J0110105
有限要素法を用いた磁場解析による数値実験
Numerical experiments based on magnetic field analysis using the finite element method
〇学 鋤柄 あかね*1，正 倉橋 貴彦*1 Akane SUKIGARA*1, Takahiko KURAHASHI*1
*1 長岡技術科学大学 Nagaoka University of Technology
In this study, we present comparison of numerical results of the magnetic field analysis between the conventional nodal-based FEM with and without the Coulomb gouge assumption and the edge element FEM. In the numerical experiments, the standard model in the Institute of Electrical Engineers of Japan was employed, and the magnetic field analysis in three dimensions was carried out. Consequently, it was found that the result by the edge element FEM is good agreement with the measurement value in comparison with the results of the conventional nodal-based FEM.
Key Words : Magnetic field analysis, Magnetic flux density, Magnetic vector potential, Coulomb gouge, Edge element
1. 緒 言
近年，自動車の電子制御が進み，車載電子機器が増加している．密集する機器が正常に作動するためには，互 いに妨害電磁波を出さず，妨害電磁波により誤作動しないEMC対策（Electro Magnetic Compatibility，電磁波環境 両立性）が重要となる(1)．EMC対策には磁界解析技術が必要とされ，磁界解析は磁気ベクトルポテンシャルを導 入した有限要素法が用いられる．磁気ベクトルポテンシャルの解の一意性が保証されない場合，正確な磁束密度 の分布が得られないとされており，この問題の対策として，磁気ベクトルポテンシャルの発散をゼロとするクー ロンゲージの仮定が有効である(2)．一方，節点に変数を与える通常の有限要素法では，磁性体と空気の界面のよ うな透磁率が異なる境界の磁束密度の分布を表現できないという問題も挙げられている．これはベクトルポテン シャルの法線方向成分が不連続である条件を満たさないことに起因し，この問題を解消する手法として，要素の 辺に変数を与える辺要素有限要素法が示されている(3)．本研究では，三次元モデルの磁束密度の分布について，
節点に変数を与えた場合の有限要素法におけるクーロンゲージの有無による解析と辺要素有限要素法による解析 を行い，それぞれの手法を比較する．
2. 定式化 2・1 支配方程式
磁界解析に用いるマクスウェル方程式を式（1），（2）に示す．
𝛁 × 𝑯 = 𝑱 +𝜕𝑫
𝜕𝑡 （1）
𝛁 ⋅ 𝑩 = 0 （2）
ここで，Hは磁界の強さ，Bは磁束密度，Dは電束密度およびJは電流密度を示す．本研究では静磁界を仮定し 時間微分項を無視する．磁束密度と磁界の強さには式（3）に示す関係がある．
𝑩 = 𝜇𝑯 （3）
μは透磁率を示す．ここで，磁気ベクトルポテンシャルAを導入し，ベクトル公式により式（2）を満たすように 式（4）で定義する．
𝑩 = 𝛁 × 𝑨 （4）
式（3），（4）を式（1）に代入すると支配方程式（式（5））が得られる．
𝛁 × (𝜈𝛁 × 𝑨) = 𝑱0 （5）
ここで，νは磁気抵抗率を示し，透磁率μの逆数である．電流密度は外部電流J0のみが働くとする．ここで，ク ーロンゲージは式（6）のように仮定される．
𝛁 ⋅ 𝑨 = 0 （6）
ベクトル公式(3)を用いて式（5）の左辺を展開し，クーロンゲージの条件式（6）を代入すると，クーロンゲージの 仮定を考慮した支配方程式（式（7））が得られる．
−𝜈𝛁2𝑨 = 𝑱0 （7）
2・2 境界条件
ディリクレ境界（第1種境界）Γ1およびノイマン境界（第2種境界）Γ2に対し，境界条件をそれぞれ式（8）， 式（9）のように定義する．
