雑誌名 奈良教育大学教育研究所紀要

奈良教育大学学術リポジトリNEAR

数学教育の現代化について（IV）

著者 竹村 弘

雑誌名 奈良教育大学教育研究所紀要

巻 4

ページ 1‑15

発行年 1968‑03‑25

URL http://hdl.handle.net/10105/6142

数学教育の現代化について（一一凪）

竹   村      弘

（数学科教育研究室）

（U  Sθco種dary Scbo◎1 Ma．tlle口atics Cu工■ricu1u㎜ I河Pro▼θment S．1＝ dy

   （SSMC I S）

（lI） Iss辿es and Trθnds in th6 Tθacbing ◎f Sch00ユ Mat五e固atics

（㎜〕 T hθ  app e nd ed  d ia．gr a．回  （1），（2〕，｛5）

は しがき

 世界各国特に米国の数学教育革新プランは蓑国でも相当紹介され、分析、批判されてきた。各国、教育 制度その他色々ちがうのだから、我国独目のプランも各方面で研究され、今やノ』＼中、高の指導要領が此 等の資料を参考にしてまさに改訂の日程にのぼっている。本稿では、先っ今まで殆んど紹介されていない

SSMC工Sプランについて述べ、（皿〕に於て、この革新案の重鎮として活躍しているコロソビヤ大学名誉教 授H．F．珂ehr博士の数学教育現代化全般についての所見を紹介したいと思う。

（O SSMCISプランの概要

  このプランは数1（第7学年）が1966−1967年に実験教科書で検討dれ、数皿（第8学年）は  1967−1968年に実験中で、数皿（第9学年）まで出来上っているが、引続いて数M（第12学年）

 までのシラバスは漸次実験教科書として仕上がる予定である。数iは本年中に市販されるだろう。

  このプラ：／の概要はInformation Bu11e tin i（1966）、皿（1967）で例えるが、目  的として次のように述べている。

  The s廿ユdy seeks a㎎冊e rs to tw0 1＝aS i o q晒tiOns：

 a．Isa・㎜ified6−yθar（申．高）sy工1a㎞目mb訟。oing袖atismwgeneraコユyoosidered也e   firs1二twoyearsofcontemp01＝aryoo1ユegゴate囮athe［natiosfeasibユθ d七baseユeotedstuden・七   ㎞dy？

 b． Gan teadユers be educated τo口過ユntain a progIa血。f these d−imensions ？

  全米の殆んどの革新プランは算数、代数、幾何というような伝統的な学年別の分科主義をとっている。

 幾何は依然としてユークリッド流が多く、代数もあまり構造化されていない。新しい概念を導入しても、

 教材を有効に組織する方法に欠点があって、高校にadVanCed S tudyを導入するのにあまり成功  していない。これに反し、

  米国のイリノイプラン（U工CSM）、ベルギー、スイス、デンマークなどの欧州プランは数学を再構  成し、分科主義をすてて（集合、写像、関係、関数）という概念によって教材を統合し、数系統及び代  数（群、環、体）の基本的構造をうち出している。

  SSMCISプラ：／もこの線にそって（フ〜12）学年の数学を構成し、実験授業の試行錯誤をへて評  価し再構成し、現在大学の2年程度までの数学を優秀な生徒に効果的に教え得るかの研究を企てている  わけである。

  Fehr教授を中心とするコロンビヤ大学の。スタッフや米国の数大学をはじめ、バリ大学のqChoquet

      −1一

その他カナダ、デンマーク、スエーデン、ドイツなどの欧州の・学者も参加している一貞、に大きな特徴があ

る。

勿論現場の先生方も適当な教育を受けた上で、実験授業に参加している。

  次に各学年で取上げているトピックスだけを言己すと（然し説明は二nforma t ion Bu11c t in

1、

数1

①

③

⑤

⑦

⑨

⑪

⑱ 数I

①

③

⑤

⑦

⑨

⑪

⑯ 数皿

  1

 2  3

  4   5   6   7   8   9

10 11

1ク

皿参照）

（7学年）

fini七e number sys tems mapPi㎎s

pr01＝abiユi七y and sta1］is1］iCs ユatti ce po in七s in a pユane  transfO m＝a1二ions of the pユano  eユemertary nu皿ber theory

app■ications of rationaユnuエ1⊃ers

（8学年）

mass−poin1二9eO［口e1二ry grouPs

 des oriptive sta1二isti cs  coordinate geo皿e「二ry

 t ra］ユS fo］＝matiOnS （ 10ユa］ユe 〕

 sPaoe geometry

②

④

⑥

⑧

⑩

⑫

⑭

③

④

⑥

⑨

⑩

⑫

OPerations and s e一七s

integers（Z，十，〕注Zは整数の記号 integers（Z，十，・，く〕

Se七S and re］一atiOnS

SegmentS，a皿gユeS，iSO囮e trieS the ratio］＝1aユnumbers fユσw ，dba］＝ti匝g aユgori tbns

s1二ruo加re of se ts o f subsets aff1ne pユane geometry

f i eユds and rea］一n1コ皿be rs reaユ func1二i ons

oOmbina1二〇ri os， prOb色biユi1〕y int工。duotion to trigon⊂met］＝y 皿easure s of pユane se1二s （1eng七b，area，voユune 〕

