三層三次元異材接合体角部の熱残留応力の強さ

Characteristics of residual thermal stress field at the vertexes of two interfaces in three-dimensional joints with three layers

are investigated using eigen analysis formulated by FEM and BEM using fundamental solutions for two-phase materials. Angle between two side surfaces at the vertex is varied from 30º to 150º. An expression for stress field near the vertex on the interface is firstly derived from the result of eigen analysis. The order of stress singualrity decreases with the increase of the angle.

Angular functions corresponding to stress components are deduced from eigen analysis. A coefficient in the power term of angle from side surface in the angular function is a function of the angle between side surfaces and the value of coefficient increases with the increase of the angle between side surfaces. A coefficient of power term in stress distribution for the distance from the vertex has an extremum at 90º of the angle between side surfaces. It was found that stress singularity field at the vertex with a weaker singularity is affected largely by that at the vertex with a stronger singularity. There are two factors which define a stress singularity filed near the vertex; 1) the intensity of singularity defined by the distance from the vertex, 2) an angular function defined by the distance from stress singularity lines. The intensity of singularity at the veretx of interface was defined considering those factors. The value of the intensity of singularity at the vertex increases with the increase of the angle between side surfaces.

Key Words

: Stress Singularity, Interface, Elasticity, Residual Stress, Adhesive Joints, Boundary Element Method

1.　緒　　　　　　　言

　これまで二次元^(1)-(8)，三次元接合体^(9)-(12)に関する多く の研究が行われてきた．著者らは，最近三次元接合体 の界面角部における特異応力場の強さを中心に研究を 行っている．前報⁽¹²⁾では，三次元接合体角部の角度が

90º

の場合における熱残留応力の特異応力場の強さにつ いて報告した．その報告で三次元接合界面端の特異応力 場の強さは，これまで二次元接合体で考えられてきた接 合界面端からの距離に対する特異性だけでなく，側面と 界面との交線である特異応力線の影響を考慮して求め る必要があることを示した．いま，図 1 に示すように

3

種類の異なる特性を有する材料が接合した材料を考え る．この図で

f

opは接合端部の

2

側面間の開き角を表し ている．前報では，

f

op

=90º

でかつ材料

1

と

3

が同じ特

性を持つ接合体の熱残留応力の特異応力場を解析した．

これに対して図

1

のような

3

層接合体の場合，界面毎に 特異応力線の特異性のオーダが異なるばかりでなく，開 き角が変化すると接合端における特異応力場の特異性 のオーダも変化する．特に，開き角が鋭角になると側面 の特異応力線が互いに影響を及ぼし合うことが推察さ

＊原稿受付　2009年 3 月　　日

＊1正員，フェロー，長岡技術科学大学工学部（〠940-2188長岡市上富岡 町1603-1）

E-mail : [email protected]

三層三次元異材接合体角部の熱残留応力の強さ^＊ ( 角部開き角の影響）

古口　日出男^{＊ 1}， 近野直樹^{＊ 2}

Intensity of Residual Thermal Stresses at The Vertex in Three-Dimensional Joints with Three Layers (Influence of The Angle between Side Surfaces)

Hideo KOGUCHI

^＊3

and Naoki Konno

＊3 Department of Mechanical Engineering, Nagaoka University of Technology 1603-1 Kamitomioka, Nagaoka, Niigata, 940-2188 Japan

Fig.1 Three-dimensional joint model Materia l 1

Materia l 2 Materia l 3

f

op

Stress singularity line

l

^L23

l

^L12

れる．これにより接合体角部の応力分布は変化するが，

特異応力場の強さと開き角

f

opの関係はまだ明らかにさ れていない．本論文では有限要素法による固有値解析 により，三次元接合体の接合界面角部および特異応力 線に対する特異性のオーダを求め，境界要素法による 応力解析から

2

つの界面角部の特異応力場の強さに対す る開き角

f

opの影響を調べる．

2.　解析方法およびモデル

　2·1 解析方法　　三次元接合体の応力は境界要素法に より求める． その式を以下に示す．

　　

c P u P

_ij

( ) ( )

_j

⁼ ∫

Ω

U P Q t dS

_ij^*

( ^, )

