1.2.2

数学 2 ・数学演習 2 No.5 2004.10.28

1.2.2 ^{逆関数の微分 担当：市原}

¶ 逆関数 ³

関数 y = f(x) の値域のどの値 b に対しても f (a) = b となる a がただ一つ存在する とき , 対応 b 7→ a で決まる関数を , もとの関数 y = f (x) の逆関数といい , y = f

(x) で表す .

ここで , f

の右肩の小さい「 −1 」は「マイナスいち」ではなく , 逆関数を表す記 号で「インバース」 (inverse) とよむ .

µ ´

定理 9 ( 逆関数の性質 ) 関数 y = f(x) が逆関数 y = f

(x) を持つとき次が成り 立つ .

(1) y = f (x) の定義域のどの値 a に対し ても , f

(f(a)) = a

y = f (x) の値域のどの値 b に対して も , f (f

(b)) = b

(2) y = f(x) のグラフと y = f

(x) の グラフは直線 y = x に関して線対称 となる .

y = f ( x ) y = f ( x )

c

c f ( c ) x

y

y = x

f

( c )

定理 10 ( 逆関数の導関数 ) 微分可能関数 y = f (x) の導関数 y = f

(x) がどこで も 0 でないとき ,

逆関数 x = f

(y) は微分可能であり , その導関数は x

= 1

f

(y) となる .

例題 12 次の関数の逆関数を求めなさい . また逆関数の導関数を利用し , 微分しなさい . (1) y = √

x

(2) y = x − 2 x + 1

(3) y = e

11

p O y x

p

p 3 2 - p 2 - p 2

Figure 3: 三角関数の逆関数の存在範囲

逆三角関数

¶ ³

(1) 閉区間 [−

,

] において , y = sin x は逆関数をもち , これを x = arcsin y と かく .

(2) 閉区間 [0, π] において , y = cos x は逆関数をもち , これを x = arccos y とかく . (3) 開区間 (−

,

) において , y = tan x は逆関数をもち , これを x = arctan y と

かく .

これらの逆関数を総称して逆三角関数

とよぶ .

a

arcsin, arccos, arctan

arcsine, arccosine, arctangent

,

,

,

.

µ ´

O x

y _ _

2

- _ _

2 y = a r c t a n x

O x

y

- 1

1

_ _

2

- _ _

2

y = a r c s i n x O

y p

1

- 1

y = a r c c o s x

Figure 4: 逆三角関数のグラフ

例題 13 arcsin

√ 3

2 , arccos(−1), arctan µ

− 1

√ 3

¶

の値は各々いくらですか ?

12

定理 11 (逆三角関数の導関数) y = arcsin x の導関数は y = 1

√ 1 − x

, y = arccos x の導関数は y = −1

√ 1 − x

y = arctan x の導関数は y = 1

1 + x

例題 14 次の関数を微分しなさい . (1) y = arcsin(2x − 1)

(2) y = arccos √ 1 − x

¶ 初等関数 ³

これまでに登場した多項式関数 , 指数関数 , 対数関数 , 三角関数 , 逆三角関数を総称 して初等関数とよぶ . ただし , 初等関数とは「やさしい関数」という意味ではなく ,

「基本となる関数」ということである .

µ ´

13

数学 2 ・数学演習 2 No.4 2004.10.21

1.2.2 ^{逆関数の微分 担当：市原}

単調増加・単調減少

¶ ³

微分可能関数 y = f(x) が , 条件

a 5 t 5 b ならば必ず f

(t) = 0

をみたすとき , y = f(x) は [a, b] において単調増加であるという . 同様に , 条件

a 5 t 5 b ならば必ず f

(t) 5 0 をみたすとき , [a, b] において単調減少であるという .

µ ´

定理 1 ( 逆関数の存在条件 ) 閉区間 [a, b] において , 関数 y = f(x) が単調増加 ( ま たは単調減少 ) となっているならば , 逆関数 x = f

(y) が存在する .

問題 13 次の関数を微分して単調増加になる範囲を求めなさい . また , その範囲で逆関 数を求めなさい.

(1) y = 2x − 3 2x + 1

(2) y = √ 1 − x

(3) y = e

− e

2

問題 14 次の関数を微分しなさい . (1) y = arcsin(x + 5)

(2) y = arccos(3x − 2)

(3) y = arctan(7x + 3)

(4) y = x arctan x

(5) y = arcsin x

(6) y = (arcsin x)

問題 15 次の各問に答えなさい . (1) arcsin x = arccos 1

2 となる x を求めなさい .

(Hint:

arccos 1

2

)

(2) arctan 1

2 = α, arctan 1

3 = β のとき α + β = π

4 となることを示しなさい .

(Hint: sin(α + β) =

, cos(α + β) =

)

(3) arcsin x + arccos x = π

2 となることを示しなさい .

学籍番号 氏名