 （9学年） （n〇七〇rdered〕

s1］エucture of affine 七hree dt］ユens ionaユ space and］〕ユe「二ric spaoe

in1二roduc1］ion to matri ces，ve ctoエ spaCes， and sO上ユtiOn o f ユinear sys tel］］s

studyOf也esP］ユere

d・…ip伽Hf・㎝∋r・・］・f皿。tiCn・一血・ユudingP。ユ押㎝i・］・，ra枇肪ユ枷。imユar

an i on1s fo r voユ1Jne s  geode s i oS

definitio］＝10f th弓 エeaユnu皿beエs as a co〔口pユete ordered fi eユd sヤ、1dy o f sqUares a］ユd sqUare 工Oot fuエユ。tions

      1  。      岨

㎞sic ci工σユエar f㎜ctionfom∂ユas：A士B 2A −A  idsntities

       ，   ，2  ， p］＝obabiユi1］y

toPoユ。町

七be reguユar poエサhedra aエユd gro耳Ps of i so皿e七rios ユ。只ari七血ni c funo「二ion and Sユide ruユe

2一

数Vl（10学年）  （no t o rde red）

  1  a工io口〕atio t工eat皿ent of two d士nensioni1affine geo皿etry

      aエi Oロロa ti o trea1＝田ent of Ine t ri o p■ane

  2reaユnu口1bers

       6eview definition of B， Cbaエa〇七erize sub＿syste囮s N，Z，Q， oardユnaユi1：y，

       induoti on prinGip！es ， s tudy equatiOns of first and seooロユ degree，

       extena R tO C in oα㎜eotion wi担ユquadratios）

  3 reaユf㎜otio口s㎜d也eir gra典s

       をeviθw poユynomiaユfunotiQ口s aエユd thei r gra宜hs and b∋gin info㎜ユ        1

      砒ff・…ti・ti。ユ・地v・・tig・ti・ ㍑→亙

      ・胸。fg・・幽。f：／（カ）十α，∫（倣），ψ（κ），雌Bカ十C   4   oOntinui ty in皿etrio s］；aoes， 1工皿its， c◎口vergenoe Of sequenoes

       6xa皿；pユesofmetricsp乱。es，oontt口uityofafu口。tiOnatapoint，

      oO口vergenoe Of Sequen誌S and Serieう   5pro1＝a］⊃i■ity

数V

  1

6 7 8 9

（11学年）  （n o t orde r ed）

財㎝Ps，ri㎎s，枷fields

       紅卿・・na・u瞭。口P・，・ユg・ユ職i。・X柏n七地触p柾抑㎝iaユf㎜。ti軸  七be oO叫Pユen field

       紅t・ntiO・f・㎝RtOC，町9軸pユ・ne甫也9・α・et・iいnt・We抵tiOユOf        OPerati㎝sinpOユarOOOrdi岨tes一庇皿OiweS嚇Or馳

       Z→αZ，Z→（αZ＋⑤，Z→Z，・也。甫也G・C鵬折加int・W・t・tiσ追

      Zi→Z早 （Pi el］ユann surfaoes）

 CO口tinuity anユ■士匝its of fu口itio鵬

       ＠ifferentia1二icn，derivatives of sin N aエ□d oos N）

 inte91 atiOn

       ＠・f血iti。口胆dp・qp・・ti・・Of血蝿r・ユ，apP1i・ati㎝・）

 stuay Ofユ09ari也nio a工d e茸POユ割ユtiaユf皿ユ。tiOOS  de fini tioユ and−s t口dy of 工z with geo血etri o interpretatioユs

 sinple differentiaユequations

 affine image of oi roユe a皿a sc［ne properties of oonios  probabiユity

 StatiSti OS

数Vl（12学年）  （no t o rde r ed）

  1  veotor sPaoes and grOups of affc口e tra］］sfolr口］atiO口s      脆1二rioProPertiesofascaユa］ Prcduot

  2  1il＝1ear aユgebra

      ■inear皿apPings of veotor sPaoes   3  Aユgebraic Struo加Tes

      ri㎎S㎝d d倣inS

      fu口da皿entaユ ｛beorem Of aユgebra   4 a1説ユySis

       （I口app血gs frαn R士口to−a veotor spaoθinoユud血g r舳θw of dj−fferantia−

      tiOユ。胸yユ。rfo㎜服，Poπerseries，redefinitioユ。foircuコ鉗㎝d       eXPOnentiaユ funotiO口s， oO口sequθ］ユ。θS，1inea工differelユtia］一equatiOns Of       seeO口d■order■口■セユ oOnS袖ユt oOeff■oie口■ts

       2P（u）向hereAisd．e血皿e凪bユeardp，（u）Zo，1二凪   5   probdbiユity aココd sta七istios

一3一

   Subこiect f◎r senina一τs a−nd indepGn◎ユent stucユy

   angユe meaSure    皿eaSure 祖ユeOry    nOnned veotOr SPaceS

   quadra七ic for］コ＝旧

   Trobenius theoreIn，Gaユ。is theo呵，Booユean aユgebra    POユVnQ皿iaユ theory

   d−e termin…しn七s and inner PTOduot veotO］一sPaoes

   nuコユe ricaユェロetbods for s oluti on of differen．七iaユe田a11i ons

 本稿の最後にこのプランの人等が検討した（1）伝統的な数学（2）現代数学6〕現代化した学校数学の 分析表を添えておく。

（皿工 学校数学の教育についての論患と傾向

  昨年秋、数学教育学論究に執筆する参考資料を得るため、15年前在米中訪問したコロンビア大学教  授DR H．F．Fehrに手紙を出した所珀早速航空便で貴重な論文を多数送られ、訳して引用しても宜  しいと親切な言葉まで添えてあった。（ωは貰った論文の1つで、講演原稿である。

