インダクタと変圧器の基礎

スイッチング電源のための インダクタと変圧器の基礎

群馬大学 松田順一

第２９３回群馬大学アナログ集積回路研究会

年

月

日（金）

〜

群馬大学共同研究イノベーションセンター（桐生キャンパス アクセスマップ １番）３

研修室

概要

•

磁気学の基礎

•

磁気量と電気量の比較

•

ファラデーの法則（レンツの法則）とアンペアの法則

•

磁束密度と磁界の関係

• n

巻きコアのインダクタンス

•

磁気回路

•

磁気抵抗、磁気回路のキルヒホッフの法則、エア・ギャップがあるインダクタの磁気回路

•

変圧器のモデル

•

理想変圧器、磁化インダクタンスを考慮、漏れインダクタンスを考慮

•

磁気デバイスの損失

•

コア損失、低周波銅損

•

巻き線の渦電流

•

表皮効果

•

近接効果（変圧器内の近接効果解析、近接効果低減策、

高調波起因の近接効果による損失）

•

磁気デバイスの適用

•

付録

R. W. Erickson and D. Maksimovic, Fundamentals of Power Electronics Second Edition, Springer Science + Business Media, 2001.

参考文献

磁気デバイスの電気量と磁気量の関係

ファラデーの法則

（電圧

コア磁束と磁束密度）

アンペアの法則

（電流

磁界と起磁力）

磁気デバイスの端子特性

（電圧と電流）

v(t)

i(t) H(t), F(t)

B(t), Φ(t)

磁気コアの特性

B(t):

磁束密度

磁束

磁界

起磁力

μ:

透磁率

v(t):

電圧

電流

磁気量と電気量の比較

磁界

長さ

電界

長さ

全電流

電流密度

磁気量 電気量

全磁束

磁束密度

均一磁界の場合の起磁力

起磁力（

）

均一電界の場合の電圧

表面

面積







S

B･dA

表面

面積

BAc







x₁ x₂ x₁ x₂



 ²

1

x

x H･dl F

l d

JAc

I 

 A

d

起磁力 電圧



 ²

1

x

x d

V E･ l

l d

A d





S

d

I J･ A

磁束の方向 電流の方向

均一電流かつ

電流の方向と表面が直交 均一磁束かつ

磁束の方向と表面が直交

磁力線 電気力線

ファラデーの法則とレンツの法則

dt t t d

v ( )

)

(  

面積

内の

全磁束

面積

誘起電圧

dt t A dB

t

v _c ( )

)

( 

ファラデーの法則

均一磁束の場合

レンツの法則

ループ内の磁束変化

⇒ループに電圧を誘起しループに電流を流す。

⇒この電流による誘起磁束が元の磁束変化に

対抗する。

（磁束変化を打ち消す方向に電流を誘起する。）

（

と

の極性

短絡ループ 磁束

誘起磁束

誘起電流

アンペアの法則

) (t i d 

 ^{閉磁路H･ l}

F

H i(t)

磁気経路長（磁路長）

閉磁路の起磁力

i(t):

閉磁路を貫く（鎖交する）全電流

均一磁界の場合

) ( )

( )

(t  H t l_m  i t F

閉磁路の起磁力＝閉磁路と鎖交する全電流

A/m :

A : H F

単位（

）

磁束密度と磁界の関係

H B  

0



  _r

B

H

B

H

B

H

B

H

真空中のB-H特性 典型的な磁気コア材料のB-H特性

典型的な磁気コア材料のB-H特性の近似

（ヒステリシスと飽和特性無視）

典型的な磁気コア材料のB-H特性の近似

（ヒステリシス無視）

μ₀

μ

μ=μ_rμ₀ μ

μ₀:

