となる118）わけである。そして，この随伴方程式，すなわち，（5．127）が，〔二定 理4〕の条件（a），すなわち，（5．90）と等しくなり，また，それゆえに（5．
113）と等しくなるわけである。119）
ⅤⅠ
この章では，タイプ2の問題の応用として，すでに取り上げた投資の地域間 配分を問題とするラ・−マン・モデル120）に再度注目し，〔定理3〕を用いて求 めた解と，〔定理4一〕を用いて求めた解とが，全く同じになることを確かめる ことにする。121）いうまでもなく〔定理3二〕は，タイプ1の問題を解くために導 出されたものであり，また〔定理4〕は，タイプ2の問題を解くために導出さ れたものである。そのために，同じ内容をもつラーマン・モデルを，タイプ1 の問題，およびタイプ2の問題としてそ・れぞれ定式化して＼おく必要がある0
まず，ⅠⅤ章の第1節で取り上げたラーマン・モデル（その1）は，タイプ
116）それゆえ，U（g（わ，ゎに含まれる制御祝（わ＝（払C（f），払仏＊（≠））を近傍の変換に用 いることができる。
117）ⅠⅠⅠ尊，第4節の（3．73）と比牧せよ。
118）ⅠⅠⅠ草，第4節の（385）と比較せよ。
119）ただし，ぴ（∬，払α＊，ゎには．￡0が明示的に含まれていないことに注意せよ0 120）ⅠⅤ草，第1節，参照。
121）脚注97），参照。
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−−JO61一−
1の問題であり，つぎLのように定式化された。122）
タイプ1のラーマン・モデル つぎの目的関数，
i：
iあ1gl（f）＋み2∬2（f））df （6．1）を，以下の制約に従って最大にする配分パラメタ・−β（f），（0≦f≦γ）を求め よ。
（6．2）
（6．3）
（6巾4）
（6u5）
麒1（g）＝β（f）・（glgl（f）＋g−2麒2（￡）〉
麒2（f）＝（1−β（f））igl麒1（g）＋g2∬2（f）†
軋（0）＝互㌢（＞0），g＝1，2
0≦β（￡）≦1
しかし，これと同じ内容をもつ投資の地域間配分の問題も，地域別の投資水 準を新たな制御変数とみなすことによって，つぎのようなタイプ2の問題に書
き換え．ることができる。12さ）
タイプ2のラーマン・モデル つぎの目的関数，
i；舶1（叫2虞鵡匝 （6一．6）
を，以下の制約に従って最大にする投資水準的（f），（ま＝1，2；0≦f≦T）を求 めよ。
足1（ ）＝弘1 濫2（古）＝弘2
122）ⅠⅤ率，第1節のラーマン・モデル（その1），参照。ただし，釣＝毎払（∠＝1，2）
は，いずれも正であるものとする。
123）したがって，βでとらえ．る率から，勘，（ま＝1，2）でとらえる盈へと変更している ことになる。
最適制御理論について 勾（0）＝g㌢（＞0），よ＝1，2
弘1≧0 比2≧0
ひ1＋罷2−g1麒−1−g−2足2＝0
−ヱ∂7−
（6．9）
（6．10）
（6．11）
（6．12）
このうち，前者の問題に対して，すでにわれわれは〔定理3〕を適用して，
その最適解の吟味を試みている。124）そこで，後者の問題をここで具体的に求め ることは避け，それに代わって，叙上の2つの問題を最終的に解くことになる 常微分方程式とそれに付随した最適制御変数の決定ルールが同値なものになる
ことを確かめることにしよう。
そのために，まず後者の問題，すなわち，タイプ2のラーマン・モデルに対 して〔定理4〕を適用してみよう。いま，ん＝1とおき，（5．92）にしたがっ てハミルトニアン関数を構成すれば，つぎのようになる。125）
2
茸＝∑ん／f
ブコ0
＝（る1麒1＋み2互2）＋ス1弘1＋ス2王↓2
簡単化のため，
ぁま＋スi＝クj， ￡＝1，2
とおき，128）（6．て），および（6．8）を（6、13）に代人すれば，
g＝pl弘1＋タ2α2
（6…13）
（6小14）
（6．15）
を得る。
さらに，また，このハミルトニアン関数を用いてラグランジュ形式エ を構 成すれば，（5．91）より，つぎのようになる。127）
124）ⅠⅤ肇，第1節の展開がこれにあたる。
125）Ⅴ乳 第4節の（592），参照。
126）ⅠⅤ帝，第1節の（4L．19），参照。
127）Ⅴ章，第4節の（5191），参照。
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3