  思うに近年の革新運動の中心は多くは数学者で、それはそれなりの理由がある。しかし、果して実際  に普通教育の現場で workはするか、幾多の問題点がある。その点、Fehr教授（昨年停年となられ、

 現在名誉教授として 1で述べたSSMCI Sプランの中心として意慾的に取り組んでおられる）は米国  での数学教育界の大家であると共に数学もできる人（筆者にSnader教授談）で、この論文を読んだ  筆者の所感は、あらゆる角度から現代化運動を公平に概観しておられる印象を深くした。

       2

Why innOVa．tiOnS． The 皿a．the1Ila．tiCianS

 数学教育革新の動きは10年程前から例えば大学入試委員会（College Entrance exa皿一 ina t ion Board， 1959）や、欧州経済協力機構（O rgani zat ion fOr Econo皿io

Coopera t i on and Deveユ。pment，1，960）の報告から始まった。最も直接的な推進力は 数学者で、現代数学の非常な進歩と多様化をプルバ■キー一派は統一的な一般的な概念にまとめ、数学 全体を書き直すことによって研究の効率化をはかった。この新しい提案はresearChのレベルから 大学院へ、次には大学へと、数学の授業に影響を及ぼし、最後に小・中・高の学校数学にも何等かの形 で再編制を促している。

 第二の推進力は数学以外の各種の分野で、問題解決にあたってそれを企画し解決するのに数学的手法 による科学的思考に依存してきたことで参る。物理、化学、工学は勿論、生物学、社会学、心理学の分 野に於ても、研究対象を数量化するために数学的モデルを用いるためには、最も抽象的な現代数学を矢口

る必要が生じた。

 第三のファクターは、大学で講義される数学と学校数学との大きなギャップである。（註 我国の現 状は10年前の米国の実情程大きくはない）大学の数学教授連が学校数学の教科書をみて、不正確であ

り、貧弱な非数学的用語で表現されており、論証幾何以外の大部分の教材は単なる計算法則の集り（a S e t O f ruユeS）と与えられた記号の演算操作に過ぎないことを発見した。概念的学習（COnC−

eptuaユ1erning）は殆んどなく、構造（Structure）に殆んど無縁で孤立したトピックヌ

の集積に過ぎず、過去200年間に発展した数学を皆無と云ってよい程反影していないことを知って驚

       一4一

いたのであるO

 最後に彼等は、教師達が学力貧弱で、大部分は大学で講義される新しい数学を知らないことを発見し た。従って各種の現代化プランによる実験教科書を書き、また何程かの数学の最近のアイディヤを教師 達に再訓練したのは此等の数学者達で参った。

下丘e pSyCh0109iStS

 1920年代、数学の学習理論はソーンダイクのaSSOCiatiV6舳GOryに影響される所大きか った。後にゲスタルト学派は問題解決に関してd iSOOVery皿e地0dを導入した。（フエルトハイ マー、pr oduct ive thinking）同時に算数や代数の単なる暗語的学習（pur e rote

ユearning ）を排撃し、意味を理解する学習（ma．ningf 工a叩「OaCh）を強調したのはプ ロウネルで、特に算数の教科書はその線にそって大分教材の提出の仕方が改善された。（Browneユエ，

Psychological oonsidera1二ions in the learning and・ the 1二eaching of arith］工1etic）

 第二次大戦後学習心理学は研究に新分野を開拓し、概念（conoept）の性格の分析に関心が向けら れ、人間の心に概念はどのようにして形成されるかが検討された。先づピアジエーの業績が取上げられ、

児童の数概念、空間概念の発達の課程がピアジーの研究の通りであるかどうかが追認された。概念形成 の課程の研究は更にプルーナ■によって進められ、思考及ぴ問題解決に際してilユforI口at ionを禾用

するs tategiesに力点がおかれた。（Bruner，A study Of加inking）この心理学的 研究に刺激せられて数学教育も、d−iscovery，inVent ion，o工eat ivity，ac tive

part io iPa tion by 加e l earnerなどによって表現される教師の授業形態、生徒の学習活 動を重視するようになった。従来の伝統的なプログラムよりも生徒ほもっと豊富な、耳もっと高度な思 考が可能であることが確かめられ、このことはカリキュラムを改善して現在よりも低学年から算数学習

の内容をもっと高めることを促進すること1こ反影した。

Ot丘6工一 forcθs in inn◎va・1：ions

 ターマンによって数十年前となえられた英才教育（9i fted cbiユd）に、第二次大戦後再び教育 者の関心がむけられた。秀才は大学入学の準備課程を1年短縮する能力があるとし、それには第12学

弔こ新しいプログラムを導入するか1年早く大学へ進学させる問題が生じた。その結果第7，8学年を SeCondany sGhooユの一部としている学校では代数Iを第8学年にさけ、第12学年はSOme typ e o f c o11eg iat e血atl〕・・普通は微積分を扱うことになった。

 最後に・実業界・政府・経済的成長の影響を挙げねばならない。コンピュータ｝の出現とそのオ＿ト メ化への利用は、基礎的な数学の知識をもつ人達（pエ。fess iona1and−se皿i−profess−

iona1）が多数輩出することを促した。数学、それも現代数学（lnath・of a皿。d．ern var iety）を修得した人の不足のために、経済成長がはばまれたことを皿anpower studies