真空の透磁率（

×

）

比透磁率（典型値

～

）

磁束密度と磁界の関係

-B_sat B_sat

飽和領域

⇒真空中の 傾きに近い

単位（

）

^{（テスラ）（}

^）

H: A/m

Φ: Wb

（ウェーバー）

（

































sat sat

sat sat sat

B H

B

B H

H

B H B

B

for

for

for

ヒステリシスを無視した近似磁束密度

n 巻き コアでの電気特性

ファラデーの法則

アンペアの法則

dt t n d

t

v ( )

)

(  

dt t nA dB

t

v _c ( )

) ( 

H i(t)

i(t)

v(t) n

巻き

n 巻き

Ac

t t

B( )  ( )

 B(t):

平均磁束密度

Φ

磁路長

コア

（均一磁界の場合）

) ( )

(t l ni t H _m 

n l I_sat B^{sat m}

 

磁束密度が飽和する時の電流

sat  B H 



面積

dt t t d

v_turn ( ) )

(  

n

巻きの場合の誘起電圧

コア内の

の時間変化

各巻き（ターン）毎に電圧を誘起

（

鎖交数）

n 巻き コアのインダクタンス

dt t nA dB

t

v _c ( )

) ( 

dt t nA dH

t

v _c ( )

) (  

 B  H for I  Isat

dt t di l

A t n

v

m

c ( )

) (

 2

 H(t)l_m  ni(t)

dt t L di t

v ( )

) ( 



m c

l A L n

 2

 L: インダクタンス

ファラデーの法則から以下になる。

ファラデーの法則にアンペアの法則を用いると以下になる。

n

巻きコアはインダクタンスとして振舞う。

|I|>I_sat ( )   0

dt nA dB t

v _c ^sat



|I|<I_sat

n

巻きコアは短絡回路に近づく。

（実際のインダクタは、飽和領域で小さな残留インダクタンスを示す。）

磁気回路（磁気抵抗）

 Hl F

長さ

起磁力

磁界

面積

磁束

透磁率

起磁力







Ac

l

F  H  B , B   A_c R

F  



Ac

l

 

R ⇒磁気抵抗（リラクタンス）

R Φ

F

⇒オームの法則に対応

磁気回路（キルヒホッフの法則）

Φ₁ Φ₃

Φ₂

Φ₁ Φ₃

Φ₂

Φ₁=Φ₂+Φ₃

（∵

の発散はゼロ）

・キルヒホッフの電流則⇒磁束に成立

・キルヒホッフの電圧則⇒アンペアの法則に成立

) (t i d 

閉磁路H･ l

⇒閉磁路の磁気抵抗を横切る起磁力の総和

⇒起磁力の源（電圧源と見なせる）

閉磁路H･dl ) (t i

n

巻きの場合⇒

閉磁路の磁気抵抗の全起磁力＋起磁力の源＝０ ノード

ノード

ノードに入り込む磁束の総和＝０

エア・ギャップがあるインダクタの磁気回路

i(t)

v(t) n

巻き

Φ

コア透磁率

エア・ギャップ

F_c

面積

F_g R_g

R_c Φ(t) ni(t)

全磁路長

g ni

c F 

F

コア磁路長

エア透磁率

磁路にアンペアの法則を適用

ギャップの磁気抵抗

F_c

コアの起磁力、

ギャップの起磁力

コアの磁気抵抗

 _c

c

c l A R

 _c

g

g l ₀A R

磁気等価回路

 c g

ni  R R



上記磁束をファラデーの法則に適用



 



  

dt t n d

t

v ( )

) ( dt

t di t n

v

g c

) ) (

(

2

R R 



インダクタンス

g c

L n

R R 



 ²

エア・ギャップ⇒ ・磁気回路の磁気抵抗が増大

・インダクタンスが低下

エア・ギャップの効果

（１）磁気抵抗の安定化（温度と動作点の変化に対し安定）

（温度と動作点に依存するコア

の影響が低減）

（２）飽和電流増大（コアが飽和しない高いコイル電流でインダクタ動作が可能）

 c g

c sat

sat n

A

I  B R R

g

c R

R  1 BAc





c satA B

c satA

B

Hc

ni 

1

nIsat nI_sat2 Rc

1

c sat sat  B A



 ⁿⁱ

g

c 











 

