数学
B
演習 第
4
回
2014 年 7 月 9 日 (水) 担当: 田中 冬彦1 事前に担当者を割り当てて,演習当日に黒板で解答してもらう. 講義ノートを参照して解答を準 備してくること. ただし, 難しい場合はオフィスアワーなどで質問に応じるので,担当者は責任を もって解答を準備する. また,担当者以外も解答を考えてくるのが望ましい.4
コーシーの積分公式とその応用
4.1
コーシーの積分公式
コーシーの積分公式とグルサの公式 f (z): 領域D 上で正則な複素関数 C: 領域D 内部の区分的になめらかな単純閉曲線 (i) a を C の内部の点とすると, 1 2πi I C f (z) z− adz = f (a). a を C の外部の点とすると, 上の積分は 0 になる (コーシーの積分定理).(ii) 上の定理を用いると, ∀a ∈ D について, 中心を a とする開円板 Ua,r ⊆ D が存在
して f のべき級数展開が得られる. f (z) = ∞ ∑ n=0 An(z− a)n,∀z ∈ Ua,r, An := 1 2πi I C f (ζ) (ζ − a)n+1dζ, n = 0, 1, . . . , ただし, C は a を内部に含むD 内の区分的になめらかな単純閉曲線.
(iii) 開円板 Ua,r ⊆ D で f のべき級数表示を微分することにより f(n)(a) = n!An, n =
0, 1, . . . であるから, 以下の公式が成立 (グルサの公式). f(n)(a) n! = 1 2πi I C f (ζ) (ζ − a)n+1dζ, n = 0, 1, . . . . 問 51. 以下の積分を計算しなさい. 1たなか ふゆひこ, 基礎工学部 J 棟 J612 号室, ftanaka@sigmath.es.osaka-u.ac.jp
(i) I |z−a|=1 sin z z− adz. (ii) I |z−a|=2 cosh z z− adz. (iii) I |z−a|=6 e−z (z− a)(z − b)dz. (ただし, |a − b| > 6.) 問 52. 以下の積分を計算しなさい. (a) I |z|=6 1 1− azdz, (|a| ̸= 1/6.), (b) I |z−a|=1 sin z (z− a)3dz, (c) I |z−a|=2 e−z (z− a)(z − b)dz. (ただし, 0 <|a − b| < 2.) 問 53. fn(z) := n ∑ j=0 zj = 1 + z +· · · + zn, f (z) := 1 1− z とおく. 0 < r < 1 について, 円 周 Cr :={z ∈ C : |z| = r} をとるとき, fnは Cr上で f に一様収束することを以下にした がって示しなさい. (i) 円周上の任意の点 z0を固定すると, lim n→∞fn(z0) = f (z0) になることを示しなさい. (ii) ∥f − g∥C := sup z∈Cr |f(z) − g(z)| と定義する. (∥h∥Cは関数 h のノルムの一種. ここでは ∥f − g∥Cを用いて Cr上での二つの関数のひらきを測っている.) ∥f − fn∥C ≤ rn+1 1− r を示しなさい. (iii) 以上を用いて fnは f に Cr上で一様収束することを示しなさい. ただし, ここで関数 fnが f に集合 A 上で一様収束するとは n→ ∞ のとき, sup z∈A|f n(z)− f(z)| → 0 と定 義する. コーシーの不等式とその応用 (i) 原点中心, 半径 R の開円板 U0,R上で f (z) は正則, かつ有界|f(z)| ≤ M, ∀z ∈ U0,R とする. このとき, |f(n)(z)| ≤ M n! (R− |z|)n, n = 1, 2, . . . が成立. (z = 0 の時, コー シーの不等式 (評価式) という.) (ii) f が (無限遠点をのぞく) 複素平面全体で正則な時, 整関数という. 有界な整関数 は定数関数にかぎる. (リウヴィルの定理.) (iii) f (z) が n 次多項式の時, 重複度をこめてちょうど n 個の根をもち, それを α1, . . . , αnとかけば, f (z) = c(z − α1)(z − α2)· · · (z − αn), c ̸= 0 のように必 ずかける. (代数学の基本定理.)
