鮨8巻第1号（1956）
かんがレ〕用貯水池の堆砂に関する研究
鼠 静水中における砂磯粒子の形状と沈降速度に関するt一・実験的考察
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膏 良 八 郎
Studies on the sedimentationinirrigationalreservoirs
旺．An experimentalconside工atioriOn the shape and criticalfall−Velocity of sand and gravelgrainsin quiescent water
Hachiro KTRA（Laborato工y Of AgriculturalEngineering） （ReceivedJuly20，1956）
Ⅰ 緒
閂 貯水池内における沈澱解析に対する基礎的実験の一・つとして，静水中にLおける砂礫粒形の相異と沈降速度に関す る実験をなし，現象の定性的な面に著干の考察をおこなった報償の1部である∴沈降速度に関するNEⅥ■ご0罰や， S工0ⅩESの理論式，およびSroⅨESの式を拡張したOsEEド，Au澗≠，K量RnTAN，鶴見その他の理論ならびに実験或 は，いずれも球形粒子か規則正しい粒子に関するものが多く，しかも−肢にREYyOLDSnumbe工の小さいものが 多い．砂署．粒のように沈降速度の大きい，形状不親則なところの粒子の形状的因子を考慮した実験が少い． 沈降速度ほ，勿論粒子の径や比盈，水の比重や粘性，水渇などにより異なるが，その沈降粒子の形状も沈降速度 を左右する大なる因子と考えられ，粒子の形状差異による沈降速度の相異は，水の粘性■または比塞の差異によるも のより著しいことが想像されるりすなわち不親則形状の粒子が球形粒子に、比して，沈降速度の減少するのは当然の 理であるが，聾者は不親則なる砂i三：粒子の形状因子として，粒子の長さ，巾，厚さ，組長率，偏平率，方形率， Persoll径，球形率，表面積その他毒さなどを採用して，これら各因子と沈降速度との木目関関係を明らかに・し，よ って不親則粒子の形状因子を考慮したところの実用的な実験式の誘導を行わんとするものである Ⅱ 契 敵 方 法 昭和30年9月上旬，香川 県智東川饉沌針パ（灰禦負 泉砂岩，比嘉鵜＝2小645） の朴∫別径2｛′8mmを用 い，水洗乾燥後2∼4了n mおよび4′−81¶lnにそ≧i！i 別して各200粒計400粁を 実験笹供したけ（第1図 参照）供試粒子はあらか じめ第1表に示すような 各粒形因子し叛こつき測定 ならびに計算■をなして後， 沈降速度実験に．供した．． この際粒子の長さ，巾， 郎の測組ま瀞乾 100 lnmの Dialthickness （b） 諜，1図 供 試 砂 礫 粒 子香川大学遊学部学術報告 58 gaugeタ醤さは精度志g のバラソスを使用した．．ま た実験用器は肯い方法であ るが，直径3cm円筒ガラス 襲で長さ約110cmのものを 第2囲のように．装置し，学 第1表 砂礫の粒形因子※ 備 考
名 称l符号i嘩位桓試粒数！
粒子の長さ 粒子の巾 粒・子の厚さ Person径 表 面 瞭 球形 率 細 長 率 届 平 率 方 形 率 畳 さ 緊※精度mmDialthickness
gaugeで英側 dp＝折㌻盲盲 り） Ao≒11dp （太田実験式採用） 内水道（地下水） の水を満水，水 面より約15cm （A点）およぴ A点から80cm の位置（B点） に水平線をひい た．実験にあた りては各測定粒 子を水で湿して 気泡を除き，蘭 かに初速度ない ように水面に．放 ち，（A）−（8） 点80cm間の沈 降時間を0一．1秒 読ストツブウオ群旧旧旧眠旧旧旧恩 ・