は指適している。

 欧州の経済協力機構もSCho01progrぬSを慎重に検討した結果同じ点に触れ、現代の技術、

科学の革新時代の要請にそうよう数学教育を再編制する国際的協力を行った。此等の努力は米国よりも 遥かに強力であった。．

Thθ皿aコ◎工r6fOr 鉋O 掘θn柵

1959年大学入試委員会 のグループの報告が革新連動の第一声で、』年制高校の数学内容のN・ew

       −5一

approachを提案した。S。山・S・G。の努力が大きな影響を及ぼしたことは否定できない。この グループは入試委員会の勧告の線にそって、先っ第7学年から第12学年までの内容を研究した。イリ ノイ大学の研究グループもfou卜y−ear high s chool programを計画した。両者の基本理 念（basiCphiユ。s〔phy）は正しい数学（cOrreot皿a汕．）を教えんとするにあった。

 従来の伝統的なコースを整理、統合、革新した結二乗、新に第12学年のプログラムを設定する必要が 生じた。そのために若干のコースを選定し、選択できるようにした。a fur ther stud−y of

funotions， an introduetion to Inatrices， probability and s1二at istics， anaユytic geo皿etry， an introduCtion 1二〇 po1ynomiaユ

。alcuユusが選択すべきコースである。此等のトピックは通常generaユfirst−year oo ll egc courS eとして一括されているので、多くの高等学校では第12学年の選択コーヌの代 用として、これらの大学の教科書を採択している。しかし第12学年の数学を如何にすべきかは、現在 まで非常に不安定な状態にあることはOffice o f EduCat ionの報告が雄韓に物語っている。

 革新プランの教科書は、数学それ自身が強調され、数学以外の分野への応用に触れている点は事実上 殆んどない。準備されている唯一の動機づけは、数学のゲームをOr ea teしたり、inVentしたり、

playすることである。プログラムの主たる目標は、大学での数学を学ぶのに適当なように準備するた めに、正しい数学を教えることである。従って、高校生の小数、多く見積っても上位20％（in acade皿iC ability）のためのものである。

 小学校算数（K−6）については、実験段階の改善プランは数多くある。最も広く知られているのは

S・M・S・G．GreatθrCユeaマθ1andプログラム、TbθBa11statθCo11eg9プ

ログラム、スタンフォード大学のP．SupP6s案、それに算数と理科の統合を計画しているMINN」

EMムsTプログラムである。

 S．M．S．G・．とBa11Sta teの両案は、幼稚園の段階から正しい数学を教えんとするにある。

正しい用語、記号、概念を用いることによって、正しい中学学校数学の学習の準備をはかっている。

 計算技能よりも概念が強調され、実際の日常生活への応用は最！」蝦にへらされている。幾何と測定

（皿easures）の導入を慎重に計画している。現代数学のトピッ久即ちペン図、s e t opera−

t ions，エnodu1ar Ar i th。位相的概念が導入されている。しかし此等は孤立したトピックとし て取扱われ、統合したアイディアとしてではない。

 SupPesの研究に一言触れたい。同氏は小学校で集合、幾何学的作風論理のアイディ7を導入す ることを研究した。彼は最初mode1bui1d ing fo r asSo c ia t ive behavi Or

learn ingの1つの実験として取上げたので、カリキニラム構成としてではなかった。この実験の結 果は限られた学習研究として解釈さるぺきであるの1こ、人々はカリキニラムの一部とみなすように拡大

しようとしている。MIN畑MASTの研究はまだ初期で報告する段階ではない。

 革新運動は1950年代に米国で始ったが、1958年に醐1111に拡がった。現在、中等学校の現代化さ れた数学の統一カリキュラム（modern uiif ied pr ogra皿）は米国よりも欧州諸国の方が進ん でいる。現在欧州では算数の改革に取組んでいる。経済協力機構が1958〜1959年代に手をそめ、各 国の文部省が協力した。此等の革新案の詳細はMa th．Teache r LV111 and．L1Xに私が報告

しておいた。

・6．

 新カリキュラムはドイツ、ヌヰスのG・ymnasiu皿・フランスのLycee・デンマークのGymnas・

英国のG・ram皿ar Sch001のようにhighly selective schooユsで教えられるもので、

上位5％の為のものである。…・・・…

 米国に於て、此等欧州の進んだ革新案に対抗するものはCa誠「idgc「ePo「t（1％3）である。

この報告は究極的には現在の大学3年間の数学内容を大学入学前に学習させようとするものであり、そ の為には多くの変更を実施しなければならない。先づ、計算技術や特殊なトピックを重んずる従来のや

り方を排除し、小学校の段階からmore genera1ana a11encompass ing id．easを 導入し（例えば、実数、関係及び関数、代数的操作、幾何学的変換）、第三にすべての皿atheエnaト

ia1 d i s o ipユinesについて、構造と内的関連を強調することである。Ston9は、この案 に対して強く批判し、代案を示している。（Math． Teacher LV111．1965）

工互θ pr6sθ聰t state of回athema．ticaユ education in tbg u．S．A．

 現状は、whi1e holaing fas t to the bes t and mj or part of the

trad−i tiona1pr ogra皿is o therwis e in a ChaOtiC S机teの表現で表わさ

れる。数多の実験教科書は小、中、高とも単に何を教えるかという教材論に関心がむけられており、し かも知的能力上位の生徒、おそらく上位10％のためのものである。従来の算数内容が含まれるいる上 に、更に直観幾何、1皿。dular ar i th，N進数、ペン図、集合が加えられている。正しい数学の学 習以外に挙げられている目標はない。教材の取扱い法は革新運動が始まる前よりも、もっと形式的であ る。概念が強調され、計算技術は従来より軽視されている。小学校教師の多くは此等の革新フラニ／の精 神を教えるには無準備で、実効があがっていない。

