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yx ≧ 21   11 ≦≦ y xy  ≧ 0 xy  ≧ 0 ()()0 xyxy  ≦ ≦≦ f (0)0 ≧ f (1)0 ≧ y  1012 ff (0)(1)0  ≦ 01 ≦≦ t 01 ≦≦ t

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Academic year: 2021

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(1)

[ 東京工業大学 1968 年 ４ ]

が0から2

まで変わるとき，平面上の2点

P (cos

2

 , cos

2

 ), Q (sin

2

 ,  sin

2

 )

を結ぶ直線が 通らない点全体の範囲を図示せよ。

2点

P (cos

2

 , cos

2

 ), Q (sin

2

 ,  sin

2

 )

を通る直線の方程式は

2 2

2 2

cos 1 ( cos )

sin cos

yx

 

   

であり，

cos

2

  t

とおくと

0 ≦ ≦  2 

より

0 ≦ ≦ t 1

であるから，

1 ( )

2 1

y t x t

  t

が

0 ≦ ≦ t 1

の範囲に実数解をもたないような

( , ) x y

の条件を求めればよい。

まず，

0 ≦ ≦ t 1

の範囲に実数解をもつ条件を求める。

1 ( )

2 1

y t x t

  t

より

2 t

2

 2( y  1) t    x y 0

であり，

( ) 2

2

2( 1)

f ttyt   x y

…① とおく。

①0 の解が

0 ≦ ≦ t 1

の範囲にあるための条件は

(ⅰ)

f (0)  f (1) ≦ 0

または

(ⅱ)

( y  1)

2

 2( xy ) ≧ 0

かつ

1

0 1

2 y

≦ ≦

かつ

f (0) ≧ 0

かつ

f (1) ≧ 0

である。

(ⅰ) のとき

( xy x )(  y ) ≦ 0

…③

(ⅱ) のとき

y

2

≧ 2 x  1

かつ

 1 ≦ ≦ y 1

かつ

xy ≧ 0

かつ

xy ≧ 0

…④

となるので，③または④を満たさない範囲を図示すると，図の斜線部のようになる。

ただし，境界線上の点は含まない。

x y

O

y=x

y=-x

y2=2x-1

参照

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