〔註〕※（各粒形因子は太田（1）が骨対義両横測定実験に用いたものを採用した） 8 鮮欒（下図のように．砂礫粒子を平放 上におき，それが安定位置にな ったと∴き，その垂直濃彩につい て最長の直線寸法を長さ（a）， それに底角‥な寸法を巾（b），平 板から粒の最上淵までの寸法を 厚さ（C）とする．） ツチで測定し，限界沈降速 度ひ（cm／sec）を求めた． この場合沈降時間測定開始A点を水面下約15cmとしたのは，粒子が沈降し始めてより一層の限界沈降速度に達するまでに要する沈降踵礫以
（2−4） 上充分余裕を与えるためである“ また水温は永の粘性係数に・関係するから0小lOc我等陵計により20国毎測定し た．虻 実験結果および考察
（1）粒形因子と沈降速度の相関関係 供試砂礫粒は節で2′−′4mm，4∼8m‡nに2大別して沈降速度を測定したが，水温は夏季の測定で26．．5′｝27．50c であった．その実験結果は400粒におよぶので省略するが，契験における触y侃DSnumbeT（Re＝）を，不 演劇砂礫粒子の平均粒径d l として（abc）すすなわち Pe‡・SOn径dpを採用して求 めdp階級別に．まとめたの が第2表であり，かなり大 なる値と／なる． 砂礫粒の沈降状態を観察 すると篤3因のように、，届 平緒長粒子は通常a軸が鉛 直方向に垂盾な薬勢で沈降 第2表 Reynolds number Reyn∂1古壷数 Re＝頭 リ dp階級 （mm） 沈降速度 ひ（cm／sec） Person径 dp（cm） 備 考59 集8巻第1考（1956） して，後述のように．致抗力Rlは形状抵抗力Rp＞摩擦抵抗力Rfとなるが，ガラス壁面に・沿って沈降することがあ り，この場合抵抗力R望はRp＜コ律となり，予想以上の沈降速度を示すことがある．このよ うなRBⅥ耶）LI）S numbe工・大なる場合は，粘性による変形抵抗より表面あるいは形の抵抗 となるので，結局Rl＞R9でありa敵方向に沈降する場合が沈降速度大となる．また・一俵 に扁平粒子はかなりよろ軌、てガラス周壁に2∼3回つき当り沈降する場合もあり，不規 則砂礫粒子の沈降速度は複椎陸まることが観察された一． 業者ほこのような関係を追求するため，不親則砂礫粒子の形状を表示する前述各因子と 沈降速度との相関係数を求め，その相関関係を明らかにしたい その結果を示したのが第3 表である．．この結果をみると相関係数の最も大きい因子は，中央部最短径すなわち厚さc （Ⅰ＝＋0．．788）であり，次いで平均粒径を意味するPe工SOn径dp（工＝−ト0．687），表面租A。 （A） 詐甲声一弐ノ慧白 （8） 魚幽閉W
††
RI R℡ （Rp〉R子）（晦く酸f） 第3因 沈降黍勢に よる抵抗 （T＝＋0…652），靂さWs（r・＝＋0一、648），細長率e（rmean＝−0＝飢8），扁平率f（−工mean＝・−0小593），最長径す なわら長さa（T＝＝＋0“477），中央部横径すなわ ち巾b（T＝＋0一477），球形率Rc（工・＝−0．．218）な どの順序で，いずれも有意な順あるいは逆相関が 認められ，方形率Sのみは有意な相関が認められ ない．そこで不規則砂礫範子に．おいて■，いわゆる球形粒子の直径dに．相当して沈降速度を安層己する
径としては，意想径なる厚さcか，平均粒径を意 味するPerson径dpなどを採用してよいものと考 察される．また実測ならびに計算値である各形状 因子も，実測に．よる粒子の重さWs程度あるいは それ以上大なる相関が認められ，これら不凍則砂 礫粒子においては，その形状因子が沈降速度にお よぼす影響の極めて大なることが知れる． そこで聾者はこれら形状因子中将に．相関の大な る因子，すなわち不規則粒子の平均粒径とも称す べきPer・SOn径dp＝V示這「と，細長率e＝旦を採用 C して，不沸則砂礫粒子の沈降速度を求める実用的 な実験式を誘導算出してみた，これについては次 項でのべる． （2）実験式の誘導算出 i）理論的考察（25￣8） 静水中に水より比重大なる砂礫粒子を入れる と，砂礫露盤と浮力との差にひとしいカが鉛直 下向きに作用して砂礫粒子は沈降を始め，次第に 蓋カのため加速される．．この際粒子と水との相対 第3表 砂礫粒子の形状因子と沈降速度との相関関係・こ・∴：1こ ごj・・‥：∴・∴ ●こ−，；：こ・● l
