最適制御理論について--経済・地域・都市計画の基礎理論として---香川大学学術情報リポジトリ

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最適制御理論について1）

−一経済・地域・都市計画の基礎理論として−−

井原健堆 Ⅴ つぎに，タイプ2の問題に対する最大原理を考察しよう。そのために，まず， ⅠⅠ章の第5節で与え．た最適制御問題の分類にもとづき，本章で考察の対象となるタイプ2の問題を，より−・般的な「非か−トノマス系．の間好）として定式化する。ついで，その間題の解明に必要となる，非か−トノマス系の処理の仕方と「クーン・クッか−の条件．を明らかにする。後者については，非線形計画問題との関連で，方向ベクトルの概念をとくに重視し，制約条件に付される限定，すなわち，Constraint Quali丘cation，の内容を十分に吟味する。そして，最後に，タイプ2の問題に対する最大原理を〔定理4‘〕として導出し，タイプ 1の問題に対する最大原理，すなわち，〔定理3〕さ），との比較を試みる。 §1．問題の定式化タイプ2の問題は，つぎのように定式化される。タイプ2の問題つぎの評価基準 1）本稿は，前端の冒頭に記した目次のうち，Ⅴ タイプ2の問題に対する最大原理，とⅤⅠ．タイプ2の問題の応用，について言及したものである。なお，本誌の編集委員である土田哲也氏の寛容と忍耐がをければ，この機会にこのようを形でまとめることなど到底不可能であったことをここに記して，同氏に心より謝意を表明したい。また宍戸栄徳氏からは，有益な助言を頂き，小野玉志さんには，括番の労を煩わした。合わせて，お礼を申し上げたい。 2）オ叫トノマス系については，ⅠⅠ草，第1節の脚注15），および，ⅠⅠ準，第4節の脚注39），参照。 3）ⅠⅠⅠ章，第5節の〔定理3〕，参照。

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香川大学経済学部研究年報16

！；拒（頼），碑

J．977 ー6’4一（5．1）を，以下の制約に従って最大にする制御払（f），（わ≦f≦ち）を求めよ。l〉（i）状態方程式（5．2） Ⅹ＝′（Ⅹ，Ⅳ，f）（ii）初期条件 Ⅹ（fo）∈即（Jo）（iii）終端条件 Ⅹ（￡1）∈β1（￡1）（iv）制御制約祝（f）∈打（Ⅹ（f），f）ただし， Ⅹ∈且形，祝∈丘吻，β0⊂且符，β1⊂∬形（5．3）（5．4）（5．5）

わ，互は所与，または未知であり，さらに，

ぴ（Ⅹ（f），f）＝i叫￠α（Ⅹ，払，f）≧0，α＝1，2，，Z′；

￠。（Ⅹ，捉，f）＝0，α＝g′＋1，g′＋2，，g）（5．6）

を表わすものとする。5〉

この場合，われわれは，以下に示す4つの仮定を設けることにする。6）

4）ⅠⅠⅠ葦，第5節で示されたタイプ1の問題は，最小化問題として定式化されたが，ここでは，最大化問題として定式化されている。しかし，目的関数の符号をかえることによって，両者の変換はきわめて容易に夜されうる結果，その差異に重要な意味があるわけではない。ⅠⅤ牽，第1節の脚注171），参照。 5）ここでは，非ストートノマス系を対象としている結果，叙上の式がすべて時刻fの明示的な関数となっている点に注意せよ。 6）これらの仮定を，ⅠⅠⅠ章，第5節で定式化されたタイプ1の問題に対する（仮定 1）∼（仮定3）と比較せよ。

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段通制御理論について・−65一（仮定1）カ（Ⅹ，捉，れ姉（Ⅹ，捗，f）／∂芳タ，姉（Ⅹ，払，わ／玖（∼＝0，1，，乃；．メ■＝1，2，，乃）は，E宛＋1×び内で定義され，かつ連続である。ただし，E両1は，（Ⅹ，￡）の空間である。（仮定2）最適制御㍑＊（わ，（わ≦￡≦互）は，許容制御のなかから選ばれるものとする。（仮定3） β0，およびβ1は，それぞれ適当な次元をもった，なめらかな多様体である。（仮定4）￠α（Ⅹ，払，れ∂￠α（Ⅹ，払わ／∂芳′，∂￠α（Ⅹ，眈，f）／∂払わ∂￠α（Ⅹ，祝，わ／∂f，（α＝1， 2，…，J；去＝1，2，…，∽；ノ＝1，2，，花）は，E…仇＋1内で定義され，かつ連続である。叙上の定式化で，もっとも重要な点は，（iv）の制御制約（5．5）に求められる。すなわち，これをタイプ1の問題における制御制約7）と比較すれば，後者の制御祝が，状態変数Ⅹとは独立に与えられているのに対して，前者の制御祝は，状態変数ズとある関係をもって与えられている。8）したがって，この状態変数Ⅹと関係する制御以の領域U（Ⅹ（わ，f）を明示的に表わしたものが，（5小6）に他ならない。なお，この制御制約（5い6）が，￠。（祉，f）≧0，α＝1，2，，Z′ ￠。（α，古）＝0，α＝g′＋1，Z′＋2， ‡ （5・・7）

，g

をその特殊な場合として含むことは，いうまでもない。その結果，このことは，すでに検討したタイプ1の問題9）が，本章で取り上げるタイプ2の問題に包摂されることを意味している。しかし，この同じ制御制約であっても，それが 7）ⅠⅠ肇，第5節の（2、31），または，ⅠⅠⅠ牽，第1節の（3‖5），参照。 8）この一例として，ⅠⅠ草，第5節の（235），および図14，を参照せよ。 9）ⅠⅠⅠ章，およびⅠⅤ葦，参照。

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香川大学経済学部研究年報16 J．977 ー6’6’−

￠α（Ⅹ，f）≧0，α＝1，2，，g′

￠α（Ⅹ，￡）＝0，α＝g′＋1，g′十2，（5ひ8）を，その特殊な場合としてそのうちに含んではいないということに，注意を払う必要がある。なぜなら，（5．8）の示す関係は，状態変数Ⅹ自体についての制約であって，それが制御沈についての制約ではないからである。そして，この場合を，すでにわれわれは，タイプ3の問題10）として類形化し，すでに検討したタイプ1の問題と本章で検討するタイプ2の問題とから明確に区別したわけである。タイプ2の問題に対する叙上の定式化で，さらに留意すべき点として，それが，これまでのような時間軸＝；こ沿ったシステムの移動によって法則の性質が変らない，いわゆるオ−トノマス系，を扱っているのではなく，その検討の対象としてより一・般的な非オ・−トノマス系を扱って−いるということが指摘される。すなわち，ここでは，評価基準の被積分関数11）ヤ状態方程式，12）さらに，また，初期条件，および終端条件に含まれる多様体18）が，すべて時刻fの明示的な関数として与えられている。これは，もとより，タイプ2の問題に固有の性質ではない。したがって，タイプ1の問題についても，それをオ・−トノマス系に限定する必要はなく，さらに，端点の多様体が時刻gに関係する非オートノマス系について，タイプ1の問題を考察することも，また可能となる。そこで，このような場合に，すでに導出したオーートノマス系についての最大原理−すなわち，タイプ1の問題に対するわれわれの理論的帰結としての〔定理3〕− がどのように修正されるかを，タイプ2の問題に対する最大原理を導出するまえに検討■しておくことにしよう。 §2．非オートノマス系の処理14）いま，つぎの状態方程式 10）ⅠⅠ聾，第5節の（233），参照。また，その内容の検討については，彼のⅤⅠⅠ草，およびⅤⅠⅠⅠ章で試みられる。 11）（51）の／ふ（Ⅹ（わ，〟（f），のを指す。 12）ベクトル関数（5い2）を指す。 13）（5．3），および（54）の右辺を指す。 14）本筋の展開は，〔A〕3，ppl．97−102，に負うところが多い。

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最適制御理論について −67−

X＝′（ズ，〟，g）

（5・9）で表わされるシステムを，許容制御沈（わ，（￡0≦∼≦ち）によって，時刻fに関係する初期多様体伊＝β0（わから終端多様体∂1＝β1（わへ移す問題を考えてみよ