エ＝ガ＋∑〟。￠。
α＝1
−ヱ∂β− J．977
（6…16）
ただし，ここでの制約式￠α，α＝1，2，3は，叙上の問題における（6．．10），（6．
11），および（6．12）を，それぞれ表わしている。128）それゆえ，すでに導いた
（6．15）を考慮すれば，ラグランジュ形式（6．16）は，結局つぎのようになる。
エ＝∬＋〟1払1＋〟2弘2＋〟3（払1＋弘2−g1麒1−g2足2）
＝（タ1＋〟1＋〟3）比1＋（p2十〟2＋〟3）比2−〟3（gl∬1十g2麒2）
（6．17）
また，ハミルトニアン関数の構成の際に導入された乗数ん，（去■＝1，2）は，〔定 理4〕の条件（a）によって，つぎの随伴方程式の解でなければならない。129）
スf＝一− 哉＝〟3gゎ g＝1，2
（6・18）他方，（6．14）の関係式で，あゎ（よ■＝1，2）が仮定により定数であることから，
人吉＝タブ， ￡＝1，2 （6．19）
が成立する。180）したがって，新しく導入された補助変数れ（よ＝1，2）は，つぎ の常微分方程式（6．20）の解でなければならない。
動（f）＝〟3g■ゎ g＝1，2 （6．．20）
さらに，また，この補助変数動，（去■＝1，2）は，〔定理4〕の条件（d）により，
つぎに示す終端条件をみたさねばならない。まず，与えられた問題において，
初期時刻（￡＝0）における地域別資本ストノクの状態β0は，（6．．9）によって，
つぎのように指定されている。
範（0）＝麒ダ（＞0）， よ＝1，2
（6．21）
しかし，最終時刻（f＝γ）における地域別資本ストックの状態β1は，前以っ 128）Ⅴ章，第4節の（5107），（5．108），および（51109）に対応する。
129）Ⅴ章，第4節の（590），および（6、17），参照。
130）ⅠⅤ孝，第1節の（4．22），参照。
最適制御理論について ーヱ0．9−
て何ら措定されていない。それゆえ，そ・の状態が任意に変化する方向を示すベ クトルとつねに直交する放線ベクトルの成分（すなわち，ん（刀，去＝1，2）は，
ゼロでなければならない。換言すれば，スゎ（去■＝1，2）に関する終端条件は，
人吉（ア）＝0， 去＝1，2 （6．22）
となる。181）したがって，これを新しい補助変数動，（宣＝1，2）について書き換え．
れば，（6い14）より，
A（r）＝あゎ ￡＝1，2
（6．．23）
を得る。1＄2）
つぎに，クーン・クッカーの条件である〔定理4一〕の条件（c）〜（c〝）を，与 えられた問題に対して逐一・求めれば，以下のように示される。まず，〔定理4一〕
の条件（c）は，ラグランジ、ユ．形式エが（6．17）で与えられていることから，
つぎのようになる。1B8）
∂弘よ ＝A＋萌＋β3＝0， ￡＝1，2 （6．24）
また，双対定理にもとづく〔定理4〕の条件（c′）は，不等式制約に対応する α＝1，2に関して，〝α如＝0と〃α≧0との2種類から成り立っている。184）その
うち，前者に対応するものとして，
〟1比1＝0
〟2乙 2＝0
を得，185）また，後者に対応するものとして，
〟1≧0 （6．27）
131）ⅠⅤ章，第1節の（4124），参照。
132）ⅠⅤ草，第1節の（4、25），参照。
133）Ⅴ章，第4節の（594），参照。
134）Ⅴ章，第4節の（5．ノ95），および（5‖96），参照。
135）さらに， 1＋ぴ2−gl私−g2馬＝0である結果，〃8（α1＋α2−gl晶−g2品）を加えて もよい。をお，この点については，脚注108），参照。
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−ヱJ∂− J．977
〟2≧0 （6．28）
を得る。さらに，また，実現可能領域内の点であることを保証する〔二定理4〕
の条件（c〝）は，制御変数に関する不等式制約（6．10），および（6，．11）と等 式制約（6小12）が，そのままの形で生かされる。すなわち，
弘1≧0 比2≧0
比1＋比2−gl惹1−g2g2＝0
となる。1鋼）
そして，最後に，与えられた問題の最適条件は，〔定理4〕の条件（b）によ って，つぎのように示される。1a7〉
Max ∬＝タ1弘1＋タ2弘2
〟∈Ⅳ（Ⅹ（才），チ）
（6．32）