 R R

1

Φ-ni

特性

⇒B-H

特性と同じ

コアが飽和していない場合の磁束と起磁力の関係

コアが飽和時の磁束

コアが飽和時の電流（上２式から導出）

）

（エア・ギャップ有り

）

（エア・ギャップ無し

sat nI

nI 

変圧器モデル

磁路長

コア断面積

v₁(t) n₁

巻き

Φ

F_c R

n₂

巻き

i₂(t) v₂(t)

n₁i₁(t) n₂i₂(t)

コア

Φ

透磁率

c m

A l

  R

コアの磁気抵抗

アンペアの法則から

2 2 1

1i n i

c  n 

F

（∵

と

の電流の向きは同じ）

2 2 1

1i n i n 





 R F_c  R

磁気等価回路

理想変圧器

2 0

2 1

1i n i  n

ファラデーの法則から

理想変圧器：

アンペアの法則から

dt n d dt v

n d

v₁  ₁ , ₂  ₂ 



2 2 1

1

n v n

v 

（

は１と２で同じ）

i₁(t)

v₁(t)

i₂(t)

v₂(t)

理想変圧器

実際の変圧器（磁化インダクタンスを考慮）

i₁(t)

v₁(t)

i₂(t)

v₂(t) n₁ : n₂

実際の変圧器：

2 2 1

1i n i n 



R dt

n d v₁  ₁ 

上２式の

を消去



 



 

 ₂

1 2 1 2

1

1 i

n i n dt

d v n

R dt

L di

v  _M ^M

 ₁

2 1 2 i n n

2 1 2

1 i

n i  n R

2

n1

L_M 

理想変圧器

磁化（励磁）

インダクタンス i^M

磁化電流

i_M

の増大、

の飽和

の増大

コア飽和状態（

）⇒

：小、

：大

変圧器短絡



 v t dt t L

i

M

M 1 ( )

)

( ₁ 

 



 ^{B t}  _{n A} ^{v t dt}

c

) 1 (

) (

or ₁

1



 v₁(t)dt

1

B

の飽和抑制⇒

大、

大

)

1A B(t n

i

L_{M M}  _c



dt t A dB n t

v _c ( )

)

( ₁

1 

dt t L di

t

v _M ^M ( )

)

1(  )

1A B(t n

i

L_{M M}  _c



実際の変圧器（漏れインダクタンスを考慮）

i₁(t) v₁(t)

Φ_M

i₂(t) v₂(t) Φ_l2

Φ_l1

i₁(t) v₁(t)

Φ_M

i₂(t) v₂(t) Φ_l2

Φ_l1

（

：漏れ磁束⇒漏れインダクタンス）

漏れインダクタンスを含む等価システム 漏れインダクタンスがある場合の変圧器

（漏れインダクタンスが変圧器に直列接続）

漏れインダクタンスを含む変圧器の等価回路

i₁(t)

v₁(t)

i₂(t)

v₂(t) n₁ : n₂

R

2

n1

L_M 



 



 



 



 



 





) (

) ( )

( ) (

2 1 22

12 12 11 2

1

t i

t i dt

d L

L L L t

v t v

変圧器の端子電圧と電流

L₁₂:

相互インダクタンス

L₁₁, L₂₂

： 自己インダクタンス

2 1 1

2 12

n L n

n

L  n _M 

12 2 1 1 1

11 L

n L n

L L

L  _l  _M  _l 

12 1 2 2

2

1 2 2

22 L

n L n

n L L n

L _l  _M  _l 

 





 i_M(t)

2 1 2 i n n

dt t L di

dt t L di

t

v _l ( ) _M ^M ( )

)

( ₁ ¹

1  

1

Ll L_l2

2 1 2 1( ) )

( i

n t n i t

i_M  

dt t L di

n n dt

t L di

t

v _l ( ) _M ^M ( )