 ム nθW 工一◎tθ f◎rllIa1isIII fr6quθn ■；1y is s わStituted f◎r tbθ o工d r◎tθ 1Oa．エni皿g Of arithmet：i．C C0口P tat：i■0n

 中学数学は大分改善され、Z8学年では従来の算数の復習補充と㎞mess apP11誠tio鵬が㎜か

e口1aticaエロa−ture Of1um1＝er systems aココd of ge㎝etrio Objeotsの研究におきかえられた。

 9学年の代数一と10学年の幾何は最も革新されたといえる。即ち公理的取扱いと。rdered fieユd of reaユn㎜bersを用いることによって、もっと構造化された。立体幾何、いや三次元空間の幾何と云 っだ方がよい、は平面幾何の研究の中に包含された。しかし依然としてユークリッド流の幾何・空間学 習の現代的角度からはあまり適しない流儀である。11学年は従来の代数皿を改善し、二次方程式に加 うるに関数のアイディア、三角法が加えられている。（三角形の解法は縮小）12学年は前述の如く最 も渥頓とした状態である。しかし現状では、関数、マトリックス、解析幾何からの選択コースよりも、

三角法とad補血。ed aユ9ebraを教えている学校が遥かに多い。1つの著しい改革、発展してゆく方向と して、12学年に微積分（鎚an a酌㎜ced p血。e皿6nt in二〇ユエege progra皿）を取扱う傾向が見受けら れる。将来微積分は是非hi敏S曲OOユで教えなければならない。

しかしそれには前段階の準備が必要である。

 工he pエ・epara七ion for 也is course1＝egins veエV earユy a皿d昌tudents a］＝e frequ昌n1〕ユy selected fo】＝モbis program a1二個ユe age of12 vears in the ア 七h grade， begi］〕ni］コg a study of fo■naユ

aユ9ebra地9rade8． （言主・我国では・とっくに実施していることである〕

 しかるに現状では充分の準備なしに急傾斜で微積分を教えるから、あまり成功していない。

一・

V一

（註 我国とちがって全国劃一でないから、微積分をとる生徒も本人の選択と、只教師側が生徒の能力 を査定してとらせるので、高校段階での微積分導入はまだ定着していない）

 すべての数学者や教育者が現在の革新運動をよいと確信しているわけではない。教材内容に異論ある 人、その範囲や配列（sc ope and s equenc e）に賛成しない人、さまざまである。

主な批判は次の諸点である。

1 集合（the uS e o f s e ts，S e t ope ra t i onS，and symbo l iSm）を重視じず   き一でいるσ

2 公理的構造と演嘩的証明を重視しすぎる。

3 生徒は自然に、生れながらに教材に興味をもっと仮定するため、動機付けに欠ける。

4 物理や他の科学への適用に欠けている。 工t i s only subj e eト。 r iented．

5 国民大衆の普通教育とつながらない。

6 工t is careeエー。riented一，and not concerned−with1ibera1 or   general education、

フ 一般の学校のカリキュラムの性格について、学校管理者（adminiS tratOrS）が数学者の言   を盲目的に受入れすぎる。

工rθndS一 工hG fu■1：urθS

 将来の動向を的確に予測することはできないが、大体次のようなことが云えるであろう。

ム     Tbe redθfining ◎f 1θve1s in scbo◎1 θd旭。a．ti◎n

 1 幼稚園と4学年（10才）までの段階、ここではピアジエーのStages of developmen七    が本質的である。

 2 中学年すなわち5学年から8学年まで（10才から14才）思春期で、それがまた明確には分ら    ないが、何等かの形で知的発達と関連がある。

 3 1ユigh schoo1，すなわち9学年から12学年まで（14才から18才）青春期で、認識

   力ある知的活動と能力が急速に発達する時期である。

 4 高等教育（h i ghe r eduoat ion） 18才以上でadul t behavio rに成熟する時    代このような身体的、精神的発達を考えると、低学年（1の段階）でspec ia l i J eボea−

   cher を必要とし、intermedia te sohoo1では、特に訓練された数学教師（小学    校の中学年以上は数学専攻9教師、即ち全科担任でなく中、高のように教科別教師の意味）を    必要とすることは決定的である。

BTbe聰θWViθWOf回ath

  過去に於て、否現在でも多くは数学の学習をA s tudy o f several d・iscre te

 b工anches とみなしている。先っ小学校で。 omputa tiona1ar i th．，次にZ8学年で  aPPユied a工ith．と。oncre七e Geo．（皿easurement）続いてseco1ユd−a．ry  s choo1では代数（2年間）、幾何（1または1．5年間）と三角法、解析幾何と微積分の学習が  12学年で始っている。

  このように学校の各段階で全くちがったそして関連のない数学が教えられ、学習のレベルも殆ん  ど連関がない。

       一8一

  しかし今日ではこのような区分は支持し難いのであって、集合、写像、関係、関数、数、空聞の 諸概念と、これらの概念にもとづく構造があらゆる段階の教育に於ても基本的である。

 小学校の段階では、此等の概念は直観的、非形式的（informa1）な形で学習させ、社会的に も有用でまた児童の知的発達を構成するように提示しなければならない。

 中等学校のレベルでは、数と空間がやはり学習の基礎的領域であるが、小学校で扱うよりも更に 複雑で、もっと深く、もっと形式的に成長してゆく。大学では、此等の概念がba s ioであること に変りはないが、更に程度が高まり、抽象的になる。

  このように数学学習の性格は、分科的見方から数と空間及びfor皿al abstract sysト  eロユSの学習に統一され、幼稚園の段階から進められるべきである。