𝑨 × 𝒏 = 𝒄1, 𝛁 ⋅ 𝑨 = 𝑐2 on Γ1 （8）
(𝛁 × 𝑨) × 𝒏 = 𝒄3, 𝑨 ⋅ 𝒏 = 𝑐4 on Γ2 （9）
ここで，nは面に対する単位法線ベクトルを示す．c1 = c3 = 0, c2 = c4 = 0のとき，ディリクレ境界においては磁界 が境界面に平行であり，ノイマン境界においては磁界が境界面に対し垂直に入射する．
2・3 重み付き残差方程式
式（5）の両辺に重み関数ベクトルwを乗じ，要素領域Ωeに対し積分する．左辺に対しベクトル公式(3)および ガウスの発散定理を適用し，式（9）を代入すると重み付き残差方程式（式（10））が得られる．
𝜈 ∫ (𝛁 × 𝒘) ⋅ (𝛁 × 𝑨)𝑑ΩΩ
𝑒 = ∫ 𝒘 ⋅ 𝑱Ω 0𝑑Ω
𝑒 + 𝜈 ∫ 𝒘 ⋅ 𝒄Γ 3𝑑Γ
𝑒 （10）
一方，クーロンゲージを仮定する場合，式（7）の両辺に重み関数ベクトルwを乗じ，要素領域Ωeに対し積分す る．左辺に対しグリーンの定理およびガウスの発散定理を適用し，式（9）を代入するとクーロンゲージを仮定し た場合の重み付き残差方程式（式（11））が得られる．
𝜈 ∫ 𝛁𝒘 ⋅ 𝛁𝑨𝑑ΩΩ
𝑒 = ∫ 𝒘 ⋅ 𝑱Ω 0𝑑Ω
𝑒 + 𝜈 ∫ 𝒘 ⋅ (𝛁𝑐Γ 4)𝑑Γ
𝑒 （11）
2・4 有限要素方程式
四面体一次要素による補間関数を式（12）に示す．
𝑨 = ∑4𝑖=1𝑁𝑖𝑨𝑖, 𝒘 = ∑4𝑖=1𝑁𝑖𝒘𝑖 （12）
クーロンゲージを仮定しない場合，式（10）に式（12）を代入し，重み関数の任意性より両辺wiを消去すると，
有限要素方程式（式（13））が得られる．（i, j = 1 ~ 4）
𝜈 ∫ [
0 −𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧 0 −𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
−𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 0 ]
T
[
0 −𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧 0 −𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥
−𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 0 ]
{ 𝐴𝑥𝑗
𝐴𝑦𝑗
𝐴𝑧𝑗
Ω𝑒 } 𝑑Ω= ∫ {
𝑁𝑖𝐽0𝑥
𝑁𝑖𝐽0𝑦
𝑁𝑖𝐽0𝑧
Ω𝑒 } 𝑑Ω+ 𝜈 ∫ { 𝑁𝑖𝑐3𝑥
𝑁𝑖𝑐3𝑦
𝑁𝑖𝑐3𝑧
Γ𝑒 } 𝑑Γ （13）
クーロンゲージを仮定する場合，式（11）に式（12）を代入し，重み関数の任意性より両辺wiを消去すると，ク ーロンゲージを仮定した場合の有限要素方程式（式（14））が得られる．（i, j = 1 ~ 4）
𝜈 ∫ [
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 0 0
0 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦 0 0 0 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧]
T
[
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥 0 0
0 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦 0 0 0 𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑧] {
𝐴𝑥𝑗 𝐴𝑦𝑗 𝐴𝑧𝑗
Ω𝑒 } 𝑑Ω= ∫ {
𝑁𝑖𝐽0𝑥 𝑁𝑖𝐽0𝑦 𝑁𝑖𝐽0𝑧
Ω𝑒 } 𝑑Ω+ 𝜈 ∫ { 𝑁𝑖𝜕𝑐𝜕𝑥4
𝑁𝑖𝜕𝑐4
𝜕𝑦
𝑁𝑖
𝜕𝑐4
𝜕𝑧}
Γ𝑒 𝑑Γ （14）
四面体一次辺要素による補間関数を式（15）に示す．
𝑨 = ∑6𝑒=1𝑵𝑒𝐴𝑒, 𝒘 = ∑6𝑒=1𝑵𝑒𝑤𝑒 （15）
ここで，四面体一次辺要素のベクトル形状関数Neは，節点mからnに向かう辺の番号をeとし，体積座標をηと おくと，式（16）で与えられる．
𝑵𝑒= 𝜂𝑚𝛁𝜂𝑛− 𝜂𝑛𝛁𝜂𝑚 （16）
式（10）に式（15）を代入し，重み関数の任意性より両辺wiを消去すると，辺要素有限要素法における有限要素 方程式（式（17））が得られる．
𝜈 ∫ [
(𝛁 × 𝑵1) ⋅ (𝛁 × 𝑵1) ⋯ (𝛁 × 𝑵1) ⋅ (𝛁 × 𝑵6)
⋮ ⋮
(𝛁 × 𝑵6) ⋅ (𝛁 × 𝑵1) ⋯ (𝛁 × 𝑵6) ⋅ (𝛁 × 𝑵6) ] {