十0‥477叛婚 ＋・0．477特牛楕 十0．フ88…埠 十0∫68㍗鞘 ＋0．652埠♯祐 一・・0．．218糖婚 −・0．610埠袷K −・0け626埠陣場 −0“681埠終祐 一0…505掲揚婦 ＋0．123 −0“042 ＋・0．648袷沖米 長 さ （a ） 巾（b
） 厚 さ （C ） Pe工SOn径（dp＝彗／右転） 表 面 積（Ao≒11dp）球形率（Rc＝）
細 長 率 a e2＝ u∫tこl、
：・ ト・ぐ− S−＝言 200 巧 形 率 憲 さ 註‡……： ab ニ 2 S S W fl，Sl（節別径2′−4mm） f2，S望（節別径4∼8mm） 鞘：P＝0い01で，塔椚：P＝0．001で統計的に有意なこ と．を示す． 速度に．より抵抗力が作用するが，この抵抗力は相対速度が増大するにしたがって著しく増大するから，砂礫粒子の 沈降速度がある限界に達して蛮力の作用と抵抗とが平衡状態になり，その後は等速すなわち限界沈降速度CI・itical velocityで沈降するようになる伸 一俄に凝子が静水中を沈降する際の運動方程式は次式で示される小ここで侮， （ps−pw）Ⅴ・＝（ハs−「仙）Ⅴ“g・】−R＝‥（1） および水の密度，Ⅴ：粒子の体積，R：抵抵力である‖ 粒子に働く富力と抵抗力が平衡に達した場合（限界沈降速度に達したとき）にほ，＝0であるから次式が得られる小
（p8−PⅥ）Ⅴg＝R （2） 次に粒子に働く抵抗力Rは速度，沈降方向における粒子の断面積や流体の粘性や密度などに支配される・・いま第4香川大学遊学部学鋸報告
図のような粒子表面の面積dA部分を考え．，この部分忙働く圧力をタ，dAに、立てた垂線 と鉛直方向との問の角を◎と．すると，dA部分忙働く圧力によるカはタ．．dA，￣このカの鉛 直上向の成分ほrP・・dAICOS◎で粒子表面全体ではRp＝ipcos＠dAとなるl・この形状 抵抗力Rpは不親則粒子では特にその形状や沈降萎勢に．よって異なってくる．砂礫粒子 のように沈降速度が大でREYNOLDS number Reが相当大きくなってくると，応力は 粒子表面に集中していわゆる表面抵抗となり，なおReが非常に大きくなると境界層が 粒子表面から徹れて後流を生じ，後流中の洞鍬こより抵抗を生ずるようになり，この後 流大きさは粒子の形状に．関係するからいわゆる形状抵抗と．なる∴これら形状抵抗の大き さに閲し球形粒子についてNlヨWrONが理論的に導いたのが次式である．
R＝胸wり
（3） 60 第4因 砂礫粒子表面 の抵抗 ここに・R：全抵抗力，d；球の直径，む：速度，βw：流体密度である． 次に蘭体の粘性を考えると粒子表面に摩擦が働く一．歴然応力を♂とするとdA部分に働く歴然の鉛直成分は 6dAsin＠で粒子表面全体では靡捌紙醐f去i6Sin＠dAとなる・1一脚こ適度が小さくREYNOLDSnumber・小な る場合濫は慣性項が粘性項に㌧比して小さいために粘性による応力が遠くまで拡がり流線を変形させる．すなわち流 体の粘性の変形による抵抗となり，この粘性に・よる変形抵抗に関してS工0王こESが球形粒子に、ついて理論的に導いた のが次式である． R＝3花〟dひ 佳） ここにR：流体の全抵抗力，〃：流体の粘性係数，d：球形粒子の直径，U：速度である． 以上粒子に働く全紙抗力ほ．Rニ＝Rp十Rfと．なるが，RpおよびRfの全抵抗力を占める割合は粒子の形状，沈降薮勢 などに・より異なることは前述（雄3図参照）のようである一．そこで粒子表面に．作掛する庄カタはBERNOtJI．Llの定理からpw誓・に比例し，また摩腰応力も紬誓に比例するから，粒子の表面楼を表わす一つの面積（抵抗力をうけ