_j

⁻ ∫

Ω

T P Q u dS

_ij^*

( ^, )

_j

···(1) ここで，cijは領域の形状により決まる定数，

W

^は解析 領域の境界，Uij*

とTij*

は変位と作用力に対する基本解で ある．PおよびQはそれぞれ境界上の観測点とソース 点である．tj とujは作用力ベクトルと変位ベクトルで ある．また，本研究では

Rongved

の二相体の解を基本解 として用いているため，界面における要素分割を必要 としない．なお，本論文では領域解法を用いているが，

界面を領域区分の境界に用いていない．

　ここでは，応力特異性のオーダを有限要素法の定式化 に基づく固有値解析により求める．固有値pは特異性 の オ ー ダ

l

^と

l ^=1-p

の 関 係 が あ る． こ の 値pは 次 式 の 固有方程式を解くことにより求められる⁽¹³⁾.

　　

( p A p B

²

[ ] ⁺ [ ] ⁺ [ ] C u ) ^{{ } =} 0 ···(2)

ここで，[A], [B] および [C] は弾性定数からなる行列，

{u}

は変位ベクトルである．

　本論文では，境界要素法により特異応力場における熱 残留応力の分布を求める．等方・均質な弾性体において，

D

^Tの温度変化を受ける時の自由熱膨張に伴う熱ひずみ

e

ijTは次式で与えられる．

　　

ε

_ij^T

= ∆ α δ _T

_ij

···(3)

ここで，

a

は材料の線膨張係数であり，

d

ijは

Kronecker

のデルタである．自由熱膨張が拘束されていると熱応 力が発生する．材料は

Hooke

則にしたがうものとすると，

応力

s

ijとひずみ

e

ijの関係は次式のように表される．

　　

ε ν σ ν

ν σ δ α δ

ij

= + E

ij

−

kk ij

T

ij

+

  

1  +

1 ∆ ···(4)

ここで，Eはヤング率，

n

^{はポアソン比である．}

式

(4)

から応力をひずみで表すと式

(5)

が得られる．

　　

σ

ν ε ν

ν ε δ

ν α δ

ij

= E

ij kk ij

E T

ij

+ +

−

  

 − −

1 1 2 1 2 ∆ _···(5)

　二つの材料がある温度Tで完全に接着された後，温 度 変 化

D

Tを 受 け る 場 合，Duhamelの 定 理 に 基 づ け ば，

側面に仮想表面力が作用する通常の弾性問題と等価な 問題として取り扱うことができる．

　2·2 解析モデル　　図

2

に 解 析 モ デ ル を 示 す． こ の モ デ ル の 外 側 端 部 側 面 間 の 開 き 角

f

opを

30º,45º,65º,75º, 90º,105º,120º,135º,150º

と

9

種 類 に 変 え た モ デ ル を 作 成 し た．解析に用いる材料は，CSP(Chip Size Packaging)で用

いられる

Silicon，FR4.5

と封止樹脂（Resin）である．そ

れ ぞ れ の 材 料 特 性 を 表

1

に 示 す．Siliconお よ び

FR4.5

の 厚 さ は

10mm，Resin

は

0.1mm

で 一 定 と し た． ま た，

熱残留応力解析に用いた

D

^Tは

^-155K

^である．

3. 解析結果および考察 　3·1 固有値解析　

　3·1·1 特異性のオーダ　　接合体の界面角部の特異性

オーダはその角部開き角

f

opの大きさにより変わる．表

2

に固有方程式

(2)

から得られた角部の特異性のオーダ および特異応力線に対する特異性のオーダを併せて示 す．この表から開き角

f

opが大きくなるに伴い，特異性 のオーダは小さくなることがわかる．また，表中の

line

は特異応力線を表し，その特異性のオーダは開き角

f

op

が

180º

に対応する値である．また，これまでの固有値 解析の結果と同様に式

(2)

の固有値pとして角部に対し て はp=1の 三 重 根， 特 異 応 力 線 に 対 し て はp=1の 五 重 根が得られた．これらのことより，三次元接合体界面端