問 54. グルサの公式を用いてコーシーの不等式を証明しなさい. 問 55. 整関数 f (z) は z = 0 を中心にしたテーラー展開が可能であり, 任意の定数 R > 0 について f (z) = ∞ ∑ n=0 f(n)(0) n! z n, |z| < R, が成立. このこととコーシーの不等式を用いて, リウヴィルの定理を証明しなさい. 問 56. Qn(z) を n 次多項式とする. (i) 少なくとも一つ Qn(z) = 0 を満たす根 z = α が存在することを示しなさい. (ヒント: 仮に根が存在しない場合 1/Qn(z) についてリウヴィルの定理を用いてみよ.) (ii) z = α が多項式 Qn(z) の根の時, Qn(z) = (z− α)Rn−1(z), （Rn−1(z) は n− 1 次多項 式）のようにかけることを利用して, 代数学の基本定理を証明しなさい. 問 57. n 次多項式 Qn(z) = a0 + a1z +· · · + an−1zn−1 + zn を考える. 多項式は異なる根 α1, . . . , αnをもつものとする. (i) Q′n(z) を Qn(z) の微分とする. Q′n(z)/Qn(z) = n ∑ j=1 1 z− αj を示しなさい. (ii) 原点中心, 半径 R の円を CRとかくとき, IR := 1 2πi I CR Q′n(z) Qn(z) dz を求めなさい. ただし, R > max{|α1|, . . . , |αn|} とする. (iii) lim R→0IRを求めなさい. (必要に応じて場合分けすること.)
4.2
特異点と留数
領域D で定義された関数 f について, z = c が f の孤立特異点とは ∃ r > 0 s.t. 0 < |z − c| < r で f は正則 と定義. 主に c /∈ D に対して定義. (例: f(z) = 1/(z − c) は D = C \ {c} で正則であり, f は z = c を孤立特異点にもつ.)問 58. cos z ̸= 0 なる点で tan z := sin z
cos z と定義する. 定義されている集合上では tan z は 正則である.
(i) tan 1/z について, z = 0 を含め定義されていない点をすべて求めなさい. (ii) 前問を利用して, z = 0 が孤立特異点か調べなさい.
ローラン展開 f は 0 <|z − c| < R なる領域 D で正則とする. (したがって, z = c は孤立特異点.) (i) 領域D に含まれる任意の閉円環 r1 ≤ |z − c| ≤ r2で f (z) = ∞ ∑ n=−∞ an(z− c)n のように一様収束級数に展開できる.（ローラン展開）このとき, 展開係数は一意 に定まる. (ii) ローラン展開において−1 次の項の係数 a−1を留数 (residue) という. Resz=af := a−1 ( = I |z−c|=ϵ f (z) dz 2πi ) (iii) ローラン展開において −1 ∑ n=−∞ an(z− c)nを主要部という. 主要部が 0 の時, z = c を正則点という. 主要部が無限に続くとき, つまり a−k ̸= 0 なる正の整数 k が無 限にあるとき, z = c を真性特異点という. 主要部が有限項, つまり a−k (z− c)k +· · · + a−1 z− c, a−k ̸= 0 の時, z = c を k 位の極という. 問 59. f (z) = sin z z について以下の問に答えなさい. (i) z = 0 まわりでローラン展開しなさい. (ii) z = 0 が正則点であることを示しなさい. 問 60. f (z) = sin 2z z2 について以下の問に答えなさい. (i) z = 0 まわりでローラン展開しなさい. (ii) z = 0 が正則点であることを示しなさい. (ヒント: sin2z を cos 2z の形にする.) 問 61. f (z) = 1 z2(z + 3)について以下の問に答えなさい. (i) z =−3 を中心とし, 0 < |z + 3| < 3 でローラン展開しなさい. (ii) z = 0 を中心とし, 0 <|z| < 3 でローラン展開しなさい.
