0.2. z, w ∈ C, w 6= 0

複素解析学序論

, 07/04/27.

共役複素数の補足問題．

問

0.1. z ∈ C

に対し，

|z| = |z|.

問

0.2. z, w ∈ C, w 6= 0

なら

³ z w

´

= z w .

問

0.3. z ∈ C

に対し次が成立：

• z ∈ R ⇔ z = z.

• z ∈ iR,

即ち

z

が純虚数

⇔ z = −z.

問

0.4. z, w ∈ C, w 6= 0

とする．次が成立：

• z/w ∈ R ⇔ zw ∈ R.

• z/w ∈ iR ⇔ zw ∈ iR.

複素数の幾何学的表示（続）

複素数の全体

C

を

C 3 x + iy 7→ (x, y) ∈ R ²

に より

R ²

と同一視したものを，

Gauss

平面と呼ぶ のだった．

平面

R ²

に於ける幾何的な対象を，複素数の演 算で記述することが出来る．

この節の内容については，例えば今吉洋一，「複 素関数概説」，サイエンス社，

ISBN4-7819-0847- 0

の

1

章などを参照．附属図書館の整理番号は，

413.52/Im/Fu.

問

0.5. z ₁ = x ₁ + y ₁ i, z ₂ = x ₂ + y ₂ i ∈ C,

の時，

z ₁ ± z ₂ = (x ₁ ± x ₂ ) + (y ₁ ± y ₂ )i

である．これを平面上で図示せよ．

問

0.6.

異なる複素数

z ₁ , z ₂ , z ₃ ∈ C

に対し，次は 同値：

• Gauss

平面上で，

z ₁ , z ₂ , z ₃

は同一直線上にあ る．

• (z ₁ − z ₂ )(z ₃ − z ₁ ) ∈ R.

• Im(z ₁ − z ₂ )(z ₃ − z ₁ ) = 0.

問

0.7.

相異なる複素数

z ₁ , z ₂ , z ₃

に対して，

z ₁ , z ₂

を通る直線と，

z ₁ , z ₃

を通る直線とが直交する条件 を求めよ．

O _- x

6 y

t z ₁

t z ₂

t z

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

図

1: Gauss

平面での直線

問

0.8. z ₁ , z ₂ ∈ C, z ₁ 6= z ₂

を通る直線上の点

z

は 次を満たす（図

1

）：

(z ₂ − z ₁ )z − (z ₂ − z ₁ )z − z ₁ z ₂ + z ₁ z ₂ = 0.

（ヒント：問

0.6

を使う）．

問

0.9.

相異なる複素数

z ₁ , z ₂

に対し，直線

l

は

z ₁

を通り，かつ

z ₁ , z ₂

を結ぶ直線に直交するとする．

このとき直線

l

上の点

z

は次を満たす：

(z ₂ − z ₁ )z + (z ₂ − z ₁ )z + 2|z ₁ | ² − z ₁ z ₂ − z ₁ z ₂ = 0.

（ヒント：問

0.7, 0.8

を使う）．

定理

0.10 (

三角不等式

). z ₁ , z ₂ ∈ C

に対して，次 が成立：

|z ₁ | − |z ₂ | ≤ |z ₁ + z ₂ | ≤ |z ₁ | + |z ₂ |,

等号成立は

• ||z ₁ | − |z ₂ || = |z ₁ + z ₂ | ⇔ z ₁ z ₂ = 0,

または

z ₂ = kz ₁ , k ∈ (−∞, 0).

• |z ₁ + z ₂ | = |z ₁ | + |z ₂ | ⇔ z ₁ z ₂ = 0,

または

z ₂ = kz ₁ , k ∈ (0, ∞).

定理

0.11 (

直線の方程式

). Gauss

平面上の直線の 方程式は，次で与えられる：

Bz + Bz + C + C = 0,

但し

B, C ∈ C

は定数で，

B 6= 0.

証明

. R ²

に於ける直線は

ax +by + c = 0, a, b, c ∈ R

と書ける．

x = Re(z) = (z + z)/2, y = Im(z) = (z − z)/2i

として式を整理する．

1

問

0.12.

次の方程式で与えられる直線を

Gauss

平 面上に図示せよ：

1. z − iz = 0.

2. |z − i| = |z + i|.

定理

0.13 (

円の方程式

). Gauss

平面上の円の方程 式は次で与えられる：

Azz + Bz + Bz + C = 0,

但し

A ∈ R, B ∈ C, C ∈ R

は定数で，

A 6= 0,

|B| ² − AC > 0.

証明

.

円の方程式

a(x ² + y ² ) + 2bx + 2cy + d = 0, a, b, c, d ∈ R

において，

z = x + iy, A = a, B = b + ci, C = d

などとする．

この式は，

µ z + B

A

¶ µ z + B

A

¶

= BB − AC A ²

と 書 き 直 せ る の で ，円 の 中 心 が

−B/A,

半 径 が

q

BB−AC

A

² で あ る こ と も わ か る ．よって ，

BB − AC > 0

であることが，実円であるための 必要十分条件．

注意

0.14.

定理

0.13

で，

A = 0

とすると定理

0.11

の式になる．即ち，直線は，中心が無限遠点，半 径が無限大の円とみなせる．

問

0.15.

次の方程式で与えられる円を

Gauss

平面 上に図示せよ：

1. |2z − 1| = 8.

2. 2|z − i| = |z + i|.

問

0.16 (

直線のパラメータ表示

). z ₁ , z ₂ ∈ C

を通 る直線は次のようにパラメータ表示される：

z = (1 − t)z ₁ + tz ₂ , t ∈ R.

問

0.17. Gauss

平面において，

1 + i, −2 + 3i

を通 る直線のパラメータ表示を求めよ．

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