4. 推定 ― 点推定

統計の分析と利用

4. 推定 ― 点推定

区間推定 ― 堀田敬介

2013/12/6,Fri.

Contents

 推定





point estimation

 モーメント法

method of moments

 最尤法

maximum likelihood method



interval estimation

 母平均の推定①：母分散が既知の場合〔

Z

 母平均の推定②：母分散が未知の場合〔

t

 母分散の推定〔

χ

 母比率の推定〔

Z

 2





母数の推定

 母集団の推定





θ

W

θ



W

θ

sample

population

parameter

推定量

estimator

 

, ,

mean, median,

, 2 2 s S

X

,  , σ ²

μ ^•

母数

θ

•

母数

θ

•

母数

θ

1

•

母数

θ

 ^ˆ

無作為抽出

《参考》

母数の点推定（ point estimation ）



36

点推定

この店舗の週末来客数の平均・分散を知りたい！

X

=300, X

=356, …, X

=243 (n=36)

300 356 319 213 229 244

317 306 390 287 268 257

274 231 370 275 186 327

365 272 335 167 289 352

351 299 327 405 259 376

301 337 229 244 279 243

母集団

population

ある店舗の 週末来客数 母平均

μ

σ

標本

sample

母平均

μ

母分散

σ ²

ˆ  294



 ^{ˆ ˆ 2 3309 3217 . 67 . 73 ... ...} 

2











X

294



s ²

3309.67 …

 (

S ²

3217.73 …)

ー

 

 

 





























 









2 2

1 2

2 2

1 2

1

) (

) 1 (

) (

) 1 (

1

) 1 (

X X

X n X

S

X X

X n X

s

X n X

X

n n n







母数の推定：不偏推定量





θ

W

θ



W

θ



 E(W)=θ

W

θ

 例

1

 例

2

S

 例

3

s

X E ( X )  

2

2

1

)

( 

n S n

E 



2 2

)

( s   E

標本の観測値から 計算される量

 

 

 



















 



















2 2

1 2

2 2

1 2

1

) (

) 1 (

1

) (

) 1 (

) 1 (

X X

X n X

s

X X

X n X

S

X n X

X

n n n







母数の点推定

 点推定



method of moments

 積率（モーメント）を利用する方法



maximum likelihood method

 最尤原理：「現実の標本は確率最大のものが実現した」に基づく方法

X

r

X

r

X

r

) (

r

E X

μ 

r

r

' E X

μ  (   )

r r

E {( X  ) /  }

  

X

X

,  ,

母数 標本

母集団確率分布



) , ( x  f

尤度関数











 ⁿ

i

i

n f x

x f x

f L

1

1 , ) ( , ) ( , )

( )

(   _  

尤度関数を母数空間

Θ

尤度関数を最大にする

θ

maximum likelihood estimate

Θ parameter space

※注意：最尤法は尤度関数を作る関係上，母集団分布がわからないときは使えない！

x n

x

x ₁ , ₂  ,

n

積率（モーメント）とは

…

母数の点推定



maximum likelihood method



X=1,0

1

p

Bi(1,p)

p

1 ,

1 ,

0 ,

1 ,

1

1

 X  X  X  X 

X

5

…

尤度関数を最大にする

p

…

) 1

( )

( p p ⁴ p

L  

尤度関数は

5 ˆ 4

0 )

5 4

) (

( ₃









 p

p dp p

p dL

最尤推定値

1 0

p

1

p

p

5 4 5

5

1

  

 X X

X 

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800 0.0900

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00

L(p) = p^4 (1-p)

母数の点推定



 L(p) = p

(1 - p)



L(0.0) = 0.0

(1 – 0.0) = 0.0000



L(0.1) = 0.1

(1 – 0.1) = 0.0001



L(0.2) = 0.2

(1 – 0.2) = 0.0013



L(0.3) = 0.3

(1 – 0.3) = 0.0057



L(0.4) = 0.4

(1 – 0.4) = 0.0154



L(0.5) = 0.5

(1 – 0.5) = 0.0313



L(0.6) = 0.6

(1 – 0.6) = 0.0518



L(0.7) = 0.7

(1 – 0.7) = 0.0720



L(0.8) = 0.8

(1 – 0.8) = 0.0819



L(0.9) = 0.9

(1 – 0.9) = 0.0656



L(1.0) = 1.0

(1 – 1.0) = 0.0000

1 0

p

1

p

p

尤度関数を最大 にする

p

最も尤もらしい と考える

 点推定の基準



 推定量 の期待値が，真の母数 の値となる性質

 例

1

 例

2

 例

3



 標本数

n

 例

1

 例

2

 例

3

補足：母数の点推定

X



0 )