う。ここで，両端点の多様体が時刻fに関係するというのは，つぎのことを意

味している。まず，（Ⅹ，わの（乃＋1）次元空間に，次式によって定義される，

2つのなめらかな多様体♂0，♂1を想定する。15）

即：卵（Ⅹ，f）＝0，i＝1，2，，ク十1

（5・10）

♂1‥♂チ（Ⅹ，f）＝0，ノ＝1，2，，曾＋1

（5・11）

さらに，関数♂タ（Ⅹ，f），および卵（Ⅹ，f）は，Ⅹ，およびfに関して連続な偏導

関数をもち，つぎの行列関数，︵針一臥 ∂ 一計 F♂雪（Ⅹ，f） F♂望（Ⅹ，f） ∴∴．・∵、 2 02 ∬”β ︵〟U ︵α

∴∵

0川打および，二−÷∴二‖㌧ ∴一∴∴■‖．∵ F♂圭（Ⅹ，古） F♂皇（Ⅹ，f）

F♂吉．1（ズ，f）

のランクが，それぞれク＋1，および9＋1であるものと仮定しよう。したがっ

て，（5．10），および（5．11）によって規定される初期多様体♂0，および終端多

15）ⅠⅠⅠ帝，第5節，参照。

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香川大学経済学部研究年報16 −（iざ− ヱ．977

様体♂1の次元は，それぞれ

（花＋1）−（p＋1）＝花一夕（花＋1）−（曾＋1）＝花一曾となる。川）ここで，2つの場合を分けて考察することにしよう。いま，ク＜柁ならば，任意の与えられた時刻（たとえば，f＝〆）に対して，（5．10）は，乃次元の状態空間且免内に，初期多様体β0（f′）を定義し，その次元は，花一抄＋1）となる。17）したがって，時刻fの値を変化させれば，それに応じて，（5…10）より， E渇内に初期多様体β0（わの1径数族（♂0（f）‡が形成されることになる。その一例を示したものが，つぎの図57である。図57．初期多様体の1径数族 16）ⅠⅠⅠ執第5節の（3．100），参照。 17）ここでは，花次元の状態空間に議論を限定しているため，多様体の次元が（5．14）で示されたものよりも小さくなっている点に注意せよ。

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−69∼・最適制御理論について

っぎに，少＝乃の場合には，時刻≠は固定されてしまうことが（51・10）によ

って明らかとなる。すなわち，f＝わをその固定された時刻とすれば，初期多

様体♂0は，乃＋1次元の状態一時間空間内の点となり，その結果，その点に対

応する初期状態Ⅹ（わ）は，図58の点伊（わ）として，また固定されることにな

る。

さらに，（5り11）で定義される終端多様体♂1についても，同様の議論が成り

立つことはいうまでもない。図58‖ 固定された初期時刻と初期状態

さて，つぎに，当該システムを初期多様体β0（才0）上の点から終端多様体β1

（ち）上へ移し，しかもそのときの評価基準

i；才■0（Ⅹ（f），弘（f），古）df

（5・16）

が最大となる許容制御ひ＊（わ，（わ≦f≦互）を決定する問題を考えよう。この場

合，（乃＋1）次元の空間内におけるトラジェ・クトリー方程式18）は，非オ・−トノ

18）ⅠⅠ章，第4節の（2一ノ24），または（212軋参照○

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香川大学経済学部研究年報16 ー7〃一一 J977 マスなべクトル方程式（，／0（Ⅹ，以，f），．／（Ⅹ，捗，f）〉＝i′。（Ⅹ，祉，f），ノ■1（X，捉，f），，．ん（Ⅹ，捗，f）† （5．17）によって与え．られる。19）この問題に対して，すでに導出した〔定理3〕を適用せんがために，状態空間の次元を1だけ高めることによって，当該問題をオートノマス系に変換してみよう。い■ま，時刻の変数トを1つの新しい状態変数とみなして，好か1豊吉（5．18）とおくことにする。その結果，拡張されたシステムの状態方程式は，つぎのようになる。

・一＝榊1，・方2，い，・笹か。，捗），Z＝1，2，…‥，花

：1‥ユー．、・こ】

df また，これに対応する評価基準は，

i；：榊1，ガ2，い，・γか1，Ⅳ）df

（5．19）（5．20）

となる。そのとき，初期多様体♂0は，つぎの♪＋1個のなめらかな曲面の交

わりとして与えられる。20）

即‥即（一方1，・ガか一，・ガ館＋1）＝0，よ＝1，2，…，タ＋1

（5．21）

同様に，終端多様体β1は，つぎのq＋1個のなめらかな曲面の交わりとして

与えられる。21）即：♂甚ガ1，・ガ2，…，・方形＋1）＝0，ノ＝1，2，・・，曾＋1

（5．22）

19）このトラジェクトリー方程式について，すでに導入した（仮定1）が妥当することば，いうまでもをレ㌔

20）か⊂伊・1。

21）∂l⊂E研1。

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最適制御理論について −7ノーこのように問題を再定式化することによって，われわれは，非オートノマス系の問題をストートノマス系の問題として書き換えることができる。したがって，オートノマス系の問題をその対象とする〔二定理3〕を，ここでの問題に適用することが可能となる。その適用結果を・示せば，つき■のようになる○ いま，

芽室（芳0，方1，‖．，一笹津1）＝（考狗軒1）

王室（ス。，ス1，，ス”＋1）＝（ス，Aが1）とおき，22）このハミルト＝∴アン関数を，

乃＋1 融点ゾ（釆甚）＝義人淋夏，捗）

と定義紬すれば，（5．25）

厨＝か届（先払，り十ん甘ん＋1（考沈，f）＝ガ＋スか・1（5・26） Z

＝0 となる。24）

したがって−，随伴方程式は，つぎのようになる。25）

す打，

∂首ん＝−−・云＝0，1，…，花＋1

（5．27）すなわち，ス0＝0 ∂月● ん＝−・一，￡＝1，2，‥，花存訂 ∂∬ ス机＝−す茹こ（5．28）

22）ここでは，g＝（ガ。，Ⅹ）を表わす（乃＋1）次元ベクトルであることに注意せよ0

23）ⅠⅠⅠ牽，第5節の（31、123），参照。

24）（5．19）の第2式，参照。紬，ここでの別ま，敷．僻，〟，りを表わすものと

する。 25）ⅠⅠⅠ諷第5節の（3．125），および脚注162），参照。

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香川大学経済学部研究年報16 ヱ．977 −72− となる。26）これより，〔定理3二〕の条件（a）は，つぎのように書き換えられる。27）（a）（i）ス0（f）＝定数≧0，￡0≦才≦fl （5・29）（ii）（ん（f），ス2（f），，ん（f）），わ≦f≦ちは，つぎの方程式の解である。 i去＝−∂月（靡（f），祝＊（f），￡，ス（f））ル％ま，g＝1，2，，花（5．30）つぎに，〔定理3〕の条件（b），および（c）は，つぎのようになる。都度＊（f），祉＊（f），ス（f））＝Max葺（又＊（￡），叫ユ（￡））， l∫∈こ「 fo≦f≦fl （5．31）および，眉（度＊（f），払＊（f），ユ（￡））＝0 （5．32）ここで，（5い18）と（5．26）の関係を用いれば，〔定理3〕の条件（b），すなわち，（5．．31），は，結局つぎのように変形される。28）（b）月（ズ＊（f），祉＊（f），らj（f））＝Max∬（ズ＊（f），町方，ス（￡）），払∈ぴ fo≦f≦fl （5．33）また，〔定理3〕の条件（c），すなわち，（5い32）は，（5．26）の関係より，月（ズ＊（f），祝＊（￡），らス（f））＝一人か1（￡）（5．34）となる。さらにまた，これは，（5．18），および（5巾28）の最後の関係を用いることにより，結局つぎのように書き換えられる。29）（c）月（ズ＊（古），址＊（f），g，ス（f））＝g（ズ＊（fo），払＊（fo），∫0，ス（fo）） ∂ガ（ズ＊（で），払＊（丁），で，ス（で））

_{dT，f。≦g≦fl（5．35）}

∂r 26）（5‖19），（5…20），および（5．26），参照。 27）ⅠⅠⅠ革，第5節の〔定理3〕（a），参照。ただし，ここでは最大化問題を考察している結果，ス。（の＝定数≧0，f。≦∼≦ちとなっている点に注意せよ。脚注1ね），参照。 28）ⅠⅠⅠ車，第5節の〔定理3〕（b），参照。 29）ⅠⅠⅠ革，第5節の〔定理3〕（c），参照。

