上p2以下の自 然数の中でp2と互いに素である自然数の個数は，1 以上p2以下の自然数の中で p2と互いに素でない自然数の個数をp2から引けばよい．そしてp2と互いに素 でない自然数は，p2と共通の あ をもっていることになり，その共通の あ はpもしくはp2である．したがって，1 以上p2以下の自然数の中で，
そのような自然数はp，2p，3p，…，p2のp個となるので，f（p2）=p2-pと なり，f（p2）= か ・f（p）となることがわかる．同様の考え方で，2 以上の 自然数eについてもf（pe）= き であることがわかる．
［Ⅱ］
［解答群］
（マーク記号） （答）
⓪ ………… 0
① ………… 1
② ………… 2
③ ………… 3
④ ………… 4
⑤ ………… 5
⑥ ………… 6
⑦ ………… 7
⑧ ………… 8
⑨ ………… 9
計算用紙
6
この頁は白紙です
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