ˆ | (|

,

0   



  P 

 

 ^ˆ 

 ^ˆ







S

s



 ˆ )  (

E consistent estimator







X S

s

モーメント法による

母平均の推定量

．

X ．

S

不偏推定量

unbiased estimator

この

2

性質

 点推定の基準



asymptotic normality

 標本分布の漸近分布が正規分布である性質

 例：標本平均 の漸近分布は，中心極限定理より，母 集団分布に関係なく正規分布となる



efficiency

 不偏性と一致性を満たす他のいかなる推定量よりも，

分散が小さいという性質

 例：母集団分布が正規分布の場合，標本平均 は母 平均 の有効推定量



asymptotic efficiency

 漸近分布が正規分布となる推定量のうち，漸近分散 が最小となる性質

 例：最尤推定量は一般に漸近有効性を持つ

補足：母数の点推定

X

有効推定量

efficient estimator

〔最小分散不偏推定量minimum variance unbiased estimator〕

漸近正規推定量

asymptotic normally estimator

 ^X

漸近的有効推定量

asymptotically efficient estimator

有効性の検証が難 しいため，漸近有効 性を用いる

母数の点推定





500

10

(1)

μ

(2)

σ ²

70 62 82 73 67 75 85 71 60 65

標本平均

X

71.0

不偏分散

s ²

65.8

S ²

59.2

μ

母分散

σ ²

ー

8 . ˆ 65

0 . ˆ 71

2









母数の区間推定（ interval estimation ）

 母平均・母分散の区間推定

標本

sample

母集団

population

parameter

推定量

estimator

, S 2

X , σ 2

μ

無作為抽出 （

n

•

μ

•

σ ²

•

σ ²

•

σ ²

Z

N(0,1)

t

n-1

t

:t(n-1)

χ

n-1

χ

: χ

(n-1)

母平均の区間推定



…

「

推測の区間だけではなく，

推測の当たる可能性（確からしさ）も重要 推測の区間の幅が広ければ広いほど，

当たる可能性は高くなる



「

%

○から△の間にある」

信頼度（信頼係数）

信頼区間



例：文教大学の男子学生の平均身長は？

「平均身長は

0cm

300cm

「平均身長は

100cm

200cm

「平均身長は

160cm

180cm

「平均身長は

170cm

175cm

母平均の区間推定

 母平均の区間推定









信頼区間の幅が広い

⇒

⇒

⇒

⇒

信頼区間

例：文教大学の男子学生の平均身長は？

0cm 300cm

100cm 200cm

160cm180cm 170cm175cm

信頼度 信頼度 信頼度

＞

＞

＞

ある程度充分な数の標本（

n

-3 -2 -1 1 2 3 0.1

0.2 0.3 0.4

95

-1.96 1.96

母平均の区間推定

 母平均の区間推定



N(0,1)

Z



N(0,1)

Z

1.96

1.96

0.95

) 96

. 1 96

. 1 (

) 96 . 1 96

. 1 (

) 96 . 1 96

. 1 ( 95

. 0

X n X n

P

n P X

Z P

 

 













 















) 1 , 0 (

) ,

(

2

n N Z X

N n

X ～ ～





    ^

2.5

2.5

N(0,1)

中心極限定理より 標準化

母平均の区間推定

 母平均の区間推定



μ

95%

 

   

X n

X  n 

96 . 1

, 96

. 1

n 96  .

 1

母分散

σ ²

注：母集団が有限（N）の場合

1

 

N n

 N



n 96  .

 1

X

【

95%

母平均

μ

標本数

(n)

n

n

つまり，たくさん標本をとってくれば，同 じ信頼度で区間幅を狭くできる！

-3 -2 -1 1 2 3 0.1

0.2 0.3 0.4

母平均の区間推定

 Z 推定



μ

100(1-α)%

 

   

Z n n X

Z

X  



 2 , 2

標準正規分布

N(0,1)

100(α/2)%

[= Z

]

α 0.10 0.05 0.01

信頼度100(1-α)%

90% 95% 99%

Z

1.64 1.96 2.58 90%

95%

99%

1.64 1.96 2.58

広 狭

信頼区間

信頼度・標本数と信頼区間の相対的関係

標本数

n

標本数

n

信頼度：大

信頼度：小

N(0,1)

※） α=0.05

100(1-α)%=95%

100(α/2)%=2.5%

だよ

母平均の区間推定





200

10

(1)

σ ²

59

95%

70 62 82 73 67 75 85 71 60 65

 

 ^{66 . 24 , 75 . 76} 

76 . 4 00

. 71 , 76 . 4 00

. 71

  



信頼度

95%

α=0.05

→ Z

=1.96 760823

. 10 4

96 59 .