る方向に垂直な平面へ沈降凝子を投凱た投影両横）をAとすると，抵抗力ほ紬誓Aに比例する・よりて抵抗力 を示す或は次のように．なる一 R＝α・・Pw・A （5） ここに・R：全抵抗九u：速度，A：抵抗をうけ・る粒子の断面私 α：抵抗力係数である〃 このうち抵抗力係数ほ dimensionをもたなく，粒子の大きさ，形，沈降姿勢，抵抗をうける断面のとりかた，粘性などにより異なるもの で，一版にR飢N仙DSnumbe工の曲数で示されておる．すなわちReの小さい間は粒子に対する抵抗は粘性による 変形底流であり，鵬蓋にひと・しくReに逆比例す・るが，Reが大きくなると表面の抵抗あるいは形状抵抗となり α黒 ， 0くnく1の形になり鶴見博士（6）はW∫ESELSBERGERの抵抗係数曲線を利用して前述SroxESの紘技法 則（n＝1）とNEwrONの抵抗法則（n＝0）が成立するReの中間範囲において，ALL罠Nの法則（n＝0．．5）および K猛正長の沫則（n＝0り2）が成立することを認めている 以上の関係から（5）式の抵抗を（2）式に代入すると，次のような限界沈降速度に達した後における平衡条件式が得ら れる． （ps−pw）Ⅴいg＝α・・誓一・Pw一′A （6） （6）式から限界沈降速度〃を求めると（7）式が得られる． 1 レ＝（Psご聖一誉一意i豆 （7） 球形粒子の場蝕はⅤ＝誓，A＝誓紺入して得られる（8）式が限界沈降速度となる■ 1 〃＝＝（号■憲一些忘些一g‡首 （8） ところで自然の形が極めて不規則である砂礫粒子では（8〕式をそのまゝ利鞘することはできないわけで，この点 RTr∫iHn只R，R】C王‡ARD，ScI壬ULZ（7）などは，丸い，細長い，あるいは扁平な形の沈降速度を示すための係数を決61 第8巻第1号（1956） めト久実は（84）尉率（‡）を採凱た英験式を乱ている・そこで碩験のように不親胱砂紙子の齢干し て，い引7）式においてpおよび抵抗力係数αを一層とすると，次式を得る・ u＝β′（芸）妄 （9）
ここで係数β′および芸は英験に・より決める楠く，とくに芸項でⅤは・一応離るとしても，路抗をうける断面橙A
ほ不渡則粒子の形状，沈降姿勢により異なり，芸項は砂礫闇子の長さ此耶あるいほ形，大きさなどに・関係する
ので理論的推鯛酢ある一…そ・こで芸ほ不親則砂礫粒子の形状因子中，相関の臥そ■の平均径を意味するPeI甲n
径dp＝1レ盲扇および細長率e＝旦に・−’よるものと考えて（1旬式を誘導し実験式を算出することにした・ Cひ＝β（‡ドd。を
（1功 ここでβ，mは突放に．より決める． ii）契験式の算出および吟味前・述（1賦のように不規則砂礫粒子の径として，その平均径を意味す考PeISOn径dprを採用し，これに珊長率eを
導入Lたが，簡肇のため次の形で実験結果を生理することに・した・ ′ノ堵（‡ドdpn 帥 ここにり：限界沈降速度， cm／sec，dp＝シ′議㌃（a， b，Cは砂礫の長さ，巾， 厚さ，m町），旦＝e（和 C 長率），β，m，nほある係 数，指数とする小 いまβ，m，nを求めるため に．dp階級別にe＝旦とuの C 関係をlog−log graphに示 すと第5図（A）∼（F）とな り，次式の関係があること がわかる．エ町ムー
エ肺ふ︶ 缶−日管−岩村叫一再じ蔓︼U e＝ e二 民iongateness 第5図 Person径階級別細長率と沈降速度の関係 〔Tノ＝Kr汁吉〕 a ビ 】．＿＿ C ︵‖︶0ハリO nU 人＝U O O O9ハけ川／ ハ0 ︻〇 ・J1 3 K u＝K（計… （Kは係数） 次にdp（階級別平均値）と係数Kとの関係を飴6因のようにlog・−・log gIapbから求めると次式が得られる 1 K＝15Odp2したがってβ＝15一0，m＝−，n＝となり，細長率を服した場合
の限界沈降速度りはr12〕式で与えられると考えられる・ 1 −ノ珊0（訂3・dl）妄 （咽 dp mm 第6因 dpとKとの関係 1 〔K＝15，O dl）オ〕62 香川大学選挙部学術報告 11
いま隙を，横批各（訂き・dp；＝d。…†言）ぎを計凱てとり，疲猷僻遠度ひをと．り乱たのが第7因であ
る．この場合沈降速度は不親則粒 子の示すPer＄On径dpの乗に正比例し，紙細長率（‡）の去来に