H=10mm t=0.1mm

w=10mm

H=10mm

w=10mm

x y

z

O

φ_op

Silicon

Resin FR4.5

Fig.2 Model for BEM analysis

Table 1 Material properties used in analysis Young's

modulus

Thermal expansion

Poisson's ratio

E [GPa] a ^[10

^-6

^K

^-1

^] n

Silicon 169.1 3.0 0.26

Resin 2.74 33.0 0.38

FR4.5 15.3 14.0 0.15

O

1

O

2

角部における応力場は，角部からの距離rに対して次式 のように書くことができる．

　　

σ

_ij

( r , , θ φ ) ⁼ K f

1 1_{ij ij}

( ) θ φ , r

^−λ

⁺ K f

2_ij 2_ij

( ) θ φ ,

　　　

+ ( )( )

⁻

∑

=

^{K f}

^{kij kij}

^r

^k

k

M

θ φ _{, ln}

²

3

···(6)

ここで，r

=r/t，K

kijは特異性の強さ，fkij

( q ^, f ⁾

^は固有値 に対する応力場の角度依存関数，M=4（三重根の場合），

6（五重根の場合）， q

^，

f

^は図

³

^{に示す球座標系の角度}

である．

　3·1·2 固 有 ベ ク ト ル か ら 得 ら れ た 角 度 依 存 関 数　　 表

2

に示した特異性のオーダに対応する式

(2)

の固有ベ ク ト ル

{u}

か ら 応 力 特 異 点

(

図

2

の

O

1お よ び

O

2

)

を 中 心とする球座標系の応力成分の角度依存関数を求める ことができる．ここでは，界面端のはく離に最も関係 する

s

qqに対する角度依存関数の内，式

(6)

の指数項の f_1qq

( q ^, f ⁾

の界面上の分布について調べる．

　 図

4(a)

お よ び

(b)

は 界 面 端

O

1お よ び

O

2に お け る 角 度依存関数f1qqを

f

^{に対して開き角}

f

op毎に示したもの である．ここで，f1qqは図

2

の端部角の中心

f

op

/2

におけ る値f_1qq

( p ^/2, f

op

/2)

で基準化してある . これらの図では f_1qqと角度

f

を対数で表示している。f_1qqは開き角

f

opが

150º

ではほぼ直線であるが，30ºに近づくに伴い湾曲し てくる．これは反対側の側面の影響であると考えられ

Fig.4 Variation of angular function f

_qq

with f

op

Table 2 The order of stress singularity Open angle

f

op ,

deg Silicon-Resin, l FR4.5-Resin, l

30 0.413 0.238

45 0.410 0.234

65 0.404 0.228

75 0.400 0.225

90 0.395 0.219

105 0.385 0.212

120 0.375 0.205

135 0.364 0.197

150 0.350 0.190

line

0.318 0.179

(a) For the origin at O

1

(b) For the origin at O

2

Interface φ_op

O

A B

Q ρ_a φ

ρ_asin(φ_op-φ)

ρ_asinφ C Stress D

singularity line

Fig.3 A unit sphere for eigen analysis and interface (a) In case of acute angle

θ ρ

O

Interface Q

φ_op φ

P

ρ_aQ' AC

B D

Stress singularity line

る． こ の こ と を 図

3

お よ び 図

4

を 用 い て 考 察 す る． 図

3

は開き角が

f

opである接合体の固有値解析で考えてい る接合界面角部に中心を持つ単位球の一部の図である．

OC, OD

が特異応力線である．図

5(a)

は

f

opが鋭角の場

合の図

3

に示した単位球面の界面上の断面を表してい

1.6 1.4

1.2

1.0 Angular function f1

2 3 4 5 6 7

0.1 ^{2 3 4 5 6 7} 1

Angle , rad

Angule _op deg 30 45 65 75 90 105 120 135 150 Angle

る．また，図

5(b)

は

f

opが鈍角の場合の同様な図である．

ところで，図

4

は図

5(a), (b)

に示した太い実線

CD

上の 角度依存関数f_1qqの分布である．図

5(a)