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最適制御盤論についてー73−

最後に，横断条件である〔定理3〕の条件（d）は，つぎのように述べられ

る。すなわち，ベクトル（ん（f），ス2（￡），，ん．1（f））は，f＝fo，およびf＝ちでそ

れぞれに対応する端点の多様体β0，およびβ1に直交する，と。80）

これを詳述すれば，つぎのようになる。まず，初期点における横断条件は，，Z

刷＋ス州批1＝0

（5・36）1・

として表わされる。81）ただし，（彿払，ワ￡．1）は，初期多様体∂0の点ズ＊（わ）

における接線ベクトルを表わすものとする。そのとき，接線ベクトルに関する

（性質1）82）より，（536）は，勾配ベクトルFβタ（g＊（fo））の各成分を用いて，

つぎのように示される。

札1＝0，菖＝1，2，，p・1（51・37）

射鑑

したがって，初期点における横断条件は，（5い18），および（5い34）の関係を用

いて，結局つぎのようになる。（初期点における横断条件），Z （5・38）

黒ス押タ＝却才＊（fo），払＊（fo），fo，ス（fo））軋1

ただし，ニミ・

_{」ギク＝一署砿1，g＝1，2，，打1}

_（5・39）を表わすものとする。同様にして，終端点における横断条件は，つぎのように表わされる。る8）（終端点における横断条件）

JJ 真相＝∬（ズ＊（古1），沈＊（fl），fl，ス（fl）賊＋1

（5．40） 30）これが，ⅠⅠⅠ華，第5節の〔定理3〕（d）に対応する。 31）ⅠⅠⅠ車，第5節の（3115）に対応する。 32）ⅠⅠⅠ草，第5節の（性質1），参照。 33）ⅠⅠⅠ牽，第5節の（3い107），参照。

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香川大学経済学部研究年報16 ー7⊥才一ただし， IJ ∑ ブ＝1 J977

掛チ＝一新￡＋1，よ＝1，2，，打1

（5一ト41）を表わすものとする。以上より明らかなように，非オ、−トノマス系の問題といえども，状態空間の次元を乃から乃＋1に高めることによって−その間題を再定式化し，それに対して−〔定理3〕を適用することが可儲となった。この場合，その導出された条件には，だ％＋1，およびん＋1がいずれも含まれていないことに，とくに注意する必要がある。 §3．クーン・クッカーの条件名4）つぎに，タイプ2の問題に対する最大原理を導出するのに必要とされる，クーン・タノカ・−の条件を明らかにしておこう。いうまでもなく，クーン・クッか−の条件とは，いわゆる非線形計画問題の最適解がみたすべき必要条件を意味するものである。したがって，本節では，まず最初に数多くの具体的形式をもつ非線形計画問題（NonlinearProgrammingProblem）の一・般形が定式化され，その内容の吟味が試みられる。ついで，その最適解を求めるうえ．で重要な意味をもつ，方向ベクトルと勾配概念との関係が明らかにされ，それによって実現可儲な方向ベクトルの集合が定義される。以上の準備を踏まえたうえで，制約条件のみたすべき性質，すなわち“Constraint Qualification”の内容が明らかにされ，そ・して最後に，その成立を前提として，クーン・タノカーの条件が導出される。〔非線形計画問題〕最適制御問題る5）をはじめとして，2次計画問題86）や幾何計画問題87）をその対 34）本節の展開は，W小Ir・Zangwi11，“Nonlinear Programming，”1969，Prentice・Hal1， pp．2−79に負うところが多い。 35）ⅠⅠ章，第5節の最適制御問題（−・般形），参照。 36）QuadraticProgrammingPr・Oblemとは，2次形式のEl的関数と線形の制約式とからをる問題を指しており，・−・般には，つぎのように表わされる。

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最適制御理論について象とする非線形計画問題の一・般形は，つぎのように定式化される。非線形計画問題目的関数／（Ⅹ）の値を，つぎの制約のもとで最大にする変数ベクトルⅩを求めよo

gf（Ⅹ）≧0，よ＝1，2，1，m

−75− （5．42）（5．43）ただし，関数差およびg名は，ノ：E氾→即，およびg壱：E乃→即，（よ■＝1，2，，∽）を表わし，そのいずれも，微分可能であるものとする。このとき，すべての制約式（543）をみたす乃次元空間（E符）内の点Ⅹは，実現可能（Feasible）であるとよばれ，その点X e）すべての集合（これをFで表わす）は，実現可能領域（FeasibleRegion）とよばれる。ここで，必要以上の俊雄化を避けるため，（5．44）アキ￠を仮定しよう。いうまでもなく，￠は，空集合を表わすものとする。つぎの課題は，以上のように定式化された非線形計画問題を・実際に解いてい Max・・q′Ⅹ＋与Ⅹ′￠Ⅹ S巾t…AX＝あ， Ⅹ≧〃ただし， Ⅹ，およびqは乃次元の列ベクトル，Qは犯行乃列の対称行列，あは∽次元の列ベクトル，Aは∽行乃列の行列を表わすものとする。 37）GeometricProgrammingProblernとは，工学や自然科学の分野でとくに有効と認められる問題形式で，つぎのように定式化される。 Min．．ゐ○（Ⅹ） S鳥ゐ￡（Ⅹ）≦1，Z＝1，2，，タ， Ⅹ＞〃ただし，

Polynomialな関数，す帥ち，h（X）＝泉Ci［Axl”］・（Ci＞0，

ゐ（Ⅹ）ほち＞0）として表わされるものとする。

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香川大学経済学部研究年報16 ヱ．977 −76− くことである。しかし，問題が実際に解かれるまえ．に，当該問題の解，すなわち最適点Ⅹ＊の認定が必要である。38）そこで，まず，最適点Ⅹ＊の認定を容易ならしめる，1つの判定基準を考察することにしよう。その際，重要な役割りをになうものとして，勾配ベクトル（GradientVector）があり，クーン・クッか−の条件は，これを用いて導出される。〔方向ベクトルと勾配〕非線形計画問題に対する勾配ベクトルの重要性は，けっして過少評価されるべきではない。というのは，ある所与の非最適点（Ⅹ≒Ⅹ＊）について，その点における勾配ベクトルは，通常，より優れた点を得る指標として役立つからである。89）しかしながら，勾配ベクトルについて説明するまえに，われわれは，方向（Direction）の概念を明らかにしておく必要がある。なぜなら，勾配は，それ白身，方向を意味するからである。いうまでもなく，任意の乃次元ベクトルdは，方向を示すものとして用いることができる。40）そこで，いま，乃次元空間内のある点Ⅹ と方向dが与えられたものと想定しよう。41）そのとき，スカラーTの値を，0から＋∞までの範囲内で変え．ることによって，次式 y＝Ⅹ＋rd （5．45）で規定される乃次元空間内の点yは，点Ⅹを起点とし，dの方向へ・向かってのびる半直線を表わすことになる。図59は，これを例示したものである。42）さらに，スカラー丁の偵を，−∞から＋∞までの鞄田内で変えることにすれば，（5り45）で規定される点yは，点Ⅹを通る全直線を表わすことになる。 38）いうまでもをく，Ⅹ＊が当該問題の解であるということば，このⅩ＊が（5．43）の制約条件をみたし，しかも，（5．42）で与えられる目的関数の値を投大にするということを意味する。 39）関数尺Ⅹ）の勾配について，すでにわれわれは，2つの重要を性質を明らかにした。ⅠⅠⅠ牽，第5節の（393），および図31を参照せよ。 40）以下，ベクトルは，とくに断わらをいかぎり，列ベクトルで与えられるものとする。 41）ただし，d≒0であるものとする。 42）ⅠⅠⅠ車，第2節の図21におけるⅩ＋∈ワに対応する。

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最適制御理論についてー77− 図59．．花次元空間内の点ちyと方向ベクトルd つぎに，関数メ（Ⅹ）の勾配について言及しよう。すでに述べたように，任意の微分可儲な関数／（Ⅹ）の勾配とは，点Ⅹにおいて評価したつぎの偏微分を要素とするベクトル

叩）塞（一幕，老一，…，叢ブ

（5・46）によって定義される。4＄）さて，この関数／（Ⅹ）の勾配は，ただ単に方向を示すばかりでなく，さらに重要な意味をもっている。それは，つき■のとおりである。いま，任意の方向ベ