問 62. f (z) = e1/zについて以下の問に答えなさい. (i) z = 0 まわりでローラン展開しなさい. (ii) z = 0 が真性特異点であることを示しなさい. 問 63. f (z) = e1/zについて以下の問に答えなさい. (i) 0 < r1 < r2 <∞ を任意に固定する. 問 62 で求めた展開において, r1 ≤ |z| ≤ r2で一 様収束することを示しなさい,（ヒント: fn(z) := n ∑ j=0 aj 1 zj とおくとき sup r1≤|z|≤r2 |f(z)− fn(z)| ≤ ∞ ∑ j=n+1 aj 1 r1j → 0 を示せばよい.） (ii) 0 < r2 <∞ を任意に固定する. 問 62 で求めた展開において, 0 < |z| ≤ r2では一様収 束しないことを示しなさい. （ヒント: fn(z) := n ∑ j=0 aj 1 zj とおくとき sup 0<|z|≤r2 |f(z) − fn(z)| = ∞ を示せばよい.） 一般のローラン展開 f は 0 < r < |z − c| < R なる円環領域 D で正則とする. (この場合, z = c は孤立特異 点とは限らない.) この時 D に含まれる閉円環 r1 ≤ |z − c| ≤ r2上では f (z) = ∞ ∑ n=−∞ an(z− c)n のように一様収束級数に展開できる. 問 64. 1 z2(z− 2)について以下の問に答えなさい. (a) 0 <|z| < 2 で z = 0 のまわりでローラン展開しなさい. (b) 2 <|z| < ∞ で z = 0 のまわりでローラン展開しなさい. (a) の結果と一致するか. 問 65. 以下の関数について z = 0 を中心としてローラン展開し, z = 0 が極, 正則点, 真性 特異点のいずれであるか述べなさい. (i) 1 z(z2+ 1), 0 <|z| < 1. (ii) sin z z . (iii) z ez− 1 (ベルヌーイ数を用いる.)
問 66. 関数 z z2− 3z + 2 について z = 0 を中心として 1 <|z| < 2 でローラン展開せよ. 留数定理と計算公式 複素関数 f は, 区分的になめらかな単純閉曲線 C とその内部において有限個の点 z1, . . . , zn以外で正則とする. (したがって, z = z1, . . . , zn は f の孤立特異点.) こ のとき, 以下の公式が成立. I C f (z)dz 2πi = n ∑ j=1 Resz=zjf また, f が z = c に k 位の極をもつとき, (z− c)kf (z) = a −k + a−k+1(z− c) + · · · のよ うにかける. この場合, 留数は以下で計算できる. a−1 = 1 (k− 1)!limz→c ( d dz )k−1{ (z− c)kf (z)}. 問 67. I |z|=ϵ 1 sin z dz 2πi を計算しなさい. ただし, ϵ は十分小さい正の定数とする. 問 68. f (z) = 1 z2(z + 3)について以下の問に答えなさい. (a) 孤立特異点（正則点を除く）をすべて求めなさい. (b) (a) の各特異点の近傍でローラン展開しなさい. (c) (a) の各特異点での留数を求めなさい. 問 69. f (z) = sin z sin(z− 1) z2(z− 1)3 とおく. z = 0, z = 1 での極の位数について答え, 留数を求 めなさい. (ヒント: z = 1 の近傍では f (z) = a−2 (z−1)2 + a−1 z−1 + . . . とかけることがただちに わかる. そこで, a−2が 0 かどうか確認すれば位数がわかる.)
4.3
無限遠点
w := 1/z, w = 0 なる点として形式的に z =∞ を導入 (無限遠点). f (z) = f (1/w) = g(w) とおくとき • z = ∞ が孤立特異点 ⇔ w = 0 が g(w) の孤立特異点. • z = ∞ が正則点 ⇔ w = 0 が g(w) の正則点. • k 位の極や真性特異点も同様に定義.問 70. w = 1/z とおく. (a) 領域|z| < 1 は w 平面においてどのような領域にうつるか. (b) 反時計回りの円周 z = reiθ, 0≤ θ ≤ 2π は w 平面においてどのような曲線にうつるか. 向きも含めて答えなさい. (c) e−1/zにおいて z =∞ は極, 真性特異点, 正則点のいずれであるか理由をつけて答えな さい. 問 71. f (z) = e1/zについて, 以下の問に答えなさい. (i) z = 0 が真性特異点であることをローラン展開によって示しなさい. (ii) zn= 1/n の時, lim n→∞|f(zn)| を求めなさい. (iii) zn=−1/n の時, lim n→∞|f(zn)| を求めなさい. 問 72. f (z) = e1/zについて, 以下の問に答えなさい. ただし, k > 0, 0≤ δ < 2π とする. (i) rn := 2nπ1−δ, θn:= π2 − krn, n = 1, 2, . . . , の時, lim n→∞ cos θn rn = k を示しなさい. (ii) lim n→∞e i(sin θnrn ) = e−iδを示しなさい.