したがって，最大原理は，この場合，（6．15）のハミルトニアン関数ガが最大 となるように，制約変数αゎ（よ＝1，2）を許容された−すなわち，〔定理4〕
の条件（c）〜（c〝）をみたサー制御領域U（方（わ，わ のなかから選択すべきこ とを，われわれに教えている。
そこで，つぎに〔定理4〕の条件（c）｛一（c′′）を考慮しながら，かかる最適性 の条件を吟味することにしよう。いま（6小24）により，補助変数動，（宣＝1，2）
と未知乗数〃ゎ（左＝1，2）との関係が，つぎのように導かれる。
ク1一夕2＝〟2−〟1 （6．33）
ここで，−・般性を失なうことなく，つぎの仮定を導入することにしよう。
ク1＞p2 （6，34）
すなわち，この仮定は，第1地域における投資の影の価格が，第2地域のそれ よりも高いことを意味している。188）その結果，われわれは，（6．33）の関係よ
136）Ⅴ草，第4節の（5．97），および（598），参照。したがって，J′＝2，J＝3となる。
137）Ⅴ章，第4飾の（593），および（615），参照。
138）ⅠⅤ草，第1節の脚注174），参照。
最適制御理論について ーJJヱ】
り，未知乗数〃ゎ（去■＝1，2）に関するつぎの不等式を得る○
〟2＞〟1 （6・35）
もとより，この未知乗数拘，（去＝1，2）は，〔定理4〕の条件（♂）の拘束を受 けており，それゆえに，いずれも非負でなければならない。139）
このとき，つぎに示す2つの場合が考えられる。そ・の第1は，拘，および〃2 がともに正である場合であり，その第2は，〃1はゼロであるが，〝2は正とな る場合である。そこで，この各々の場合について，さらに検討■してみよう。
まず，第1の場合には，
β2＞〟1＞0 （6・・36）
が成立する。それゆえ，この関係は，（定理4：〕の条件（c′）によって，
比1＝0 （6＝37）
弘2＝0 （6＝38）
を意味する。140）しかしながら，このことは，われわれの最初の仮定と矛盾する。
なぜなら，つねに正倍をとるgゎ（去＝1，2）141）と経済学的に有意な地域別初期 資本ストックの水準142〉に関して，（6．12）をみたす許容制御びゎ（よ＝1，2）は，
決してゼロにはなり得ないからである。したがって，この第1の場合は，最適 条件をみたすものではないことが判明する。
つぎに，第2の場合を検討してみよう。この場合には，
〟2＞〟1＝0 （6・39）
が成立している。そして，〃2が正であることは，〔定理4〕の条件（c′）によ って，
（6．40）
〃：：こ∴lI
139）（6い27），および（628）による。
140）（6．25），および（6け26）による。
141）ⅠⅤ牽，第1節の（4‖5），および脚注122），参照。
142）（64），または（6小9）の成立を意味する。
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−ヱヱ2−
を意味する。14a）その結果，（6．40）を（6．31）に代人すれば，
払1＝gl麒1＋g2麒2
となり，さらに（6．7）を考慮すれば，
廠1（￡）＝g1麒1＋g2g2
となる。また，（6．40）を（6l8）に代人すれば，
廠2（f）＝0
（6．41）
（6．42）
（6．43）
となる。
さらに，また，（6．39）によって，〃1がゼロである結果，これを〔定理4〕
の条件（c），すなわち，（6い24），に代入すれば，
（6．．44）
ク1＝￣β3
となることが判明する。
つぎに，タイプ1の問題に対する〔足理．3）の適用結果を検討することにし ょう。ク1が♪2よりも大であるとするわれわれの仮定144）は，〔定理3〕を用い てタイプ1のラーマン・モデルを解いた最適条件のうち，
β＝1 （6・45）
であることを意味している。145）すなわち，このことは，当該2地域より生ずる 総貯蓄をつねに第1地域のみに投資配分すべきことを教えている。したがって，
ここでの帰結，すなわち，（6．45）をタイプ1の問題における状態方程式146）に それぞれ代人すれば，つぎのようになる◇
麒1（￡）＝glgl＋g2g2
麒2（￡）＝0
143）（6，26）による。
144）すなわち，（634）の成立を意味する。
145）ⅠⅤ執 第1節の（427），参照。
146）ⅠⅤ章，第1節の（413），および（414）を意味する。