クトルdが与えられたものとすれば，次式によって示されるゲ（Ⅹ）′dは，方

向dに沿った関数ノ（Ⅹ）の瞬間変化轡4）を表わしている。 ′（Ⅹ＋rd）−ノ■（Ⅹ） _{（51．47）} ＝ア／■（Ⅹ）′d 43）ⅠⅠⅠ華，第5節の（393），参照。ただし，（5小46）は，列ベクトルを表わす。 44）Instantaneousrateofchangeoffalongthedirectiond．いま，Zld（l＝1にとり， F尺Ⅹ）とdとの成す角をβとすれば，（5．47）は，l−ア／（Ⅹ）llcos♂とをる0ⅠⅠⅠ執第2節の（3．39），参照。

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香川大学経済学部研究年報16 J977 −7∂− そして，この変化率の債が正である場合，つぎに示す一重要な性質がある。（性質1）関数／（Ⅹ）が，点Ⅹにおいて微分可能であり，さらに，つぎの条件，灯（Ⅹ）′d＞0 （5・48）をみたす方向ベクトルdの存在を仮定すれば，♂≧で＞0をみたすすべての丁について，（5．49）／■（Ⅹ＋rd）＞′（Ⅹ）の成立を保証する正のスカラ・−〃が存在する。この性質は，つき一のようにして検証される。まず，仮定により，ノ（Ⅹ＋でd）−ノ■（Ⅹ） _（5．50）＞0 1im r→0 でが成立する。したがって，極限の定義により，l♂lよりも小さいゼロではない Tについて，（Ⅹ＋rd）・−／（Ⅹ） _{（5．．51）} ＞0 の関係をつねに保証する正のスカラー♂が存在する。それゆえ，この不等式関係の成立を保証する丁＞0を選べば，（性質1）の帰結をうる。これを端的に述べれば，つぎのようになる。すなわち，その勾配は，もしそれがゼロではないとすれば，僅かな動きでも関数／（Ⅹ）の値を増加させるような方向をさしているということである。さらに，いま，（5．48）の条件をみたす勾配ア／（Ⅹ）と同じ方向をさしている方向ベクトルdが与えられたと想定しよう。そのとき，叙上の（性質1）より，その方向へ・の僅かな動きでも，それがまた関数／（Ⅹ）の偲を増加させることが明らかとなる。かくして，われわれは，制約条件のない非線形計画問題について，その最適解の必要条件を導出することが可能となる。これを（性質2）として述べれば，つぎのようになる。（性質2）

(17)

超過制御理論について −79− 微分可能な関数／（Ⅹ）について，点Ⅹ＊がE渇空間内で関数／（Ⅹ）の値を最大にするとき，つぎの関係が成立する。ア／（Ⅹ＊）＝0 （5・52）この（性質2）は，さきの（性質1）を用いて，容易に確かめられる。すなわち，い・ま（5．52）の関数が成立していないものと仮定すれば，ア／（Ⅹ＊）キ0となる。そこで，方向ベクトルdとして，この町（Ⅹ＊）を選ぶことにすれば，ア／（Ⅹ＊）′d＝㌣′（Ⅹ＊）′ア／’（Ⅹ＊）＞0 （5・53）となる。この結果，さきの（性質1）により，ノ（Ⅹ＊）よりもさらに大きな目的関数／（Ⅹ）の値を有する点が存在することになり，最初の最適性の仮定と矛盾することになる。したがって，（性質2）が証明される。〔実現可能な方向ベクトルー〕ところで，（性質2）は，制約条件がない場合について，乃次元空間内の点 Ⅹ＊で，関数ノ（Ⅹ）の倍が放大となるための必要条件を与えるものであった0 ここで制約条件がないということは，きわめて重要な意味をもっている。というのは，点Ⅹ＊を起点として， d＝ア／（Ⅹ＊）（5・54）の方向へ・移動することが可能であるからに他ならない。しかしながら，もし制約条件がある場合には，（5．54）によって規定される方向への移動が，その制約条件によって許容され得ない場合が生ずることになる。その結果，（5い54）の成立を仮定した（性質2）の証明が不適切なものとなって−しまう。換言すれば，制約条件付きの非線形計画問題について，その最適性を吟味することは，きわめて難しいものとなる。つぎに，この課題に答えるべく，（性質2）の一・般化を試みることにしよう。45）その準備として，実現可能な方向ベクトルという概念を導入する必要がある。いま，乃次元空間内の点Ⅹが，実現可儲な点であると仮定しよう。4￠）そのとき，点Ⅹにおける実現可能な方向ベクトルとは，十分に小さいスカラ・一丁 45）これが，いわゆるターン・クッカーの条件に他覆らない。 46）すなわち，この点Ⅹが，制約式（543）のすべてをみたすことを意味する。

(18)

香川大学経済学部研究年報16 ヱ．977 ーβ∂− のすべてについてⅩ＋でdを構成すれば，それがまた実現可能領域ダのなかに含まれる性質をもった任意の方向ベクトルdであると定義される。すなわち， ♂≧丁≧0をみたす任意の丁についてⅩ1＋Td∈ダとなる正のスカラー♂が存在すれば，Ⅹ＝Ⅹ1の点において，方向ベクトルdは実現可能であるといえ．る。そこで，点Ⅹ1におけるすべての実現可能な方向ベクトルの集合をか（Ⅹ1）で表わせば，それは，つぎのように定義される。 β（Ⅹ1）皇id：♂−≧で≧0＝＝⇒Ⅹ1＋でd∈ダをみたす♂＞0が存在する〉（5．55）それゆえ，もしわれわれが，点Ⅹ1からごく僅かばかりdの方向へ移動したとしても，その点が依然としてもとの実現可能領域内にとどまる限り，方向ベクトルdは，実現可能な方向ベクトルの集合か（Ⅹ1）のなかにあると述べることができる。また，これによって明らかなように，（5、55）で定義される実現可儲な方向ベクトルの集合か（Ⅹ1）は，つねに錐体（Cone）を形成する。47）ただし，その錐体が閉集合の場合もあれば，また開集合の場合もありうる。そこで，これを例示したものが，つぎの図60である。この図60において，制約灸件をみたす実現可能領域アは，いずれも斜線部分で表わされているものとする。そのとき，例1では，点Xlをこの実現可能領域ダの内点とするとき，その内点Ⅹ1における実現可能な方向ベクトルの集合か（Ⅹ1）が，（5…55）の定義により，花次元の全空間E几と一・致し，したがって閉集合となっている。これに対して，例2，例3，および例4では，いずれも点Ⅹ1をダの端点としたときの集合か（Ⅹ1）が例示されている。ただし，例 3では，か（Ⅹ1）が閉集合の錐体を形成しているのに対比して，例2，および例 4では，か（Ⅹ1）が端点Ⅹ1の接線方向を含まない48）という意味で，閲集合の錐 47）いま，か（Ⅹ1）に含まれるベクトルdについて，それをスカラー倍したαd（ただしα≧0）が，またもとのか（Ⅹ1）に含まれるとき，われわれは，このか（Ⅹ1）を錐体とよぶ。 48）例2では，Fg（Ⅹ1）・d＝0をみたす方向dが実現可能領域ダから排除されている。同様に，例4では，Fgl（Ⅹ1）・d＝0，または，Fg2（Ⅹ1）・d＝0をみたす方向dが実現可能領域ダから排除されている。

(19)

最適制御理論について −＆トー（例1）♪（Ⅹ1）＝∬乃 ∂ 丁∂ Ⅹ1 （例2）か（Ⅹ1）＝（♂：Fg（Ⅹ1）・d＞0） gl（Ⅹ）＝0 g2（Ⅹ）＝0 （例3）か（Ⅹ1）＝（d‥アgl（Ⅹ1）・d≧0，Fg2（Ⅹ1）・d≧0）

(20)

香川大学経済学部研究年報16 ヱ．977 −β2− （例4）β（ズ1）＝（∂：Fgl（ズ1）・∂＞0，アg2（Ⅹ1）・∂＞0）図60∫実現可能な方向ベクトルの集合体を形成している。つぎに，点Ⅹ＊が非線形計画問題の最適解であると仮定した場合について，この点Ⅹ＊における実現可能な方向ベクトルの集合β（Ⅹ＊）によって規定される方向に移動した場合の目的関数の性質を明らかにしておこう。これを（性質 3）として述べれば，つぎのようになる。（性質3）点Ⅹ＊を非線形計画問題の最適解であると仮定すれば，そのとき，か（Ⅹ＊）に含まれるすべての方向ベクトルdについて，つぎの不等式が成立する。ア／ノ（Ⅹ＊）・d≦0 （5・56）この（性質3）は，つぎのようにして検証される。いま，刀（Ⅹ＊）に含まれる方向ベクトルd＊について，（5．56）の不等式が成立しないものと仮定しよう。したがって，その場合には，つぎの不等式