(iii) 複素数 α(̸= 0) に対して limn→∞zn = 0, limn→∞e1/zn = α を満たす複素数の列 {zn}
を構成しなさい. 一般に真性特異点 z = a の近傍では α を任意の複素数 (無限遠点 +∞ も含む) とするとき lim n→∞zn = 0, limn→∞f (zn) = α を満たす数列{zn} が存在する. （ワイエルシュトラスの定理.） 問 73. ワイエルシュトラスの定理を用いて, 複素関数 f (z) の孤立特異点 z = c に関する 以下の同値性を示しなさい. (難) (i) z = c が正則点 ⇐⇒ lim z→cf (z) が有限の値で存在. (ii) z = c が k 位の極 ⇐⇒ lim z→c|f(z)| = +∞. (iii) z = c が真性特異点 ⇐⇒ lim z→cf (z) が存在しない.
5
定積分の計算への応用
一般に 1 x2+1の積分は arctan x を用いて計算できる。しかし, ∫ ∞ −∞ 1 x2+ 1dx の場合はコー シーの積分定理を応用することでも計算可能になる. ジョルダンの補助定理 CRを原点を中心とする半径 R(> 0) の円周の上半分とする. f (z) が|z| = R → ∞ で 1/R2のオーダーならば ∫ CR eiazf (z)dz → 0, R → ∞ は容易に示せる. もっと遅い場合は次の結果 (ジョルダンの補助定理) を用いる. 上半面 0 ≤ arg z ≤ π で z → ∞ の時, f(z) が一様に 0 に収束するとき, 任意の a > 0 で, IR := ∫ CR eiazf (z)dz → 0, R → ∞ が成立. 円周を扇型に制限した (0≤)θ1 ≤ arg z ≤ θ2(≤ π) の範囲で考えてもよい. 問 74. f (z) は|z| > R0 > 0 で正則であり, さらに|f(z)| ≤ A |z|2 が成立しているとする. こ の時, 以下を示しなさい. IR := ∫ CR eiazf (z)dz → 0, R → ∞ ただし, CRは原点を中心, 半径 R(> R0) の円周の上半分とする. 問 75. 複素積分 JR := ∫ CR eiaz (z− i)2dz を考える. ただし, CRは原点を中心, 半径 R の円周の上半分, a は実定数とする, 以下の問 に答えなさい.(a) z = Reiθ = R(cos θ + i sin θ), 0≤ θ ≤ π とおくことにより,
|JR| ≤ ∫ π 0 e−aR sin θ (R− 1)2dθ を示しなさい. (b) a≥ 0 の時 lim R→∞JRを求めなさい. また, a < 0 の時はどうなるか. 問 76. Qn(z) を z の n 次多項式とする (n≥ 1).
(a) R を十分大きい正の定数とする. このとき, 適当な正の定数 A > 0 が存在して, |z| ≥ R ⇒ 1 |Qn(z)| ≤ A Rn のように上からおさえられることを示しなさい. (これは Qn(z)−1 = O(R−n) を示して いる. ) (b) n≥ 2 とする. a ≥ 0 を実定数とする. この時, JR := ∫ CR eiaz Qn(z) dz について lim R→∞JR を求めなさい. 実数関数の広義積分 ∫ ∞ −∞ g(x) Qn(x) dx のタイプは, 分母の多項式 Qn(x) が実軸上に零点を もたない場合, かつ,|x| → ∞ で十分早く g(x)/Qn(x) が 0 に収束する場合は留数計算から 求めることもできる. 問 77. m 次多項式 Pm(x), n 次多項式 Qn(x), n− 2 ≥ m ≥ 1 について定積分 ∫ ∞ −∞ Pm(x) Qn(x) dx を考える. ただし, Qn(x) は実数解をもたないと仮定する. このとき, 以下の問に答えな さい. (i) lim R→∞ ∫ CR Pm(z) Qn(z) dz = 0 を示しなさい. ただし, CRは原点を中心, 半径 R の円周の上 半分とする. (ii) 適当な経路での複素積分を考えることにより, ∫ ∞ −∞ Pm(x) Qn(x) dx = 2πi k ∑ j=1 Resz=αj Pm(z) Qn(z) を示しなさい. ただし, ここで α1, . . . , αkは Imz > 0 における異なる k 個の極である. 問 78. 以下の定積分を複素積分を利用して計算しなさい. (i) ∫ ∞ −∞ 1 (x2+ 1)dx. (ii) ∫ ∞ −∞ x2 (x2+ 1)(x2 + 3)dx. 問 79. 以下の定積分を複素積分を利用して計算しなさい. (難) (i) ∫ ∞ 0 cos ax x2+ 1dx, ∫ ∞ 0 x sin ax x2+ 1 dx, a > 0.