で角度

f

^の点

^Q

におけるf_1qqは特異応力線に沿って発生している特異応 力場の和として表すことができると考える．すなわち，

特異応力線からの距離

QA= r

A

= r

a

sin f

^{におけるf}1qqをf1qqA

と書くと，f_1qq^A

( p ^/2, r

A

, f ^)=L

1qqA

r

A-lline

+L

_2qq^A

+

LAk

k θθ

∑

= 3 6

(ln r

A

)

^k-3の ように表すことができる．また，もう一つの特異応力 線 か ら の 距 離

QB= r

B

= r

a

sin( f

op

- f ⁾

^{に 対 す るf}1qqをf_1qq^Bと す る と， 点

Q

に お け るf_1qq

( p ^/2, f ⁾

は , そ れ ぞ れ の 特 異 応力線からの影響を重ね合わせることによりL_1qq^A

r

A-lline

+L

_1qq^B

r

B -lline

+ L

_2qq

+

LAk

k θθ

∑

= 3 6

(ln r

A

)

^k-3

+

LBk

k θθ

∑

= 3

6

(ln r

B

)

^k-3のように

書くことができる．なお，本接合体モデルではLkqqA

=L

kqqB

である．一方，

f

opが鈍角の場合，例えば図

5(b)

中の点

Q

ように側面に近いと，OCの特異応力線の影響はある が，ODの特異応力線の影響は無くなると考えられる．

これらのことを考慮すると，界面上の単位球断面上の角 度依存関数は以下のように書くことができる．

1) φ π

op≤

2の場合

　　f A B LEigen

A^line B^line 1θθ

(

π 2, , ,ρ ρ φ

)

⁼ 1θθ

((

ρ⁻λ ⁺ρ⁻λ

)

^+LEigen2θθ

···(7)

2) π φ π

2< _op< の場合

　　 f A LEigen L

Aline Eigen

1θθ 2 1θθ λ 2

π , ,ρ φ ρ θθ

( )

^{= − +}

···(8)

なお，上記の式では対数特異性の項を省略した．図

4

に 対して上記の式の係数L1qqEigen

を最小二乗法により求めた 結果を図

6

に示す．係数を求めるに際し

r

a

=1

とし，表

2

に示した対応する界面に対する特異応力線の

l

lineの値

を用いた．また，角度依存関数は固有値に対応するもの で，界面間の干渉効果および熱応力は含まれていない．

　3·2 境界要素法の解析結果　

　3·2·1　Silicon-ResinおよびFR-Resin界面端近傍の応 力分布 (r 方向の分布）　　つぎに，開き角

f

op

=90º

にお ける接合界面端角部の応力特異場の応力分布をそれぞ れの界面端角部からの距離rを樹脂厚tで無次元化した r/tに対して図

7

に示す．この図のプロットは，界面端 角部

O

1と

O

2を中心とする座標系における応力

s

rrおよ び

s

qqの

f ⁼ f

op

/2, q =10º, 90º, 170º

に対するものである．

以 降，Silicon-Resin界 面 を

Si-Re

界 面，FR4.5-Resin界 面 を

FR-Re

界 面 と 呼 ぶ． 黒 塗 り の シ ン ボ ル は

Si-Re

界 面，白抜きのシンボルは

FR-Re

界面の結果を表してい る． こ の 図 か ら

Si-Re

界 面 上 の

s

qqは，

q ^=170º

^{方 向 の}

s

rrの 分 布 と ほ ぼ 重 な っ て い る こ と が わ か る． さ ら に，

FR-Re

界 面 上 の

s

qqは

q ^=10º

^{方 向 の}

s

rrの 分 布 に 近 い こ

Fig.6 Relationship between L

1

and open angle,

op

Fig.7 Stress distributions in the stress singularity field in case of f

op

=90º

Fig. 5 Influence of side surface on angular function

Interface

φ_op O

A B

ρ_a Q φ

ρ_asinφ ρ_asin(π+φ-φ_op)