(21)

最適制御理論についてーββ− 仁／ト（Ⅹ＊）・d＊＞0 （5・57）が成立していることになる。これは，さきの（性質1）により，点Ⅹ＊を起点として，方向ベクトルd＊の方向に沿った僅かな動きでも，それがまた目的関数／（Ⅹ＊）の値を増加博せることを意味している。したがって，d＊は，仮定により点Ⅹ＊における実現可能な方向ベクトルであることから，その方向に沿った叙上の僅かな動きを認めたとしても，その動かされた点が，またもとの実現可能領域ダに含まれることになる。しかし，これは，点Ⅹ＊が最適解であるとした仮定と矛盾することになり，その結果（性質3）が証明される。つぎに，点Ⅹ＊における実現可儲な方向ベクトルの集合♪（Ⅹ＊）の閉包（Clo− suI・e）を，β（Ⅹ＊）で表わすことにしよう。49）このとき，叙上の（性質3）は，このβ（Ⅹ＊）に含まれるすべての方向ベクトルdについても，やはり成立することが容易に確かめられる。これを（性質4）として述べれば，つぎのようになる。（性質4）点Ⅹ＊を非線形計画問題の最適解であると仮定すれば，そのとき，か（Ⅹ＊）の閑包，すなわちβ（Ⅹ＊），に含まれるすべての方向ベクトルdについて，つぎの不等式が成立する。町（Ⅹ＊）・d≦0 （5・58）いうまでもなく，賂合眉（Ⅹ＊）が集合か（ズ＊）の閉包であるということは， β（Ⅹ＊）に含まれる任意の点が，か（Ⅹ＊）に含まれる点系列の極限であることを意味する。したがって，か（Ⅹ＊）に含まれる任意の点は，つねに∂（Ⅹ＊）に含まれるが，その逆は必ずしも成立しない。すなわち，か（Ⅹ＊）と眉（Ⅹ＊）とが一致するのは，か（Ⅹ＊）が閉集合である場合に限られるのである。SO）（性質4）は，（性質3）を用いて，つぎのように証明される。いま，β（Ⅹ＊）に含まれる方向ベクトルd噌によって，か（Ⅹ＊）に含まれる方向ベクトルdぉの権限ベクトルを表わすものと想定しよう。すなわち，極限ベクトルd叩は，次 49）すをわち，β（Ⅹ＊）は，∂（ズ＊）を含んだ扱小の閉集合となる。 50）図60を参照せよ。

(22)

香川大学経済学部研究年報16 ーg4一式によって定義される。 d∞室1im（gゐム・・N ヱ．977 （5．59）仮定により，dたはか（Ⅹ＊）に含まれることから，さきの（性質3）を用いて，すべてのゑについて，つぎの不等式が成立する。仁／■（Ⅹ＊）・dゐ≦0 そこで，方向ベクトルdたの極限をとれば， 1imア／（X＊）・d烏＝仁／■（Ⅹ＊）・d脚≦0 ゐ→∞ （5．60）（5．61）となり，また方向ベクトルd∞がか（Ⅹ＊）の閉包，すなわち眉（Ⅹ＊），に含まれていたこととを合わせ考えれば，（性質4）が明らかとなる。以上により，われわれは，非線形計画問題の最適点Ⅹ＊について，その勾配ベクトルF／（Ⅹ＊）と，か（Ⅹ＊），および眉（X＊）に含まれる方向ベクトルdとの内墳がつねに非正であることを，（性質3），および（性質4）として，それぞれ明らかにした。いまや，われわれは，ク・−ン・クッカーの条件を導出する立場に立ち至っている。その場合，さらに重要な2つの課題が残されている。その1つは，実現可能な方向ベクトルの集合か（Ⅹ＊）の閉包，すなわち眉（Ⅹ＊），を非線形計画問題の制約式51）によって表現することであり，他の1つは，「ファルカスの補題．を用いて，叙上の（性質4）を書き換える52）ことである。以下，順を追って，これらの課題を解明していくことにしよう。まず最初に，β（Ⅹ＊）を非線形計画問題の制約式によって明示的に表わすことを試みよう。いま，実現可能領域ダに属する点Ⅹについて，当該問題の∽ 個の制約式は，つぎの2つのグループに分けられる。その1つは，点Ⅹにおいて実際にその拘束がきいている58）制約式のグループで，これをg壱（Ⅹ）＝0で表わすことにする。他の1つは，点Ⅹにおいてその拘束がきいていない54）制 51）（5い43），参照。 52）すをわち，（性質4）に当該問題の制約条件を明示的に導入することを意味する。 53）すをわち，制約式（543）が等号で成立している場合にあたる。 54）すをわち，制約式（5l43）が不等号で成立している場合にあたる。

(23)

−βち− 最適制御理論について

約式のグルー・プで，これをg定（Ⅹ）＞0で表わすことにする0そこで，点Ⅹに

ぉいて実際にその拘束がきいている制約式の添字の集合をtガ（Ⅹ）で表わすことにすれば，以上の議論はつぎのようにまとめられる◇

都（Ⅹ）＝0，

gf（Ⅹ）＞0，

（5．62）

っぎの図61は，この関係を例示したものである0

ga（Ⅹ）図61．実際に拘束する制約式の添字の集合♂（Ⅹ）

したがって，われわれは，集合β（Ⅹ）を当該問題の制約式によって表わす

場合，ある点Ⅹに関して実際に拘束がきいている制約式のみを考慮すればよ

いことになる。なぜなら，いま点Ⅹにおいて＆（Ⅹ）＞0であるものと想定し

(24)

香川大学経済学部研究年報16 ーβ6− J−977 よう。そのとき，関数g電（Ⅹ）の連続性の仮定によって，点Ⅹから任意の方向へ・，その制約条件55）を破ることなく，僅かばかり移動することが可能となる。それゆえに，点Ⅹに関して実際に拘束がきいていない制約式gよ（Ⅹ）は，集合眉（Ⅹ）になんらの影響も及ぼさないことが明らかとなる。ところで，いま，もしも方向ベクトルdが，点Ⅹにおける実現可能な方向ベクトルー・あるいは，眉（Ⅹ）に含まれる方向ベクトルーを表わすものとすれば，その点において実際に拘束がきいている制約式g壱（Ⅹ）に関して，つねに Fg壱（芽）・d≧0 （5．63）の不等式が成立することになる。換言すれば，与えられた方向ベクトルdと最大の率で増加する方向を示す56）勾配ベクトルFg名（Ⅹ）との成す角度が，つねに鋭角（すなわち，90度以内）であることを意味サーる。このことは，たとえば，図61の点Ⅹ1において容易に確かめられる。57）そこで，いま，ある点Ⅹにおいて実際に拘束がきいている制約式g壱（Ⅹ）の勾配ベクトルFg壱（Ⅹ）のすべてと鏡角を成す方向ベクトルdの集合を診（方）として，つぎのように定義しよう。彦（Ⅹ）皇1（d：アg‘（Ⅹ）・d≧0，ただし，すべての￡∈♂（Ⅹ）〉（5．64）そのとき，つぎの性質を得る。（性質5）点Ⅹにおいて実現可能な方向ベクトルの集合か（Ⅹ）の由包，すなわち β（Ⅹ），は，その点Ⅹにおいて−実際に拘束がきいている制約式都（Ⅹ）の勾配ベクトルF都（Ⅹ）のすべてと鋭角を成す方向ベクトルdの集合，すなわち，診（Ⅹ），に含まれる。すなわち，つぎの関係が成立する。 55）節（Ⅹ）＞0を意味する。 56）なぜをら，もとの制約式が非負，すをわち，節（Ⅹ）≧0，として与えられているからである。 57）図61，参照。

(25)