(ii) ∫ ∞ 0 cos x x4+ 1dx, ∫ ∞ 0 x sin ax x4+ 1 dx, a > 0. (iii) ∫ ∞ 0 1 1 + x6dx. (iv) ∫ ∞ 0 1 ax4+2bx2+ cdx, a, b, c は正定数で b 2 > ac を満たす. 分母が実軸に極をもつ場合, たとえば ∫ ∞ 0 sin x x dx などは極 x = 0 を上側に迂回する経 路をとることで, 1/z の半周分の寄与が積分値に出てくる. 問 80. 定積分 ∫ ∞ 0 sin x x dx を複素積分を利用して求めなさい. xa (a > 0), log x は複素平面上で多価関数になるため一周しても値が一致しない. たと えば a が整数でないとき, 閉曲線 z = Reiθ, 0≤ θ ≤ 2π 上で zaの値は
za = Ra → (Rei2π)a= Raei2πa
のように変化する. このことを利用して積分を計算することもある. 問 81. 定積分 ∫ ∞ 0 x−a 1 + xdx, 0 < a < 1 を複素積分を利用して求めなさい. 0 ≤ θ ≤ 2π での三角関数の積分は z(θ) := eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π とおくことにより cos θ = (z + 1/z)/2, sin θ = (z − 1/z)/2i と変換して複素積分に帰着できる. (|z| = 1 の下では ¯ z = 1/z のように書きなおせることに注意する.) 問 82. 以下の定積分を複素積分を利用して求めなさい. ただし, a > 0 は定数. (i) ∫ 2π 0 1 1− 2a cos θ + a2dθ. (ii) ∫ 2π 0 sin2θ 1− 2a cos θ + a2dθ. (iii) ∫ 2π sin2θ 1 + a cos θdθ.
問 83. 以下の定積分を複素積分を利用して証明しなさい. (i) ∫ 2π 0 1 1 + a cos θdθ = 2π √ 1− a2, 0 < a < 1. (ii) ∫ 2π 0 1 (1 + a cos θ)2dθ = 2π (√1− a2)3, 0 < a < 1. 複素積分とは直接, 関係ないがガウス積分はよく出てくる. 統計では正規分布（ガウス 分布）として高校の時点で出てくるため, 基本的な積分計算を紹介しておく. 問 84 (ガウス分布のモーメント公式). ガウス分布に関して以下の問に答えなさい. (a) I =∫−∞∞ e−x2dx =∫−∞∞ e−y2dy について, I2 = ∫ ∞ 0 {∫ 2π 0 re−r2dθ } dr を示しなさい. (b) 任意の a > 0 について等式∫−∞∞ e−ax2/2dx =√2πa−1/2 を示しなさい. (c) (b) の式の両辺を a で微分して a = 1 と置くことで 1 √ 2π ∫ ∞ −∞ x2me−x2/2dx, m = 0, 1, 2, . . . を m の式であらわしなさい. (微分と積分の順序交換は証明なしで用いてよい.) 問 85 (ガウス分布の積分). ガウス分布に関して以下の積分を計算しなさい. ただし a, b, c, は実定数. (a) √1 2π ∫ ∞ −∞ e−(ax2+2bx+c)/2dx, a > 0. (b) √1 2π ∫ ∞ −∞ cosh x e−x2/2dx. 問 86 (ガウス分布の積分). ガウス分布の積分 I = ∫ ∞ −∞ e−x22 dx に関して以下の問に答え なさい. (a) 実定数 t を固定する. 積分路を it だけ上にずらして J = ∫ ∞+it −∞+it e−z22 dz という複素積 分を考える. 複素平面上で−R1, R2, R2+ it,−R1+ it を結ぶ長方形の経路を考えるこ とにより, R1, R2 → ∞ で J = I を示せ. (ヒント: たとえば K(R) := ∫ t 0 e−12(R+iy) 2 idy とおいて, R→ ∞ で K(R) → 0 を示してみよ.) (b) √1 2π ∫ ∞ −∞ eitx· e−x2/2dx (t∈ R) を求めよ. (c) √1 2π ∫ ∞ −∞ cos x e−x2/2dx を求めよ.