逆比例することが認められるが， 〃普通の速度でほ流体の抵抗が速 度の2乗に比例するから，流体内 ￣∴∴＋∴一二 ；
るケと云うNEWrOyの落体法則に† 1 よりd盲に正比例するとした多く の契鹸公式と大差ないことが認め られる． そこで不親則砂疎粒子の限界沈 降速度は．Pe工SOn径dpが大なる はど正比例的に犬きくなる蔚ミ，その細長率‡が大なるほど，すなわ
ち粒子が細長くなるほど逆比例的 に小さくなることが云えるであろ う・ただこの場合に永温（26．．5∼ 27■50c），砂礫比翼（∂s＝2。645） ／ ；￣丁；￣ 「 ￣下￣T㌃￣「T￣「T￣T㌻￣mTて 1Z 14 16 18 2（〉 22 〃 24 一・f÷）iも阜 11 第咽（（甘言dp盲〕とひとの関係 容器の大きさ（径3cmガラス円筒）などを一億とみなした実験結果であり， これら水温粒子の比重，あるいは契験容器の大きさなどに．よりβ，mなどの係数が変化するであろうことは当然 予想される・すなわち実際に貯水池におけるような広い場所を占める流体中でほなく，管のように限られた狭い場 所に・おける粒子の沈降運動では，その周壁の影響が現われ落下沈降に対する抵抗が大きくなり，したがって沈降速 度は小さくなるほずである．，この点に関してFRANCIS，LA7）ENBURG，Mt了2qROE，McNowN（7）などはSroEESある いほNEWごOyの法則にこれら周壁の影響を加味した実験戎を示している・1 最後に聾者の実験式を吟味してみよう．笠者の行った英数において，砂礫粒子の径をdp＝（abc．）すとして
1R即用0エDSnumbeIを求めると前述のように相当大となるが，Reがこの程度の場合における沈降速度がdp釘に此
例することは，鶴見公式（6），KREl公式（5）あるいは久宝英鹸式（き）などと一散する点である．また比忍∂s＝2牒4の 球形砂敢粒子（水温250c）として鶴見公式を・v（cm／sec），d（mm）葦位に換算比較すると次のようになり，装 着の場合徽見理論公式の 1 靭見公式 り＝23一．1dす （レ：Cm／sec，d：mTn） 聾者実験式U＝15・・Odp2 （u‥C！n／sec，dp：mm一） 0一．65倍となるが，この点瓢見博士も砂粒子の契験によりR汀71罰￠ER，RニC‡1ARpなどの・与えた係数から認めている事実である・また丸昧あるKR丘￥公式を換算比較すると次式となり，聾者実験式において珊長率‡＝1J06とした場合
1 KR耶公式 リ＝＝15一．9dす （レ：Cm／SeC，d：mm） の沈降速度を与えることになる．．また久宝実験式を筆者の場合の符号にて示すと次のようになる．．この場合久宝は を届平率となして t t 久宝実験或（a）U＝＝16一0（言）す・dm妄 1 〝・（b）レ＝＝17一6（‡ア・dm 11 〝（C）り＝＝145「‡ノi￣りdll一㌻ （び：Cm／sec，dm：mm）63 第8巻第1尊一（1956）
（’a）式を凱近似実験式とされているが，その（b）式をみると輩者の細長率、‡の逆数を示しておるから・三乗とな
り，維長率‡の…−‡乗に比例する輩着実験式も采当なものと考えられる・ただその係数，指数において以上の各理
静ならびに実験式と異るのは，水温，比翼；容器の大きさなどほ勿論，その粒径dのとりかたが多少異なったから であろう．Ⅳ 摘 要 絡 音
貯水池内における沈澱解析に対する基礎的突放と．して，静永申に．おける比疲的R駅・NOLDS数の大きい不渡則砂礫
粒子の形状因子と：そ？沈降速度に関する−実験を試み次に景すような結泉を得た・1一）不親則砂礫粒子の沈降速度を求むるにほ，その形状因卓を考慮する必要がある．
2）不規則砂礫粒子の各形状的因子と限界沈降達磨との相関関係は，第3表のように粒子の厚さCが最も■大きく，
次いでPef・SOn径dp，表面窟Ao，重さWs，細長率e，扁平率f，粒子の長さa，粒子の巾b，および球形率Rc
の順に，いずれも有意な順あるいは義姉目関が認められる・3）大体比重1一膝なる流体および砂礫粒欄する痕界沈降速度はPerson径d。＝V盲一両の吉葉，細長率e＝！