最適制御理論について −β7− β（芽）⊂彦（X）（5月5）この（性質5）は，つぎのようにして検証される。まず液初に，実現可能な方向ベクトルの集合か（X）について，方向ベクトルdがこの集合か（Ⅹ）に含まれており，さらに，よ番目の制約式の拘束がきいている58）ものと想定しよう。そこで，もしもFg￡（Ⅹ）・d＜0の関係が成立しているものと仮定すれば，さきの（性質1）によって，十分小さいスカラ・−でのすべての備について，次式が成立することになる。都（Ⅹ＋rd）＜都（Ⅹ）＝0 （5−′66）ところが，そのような方向ベクトルdは，もはや実現可能なべクトルとはなり得ない59）ことから，〆g名（Ⅹ）・d≧0でなければならないことになる0その結果， β（Ⅹ）⊂彦（Ⅹ）（5・67）となり，餌）しかも，集合彦（Ⅹ）が，定義によって閉集合であることから，われわれは，（5小65）の関係を得る。〔制約条件の限定〕さて，（性質5）で，われわれは，集合∂（Ⅹ）が集合彦（Ⅹ）の部分集合であること，すなわち，（5．65）の関係がつねに成立すること，を明らかにした0 しかし，このことは，（5．64）で定義される集合彦（ズ）に含まれる方向ベクトルであっても，それが（5小55）で定義される集合か（Ⅹ）の閉包，すなわち， β（ズ），につねに含まれるとは限ら電いことを意味している。その一例をあげたものが，つぎの図62である。この場合，実現可能領域ダは，2つの制約式飢（Ⅹ）≧0，および戯（Ⅹ）≧0 をともにみたす斜線を施した部分として示されており，しかもそのダに含まれる実現可能な点Ⅹ1においては，その2つの制約式飢（Ⅹ），および釣（Ⅹ）が接しており，その意味でまた拘束がともにきいている制約条件となってい 58）すなわち，点Ⅹにおいてgi（Ⅹ）＝0であることを意味する。 59）（5．63），参照。 60）（5．64），参照。

(26)

香川大学経済学部研究年報16 一ββ− ヱ．977 g2（Ⅹ）＝0 図62い集合β（Ⅹ1）と集合愈（Ⅹ1）とが一哉しない場合る。61）そこで，この点Ⅹ1について，まずβ（Ⅹ1）をその定義により求めれば，それは点Ⅹ1を起点とする左向きのただ1つの方向ベクトル観であることが明らかとなる。つぎに，彦（Ⅹ1）を求めれば，それは（5u64）の定義により，点Ⅹ1を起点とする左向きと右向きの2つの方向ベクトル（dゎおよびdγ）となる。したがって，この場合，点Ⅹ1を起点とする右向きの方向ベクトルdγは，診（Ⅹ1）に含まれる方向ベクトルではあるが，∂（Ⅹ1）には含まれないことになり，その結果，点Ⅹ1において， β（Ⅹ1）幸彦（Ⅹ1）（5小68）となることが判明する。とはいえ，現実の具体的な問題において，このような場合が生ずることはめったにないものと思われる。62）そこで，われわれは，一・般性を失なうことなく，叙上の（性質5）に加えて，さらに∴診（Ⅹ）⊂眉（Ⅹ）の関係が成立するものと仮 61）すをわち，♂（Ⅹ1）＝（1，2）を意味する。図61，参照。 62）もし，あったとしても，それは数学上の産物（Mathematicalfabrications）にすぎないことが，叙上の例より推測されよう。

(27)

最適制御理論についてーβ9− 定することにしよう。しかし，以下でみるように，この仮定は，具体的問題の解明にとっては，きわめて重要な意味をもっているので，これを制約条件の限定として，明確に定義しておくことにする。 ConstraintQuali鮎ationの定義もしも点Ⅹにおいて，

眉（X）＝．診（Ⅹ）

（5．69）の関係が成立するとき，点XにおいてConstraintQuali丘cationがみたされている，と定義する。ちなみに，図60の例2，例3，および例4のそれぞれで示された点Ⅹ1においては，いずれも（5．69）の関係が成立しており，したがって，叙上の定義により，ConstraintQualificationがみたされていることが明らかとなる。68）また，点Ⅹ＊が非線形計画問題の最適点を表わすものとし，さらにその点において叙上のConstraintQuali丘cationがみたされるということは，その最適点Ⅹ＊において，次式の関係が成立することを意味している0 月（Ⅹ＊）＝診（Ⅹ＊）（5・70）そこで，この関係が成立することを前提とすれば，第1の課題，すなわち，実現可能な方向ベクトルの集合β（Ⅹ＊）の閉包眉（Ⅹ＊）を当該問題の制約式によって表わすことは，結局つぎのようにして可能となる。 β（Ⅹ＊）＝・診（Ⅹ＊）＝〈d：Fgf（ズ＊）・d≧0，ただし，すべての￡∈♂（Ⅹ＊）† （5．71）したがって，以上の帰結をまとめれば，つき㌔の（性質6）を得る。64）（性質6）点Ⅹ＊を非線形計画問題の最適解であると仮定する。そのとき，点Ⅹ＊においてConstraintQualificationがみたされているならば，＠（X＊）に含まれるすべての方向ベクトルdについて，つぎの不等式が成立する。 63）図60の例2，例3，および例4，参照。 64）（性質4），参照。

(28)

ー・一9（フー _{香川大学経済学部研究年報16} _J．977 （5．72）仁／■（Ⅹ＊）・d≦0 ただし，集合．珍（Ⅹ＊）は，診（Ⅹ＊）＝id：Fg壱（Ⅹ＊）・d≧0，ただし，すべての去∈♂（Ⅹ＊）〉・（5．73）によって−与えられるものとする。〔クーン・クッか−の条件〕いう’までもなく，この（性質6）は，非線形計画問題の最適点Ⅹ＊において ConstraintQuali丘cationがみたされていることを前提として，（性質4）の内容を書き換えたものに他ならない。そこで，つぎに，クーン・クッカーの条件を導出する際，残されていたもう1つの課題，すなわち，ファルカスの補題を用いて，（性質4）を書き換えること65）を試みよう。そのために，まずファルカスの補題を述べれば，つぎのようになる。ファルカスの補題 Aを∽行乃列の行列とし，ヴを乃次元の列ベクトルとする。そのとき， AX≧0 （5り74）をみたすすべての乃次元の列ベクトルⅩに対して曾・Ⅹ≦0 （5．75）が成立するということは，乃次元の列ベクトルー曾が，行列Aの各行の非負の1次結合で表わされるということ，すなわち，曾＋』′払＝0 _（5．76）をみたす非負の∽次元の列ベクトル払が存在する，ということと同等である。86） 65）したがって，（性質6）を当該問題の制約式によって再定式化することを意味する。 66）ただし，ここでは，後で試みる応用のために，一部表現をかえている。したがって，通常の表現によるファルカスの補題は，（5‖75）の不等号の向きを逆にし，また乃次元の列ベクトルー曾を曾と置き換え，その結果，（5．76）をサ＝d′〟とすること

(29)

最適制御理論について −．9J− このファルカスの補題は，錐体の理論の基礎をなすもので，計画問題にとって，ことのほか重要な意味をもっている。そこで，この補題の内容を検討することにしよう。いま，（5u74）の制約条件のもとで，（5．75）の左辺曾・Ⅹ87）を最大にする線形計画問題を考えれば，つぎのようになる0 Max．ヴ・Ⅹ s小t． dズ≧0 ‡ （5・77）

また，この線形計画問題に対する双対問題軋双対変数のベクトルを・沈で表わ

せば，つぎのようになる。88） Min．￠・祉 S．t。−d′祝＝曾沈≧0 ‡ （5・78）

そこで，もしも（574）の制約条件をみたすべクトルⅩに対して（5175）

が成立する場合には，Ⅹをゼロベクトルとおくことによって（5．77）の線形

計画問題が有限な最適解をもち，そのときの値はゼロとなることが明らかとな

る。さらに，この線形計画問題が最適解をもつということは，双対定理69）によ

ってその双対問題70）もまた最適解をもつことになり，それゆえ（5．76）の関係

をみたす非負ベクトル捉が存在することになる。によって与え．られる。たとえば，RDorfman，P．Samuelson＆RSolow；“Linear ProgrammingandEconomicAnalysIS，”1958いMcGraw−Hill，Pl191，pp・502−506，参照。 67）すなわち，乃次元ベクトルqとⅩとの内撥である。 68）一腰に，「Ⅹを無制約な変数ベクトルとし，AX≦みのもとでq・Ⅹを最大にする」線形計画問題の双対関越は，「A′α＝ヴ，およびα≧〃のもとでむ・以を蔵小にする」問題として与えられる。それゆえり表の問題であを0とし，またAを−Aとおくことによって，（5．77）が導かれ，それに対応する双対問題は，その藁の問題として，（5．78）が直ちに導かれる。ZangWill，ゆCitr，PP巾328−329 69）双対定理（DualityTheorem）については，たとえ．ば，WJ”Baumol；“Economic TheoryandOperationsAnalysis，”2ndedl・1961，Prentice−Hal1，ppl103−128，参照0 70）すなわち，（578）によって与えられる問題を指す。