CTbθn6wsooia1viθwontbe聰at r6a．ndp1ユrposθofgducation

  従来学校は訓練する場所で、生徒は読み、書き、その他fac tua1knowユさdge を習得し、

実地に役立つように練習（practiOe）した。そしてこれらの知識や技能は一生役立った。所が 近年学問が爆発的に進歩し内容がふえ、学校で習った矢口識や技能は時代おくれとなり、卒業後更に 身にっけねぱならない知識や技能が限りなくふえてきた。従って、8，10，12年間位の学校生活で は全部学習することは不可能であり、また学んできた内容も卒業する時には既に時代おくれで役に 立たない場合もある。

  So，education is now t］〕ought of as aeveユ。ping abiユi ty to thiOk as oonoep1］uaユij a1二ion of  ge田eraユprinoユes，as a deveユ。Pi口g P工D cess 也at e］〕abユes one 加go on■eaロユing thrα塔ユOut  his entir6，ユife rather 七ヒan as a s誠y世一at ceases at也e te㎜inatio口Of for匝aユ

 S血OOユi1］9

  この見地が教育上重大な意味をもつ。

1〕  工he nθW ▼：i．9W Of tea．Cber θd CatiOn

 教師は教える教材よりも可成多く深い知識をもっていなければならないが、それは（eXtra kn−

owledge）教師自身が在学中（a t尤he p工e−s e rvice tra ining col lege）供給さ れると考えられてきた。

 数学、科学の進歩して止まない現代、教育の目的と方法（purpose and lnethods） も時代 と共に移り変る現代、古い型の教師養成観はすてなけれぱならない。

 数学が直観と組織的な推理の協力によって生長し、最後に内面的適翼のある構造となることを生徒が 体得するように授業を進めるためには、教師が数学を広く知ることが不可欠の条件である。

 このことは将来、教授法や教材のSCOpe and S equenCeが絶えず改訂される見通しからも云

える。

もし教師が数学に対して、せまい閉鎖的な。r ienta tionをもっているなら、数学教育の革新に大 きな障害となるであろう。教師は職にある限り生涯、数学の勉強と教育面の研究を（pedagog ic−

a1aspec七s）続けねばならない。

Tr onds

1 最初から正しい用語が強調されるだろう。例えばCoユ1eo t ions o f obj ects wi11  be j o ined o r un i ted， bu t no t ad−ded，wh i l e numbe r s wi11 be

 a dd−ed一

一9一

2 現在の、概念を重視する学習（oonc eptua11ea工ning）はつゾき、更に強化されるだろう。

概念の性質、及びその学習法のr es earCh は続けられ、研究の成果は集合、数、写像、関数、関 係、空間、幾何などのbas io ideasの扱い方（pres entat ion）に影響を及ぼすだろう。

る A sing1e oユ。se1y knit fi1d◎f kn◎wl edgθ としての数学研究の統合化  （uni f ica t ion） が進むだろう。代数や幾何の一部も小学校教材として取入れられ、微積分の

基礎概念の初歩はアまたは8学年に直現的に導入され、11，12学年ではかなり工igor o us に取 扱われるようになるだろう。

4 大学入学前に、数学の知識及び応用を相当豊富に教えることになろう。その為には、すべての数学  の分野に共通なbro蝸舳d口。re uni fy加g conce帥s が学習の基礎を形成しなけれ  ばならない。此等の概念とは集合、写像、関係、関数、演算Ope ra t i on （as a par t i−

 ouユar aspeot of function）である。

  更に、数系統の構造、群、環、体が卑近な特殊の場合から一般的な公理的取扱いに到るまで漸進的  に取扱われねばならない。構造とテクニックの両者を教える際、テクニックは広い、一般的な  app！icationをもつような性格のものでなければならない。例えば根を求めるホーナーの方法  は特殊なaユgor i thm でありテクニックである。

5 物理、化学、生物その他自然科学や社会科学への数学の活用は益々増大するだろう。………

  AS a tooユ， to mathematiz e a si tuation is the way 1二he o ther s ciences are fiIコding

 soユu1二ions 加probユems 也at］］ave bi也eエto not yieユded 七〇 也ei r σ、m desc riptive tedb］コj−ques．

  この傾向は数学と理科の間にカリキュラム及び教授法について、益々より一層の緊密化を要望する  ことになろう。

6 bi幽schOo1回a舳． に於て公理的構造と演睾的証明は重要な役割を演じ続けるであろう が、それはユークリッドのsynthet io deve1opエロentを意味しない。公理的構造は数学の最  後の仕上げであって、そこでは、発見された知識が美しい型にしあげられている。

  論理は何物をも発見しない、証明にさきだって、あらゆるものが先見されねばならない。真の学  習は発見によって招来するもので、常に証明に先立っている。

   ．Broad尉PotheSes are for皿ed，a］ユd in t］ユeir fOn口atiOエユせ1e i］ココagination，ヒy an act  沈idh is vi r1コuヨユユy an aot of creation ju［口ps a bbasロユacross bi o］ユエ。gic provides no

       ，

 bridge・ 一、

  かくて、構造と論理（s truo ture ana logic）が一歩一歩と生徒の学習の過程で発達」

 high sohoo1の段階では、僅少のpos七ulateをもった小さなsys temsを取扱うのが

 普通になるだろう。幾何と共に代数も構造の例示として用いられるだろう。（注 このことは我国  の数1、数学と論証で実施されている。）

  公理や定理の長い連鎖は大学での研究にゆだねられる。

7 ユークリッド流のsy汕θti0な幾何は廃止されるだろう。ユークリッド原体は、数学教育の  近代化をおくらせた1つの原因とみなされる。勿論ユークリッドは天才であり、彼の業績は非常に  大きい。しかし、彼の業繊は創造的数学（C r ea t iveエna th）の領域よりもむしろ論理と哲学  の分野であった。

