NDC 415 5
局所凸線型位相空間の帰納的極限の構成について
池 上 哲 男＊
（昭和，52年3月30日受理）
On inductive limit of the locally convex linear topological spaces．
Tetsuo IKEGAMI
（Received March 30， 1977）
局所凸線型位相空間の帰納的極限の構成については，
N．Bourbaki［1］，chap皿，§2， n。4とかTreves［2］， Part 皿，chap 50などですでに述べられておりますが，その構 成に関してはいずれの場合もかなりの予備知識を必要とす るように思われます。そこで，超関数を理解する場合の基 礎となる局所凸線型位相空間の帰納的極限の一つである D（Rn）の位相構造を多くの予備知識を必要としない範囲で 明らかにとらえることを目的として，比較的簡明な方法で 局所凸線型位相空間の帰納的極限の構成を試みましたので ここに述べておきます。
Xが線型空間であって，局所凸線型位相空間Xαの和集 合として表わされ，さらにXα1⊂Xα2であるとき，Xα1の 位相はXα2の部分集合として相対位相となっている。この とき，Xαの帰納的極限であるXの局所凸線型位相空間の 構成について。
UがXのconvex， balanced， absorbingな集合で，すべ てのαはついてU∩XαがXαで開集合であるようなUをX における開集合として含む最弱の位相を入れる。そのとき Xは局所凸線型位相空間となる。このことを示す。
上に述べた性質をもつUの全体をUで表わす。
EDt ・一｛x＋U；x∈X， U∈U｝とする。
．蹴を含むXの最弱の位相をOXとする。
まず，位相空間（X，OX）において，0の属するどんな開 集合もconvex，balanced，absorbingな開集合を含むことが 次のとおり示される。0がx＋Uに属すとする。x∈Xαoな るα0が存在して，一x∈Xα0である。Uの性質よりU∩Xα0 はXα0における開集合であり，Xα0が局所凸線型位相空間 であるから，0が属するx＋（U∩Xαo）はXαoにおける開 集合であって，Xαoにおけるconvex， balanced， absorbing な開集合Gαoを含む。GαoがXαoでabsorbingな集合であ
＊応用数学
るから，一εx∈…；Gαo〔＝x＋（U∩Xαo）⊂x＋Uがなりたつよう な正数ε（＜1）は必ず存在して，（1＋ε）（一x）∈Uとなる。
0∈x＋Uであるから，一x∈Uである。そこでUがconvex なることにより，Uに属する任意のUに対して
8（一x）十（1−G）uEU である。
又，（1＋ε）（一x）∈Uであったから，Uがconvexなること より
ε｛ε（一x）十（1一ε）u｝十（1一ε）（1十ε）（一x）∈U である。
：． 8（1−8）uEx十U
uはUの任意の要素であったから，η＝ε（1一ε）とおくと，
ηU⊂X＋Uとすることができる。
ηUは明らかにUに属するから，0が属するx＋Uは適当な 正数ηをえらぶと，Xにおけるconvex， balanced， absorbing な開集合ηVを含むことがわかる。
Gを（X，OX）における0が属する開集合とするとき， OX の構成のしかたより0が属する開集合（Xl十Ul）∩………∩
（Xn＋Un）でGに含まれるものが存在する。但しUi∈U（i＝
1，2，一一一，n）．
上にjiBべたことにより，適当な正数rp1，………，nnをえらぶ とη1U1⊂Xl＋U1，………，VnUn⊂Xn＋Unとすること ができる。
：・ （mUl） n ・・・… ft （nnUn）cr （Xi十Ul） n・・・・・・… fi （Xn十Un）
ηiVi （i＝1，2，・・一n）はconvex， balanced， absorbingな開 集合であるから，（η1U1）∩…………∩（Vn Un）はcollvex，
balanced， absorbingな開集合である。
従って，（X，OX）における0が属するどんな開集合も convex， ablanced， absorbingな開集合を含む。
次に，（X，OX）が線型位相空聞なることが以下のように して示される。
G∈OXとするとき，明らかにβ≒0であるようなβに対し
一43一
津山高専紀要第15号（1977）
てβGEIOx，又∬＋G∈OXである。
このことと先に述べた0が属する開集合はconvex，
balanced， absorbingな開集合を含むことより，写像（x，y）
1一→x＋y，及び写像（β，x）ト→βxはともに連続写像なる ことがいえるから（X，OX）は線型位相空間である。
以上のことより（X，OX）は局所凸線型位相空間である。
おわりに，本稿について東京大学伊藤清三教授より示唆 を戴いたことをつけ加えておきます。
文 献
Ll］ N． Bourbaki：Espaces vectoriels topologiques，
Hermann 1953
［2］ Treves ： Topological vector spaces， distribution and krnels， Academic press 1967