C D

Stress singularity line

Stress singularity line

(b) In case of obtuse angle

Eigen

とがわかる．また，中間層を挟んでいる

Si

と

FR4.5

の

s

rrの方が，中間層内の

s

rrより大きくなっている．界面 で挟まれた中間層は変形が拘束されているため，中間層 内の応力が小さくなっていると考えられる．すなわち，

本来特異応力場の応力分布に従えば，端部の変形は大 きくなるはずであるが（この場合，実際ははく離など が発生），界面はほぼ互いに平行な平面をなしているた め変位場が拘束され，特異応力場の領域サイズが制限 されていると考えられる．また，両界面上のr/t>1の範 囲で

s

qqの分布が重なっていることから，中間層厚さ以 上界面端から離れると，

s

qqについて二つの界面はあた かも一つの界面と同様に見なすことができると言える．

このことは他の開き角についても言える．

　図

8

は開き角毎に二つの界面上の

f ⁼ f

op

/2

方向の応力

s

qqをr/tに対してプロットしたものである．この図から

Si-Re

界面の方が熱残留応力が大きいこと，FR-Re界面

ではおよそr/t=0.1の位置で

s

qqが最小となることがわ かる．また，この応力分布から

f ⁼ f

op

/2

におけるr方向 の特異応力場の強さ , すなわち式

(6)

の係数K_1qqを最小 二乗法で求めることができる．求められたK1qqと開き 角

f

opの関係を図

9

に示す．この図から，K1qqは

f

op

=90º

で最大値をとるが，

f

opが

90º

を境に

f

opに対するK1qqの 変化の様子が変わっている．

　3·2·2　Si-Reお よ びFR-Re界 面 端 近 傍 の 応 力 分 布 (

f

方 向 の 分 布 ）　　 つ ぎ に， 界 面 の 特 異 応 力 場 に お け る

s

qqの 角 度

f

に 対 す る 分 布 を 調 べ る． 図

10

は

FR-Re

界

面のr=0.1

m m

における開き角の中心を原点とした座標

Fig.9 The intensity of singularity at the vertex for various open

angles (a) For Si-Re interface

1 10 100 1000

Stress , MPa

0.001 0.01 0.1 1 10

r/t

Si-Re _op , deg

30 45 65 75 90 105 120 135 150 FR-Re

_op , deg 30 45 65 75 90 105 120 135 150

Fig.8 Stress distributions near the vertex for various open angles at f ⁼ f

op

/2

Fig.10 Stress distributions near the vertex on the FR-Re interface for angle f

hqq

f = f ^- f

op

/2

に 対 す る

s

qqの 分 布 で あ る． こ の 図 か ら

s

qq

は開き角

f

opが

30º

から

90º

まで増大し，それ以上開き 角が大きくなると低下していることがわかる．

　図

8

の分布が基準となるように，図

10

の応力分布を 各開き角の

f ⁼ f

op

/2

における

s

qqで無次元化すると固有 値解析で得られたf_qqと同様に側面の特異応力線の影響 を調べることができる．このようにして得られる分布 は固有値解析で得られる全ての固有値成分を含んでい ると考えられる．無次元化した応力をh_qqと表し，図

11

に側面からの角度

f

に対して両対数で示す．図

11(a)

は

Si-Re

界 面，11(b)は

FR-Re

界 面 に 対 す る 分 布 で あ る．

Si-Re

界面の分布は図

4(a)

の

Si-Re

界面のf1qqの分布に

似ているが，FR-Re界面の分布は図

4(b)

の分布にあま り似ていない．これは，界面同士の干渉効果のためと考 えられる．

　 図

12

に 示 す よ う に 角 点

O

2か ら 距 離raに あ る

FR-Re

界面上の点

Q

の応力を考える．点

Q

の応力場は

FR-Re

界面単独の特異応力場に

Si-Re

界面の応力特異場の影響 を考慮することにより得られる．すなわち，

　　

σ

θθQ

θ θ φ

θθ θθ

φ

λ

a A B fr re fr re

r , , , K f r

a ^v

( ) ⁼

1⁻ 1 ⁻

( )