一1−0・

  現在我々は空間を研究するのにもっと強力な他の方法をもっている。すなわち、ペクト〃、変換、

 マトリックス、座標空間、線型代数などであって、此等のすべては明日の学校数学で、重要な役割  を演ずるであろう。

8 n mθrica1面a加．は学校数学で次第に重要な役割をもっようになるだろう。nuエロer i−

 cal analyS iS，コンピューターの使用、及び。o皿puter−Or iGnted matlユemat−

 ical s tudyが高校数学に既に入りつ㌧赤るが、これは単に計算のみを意味しない。

  nume「ica工a19o「i thms，measu「e 七heo「y，oPera t〔rの使用、i七eエat＿

 ive pr ooes s es，線型計画を含む1inear sys tems，フローチャート、oombinat−

 oriCS，errOr and eSti皿atiOnなどの理論を含んでいる。

  此讐のトピックについて特別たテクニックまで立入ることはさけるぺきであるが、r般的な応用  を教えることによって、純数学理論が実社会の諸問題の解決（bo th exac t and probab−

 1e）にどのように役立つかの洞察を与えることになるであろう。

9 確率と統計（s ta t is tica1inference を含む）は学校数学の重要な教材となるだろ  う。学習は小学校の段階から始まり、各学年にわたって取上げられ、advanoed study of  亭ppl i ed probab iユi ty theoryに及ぶだろう。確率論は、算数、代数、幾何、解析の  基本的な要案と構造の多くを総合する複雑な数学のmod−eユである。最も重要なことは、生徒に魅  惑的なrandO皿neSSの概念を洞察する機会を与え、それは生徒の創造性をはぐくむことである。

10 微積分は将来ad−vanc ed place皿ent pro6I amとしてではなく、高校の正規のカリ  キーユラムの一部となるであろう。しかし統合された数学にintegra七eされたAna1ys iS と  しての微積分である。

  勾配、極限、連続 直線または平面上の開区間、近傍、関数、数列、級数、総和などの7イディ  アは7学年またはそれより阜くスタートし、次第に微分、積分、微分方程式の学習に積み上げられ  るだろう。

  欧州では、微積分はずっと前からsecondary pr麩a袖tory schoo1 （大学進学コー  ス）の教科であったので、米国の現状はもはや猶予を許さない段階である。

H 代数は最も重要な教材となるだろう。ここに代数とは七heory o f OPe ra t ionsを扱うも  のと定義する。小学校から始まり、中学に及び、高等学校では数と空聞の研究を行うinStru皿ent  としての代数の構造を学習することになる。幾何の大部分は代数的取扱いをすることになろう。

12 数学の学習に於て発見、創造（inventiveness o r disoovery）を重視するように

 なるだろう。

しかし経験的手法（expe r i血enta1prooedures）は特殊な結果を得ることよりも、数学の r般的な方法に導くように指導せねばならない。

 例えば、三角形の内角の和の研究に於て、3つの頂角を測定することは特殊なphys iCa1 exPer imentであって、一般的な幾何学上の手法ではない。それに反し、3頂角を1点のまわり に集めて、一直線となるから内面の和が2直角であることを知る手法は、変換を用いており、この  打ansfomat ionは数学の研究に於て基本的な操作の1つであって、一般的である。このよう

な例はいくらでも例示できる。

一11一

 最後に、数学のみならず他の教科についても云えることであるが、一言したいことが参る。

最近10年間の革新の時代の傾向は殆んど全く何を教えるかということが中心であった。

（subjeoト皿atter cen七ered affair）唯一の目標は正しい数学を、そしてもっと沢 山教えようということであった。

 生徒の能力、若者の興味関心、数学以外の教科への役立ちなどの点は殆んど無視されていたと云っ てよい。

 そこで漸く学校教育に責任をもつ人達の間から、カリキュラムをもっと教育的に見て妥当適切、合 目的的なものにしよう（eduoation aユ1y obj eo tive）という傾向が生れたことは明白で

ある。

 かくて、数学は単に数学という教材をこえて、確たる教育目標をもっようになるだろう。普通教育 に於ける数学教育の目標は単に大学入試準備教育とか、上位数パーセントの英才教育、大学数学に直 結する近代数学のみをねらうのが万能ではない。

 一皿1us  our 副ユbコec t煎■1have sta1二ed goaユs o］＝obj e〇七ives entendiエ唱 beyond the subj eot

   ヨ

1tseユf， thos e愉10h perta1n to deveユ。pエユg Ibera工1y eduoated you旦g men aエユd w口nen， to oPening uP new worユds of in七eres1〕， 1二〇 satisfyin9 也e desires of usefuユness，and adaptabユe

七〇 七he various ユearエユing copaci七ies of a11 yo皿．1＝丘 一n〇七〇nユy those fθw who have high aCadθ匝iC Caree1＝Or ientatiOn

一12一

      （1）  C工ASS工CAL MATHEMA匝工CS

      Und−er this na皿e one includes the four disciplincs

d−efined−by the ancients， na皿ely： arith］コ〔1etio， geo皿etry，

a1gebra， and ana1ys is． These aisc iplines i−n ］＝e！a1二ion to each

o t］11e r we r e c ons id！e r ed a s c1o s e d f i e1d s o f inv e s t i ga t i on． Bo r n

in the en1igh1二enment of 1：he 皿idd1e ageS 1＝hey appeared t0

fo11ow pa ra11e1 d−eve1opmen ts．工t i s to the o r ed−i t o f mod ern

thought that there has been woven between theIn a Set of re1ations， whicb in the eyes of a researo］ユer， now enable him to conoeive of 皿atbematics aS a totaユi1；y．