2

 1 

Z  n



標本平均 の値：

 ^{70 62 65}  ⁷¹

10

1     

X

-3 -2 -1 1 2 3 0.1

0.2 0.3

母平均の区間推定

 母平均の区間推定



n-1

t

t(n-1)

T



10

9

t

t(9)

T

2.262

2.262

0.95

1 ) 262

. 1 2

262 .

2 (

) 262 .

1 2 262

. 2 (

) 262 .

2 262

. 2 ( 95

. 0

 



 





 

 













n X S

n X S

P

n S

P X

T P





-2.262 2.262

) 1

1 ( 



  t n

n S

T X  ～

95

2.5

2.5

t(9)

自由度

n-1

t

母平均の区間推定

 母平均の区間推定



μ

95%

 

 

 

 

262 1 .

2

1 , 262

.

2 n

X S n

X S

標本分散

S ²

（自由度

9

262 1 .

2 

 n

S

X

【

95%

μ

標本数

(n)

n

n

つまり，たくさん標本をとってくれば，同 じ信頼度で区間幅を狭くできる！

262 1 .

2 

 n

S

-3 -2 -1 1 2 3 0.1

0.2 0.3

母平均の区間推定

 母平均の区間推定

: t



μ

100(1-α)%

 

 

 

 



 , ( 1 ) 1

) 1 1

( 2

2 n

n S t

n X n S

t

X _{ }

自由度

n-1

t

100(α/2)%

[=t

(n-1)]

α 0.10 0.05 0.01

信頼度100(1-α)%

90% 95% 99%

t

(10-1) 1.833 2.262 3.250

広 狭

信頼区間

信頼度・標本数と信頼区間の相対的関係

標本数

n

標本数

n

信頼度：大

信頼度：小

90%

95%

99%

1.83 2.26 3.25

標本数

10

t(9)

自由度

10-1

※） α=0.05

100(1-α)%=95%

100(α/2)%=2.5%

だよ

母平均の区間推定

 例題



500

10

(1)

90%

σ ²

 

 ^{66 . 3 , 75 . 7} 

7 . 4 0

. 71 , 7 . 4 0

. 71

  



70 62 82 73 67 75 85 71 60 65

信頼度

90%

α=0.10

9

=10-1

→ t

(9)=1.833 701128

. 1 4

10 2 . 833 59

. 1 1

) 1 (

2



 

 

n n S

t

標本分散

S

 ^{( 70 71 ) ( 62 71 ) ( 65 71 )}  ^{59 . 2}

10

1 

 

   



標本平均 の値：

 ^{70 62 65}  ⁷¹

10

1     

X

母数 （母平均） の推定： 区間推定

 演習



9, 7, 12, 8, 9

(1)

μ

(2)

σ ² =4

95%

μ

(3)

σ ² =4

99%

μ

(4)

90%

μ

(5)

95%

μ

母平均の区間推定（まとめ）

 母平均 μ の区間推定



⇒ Z



⇒ t

母分散

σ ²

N(0,1)

μ

母分散

σ ²

S ²

n-1

t

μ

〔信頼度：

100(1-α)%

〔信頼度：

100(1-α)%  

 

 

 



 , ( 1 ) 1

) 1 1

(

2

n

n S t

n X n S

t

X

 

   

Z n n X

Z

X  



2

,

参考：母平均区間推定の標本数設計法



μ

1-α

σ ²



δ

Z n

X 

2

 X Z n

2

X 

この幅を

δ

2 2 2

2 2

4

2 

 





n Z

Z n   

ⁿ



95%

2cm

σ

=49

2384 .