⁻

ffr re

K

fr re fr re

f K f

si rerr srr

−

+

2θθ⁻ 2θθ⁻

( ) φ ⁺

1⁻ 1^{ii re} _{A B a}

si rerr sirr

r K f

vsi re

− −

−

( ) ⁺

+

θ θ φ , ,

^{2 λ}−

2 2

1

−−^re

( θ θ φ

A

, ,

B

) ⁺ 

と 近 似 的 に 書 く こ と が で き る． な お，ra

=r

a

/t

で あ る．

図

7

に示したように応力成分

s

rrは一方の界面から見る と，その界面に対する垂直応力成分となっている．また，

角度依存関数f1rrsi-re

( q

A

, q

B

, f ⁾

^は，

f

opが鋭角の場合 , 次式 のように書くことができる．

Fig.11 Distribution of normalized stress, h

_qq

, for angle f (b) For FR-Re interface

1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1

1.0

Normalized stress

2 3 4 5 6 7 8

0.1 ² 3 4 5 6 7 8

1 Angle , rad

Angle _op , deg 30 45 65 75 90 105 120 135 150

2

[

\ ]

UD

W

$

%

&

'

(

)

*

+

4 2

2 2 UDVLQz

3 z

θ^$ θ^%

)55HVLQLQWHUIDFH

6LOLFRQ5HVLQLQWHUIDFH

Fig.12 Schematic view of interaction between two interfaces

　　

f

si rerr

L

A B Eigenrr A ^line

si re

1 −

( ^{θ θ φ} , , ) ⁼

1

( ^ρ

^*−^λ−

⁺ ρρ

_B^{*−λlinesi re−}

) ⁺ L

^Eigen2_rr

···(10)

な お，

q

A

= p ^/2+tan

^-1

⁽

ra

sin f )， q

B

= p ^/2+tan

^-1

⁽

ra

sin( f

op

- f ^)), r

A*

= r

a

sin f ^/sin q

A,

r

B*

= r

a

sin( f

op

- f ^)/sin q

Bである．こ

こで，

r

aは図 4 に示した角度依存関数を表示する際に 用いた変数である．

　 図

11

の 無 次 元 化 応 力h_qqはra

=0.001

に お け る

s

qqで 式

(9)

を割ったものに相当する．式

(9)

中の右辺第三項 中の

1 + r

² は 1 で近似することができ，定数と置くこ とができる．このように簡単化しても，

s

qqQは

q

A，

q

Bの 関数，すなわち開き角

f

opの関数である．これらの点を 考慮し，本研究ではなるべく簡単な式で境界要素法から 得られた応力分布に対する角度依存関数を新しくg_1qqと 置いて，次式のように書くことにする．

1)

φ π

op≤

2 の場合

　　

g L

^BEM A line B line

L

BEM

1θθ 1θθ λ λ 2

ρ ρ

θθ

= (

⁻

+

⁻

) ⁺ ···(11) 2)

π φ π

2< _op< の場合 　　

g L

^BEM A line

L

BEM

1θθ 1θθ λ 2

ρ

θθ

=

⁻

+ ···(12)

この式は，固有値解析に対する角度依存関数と同様な 式 で あ る が， こ の 式 の 係 数L1qqBEM,L2qqBEM

は

f

opお よ びt の 関 数 で あ る． 図 11 に 対 し て こ の 式 の 係 数 を 最 小 二 乗法で求めた結果を図

13

に示す．角度依存関数f_1qqに 対して得られた係数も併せて示す．この図から開き角

f

opが大きくなるに従って係数が大きくなっていくこと がわかる．また，FR-Re界面の係数は境界要素法の方 が 大 き い こ と が わ か る． こ れ に つ い て は，Si-Re界 面 , hqq

···(9)

の特異応力線の特異性のオーダの値が大きく，特異応

力線から

FR-Re

界面の応力分布に対する影響が大きい

ため , 係数の値が大きくなったものと考えられる．一方，

Si-Re

界面に対する係数は境界要素法の結果と角度依存

関数であまり変わらない．これを調べるために式

(7)

の

L_1qq^Eigenに対する式

(11)