(30)

香川大学経済学部研究年報16 ー．92− J．977 逆に，（5．76）の関係をみたす非負ベクトル祝の存在を仮定してみよう。そのとき，（5巾76）の関係をみたす非負ベクトル址は，（5て8）の問題に対する有限な最適解を与えることになり，またその値はゼロであることが明らかとなる。それゆえ，（5，78）と双対の関係にある（5い77）の問題も，それと同じゼロの最適解をもつことが双対定理によって−保証される。しかし，（5小77）の問題がゼロの最適解をもつということは，とりもなおさず，（5．74）の制約条件をみたすべクトルⅩに対して（575）が成立することを意味しており，その結果，ファルカスの補題が証明されたことを意味する。つぎに，このファルカスの補題を（性質6）に適用してみよう。そのために，（5．74）の行列Aは，すべてのi∈♂（Ⅹ＊）に対応する制約式g名（Ⅹ）≧0，の点 Ⅹ＊における勾配ベクトル『g宜（Ⅹ＊）を各行としてもつ行列であるとみなし，また，（5ハ74）の制約条件をみたすべクトルⅩを，（性質6）における方向ベクトルdとみなせば，（性質6）の内容は，結局つぎのように言い換えることができる。・ず￣なわち，つぎの等式

町（Ⅹ＊）＋婚宗Ⅹ＊，スfFg壱（Ⅹ＊）＝0

をみたす，非負の乗数スゎただし去∈♂（Ⅹ＊），が存在する，と。71）かくして，クーン・クッか−の条件は，ただちに導出される。クーン・タッカーの条件つぎの非線形計画問題 Maxイ（Ⅹ）

s．t．gf（Ⅹ）≧。，よ＝1，2，，m

〉（5．79）（5…80）ただし，関数．差およびgゎf＝1，2，，∽は，微分可儲であるものとする，に対する最適解をⅩ＊で表わすことにする。そのとき，もしも点Ⅹ＊においてConstraintQualificationがみたされているならば，つぎの3つの条件をみたす非負乗数スゎよ＝1，2，研が存在する。 71）したがって，（579）のス官は，ファルカスの補題における非負ベクトル混の各要素を表わすことになる。

(31)

最適制御理論について 1）gf（Ⅹ＊）≧0，よ’＝1，2，，m 2）スfgま（Ⅹ＊）＝0，よ＝1，2，，m llI； 3）ア／（Ⅹ＊）＋∑んFgま（Ⅹ＊）＝O f＝1 一一9β− （5．81）（5．82）（5…83）

したがって，いわゆるクーン・クッか−の条件とは，上記3つの条件に対

する総称であり，点Ⅹ＊が当該問題の最適解であるということをこれら3つの

条件によって置き換えたものに他ならない。そのうち，第1の条件，すなわち

（5い飢），は，点Ⅹ＊が実現可能であることを意味しているのに過ぎない0つぎ

に，第2の条件，すなわち（5い82），は，もしも点Ⅹ＊においてg豆（Ⅹ＊）が正

であれば，72）その制約条件gな（Ⅹ＊）にかかる乗数んは，ゼロであることを意味

している。そして，最後に，第3の条件，すなわち（5．83），は，目的関数の

勾配ベクトルア／（Ⅹ＊）に負の符号をつけたものが，各制約式の勾配ベクトル

Fg官（Ⅹ＊）の非負の1次結合によって表わされることを意味している○ ただし，

沌♂（Ⅹ＊）に対するg官（Ⅹ＊）はつねに正である78）ことから，（5り82）によって−，

その制約式にかかる乗数んはゼロとなっている。したがって，第3の条件は，

・ファルカスの補題を（性質6）に適用した理論的帰結，すなわち（5．て9）その

ものに他ならない。

最後に，クーン・クッカーの条件の幾何学的な意味を検討しておくことにし

よう。簡単化のため，実現可儲領域ダが3つの制約式g宜（Ⅹ）≧0，∼＝1，2，3，に

よって構成され，目的関数／（Ⅹ）の値を最大にする最適解がつぎの図63の点

Ⅹ＊で与えられるものと想定する。74）このとき，点Ⅹ＊において実際に拘束が

きいている制約式は，gl（Ⅹ）とg2（Ⅹ）の2つであり，75）その結果，

（5．84） ♂（Ⅹ＊）＝il，2〉となる。78） 72）点Ⅹ＊において実際にその拘束がきいていないことを意味する。（5．62），参照。 73）（5．62），参照。 74）図63において，目的関数ノ（Ⅹ）の倍が最大の率で増加する方向がア／（Ⅹ＊）として示されていることに注意せよ。 75）したがって，gl（Ⅹ＊）＝0，およびg2（Ⅹ＊）＝0を意味する。 76）（5．62），および図61，参照。

(32)

香川大学経済学部研究年報16 ・−．94− ．Z．977 図63．クー・ン・クッか−の条件の幾何学的な意味この図63によって明らかなように，最適点Ⅹ＊についての目的関数／（Ⅹ）の負の勾配ベクトルーア／（Ⅹ＊）は，その点で実際に拘束がきいている制約式77）の勾配ベクトル，すなわちアgl（Ⅹ＊），およびFg2（Ⅹ＊），によって張られる錐体78）のなかに含まれている。換言すれば，当該問題の最適点Ⅹ＊において，−ア／（Ⅹ＊）が鞄1（Ⅹ＊）と鞄2（Ⅹ＊）との非負の1次結合で表わされること，すなわち， −F／■（Ⅹ＊）＝ス1Fgl（Ⅹ＊）＋ス2Fg−2（Ⅹ＊）（5‘85）ただし，ス1，A2≧0 77）すなわち，gl（Ⅹ），およびg2（Ⅹ）を意味する。 78）（y：y＝んFgl（Ⅹ＊）＋ス2Fg2（ズ＊），ス1≧0，ス8≧0）として定義され，図63では，波線部分によって示されている。

(33)

段通制御理論についてー．95− が成立することを意味している。そして，この関係が，すでに指摘した（5巾83）の具体的内容であり，79）それがまた，ク・−ン・クッか−の条件の幾何学的な意味を付与するものである。また，この図63を用いて，すでに述べた（性質4）を検証することができる。80）すなわち，点Ⅹヰを非線形計画問題の最適点であると仮定すれば，β（Ⅹ＊）の閉包，すなわち眉（Ⅹ＊），に含まれるすべて‘の方向ベクトル♂と，目的関数／（Ⅹ）が最大の率で増加する方向を示すベクトル仁／（Ⅹ＊）とが成す角度がつねに鈍角であること81）が明らかとなる。さらに，当該問題の制約式に関してCon− straint Quali￡cation がみたされておれば，（5．69）の関係が成立する結果，（性質6）もまた同時に検証される。しかし，Constraint Quali丘cation がみたされていない場合には，図62によって明らかなように，点Ⅹ1を最適点Ⅹ＊とし，またベクトルdγをア／（Ⅹ＊）とみなしたとしても，目的関数／（Ⅹ）の負の勾配ベクトルーア／（Ⅹ＊）82）を，Fgl（Ⅹ＊）とFg2（Ⅹ＊）との非負の1次結合として表わすことができないわけである。88） §4．．最大原理の導出以上の検討結果にもとづさ，本節ではタイプ2の問題に対する最大原理の導出を試みることにしよう。すでに述べたように，タイプ2の問題では，制御祉に対する拘束が状態変数Ⅹに関係している。84）すなわち，（5．5），および（5．． 6）を制都制約とする場合が明示的に取り扱われる。そこで，この制御制約に注目し，（5い6）に関する正則点の定義を，つぎのように与えることにしよう。正則点の定貴いま，点（Ⅹ＊，捉＊，￡）∈∬循＋飢＋1に対して 79）ただし，（5．83）は，当該問題に対するすべての制約式を包含している。しかし g8（Ⅹ＊）に対応する乗数ス8は，（582）によりゼロとなるため，（583）でg3（ズ＊）を考慮することが不要とをる。 80）（性質4），参照。 81）（性質4）において，（558）の不等式が成立することを意味する。 82）すなわち，図62におけるd∼を意味する。 83）クーン・クッカーの条件のうち，（583）の関係をみたす非負乗数スゎよ＝1，2が存在しないことを意味する。 84）本章，第1節，参照。