) (

1 2 2

2

2  

実効的な巻き数比

11 22

L n_e  L

結合係数（

次側と

次側の磁束の結合度合）

22 11

12

L L

k  L _{0  k 1}

2次側を開放した時 1次側から見たｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ

1次側を開放した時 2次側から見たｲﾝﾀﾞｸﾀﾝｽ

インダクタのコア損失







 



 







 



 



cycle one cycle

one cycle one

) ( )

(

) ( ) (

HdB l

A n dt

l t H dt

t nA dB

dt t i t v W

m c m

c

ヒステリシス損（

曲線のヒステリシス）

インダクタに１周期当たり流れ込むエネルギー

ファラデーの法則 アンペアの法則

コアの体積

B-H曲線の面積

   



cycle one

HdB l

A f

P_{H c m}

ヒステリシス損（鉄損）⇒熱

渦電流

磁界

コア損失⇒ヒステリシス損＋渦電流損 ^{渦電流損（コア内の}

^磁界）

f:

周波数

レンツの法則 コア

2

2R f

i 

渦電流損（コア内の抵抗による損失）⇒熱

誘起電圧∝

渦電流∝

（抵抗が一定の場合）

⇒高周波で損失大

（ファラデーの法則）

コア損失

の経験式（正弦波の場合）

  _{c m}

fe

fe K B A l

P   ^

K_fe, β:

フィティング・パラメータ

～

（ある周波数

で近似）

巻き線の銅損（低周波領域）

) (t i

R

巻き線の等価回路

R I P_cu  _rms²

巻き線抵抗

銅損（巻き線抵抗の消費電力）

W b

A

R   l ρ

： 巻き線の比抵抗（抵抗率）

l_b:

巻き線の長さ

巻き線の断面積

ρ=1.68

×

（

I_rms

：

の自乗平均平方根

ρ

の温度係数：

×

銅の場合

0.001 0.01 0.1

10 100 1000

δ (cm)

f (kHz)

巻き線の表皮効果

Φ(t)

Φ(t)

AC : ) (t

i

巻き線

渦電流 電流密度

渦電流

表皮深さ

高周波で抵抗増大

f

  

レンツの法則

周波数fの正弦波の場合の表皮深さ

銅の場合

℃ 　

cm ( 6 .

6 

 T

 f ^f(Hz)

T=25℃ T=100℃

℃ 　

cm ( 5 .

7 

 T

 f

隣り合う導体による近接効果

h

導体１ 導体２

i -i i

i

-i

電流密度

高周波正弦波電流

h≫δ

h:

導体の厚み

導体２：開放回路⇒正味の電流ゼロ

導体１の電流により磁束

発生

⇒Φ

が導体２に侵入

⇒

レンツの法則により導体２に電流誘起（ループ電流）

（導体２の中の

を打ち消す）

変圧器内の近接効果

h

導体1 導体2

i -i i

電流密度

Φ

2i 3i -3i -2i -i 2i

-2i

Φ

2Φ 3Φ 2Φ

導体1 導体2

導体3 導体3

コア

一次側巻き線 二次側巻き線

i i

i -i -i -i

i:

高周波正弦波電流

dc

ac h R

R ^ 

I: i(t)

の自乗平均平方根

導体１のDC抵抗 導体１の

抵抗

導体１の銅損

h

≫

導体１

２

３：直列接続

導体２の銅損

導体３の銅損

2 2

3 2 3 P 13P

P   

導体

の銅損

1 m P

m

P_m    m

層の全銅損

 

  ^{2 1}

1 ² 3 ²

1

2 2

2  



 



 



 



 



  



M M h R

I m

m h R

I

P _dc

M

m

dc 



^{2 1}

3

1  ₂ 



 



  h M F_R



R dcF P P 



dc

dc I MR

P  ²

（

成分による銅損） （近接効果による増大分）

変圧器の巻き線の漏れ磁束

コア

≫

y

一次側 巻き線

二次側 巻き線

コアと巻き線の構造 典型的な磁束分布

漏れ磁束

相互磁束

変圧器漏れ磁束の解析

H(x)