1 ALG・EBRA 2  GEOMETBY    3 ANALYSIS 4 ARITHMETI C

丁亘E BPANCHES OF CLAS S I CAL MATHEMATI CS

4 4 3 4 3 3 1 3 3

  3

  11

  4   4   3   3 2 3   3

Oo1］ユb i］ユa t or ia1 Ana lys i s

D i Opha nt ine Ana1ys is Ha r皿。n i o Ana lys i s

I nd−e t e rm ina t e Ana ly s i s Nu皿e r i ca1 Ana1ys i s Ana！ys i s S i tus

Computational A1gebra

Differentiaユ Oaユ。uユus In1二egral Calculus

Infinitesi皿a1 Calou1us Theory of Ma1二rices

Nu1〕ユer i ca l Ca1cu1a七i ons

Caユ。ulus of Probabilities Symbo1i c OaユCu1us

T ens o r Anaユy s i s

Vector Ana工ySis Calculus of Varia tions

2 4 Ana lyt i c G・e ome try

  2 DeSoriptive Geome1二ry 3 2 Differentia1 〔｝eO皿etry

3 2 Eユe皿eIユ1二a1＝y GeO皿etry

  2 Projective Geo皿etry   2 Non−Euc1idean G・eometry

1 3 TheO］＝y Of EquatiOnS   3 Differentiaユ Equatio］コs   3 Par1二ial Differen1二ia1

    Eq1ユa tions

  3 Integra1 Equa七ions 3 1 Theo工Iy of Deter皿inan1：s

  3 The ory o f Func t i ons

  4 Theo1＝y of Nu皿bers   4 TrigOno㎜e1二ry

  4 No皿。 g ra phy

  4 Interpoユation   2 Kinematios   4 Statistics

Source： I BM F］＝a no e

■115一

       （2）MODERN MATH瓦MAT工CS

       I t is only a few decades sinoe 1；he axio皿a tic method has

per皿itted−the unifica1二io］ユ of ma theエロa1二iCs and unraveled i1二s fund∂mentaユ s tructures．The firs t s teps o f uni fi Ca tion were the work of a tea皿 of young mat］ユematicians in France，w］ユ。 in 1939 began publishing 1二he results of 1二heir researches und−er the s igna ture   BOURBAKI ．

      S TRUCTURE S OF MODERN MATHEMAT I C S

      Li e G・roups       Fu］ユ。tioエ日ユ

     ㎜。。町・・     「■軸・・

     舳、、  ／ 。、、伽、。エユ、

        L

       Differentiaユ

      Geome tr ic         G・eometrV      Funotions of        Aユgebra      Compユex       ↑

       Pobn㎝iaユs       →工n尤egでa1二ion   Vaエiab■e

      独ebras

Aユgeb工aio       Nomed

Eq1コa七ions      −G・eomet呵       F㎜ctions of      Spaoes

L。舳     組舳㌃閑北、此工

        SDaces      Veotor Spaoes        Differentiaユ      Mbasu「e

       入しgebra

       C㎝pユex       NL皿ibers        Fieユds

舳／工舛  鷺、＿ζ：lll

    L撫・1      ／

∴ニニ1：、㌻㌣

畑∵一r ／1蔓

篶二；1二∴r鮒二鷺慧」

S E T S

Souroe： ^{I］…M Fr㎝oe}

一14一

㎝ I

      （3）MODERN SECONDARY SCHOO工1MAT亘EMAT工CS

    吻thematics has aoquired a unit｝ through 1二he theory of sets． The fund−amenta1 proper1二一 ies are 皿appings， re1ations， and funotion． The basic structures are 1二］ユe group， r ing， aエユd fie1d． The unifying structures is that of a vector space． On 1二hese structures we can bui1d

1二he ca l o ul us， p r o ba b i1i ty a nd nume r i oa1 a na！y s i s r eユa t e d− t o d i g i ta l o ompu1：e r s．

      AMODERNSTRUCTUREOFSECONDARYSCHO0LMATHEMATICS

      PROBAB工LITY      NUMERIOAL ANALYS I S       ＆ STAT I ST工CS        REAL ANALYS工S      C∩MPUTERS        CALCULUS

      COMPLEX ホUMBERS        ↑

      MATRICESHDETERMINANTS         VECTOR G・EOMETRY        VECTOR SPACES       ↑

      Rコ≡：ALS H FUNCTIONS        EUCLI DEAN SPACE

        。。。。。。。。。。。。。㎜。。。ト＿＿。。。。。。     l

      RAT工ONAL S＾FUNCTIONS        ↑

        AFFINE G・E0METRYトRING・S， INTEGRAL DOMAIN       INTEG・ERS−POLYNOM工ALS        ／       l

        TRANSFORMATIONS      GROUPS＼       W巨OLE NUMBE RS       00MB INATORI O S／

       ／      ／

        P0工NTS IN SPACE←OPERAT工0NAL SYSTEMS       F IN ITE NUMBER SYSTEMS       ／    1   ＼

       MAPP ING・S   RELAT工ONS    FUNCTエONS       τ

      G・EOMETRY      S瓦TS       ALG・EBRA

       l      t

       ・。・…      ／       。。。。。。

      MA工NSTBEAM