2 188

49 )

96 . 1 ( 4

2

2

 

  n

よって，

n=189

 

   

Z n n X

Z

X  



2

,

参考：母平均区間推定の標本数設計法



μ

1-α

σ ²



δ

X

この幅を

δ

) 1 1

2(  

 n

n S t X _

区間幅 を

δ

S

¹ δ

) 1 (

2

 

n n S

t



 

 

1 ) ) (

1 (

2

n

S n E

t

) 1 1

2(  

 n

n S t X _

E(S)

σ

何らかの情報から

σ

n

 

 



 

 



2

1

) 1

( 

n n N

S N

2

E

2

1

)

( 

n S n

E  

n  S n

E 1

)

(  

だが

であることに注意

有限母集団の場合

 

2 2 2

2

( 1 ) ( )

1 4





n E S

n  t  





 

 

 

 



 , ( 1 ) 1

) 1 1

(

2

n

n S t

n X n S

t

X

母数 （母分散） の推定： 区間推定

 母分散の区間推定



n-1

χ ²

χ ²



9

χ ²

χ ²

2.700

19.023

0.95

) 1

2

(

2

2

 nS

 n 

  ^～

700 ) .

2 023

. ( 19

) 023 .

19 700

. 2 (

) 023 .

19 700

. 2 ( 95

. 0

2 2 2

2 2 2

nS P nS

P nS P

























5 10 15 20

0.025 0.05 0.075 0.1 0.125

0.15

2.7 19.023

95

2.5

χ ² (9)

2.5

注：

χ

左右各々の裾の面積が

0.025

母数 （母分散） の推定： 区間推定

 母分散の区間推定



σ ²

95%

9

700 .

2 023

. 19

023 .

19 700

. 2

2 2 2

2 2

nS nS

nS















標本分散

S ²

5 10 15 20 0.025

0.05 0.075 0.1 0.125

0.15

母数 （母分散） の推定： 区間推定

 母分散の区間推定

χ ²



σ ²

100(1-α)%

 





 







 , _ ( 1 ) )

1

( ²

1 2

2 2

2

2

n nS n

nS



 



広 狭

信頼区間

信頼度・標本数と信頼区間の相対的関係

標本数

n

標本数

n

信頼度：大

信頼度：小

90%

95%

99%

3.33 2.70

1.73 16.92 19.02 23.59

χ ² (9)

⁹

※） α=0.05

100(1-α)%=95%

100(α/2)%=2.5%

100(1-α/2)%=97.5%

だよ

自由度

n-1

χ



100(α/2)%

[= ]



100(1-α/2)%

[= ] )

1

2

(

2

n 



) 1

2

(

1_2

n 



※）信頼区間の分母は，

上（右）側，下（左）側とは 順序逆なので計算時は 注意

母数 （母分散） の推定： 区間推定

 例題



500

10

(1)

95%

 

 ^{1.12055 5 . 57858 , , 14 219 . 80634 . 2276} 

3

70039 .

2

2 . 59 10

0228 , .

19

2 . 59 10

) 1 (

) , 1

(

1 2

2 2

2 2

 

 

   

 







 









n

nS n

nS









70 62 82 73 67 75 85 71 60 65

信頼度

95%

α=0.05

9 → χ

(9)=2.70039, χ

(9)=19.0228

S

 ^{( 70 71 ) ( 62 71 ) ( 65 71 )}  ^{59 . 2}

10

1 

 

   



母数 （母分散） の推定： 区間推定

 演習

p.367)



16

(1)

90%

σ ²

(2)

95%

σ ²

(3)

99%

σ ²

46 52 54 46 51 47 52 44

50 53 48 51 48 49 54 47

母数の推定： 区間推定

 演習

p.231)



2005

11

1

10

（データ：「

Yahoo!

(1)

99%

μ

(2)

95%

σ

(3)

95%

μ

(3)

90%

σ

日にち

11/1 11/2 11/3 11/4 11/5 11/6 11/7 11/8 11/9 11/10

最高気温

( ℃ ) 17 19 19 21 21 16 24 22 19 18

( ℃ ) 10 10 12 12 13 13 13 12 10 10

母数 （母分散） の推定： 区間推定（まとめ）

 母分散の区間推定

 χ ²

自由度

n-1

χ ²

σ ²

〔信頼度：

100(1-α)%

 





 







 , _ ( 1 ) )

1

( ²

1 2

2 2

2

2

n nS n

nS



 



Coffee Break

 標本分散 S ² , s ² と信頼区間

 本資料では，標本分散として

S

s



S

s

 母分散未知の場合の信頼区間（

t

 母分散の信頼区間（

χ

1

1 1

1

 

     

n n s

t n X

n s t

X ( 1 ) , ( 1 )

