）場合以下の問に答えよ。ただし、プランク定数を ¯ h ≡

(1)

階段型障壁 1:steppot1-qa090525.tex

次のような一次元の階段型ポテンシャル障壁に左側から、エネルギー E の粒子（質量 m ）が進入する。エネルギー E がその障壁 V

0

よりも低い（ 0 < E < V

0

）場合以下の問に答えよ。ただし、プランク定数を ¯ h ≡

_2π^h

とする。

V (x) =

0 (x ≤ 0)

V

0

(x > 0)

1. 領域 I(x ≤ 0), 領域 II （ x > 0）ごとにシュレディンガー方程式を立てて、一般解を記せ。

2. 波動関数についての境界条件より、特殊解の積分定数の比を求めよ。

3. 反射率 R 、透過率 T およびそれらの和を計算せよ。

4. 0 < E < V

0

の場合には、古典物理学的には禁止される領域 II(x > 0) に進入できる確率が存在するどうか述べよ。

（解答例）

1. シュレディンガー方程式と一般解

− ¯ h

²

2m d

²

dx

²

ψ

I

= Eψ

I

. (1)

→ d

²

dx

²

ψ

I

= −k

²

ψ

I

(2) k ≡

2mE

¯ h

²

(k : 波数) (3) ψ

I

(x) = Ae

^ikx

+ Be

^−ikx

. (4)

− ¯ h

²

2m

d

²

dx

²

ψ

II

+ V

0

ψ

II

= Eψ

II

(5)

→ d

²

dx

²

ψ

II

= γ

²

ψ

II

(6) γ ≡

2m(V

0

− E)

¯ h

²

(7)

ψ

II

(x) = Ce

^−γx

(e

^γx

：不適) (8) 2. 境界条件より

ψ

I

(0) = ψ

II

(0) (9)

→ A + B = C (10) ψ

_I

(0) = ψ

_II

(0) (11)

→ ik(A − B) = −γC (12) B

A = ik + γ ik − γ , C

A = 2ik ik − γ (13)

(14)

3. 確率の流れ (inc

^入射

,ref

^反射

,trans

^透過

) J

inc

= h ¯

2mi [(Ae

^ikx

)

^∗

∂

∂x (Ae

^ikx

)

−(Ae

^ikx

) ∂

∂x (Ae

^ikx

)

^∗

] (15)

= hk ¯

m |A|

²

. (16)

J

ref

= ¯ h

2mi [(Be

^−ikx

)

^∗

∂

∂x (Be

^−ikx

)

−(Be

^−ikx

) ∂

∂x (Be

^−ikx

)

^∗

] (17)

= − hk ¯

m |B|

²

. (18) R ≡ −S

ref

S

inc

= | B

A |

²

= γ

²

+ k

²

(−γ)

²

+ k

²

= 1(19) J

trans

= ¯ h

2mi [(Ce

^−γx

)

^∗

∂

∂x (Ce

^−γx

)

−(Ce

^−γx

) ∂

∂x (Ce

^−γx

)

^∗

] =

= ¯ h

2mi [(C

^∗

e

^−γx

)C · (−γ)e

^−γx

−Ce

^−γx

C

^∗

(−γ)e

^−γx

]

= ¯ h|C|

²

γ

2mi (−e

^−2γx

+ e

^−2γx

) = 0. (20) T ≡ J

trans

J

inc

= 0. (21)

R + T = 1. (22)

4. 前問の結果より、反射率 R = 1 とな

り、全反射する。しかし、古典的粒子

描像とは異なり、障壁内部の存在確率

1

(2)

密度は |ψ

II

(x) = |C|e

^−γx

となり、部分的に侵入する確率がある。侵入距離の目安は 1/γ であり、1/ √

V

0

− E に比例する。

2

）場合以下の問に答え よ。ただし 、プランク定数を ¯ h ≡

階段型障壁 1:steppot1-qa090525.tex

次のような一次元の階段型ポテンシャル障壁に左側から 、エネルギー E の粒子（ 質量 m ） が進入する。エネルギー E がその障壁 V

よりも低い（ 0 < E < V