の一乗に此例する・ その比例係数ほ．容器の大きさ，水混などの影響あるものと考えられる． 最後に承契鹸ならびに罰算盤理に協力された藤沢庶民ならびに合田富久手旗に感謝の意を表し承稿を終る・・（昭 和31年4凡．盛業土木学会発表）文 献
（5）麻間仁：水理学（技補者のための流体の力学）， 186一■216，丸事（’1955）． （6）鶴見一・之：沈降速度の理論及英験，土木学会誌， 柑0飢1059∼1094（1932）． （7）高桑俺：選鉱工学（上），44∼60，共立出版 （1955）． （8）座間仁：高等水理学，160∼163，産業図譜（1955：）参 考
（1）大田誠一郎：骨材の表面掛こついて，室蘭工業大 学研究報告，1（3），389∼41S（1952）． （2）物部長穂：水理学，243′−254，丸誉（．1954）一 （3）久喜保，田中要三：砂利の沈降速度に．関する実験 的考察ェ，徳島大学工学部研究報告，4（1），20∼25 （1953）． 佐）久宝保；静水申における砂利の転勤あるいは沈降 速度について，土木学会誌，38甚），129∼132 （19S3．）．香川大学農学部学彿報告
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R畠S u mる
Thispaper・COntainsapartofstudyonthesedimentationofgrainswhicharedroppedinreservoirs小 The qualitaモiverelationship betweenthe shape factors and criticalfall・・Velocity of gravelgrainsin
quleSCent Water WaS aSCertained by our experimentalresults
T王1e reSults are as follows：（1）Asthe criticalfalトvelocity ofthe gTaVel＄havingirregularity wasquite differentby theinflu・
ence ofshapefactorsof gravelgrains，theauthorfoundthat these existed apositive or negative
COrrelationofa grea七er dominance am9ng SuChitemsasheigh七Ofgrain c（r＝十0．788…）， ▲
Persondiameterdp＝V言古壱（r・芦＋0．．687袷如），SpeCi主ic stlrfaceAo（rぷ＋0一．652★＊＊），WeightW9 （r＝・0一648…），elongatene甲e＝・（r＝
1engtbof g工aina（ー＝＋0り477特撮ヰ），breadth of g工ainb（r＝十0一．477場榊），
SPherenessRc＝（r＝・−0“218鞘）etc・andcrieicalfall−VelocityvI
但）Especially，Since characteristicsof gravelgrainshavingirregularity，Or elongateness（e andPersondiameter（dp＝〆盲頂て），itseemsthatthe criticalfall・Velocityisshownasthe following experimentalformula；
1 u＝β（訂てd。÷
Where．t，：Criticalfall・Velocity（cm／sec），β：COefficient（15一0）．Therefore．author triedthat．if the REYNOLDS numberislarge andfalling materials are gravels．above shown formulais con− Sisted，