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香川大学経済学部研究年報16 −．96−

￠α（Ⅹ＊，払＊，f）＝0，α＝1，2，，β

￠α（Ⅹ＊，祉＊，￡）＞0，α＝5＋1，ぶ＋2，‥，Z

となるものとする。85）ただし，．ざ≦∽とし，つぎの行列関数

姓軌勉隼姓軌

濃

艶

F％￠1（Ⅹ，払，f）

F甜￠2（Ⅹ，捉，f）

F〝￠s（Ⅹ，眈，f）

莞・︰莞軋

隼︰粗

（5…88）の点（Ⅹ＊，祉＊，わにおけるランクが．5であるとき，この点（Ⅹ＊，祝＊，f）を正則点と定義する。86）そこで，もしもこの正則性の条件がみたされている87）とき，われわれは，￠α（Ⅹ，叫￡）＝0，α＝1，2，，ぶ（5・89）を解くことによって，制御祝のざ個の成分を状態変数Ⅹと制御払の残りの（∽−ざ）偶の成分の関数として一・意的に表わすことができる。すなわち，このことは，点（Ⅹ＊，祝＊，￡）におけ離り約式￠。，α＝1，2，，r5，の勾配ベクトルの集合（F堪れア伽￠2，，F％￠￡）が1次独立である結果，われわれが払を動かすことにより，対象を十分に制御できることを意味している。この正則性の条件が成立していることを前提として，これまでに導いた結果をまとめれば，つぎの〔定理4r〕を得る。〔定理4〕批＊（れ（わ≦￡≦fl）を，タイプ2の問題における最適制御，ズ泳（わ，（fo≦ 85）もしも必要をらば，（5．6）の各制約式に与え．られている添字の番号をつけかえることによって（586），および（5。87）を得ることができる。それゆえ，J≧・S≧g−J′ をみたしている。 86）その結果，正則点（Ⅹ＊，払＊，f）において，按平面が定義されることにをる。ⅠⅠⅠ章，第2節の（335），および，ⅠⅠⅠ華，第5節の図32，参照。 87）すなわち，（5い88）のランクが・ゞである。

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最適制御理論についてー．97− f≦九）を，対応する最適トラジ、エ．クトリ・一上の点とし，各点（ズ＊（わ，㍑＊（≠），わは，正則点であるとする。このとき，つぎの条件をみたす乗数ス0≧0，ス名（わ，〃α（わ，（去＝1，2，…，乃；α＝1，2，，J；￡0≦才≦才1）が存在し，これらは同時にすべてゼロとはならない。（a）ん（わ，左＝1，2，…，乃は，つぎの方程式の解であり，fに関して連続である。

スj＝−∂エ（ズ＊（￡），祝＊（￡），ス，〝（才），f）／∂ガ査，

Z＝1，2，，花（5い90）ただし， J

エ（先払，ス，〝，f）＝ガ（考牒，ス，￡）＋∑〟α￠α（考α，f）

α＝1 （5．91）タま

却才，祉，ス，f）＝ス≠／■∼（考祉，f）

（5．92）（b）ガ（脛（f），α＊（f），j（f），f）＝ Max ガ（ズ＊（f），祝，ス（f），￡） Ⅳ∈Ⅳ（g（‖，‖ （5い93）（c）比＝払＊（わにおいて， ∂エ（ズ＊（f），祝，ス（f），〝（f），f）／∂比f＝0，よ：＝1，2，，花；fo≦f≦fl （5．94）（♂）〟α（f）￠α（ズ＊（f），批＊（f），f）＝0，α＝1，2，，Z′ （5い95）〟。（f）≧0，α＝1，2，り，g′ （596）ただし，〃α（f）は区分的に連続であり，α＊（f）の連続区間では連続である。（c′′）￠α（ズ＊（f），祝＊（f），g）≧0，α＝1，2，，g′ （5・、97）￠α（ズ＊（f），払＊（f），f）＝0，α＝Z′十1，Z′＋2，，Z （598）

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香川大学経済学部研究年報16 J977 −9β−− （d）ベクトルス（わは，f＝わ，およびf＝flでそれぞれ対応する端点の多様体β0，および∂1に直交する。この〔定理4〕について，とくに留意すべ垂事項を述べれば，つぎのとおりである。まず，その第1は，定理の前提となる正則性の条件に関するものである0 すなわち，点（ズ＊（れ祝＊（わ，f）が正則点であるということは，その点においてConstraint Qualificationがみたされていることを意味しており，またそれは，〔定理4〕が成立するための十分条件ではあっても，必要条件ではないということである。したがって，いま，点（ズ＊，Ⅳ＊，f）において実際に拘束がきいている．ざ個の制約条件，すなわち（5小86）のうち，偶然にもその2つが全く同じ式であったと仮定してみよう。すなわち，￠よ（ズ＊，比＊，f）＝￠ノ（ズ＊，祉＊，f），よ≒ノ（5−99）の関係が成立しているものと仮定しよう。そのとき，行列関数（5．88）のランクは，当然5よりも小さくなり，それゆえに，点（ズ＊，祝＊，f）は正則性の条件をみたさないことになる。しかし，この場合でも，その同一・な式がいずれもゼロである条件をみたしている結果，そのうちの1つを取り除くことによって，当該問題の最適解を求めることが可能となる。したがって，（5．86）をみたす制約式の間に，もしも1次従属の関係があるとすれば，ただそれだけで正則性の条件がみたされないことになる。その意味で，正則性の条件は，〔定理4〕が成立するための十分条件ではあっても，必要条件ではないといえる。つぎに，第2の留意すべき点として，問題の定式化が，定理の適用にとってとくに重要な意味をもつことが指摘できる。すでに，われわれは，制御制約の差異にもとづき最適制御問題を3つのタイプに分類＄8）し，さらにそれに応じてタイプ1の問題を解く手段として〔定理3〕89）を，またタイプ2の問題を解く手段として〔定理4〕90）を，それぞれ導出した。しかし，とくに注意を要することは，同じ内容の問題であっても，取り上げる変数の定義の仕方によって，それをタイプ1の問題として定式化することもできる場合があることである。 88）ⅠⅠ章，第5節，参照。 89）ⅠⅠⅠ牽，第5節の〔定理3〕，参照。 90）本章，第4節の〔定理4〕，参照。

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最適制御理論について −．99− 換言すれば，本来タイプ2の問題として定式化されるべきものであっても，その多くは，制御変数を適当に定義しなかすてとによってタイプ1の問題に変換できるということである。その一例をあげれば，つぎのようになる。いま，タイプ1の問題例として与え．たラー・マン・モデル（その1）に注目しよう。91）その状態方程式は，地域別の資本ストック，乾，およびjらを状態変数として，次式によって与え．られた。92〉（5．100）（5．101）艮’1（f）＝β（f）igl麒■1（￡）＋g2麒2（古）〉廠■2（f）＝（1一β（f））igl足1（f）＋g・2麒2（f））また，制御制約は，配分パラメタ・−βを制御変数として， 0≦β（f）≦1 （5．102）によって与えられた。98）したがって，この制御βは，状態，屯，および亀に関係しないElの部分集合びに属している結果，タイプ1の問題とみなされる。94）しかし，この間じ投資の地域間配分を問題とするラーマン・モデルについて，地域別の投資を新たな制御変数とみなせば，−まえと同じ亀，および亀を状態変数とする状態方程式は，麒1＝＝弘1 （5・103）麒2＝弘2 （5・104）として与えられ，また，叫，およびα2を制御変数とする制御制約は，（5．105）（5．106）弘1≧0，弘2≧0 払1＋払2＝gl茸1＋g2麒2 として与えられる。これを書き換えれば， 91）ⅠⅤ肇，第1節，参照。 92）（5100）が（4い13）に，（5．101）が（414）に，それぞれ対応する。 93）（5102）が（416）に対応する。 94）ⅠⅠ串，第5節の（231），あるいは，またⅠⅠⅠ亀第5節の（3ィ122）に対応する。