2

2 



 





 















( 1 )

) 1 (

) , 1 (

) 1 (

2 1 2

2 2

2

2

n s n

n s n







 ^







 







 ,

( 1 ) )

1

(

1 2 2 2

2 2

n nS n

nS









 

 

 

 



 , ( 1 ) 1

) 1 1

(

2

n

n S t n X

n S t

X

本資料で一貫して 使ってるのはこっち

比較してみよう

母数 （母比率） の推定： 区間推定

母集団 〔

N

意見Aの人々 人数：

Np

比率：

p

意見Bの人々 人数：

N

p

比率：

1 - p

標本 〔

n

（

X

N(np, np(1-p))

 母比率 p の推定

N

n

無作為抽出

意見Aの人々 人数：

X

X/n

意見Bの人々 人数：

n

X

(n-X)/n

意見A

意見B

比率：

p

比率：

1-p

〔

N

賛成か反対か〔二者択一〕

意見A 意見B 確率：

p

確率：

1 - p

〔

n

二項分布

B(n,p)

〔

Np

〔

N(1-p)

〔

X

〔

n-X

標本比率

母比率 知りたい数値

（

X

B(n,p)

充分大きい

  

 0 1

X

^A

（意見

B

⇒ X = X

+…+ X

第

i

X

B(1,p)

 



 

) 1

( )

( ( )

p np

X

V E X np

中心極限定理

X

N( np, np(1-p) )

推定

X

B(n,p)



X

B(n,p)

X

B(n,p)



X

N(np, np(1-p))

X

N(np, np(1-p))



X/n

N(p,p(1-p)/n)

X/n

N(p,p(1-p)/n)



Z

N(0,1)

母数 （母比率） の推定： 区間推定

母集団 〔

N

意見Aの人々 人数：

Np

比率：

p

意見Bの人々 人数：

N

p

比率：

1 - p

標本 〔

n

 母比率 p の推定

N

n

無作為抽出

意見Aの人々 人数：

X

X/n

意見Bの人々 人数：

n

X

(n-X)/n

充分大きい

 

  0 1

X

（意見Bである）

⇒ X = X

+…+ X

i

X

B(1,p)

 



 

) 1

( )

( ( )

p np

X

V E X np

 

    

 n

p p n n

XXn n

X V V

p X

E E

) 1 1 (

1

) ( )

(

) ( )

(

2

) 1 , 0 ) (

1

( N

n p p

p

Z P ～



 

標準化：平均を引いて標準偏差で割る

 

  1 ) ( ( ) 0

Z

V E Z

P ：＝ X/n

標準正規分布

N(0,1)

100(α/2)%

[= Z

]

母数 （母比率） の推定： 区間推定

 母比率 p の推定



p

100(1-α)%

 

 



    

n P Z P

n P P Z P

P ( 1 )

) , 1

(

2

2 



注：標本数

n

n

母比率の推定値は

P

注：点推定の場合

α 0.10 0.05 0.01

信頼度100(1-α)%

90% 95% 99%

Z

1.64 1.96 2.58

P

P

X/n

広 狭

信頼区間

信頼度・標本数と信頼区間の相対的関係

標本数

n

標本数

n

信頼度：大

信頼度：小

※） α=0.05

100(1-α)%=95%

100(α/2)%=2.5%

だよ

母数 （母比率） の推定： 区間推定

 例題

p.170)



3000

1674

95%

p

 標本比率：

 信頼度

95%

α=0.05

→ Z

=1.96



→

 故に，内閣支持率は，信頼度

95%

54.0%

57.6%

558 .

3000 0 1674 



 n P X

 

 ^{. 0 018 . 540 , , 0 . 0.576 558}  ^{0 . 018}

0 558

.

0   

（標本平均）

01777 .

3000 0

) 558 . 0 1 ( 558 . 96 0 . ) 1 1

(

2

   

n

P

Z

P

母数 （母比率） の推定： 区間推定

 演習

p.375)



200

124

(1)

90%

p

(2)

95%

p

(3)

99%

p

母数 （母比率） の推定： 区間推定（まとめ）

 母比率の区間推定

 Z

標準正規分布

N(0,1)

μ

〔信頼度：

100(1-α)%

式中の

P

P

X/n

X

B(n,p)

Z

N(0,1)

 

 



 

 

 n

P Z P

n P P Z P

P ( 1 )

) , 1

(

2

2 