のL_1qq^BEMの比をとった．この比と

開き角に対する関係を図

14

に示す．この図からL_1qq^BEM/

L1qqEigenの比の最小値は，開き角が

90º

の場合に生じてい

ることがわかる．開き角が

90º

より小さい場合，Si-Re

および

FR-Re

界面の特異応力線がお互いに影響し合っ

ているため，比の値が大きくなっている．また，開き角 が

90º

より大きい場合，Si-Re界面の特異応力線上の応 力 特 異 場 の 領 域 が 大 き く な る． こ の た め，FR-Re界 面

におけるL1qqBEM/L1qqEigenの比の値が大きくなっていると考

え ら れ る． さ ら に，FR-Re界 面 の 特 異 応 力 線 の 特 異 応 力場の領域が

Si-Re

界面のそれより小さいため，Si-Re

界面のh_qqの分布には

FR-Re

界面はほとんど影響を与え ていないと考えられる．

　 三 次 元 接 合 体 角 部 の 特 異 応 力 場 の 応 力 分 布 は，

g1qq

( q ^, f ⁾

を用いて次式のように書けるとする．

　　

σ

_θθ

( r , , θ φ ) ⁼ K g

1_θθ 1_θθ

( ) θ φ , r

^−λ

⁺ K g

2_θθ 2_θθ

( ) θ φ ,

　

+ ( )( )

⁻

∑

=

^{K g}

^{k k}

^r

^k k

M

θθ θθ

θ φ , ln

²

3

···(13)

この式に式

(11)，(12)

を代入すると次式が得られる．

1)

φ π

op≤

2 の場合

　　

σ

_θθ

( r , , θ φ ) ⁼ K

1_θθ

{ L

^BEM1_θθ

( ρ

_A^−λline

⁺ ρ

_B^−λline

) ⁺ L

22θθBEM

} r

⁻λ

　

+ ( ) ⁺ ( )( )

⁻

∑

=

K g K g

k k

r

k

k M

2 2 2

θθ θθ

θ φ _,

3 θθ θθ

θ φ _{, ln} ···(14) 2)

π φ π

2< _op< の場合

　　

σ

_θθ

( r , , θ φ ) ⁼ K L

1_θθ ^BEM1_θθ

{ ρ

_A^−λline

⁺ L

^BEM2_θθ

L

1^B_θθEEM

} r

^−λ

　+

( )

⁺

( )( )

⁻

∑

=

K g K g_{k k} r ^k

k M

2 2 2

θθ θθ

θ φ

, 3 θθ θθ

θ φ

, ln

···(15)

ここで，これらの式の第一項目の係数K_1qqL_1qq^BEMを三次 元特異応力場の強さK_qq^3Dと定義する．図

15

は本研究で 調べた接合体のそれぞれの界面における熱残留応力の 三次元特異応力場の強さK_qq^3Dと開き角

f

opとの関係であ る．図中には両者の関係を直線で示した．この図から

f

opが 大 き く な る に 伴 い，K_qq^3Dも 大 き く な っ て い く が，

90º

を境にその傾向が変わっていることがわかる．また，

FR-Re

界面においては直線の傾きがほとんど同じであ

るが，90ºを境に直線の切片が異なっている．このよう に三次元異材接合体の角部の熱残留応力の特異応力場

Fig.15 A relationship between three-dimensional intensity of

singularity K

^3D_qq

and open angle f

op

2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 Ratio of L1θθΒΕΜ /L1θθEigen

140 120 100 80 60 40

Open angle , _op deg Si-Re FR-Re

Fig.14 A relationship between ratio of L

_1qq^BEM

against L

_1qq^Eigen

and open angle, f

op

Fig.13 A relationship between L

1qq

and open angle, f

op

1.5

1.0

0.5

0.0 L1qq

140 120 100 80 60 40

Open angle , _op deg

Si-Re(BEM) FR-Re(BEM) Si-Re(Eigen) FR-Re(Eigen)

の強さと開き角

f

opとの間には簡単な関係があると言え る．

4. 　結 　　　　　 言

　三層三次元異材接合体の角部の開き角が異なる接合 体における熱残留応力の特異応力場の強さを，有限要素 法による定式化で得られた固有方程式と境界要素法に より得られた応力分布をもとに調べた．その結果，以下 のことが得られた．

(1)

界面角部における特異性のオーダは，開き角が大き くなるに伴い小さくなる．また，固有値解析から得られ た角度依存関数の界面上の分布は特異応力線の影響を 受けている．

(2)

