基礎数学 No.19 2004.7.5
4.4
三角関数の公式（２）（解答）
担当：市原問題 52 次の値を求めなさい. (1) sin3π
8
sin2 3π8 = 1−cos2 3π4 = 1−(−
√2 2 )
2 = 2+4√2 0< 3π8 < π2 より,
sin3π8 = q
2+√ 2
4 =
√
2+√ 2 2
(2) cos9π 8
cos2 9π8 = 1+cos2 9π4 = 1+
√2 2
2 = 2+4√2 π < 9π8 < 3π2 より,
cos9π8 =− q
2+√ 2
4 =−
√
2+√ 2 2
(3) tan7π 8
tan2 7π8 = 1−cos1+cos7π7π4 4
= 1−
√2 2
1+√22 = 2−2+√√22
= (2−√2)(2−4−2 √2) = 4−4√22+2 = 3−2√ 2
π
2 < 7π8 < πより, tan7π8 =−p
3−2√ 2
=−(√
2−1) = 1−√ 2
(4) sinπ 4 sin π
12
= −cos(π4+12π)+cos(2 π4−12π) = −cosπ32+cosπ6
= −12+
√3 2
2 = −1+4√3
(5) cos5π
8 cos3π 8
= cos(5π8+3π8 )+cos(2 5π8 −3π8 ) = cosπ+cos2 π4
= −1+
√2 2
2 = −2+4√2
(6) cosπ
8 −cos7π 8
=−2 sin
³π
8+7π8 2
´ sin
³π
8−7π8 2
´
=−2 sin(π2) sin(−3π8 )
=−2×1× µ
−
√
2+√ 2 2
¶
=p 2 +√
2
問題 53 次の方程式を与えられた範囲内で解きなさい．
(1) cosx= 2 sin2
³x 2
´
, ( 05x < π ) cosx= 2 sin2(x2) = 2×1−cos2 x = 1−cosx
よって, cosx= 1−cosxより, cosx= 12. 05x < πより,x= π3.
(2) sin 2x cosx =√
2,
³ π
2 < x < π
´
sin 2x
cosx = 2 sincosxcosx x = 2 sinx=√
2より, sinx= √22. π2 < x < πより, x= 3π4 .
(3) sin
³ x−π
6
´ sin
³ x+π
6
´
= 1 2,
³
05x < π 2
´
sin(x−π6) sin(x+ π6) = −cos((x−π6)+(x+π6))+cos((x−2 π6)−(x+π6)) = −cos 2x+cos(−π3) 2
よって, −cos 2x+2 12 = 12. よって, cos 2x=−12.
05x < π2 より, 052x < π. この範囲で考えて, 2x= 2π3 . よって, x= π3.
問題 54 加法定理を使って, 3倍角の公式を作りなさい. つまり, cos 3xをcosxで表す 式, および, sin 3xをsinxで表す式を作りなさい.
cos 3x= cos(2x+x) = cos 2xcosx−sin 2xsinx= (2 cos2x−1) cosx−2 sinxcosxsinx
= 2 cos3x−cosx−2 sin2xcosx= 2 cos3x−cosx−2(1−cos2x) cosx
= 2 cos3x−cosx−2 cosx+ cos3x= cos3x−3 cosx
sin 3x= sin(2x+x) = sin 2xcosx+cos 2xsinx= 2 sinxcosxcosx+(1−2 sin2x) sinx
= 2 sinxcos2x+ sinx−2 sin3x= 2 sinx(1−sin2x) + sinx−2 sin3x
= 2 sinx−2 sin3x+ sinx−2 sin3x= 3 sinx−4 sin3x