𝐴1
⋮ 𝐴6
Ω𝑒 } 𝑑Ω= ∫ {
𝑵1⋅ 𝑱0
⋮ 𝑵6⋅ 𝑱0
Ω𝑒 } 𝑑Ω+ 𝜈 ∫ { 𝑵1⋅ 𝒄3
⋮ 𝑵6⋅ 𝒄3
Γ𝑒 } 𝑑Γ （17）
3. 数値解析例
文献(2)を参照し，電気学会に制定された標準モデルを用いて，節点に変数を設定した場合のクーロンゲージの 仮定の有無による解析結果および辺要素有限要素法による解析結果を比較する．図1に計算モデル，図2に計算 メッシュを示す．コイルに電流を与えることを想定し，1/8モデルにより鉄心周りの磁束密度を解析する．x=0, y=0 面に対しディリクレ境界条件，残りの面に対しノイマン境界条件を与える．表1に計算条件を示す．
Fig. 1 Computational model (1/8 model). Fig. 2 Finite element mesh
Table 1 Computational conditions.
Number of nodes 22065
Number of elements 98304
Number of edges 123440
Space permeability μ0 [H/m] 4π×10-7 Magnetic permeability ratio of iron μr [-] 1000
Magnetic permeability ratio of air μr [-] 1 Current density J0 [A/m2] 1.2×106
図3に磁束密度ベクトルの解析結果を示す．また，図4ではある座標における磁束密度ベクトルの成分を実測 値と比較し，本研究における解析結果を評価する．ここで実測値は文献(2)の図から読み取った値である．クーロ ンゲージを仮定しない場合，磁束密度の分布の傾向が実測値と異なる．クーロンゲージを仮定した場合において は，図3では磁束密度の分布を再現できているように見られるが，図4では磁束密度の分布の傾向が異なり，磁 束密度の値が参照値や他の手法に比べ小さい．これは鉄心と空気の境界における透磁率の変化を表現できていな いためであると考えられる．一方，辺要素有限要素法の磁束密度の大きさは実測値との差がみられるが，分布の 傾向は実測値と一致している．
(a) FEM (without Coulomb gauge) (b) FEM (with Coulomb gauge) (c)Edge element FEM Fig. 3 Magnitude of magnetic flux density vector.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0 10 20 30 40 50
Bx [T]
y [mm]
FEM (without Coulomb gauge) FEM (with Coulomb gauge) edge element FEM
Measurement value
(b) x = y = 6.25mm
Fig. 4 Comparison of numerical result by FEM and edge element FEM.
4. 結 語
本研究では，三次元モデルに対し，要素の節点に変数を与える通常の有限要素法と，辺に変数を与える辺要素 有限要素法による磁束密度の解析を行い，結果の比較を示した．通常の有限要素法ではクーロンゲージを考慮し た場合は磁束密度の分布を表現できているように見られるが，文献の実測値と比較すると分布が異なり，値も小 さい．これは鉄心と空気の境界における透磁率の変化が再現できていないためであると考えられる．一方，辺要 素有限要素法においては磁束密度の分布の傾向が実測値に概ね一致し，辺要素有限要素法による磁束密度の解析 の妥当性が確認された．
文 献
(1) 平林勝次，花本秀夫，“EMC設計への取り組み”，富士通テン技報，Vol 25, No. 2, pp. 52-58.
(2) 金井靖，阿部武雄，仙石正和，飯島泰蔵，飯塚雅博，武笠幸一，“磁気ベクトルポテンシャルのゲージ条件と三次 元磁界解析のための新しい有限要素定式化”，電気学会論文誌D，110巻3号 (1990), pp265-272.
(3) 本間利久，五十嵐一，川口秀樹，“数値電磁力学”，森北出版 (1997).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04
100 120 140 160 180 200
Bz [T]
z [mm]
FEM (without Coulomb gauge) FEM (with Coulomb gauge) edge element FEM
Measurement value