界面上の角度依存関数の特異応力線からの距離に相 当 す る 角 度

f

の 指 数 項 の 係 数L1qqは， 開 き 角 が 大 き く なるにともない大きくなる．

(3)

境界要素法で得られた応力の界面角部からの距離に 対 す る 分 布 の 指 数 項 の 係 数

K

1qqは， 開 き 角 が

90º

の 時 に極値を持つ．

(4)

境界要素法で得られた界面角部近傍の応力について，

角部から一定の距離における分布を調べた結果，Si-Re

界面と

FR-Re

界面で界面上の角度

f

^{に対する関係が異}

なることがわかった．

(5)

特異性のオーダが大きい特異応力場の方が，応力場 の強さも大きく，弱い特異応力場に対して大きい影響を 与える．

(6)

新しく三次元接合体界面角部の特異応力場の強さを 定義した．得られた三次元特異応力場の強さは，開き角 が大きくなるに伴い大きくなり，開き角が

90º

を境に両 者の関係が変わることわかった．

　本研究を行うにあたり科学研究費補助金（基盤研究

(C)）（課題番号 19560079）の援助を受けた．ここに謝

意を表す．

文　　　　　　　　献

(1) Bogy, D.B., On the Problem of Edge-Bonded Elastic Quarter Planes Loaded at the Boundary, International Journal of Solids Structures, Vol.6, (1970), pp.1287-1313.

( 2 ) B o g y, D . B . , Tw o E d g e - B o n d e d E l a s t i c We d g e s o f DifferentMaterials and Wedge Angles under Surface Tractions, Journal of Applied Mechanics, Vol.38, (1971), pp.377-386.

(3) Bogy, D.B. and Wang, K.C., Stress Singularities at Interface Corners in Bonded Dissimilar Isotropic Elastic Materials, International Journal of Solids Structures, Vol.7, (1971), pp.993- 1005.

(4) Dempsey, J.P. and Sinclair, G.B., On the Stress Singularities in the Plane Elasticity of the Composite Wedge, Journal of Elasticity,Vol.9, (1979), pp.373-391.

(5) Munz, D. and Yang, Y.Y., Stress Singularity at the Inerface in

Bonded Dissimilar Materials Under Mechanical and Thermal Loading, Journal of Applied Mechanics, Vol.59, (1992), pp.857- 861.

(6) Munz, D., Matthias, A. and Yang, Y.Y., Thermal Stresses in Ceramic-Metal Joints with an Interlayer, Journal of the American Ceramic Society, Vol.78, No.2(1995), pp.285-290.

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Journal of Society Material Science,

Japan, Vol.53, No.8(2004), pp.841-845.

(8) Inoue, T., Koguchi, H. and Yada, T., Basic Characteristic on Distribution of Thermal Stresses near Apex in Dissimilar Materials, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Ser. A, Vol.61, No.581(1995), pp.73-79.

(9) Koguchi, H., Yamaguchi, M., Minaki, K. and Prukvilailert, M., Analysis of Stress Singularity Fields in Three-Dimensional Joints by Three-Dimensional Boundary Element Method Using Fundamental Solution for Two-Phase Transversely Isotropic Materials, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series A, Vol.69, No.679(2003), pp.585-593.

(10) Koguchi, H., Sakai, H. and Prukvilailert, M., Analysis of Stress Singularity Field in Three-Dimensional Joints Using Three-Dimensional Boundary Element Method, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Ser. A, Vol.71, No.703(2005), pp.402-410.

(11) Monchai, P., and Koguchi, H., Boundary element analysis of the stress field at the singularity lines in three-dimensional bonded joints under thermal loading, Journal of Mechanics of Materials and Structures, Vol. 2, No.1(2007), pp.149-166.

(12) Koguchi, H. and Taniguchi, T., Characteristics of Stress Singularity Field of Residual Thermal Stresses at vertex in Three-Dimensional Bonded Joints, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Ser. A, Vol.74, No.724(2008), pp.864-872.

(13) Pageau, S.S. and Bigger, Jr S.B., Finite Element Evaluation of Free-Edge Singular Stress Fields in Anisotropic Material, International Journal of Numerical Methods in Engineering^, Vol.38, (1995), pp.2225-2239.