F (x) l_w



囲まれた電流

囲まれた 電流

∵コア内の起磁力≪コア・ウインドウ内の起磁力

漏れ磁束

コア

F (x) 8i 4i

一次側 巻き線

二次側 巻き線

1層目 2層目 2層目 1層目

0 x

H(x)

は

に比例

x x

H( ) F ( )



巻き線のフォイル（薄層）近似

面積同じ

i(t) d

h

h

h

l_w

フォイル：

回巻き

電流

n_l

巻き

結合

h

丸型線

巻き 直径

角型線

巻き ^{正方形一辺}

コア・ウインドウ の幅

まで拡張

フォイル幅をコア・ウインドウの幅

まで拡張

η

：

補償ファクター

導入

f

  

 

' 

η: [ (a)

の面積

の面積

(a) (b) (c) (d)

(a)

と

で

抵抗を同じにする必要あり（

を調整）

w l

l d n 4

  

(d)

の実効表皮深さ

[

実効フォイル厚み

の実効表皮深さ

⇒ [(a)

の

の実効



 

 ^{h d}

4 ' 



近接効果による薄層の銅損（１）

(1) A. M. Urling, V. A. Niemela, G.R. Skutt, and T. G. Wilson, “Characterizing High-Frequency Effects in Transformer Windings

―A Guide to Several Significant Articles,” IEEE Applied Power Electronics Conference, 1989 Record, pp. 373-385.

 

 ^{( ) (0)} 1^{( ) 4 ( ) (0)} 2^{( )}

2 2

2  

 h G h G

R n P

l

dc F F  F F



) 2 cos(

) 2 cosh(

) 2 sin(

) 2 sinh(

)

1(  



 



 

G cosh(2 ) cos(2 )

) sin(

) cosh(

) cos(

) sinh(

)

2(  







 



  G

n_l:

薄層の中の巻き数

薄層の

抵抗

薄層

I n h) (0) _l

( F

F I:

正弦波の実効値

I mn h)  _l

F ( m m: MMF F (h)

と

との比

m h

1 )

( ) 0

( 

F  F

) , (

2 '

m Q

R I

P  _dc  Q^'(^,m⁾ ²m² ²m¹G₁⁽⁾⁴mm¹G₂⁽⁾ )

, (

2 Q' m

R I

P

dc







H(0) H(h)

F (x) F (0)

F (h)

0 h

近接効果による薄層の全銅損

（近接効果による銅損の増大分）

1 10 100

0.1 1 10

0.1 1 10 100

0.1 1 10

近接効果による薄層の銅損（２）

Rdc

I P

2 P^dc 1

P



) , ( '

1

m P Q

P

dc











近接効果による銅損の増大分の

依存性 銅損Pと φ=1 の薄層で得られる

損失 の比の

依存性

m=0.5 2 1.5

1

5 4 3

10 8 6 m=15 12

m=0.5 2 1.5 1 5 4 3 10 8

6 m=15 12

銅損を最小にする

がある

変圧器巻き線の近接効果による銅損（１）

一次側巻き線 二次側巻き線

n_pi n_pi n_pi n_pi n_pi n_pi

m=1 m=1

m=M

m=2 m=M m=2

n_pi 2n_pi Mn_pi

0 x

F





 ^M

dc m pri

pri

R Q m

M P

F P

, 1

) , (

1  ' 

近接効果による一次巻き線銅損の全増大分

   

 











 ^M

m

R m G G m G G G

F M

1

1 2

1 2

1

2 2 () 4 () 2 () 4 () ()



 

2 1

1

 



M m M

M

m

  

6

1 2

1

1

2  

 



M M

m M

M

m

 ^{ }_^

   

 1 ( ) 2 ( )

3 ) 2

( ² _{1 2}

1   

 G M G G

F_R